Vorlesungen Über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie

324 Pages·1957·12.283 MB·German

by  Dr. H. Hadwiger (auth.)

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
R. GRAMMEL· E. HOPF . H. HOPF . W. MAGNUS
F.K.SCHMIDT.B.L.VAN DER WAERDEN
BAND XCIII
VORLESUNGEN TIBER
INHALT, OBERFLACHE UND
ISOPERIMETRIE
VON
H. HADWIGER
SPRINGER-VERLAG
BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG
1957
VORLESUNGEN UBER
INHALT, OBERFLACHE UND
ISOPERIMETRIE
VON
DR. H. HADWIGER
PROFESSOR DER MATHEMATIK
AN DER UNIVERSITAT BERN
MIT 34 TEXTABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG
BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG
1957
ISBN -13: 978-3-642-94703-2 e-ISBN-13: 978-3-642-94702-5
001: 10.1007/978-3-642-94702-5
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN
OHNE AUSDRUCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES 1ST ES AUCH NICHT
GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM
WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALTIGEN
© BY SPRINGER-VERLAG OHG.
BERLIN' GOTTINGEN • HEIDELBERG 1975
SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 1ST EDITION 1975
BRUHLSCHE UNIVERSITATSDRUCKEREI GIESSEN
Vorwort
Das vorliegende Buch vereinigt in seinen wesentlichen Teilen den
Stoff verschiedener Vorlesungen liber Inhaltstheorie, isoperimetrische
Probleme und liber konvexe Karper und allgemeine Integralgeometrie,
die ich im Laufe der letzten Jahre an der Universitat Bern gehalten habe.
Abgesehen von einzelnen kleinen Spezialvorlesungen entsprachen die
Kurse dem Lehrprogramm fUr die allgemeine EinfUhrung in die hahere
Mathematik und waren demnach fUr Harer der unteren und mittleren
Semester bestimmt.
Bei der buchmaBigen Zusammenfassung war ich bemliht, in einer
sich auf Stoffauswahl und Behandlungsart auswirkenden Ausrichtung
auf die Linie der elementaren direkten Mengengeometrie die gemeinsame
Bindung zu finden, welche die verschiedenartigen Sachgebiete, die auch
unabhangig durchfUhrbaren Vorlesungen entsprechen, zu einem einheit
lichen Ganzen zusammenfUgen solI. Mit der erwahnten Beschrankung
wurde eine einfache, ohne hahere Spezialkenntnisse lesbare Darstellung
der einschlagigen Themen erzielt. Erforderlich sind gute Kenntnisse
der Grundtatsachen der Elementargeometrie, eine gewisse Vertrautheit
mit den wichtigsten Begriffen der Punktmengenlehre und mit der
mengentheoretischen SchluBweise, schlieBlich einige Dbung beim
Umgang mit exakten, sich auf Raum und Zahl beziehende Begriffs
bildungen.
Welches sind nun die Kriterien einer elementaren und direkt mengen
geometrischen Betrachtungsweise, wie sie dem vorliegenden Buche
zugrunde liegen solI? Einige hierfUr charakteristische Merkmale seien
nachfolgend aufgezahlt:
1. Alles spielt sich einheitlich im (k-dimensionalen) euklidischen
Raum ab; so ist ein unveranderliches Arbeitsfeld gegeben, mit dem man
von den Elementen her gut vertraut ist.
2. Die Karper des Raumes werden als Punktmengen aufgefaBt und
in ihrer Ganzheit lediglich mit Bezugnahme auf elementargeometrische
Begriffe direkt gekennnzeichnet. Diesem Vorgehen, das sich auch auf
Symbolik und Arbeitsstil auswirkt, steht das hauptsachlich in der alteren
Literatur libliche gegenliber, die Raumfiguren durch Angabe ihrer
Berandung zu charakterisieren, wie beispielsweise bei der Definition
der Polyeder oft vorgegangen wird. Besonders typisch fUr die direkte
Mengengeometrie ist jedoch die weitgehende Ausschaltung der analy
tischen Methode, welche vornehmlich indirekt wirkt und zudem die
VI Vorwort
Gegenstande vielfach mit Voraussetzungen belastet, die ihrem Wesen
nach dem einfachen geometrischen Sachverhalt nicht entsprechen.
Beispielsweise kann eine geschlossene konvexe Flache (Eifliiche) direkt
als Rand einer konvexen Punktmenge definiert werden, wahrend die
indirekte Beschreibung als ein durch passende Abbildungsfunktionen
erzeugtes Bild eines im Parameterraum liegenden Urbildes recht um
standlich wirkt. Differenzierbarkeitseigenschaften der Flache, wie sie
im Rahmen der Differentialgeometrie erforderlich sind, werden innerhalb
der Mengengeometrie kaum benotigt, da bereits die besondere Art der
dort fiblichen Fragestellungen keine derartige Verbindung herstellt.
3. Selbstverstandlich entspricht der oben erorterten Grundhaltung
zu den Gegenstanden auch die entsprechende Wahl der Hilfsmittel und
der eingesetzten Entwicklungs- und Beweismethoden. Einfachheit und
Urspriinglichkeit bedingen hier nicht unbedingt eine Beschneidung der
Reichweite; oft trifft eher das Gegenteil zu. So sah sich ERHARD SCHMIDT,
dessen groB angelegte Abhandlung fiber die BRUNN-MINKOWsKIsche
Ungleichung und fiber die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in
der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie aus den Jahren 1948/49
sich auf den direkt mengengeometrischen Begriff der MINKOWsKIschen
Oberflache bezieht, zu der Bemerkung veranlaBt, daB seine friiheren
ausgedehnten Arbeiten, die - wie wir wissen - sehr bedeutend und
vornehmlich der analytischen Methode verpflichtet waren, durch die
neue Abhandlung "nicht nur in der Methode, sondern auch im Resultat
fiberholt" seien. Hier moge mir der Hinweis gestattet sein, daB unser
Buch eine Herleitung der allgemeinsten im euklidischen Raum gfiltigen
isoperimetrischen Ungleichung bringt; diese bezieht sich auf die MIN
KOWsKIsche Relativoberflache einer beliebigen beschrankten und
abgeschlossenen Punktmenge, wobei als Nebenmenge (Eichmenge) eine
zweite ebensolche Punktmenge gewahlt werden kann. Weiter wird
auch die Frage der Giiltigkeit des Gleichheitszeichens vollstandig
abgeklart, so daB eine praktisch voraussetzungslose Losung des isoperi
metrischen Problems vorliegt. Diese Aufgabe ist streng im Rahmen der
Mengengeometrie und der reinen MaBtheorie gelost, das heiBt hier
genauer, ohne Benutzung irgendwelcher formaler Behelfe der Differen
tial- und Integralrechnung. Die Stoffbearbeitung des Buches bleibt bis
zum SchluBkapitel vollstandig integrallos. In diesem, den konvexen
Korpern und der allgemeinen Integralgeometrie gewidmeten Teil, tritt
der Integralbegriff naturgemaB in den Mittelpunkt der Betrachtungs
weise; dort sind auch die dem Leser zugedachten Vorkenntnisse reich
haltiger vorausgesetzt.
4. Eine Theorie gewinnt selbstverstandlich an Einfachheit, wenn
darauf geachtet wird, daB die erforderlichen Voraussetzungen nur
einmal und fest bleibend gewiihlt werden, und daB nur das entwickelt
Vorwort VII
wird, was sich mit einfachen Schlussen aus diesen festen Setzungen
gewinnen laBt. DaB man hierbei auf spater sich aufdrangende Abwand
lungen verzichten muE, mag stofflich manchen Verlust bedingen; dafUr
bleibt eine gewisse Geschlossenheit der Theorie gewahrt, welcher durch
die strikte Einhaltung der genannten V orschrift von selbst der Wesenszug
einer axiomatischen Theorie aufgepragt wird. In diesem Sinne sind
unsere sich auf die Inhaltstheorie beziehenden Kapitel axiomatisch
aufgebaut; einige wenige Eigenschaften (Postulate) definieren implizite
das allgemeine Inhaltssystem derart, daB sowohl der sich auf Polyeder
beziehende elementare Inhalt, als auch der JORDANsche Inhalt und das
LEBESGUESche MaB von Punktmengen, sowie der TARsKIsche Inhalt
zu speziellen Inhaltssystemen gehoren. Ebenso wird bei der Begrundung
der wichtigsten MaBzahlen fUr konvexe Korper im SchluBkapitel von
einigen fundamentalen Eigenschaften ausgegangen. In diesem Zusam
menhang kommt der Moglichkeit, Inhalt, Oberflache und allgemein die
MINKOWSKIschen QuermaBintegrale konvexer Korper durch solche
Eigenschaften zu charakterisieren, besondere Bedeutung zu.
Noch einige allgemeine Bemerkungen:
a) Die Beschrankung auf die element are Methode wirkt sich nicht
immer verkurzend aus; der Verzicht auf hohere fremde Hilfsmittel muB
oft durch geeigneteKunstgriffe wieder wettgemacht werden, was eine
zusatzliche Komplikation bedeuten kann. Ein wichtiges Beispiel hierzu
bildet die EinfUhrung des elementaren Polyederinhalts. Wie allgemein
bekannt ist, laBt sich wegen der mit dem HILBERT-DEHNschen Zer
legungsdilemma zusammenhangenden Schwierigkeit keine einfache
Begrundung geben, ohne unendliche Zerlegungsprozesse und geome
trische Grenzubergange (Approximation der Simplexe durch Stufen
pyramiden usw.) zu verwenden. Vorgehen dieser Art werden dem
elementargeometrischen Wesen der Polyedergeometrie in keiner Weise
gerecht, doch muB man sich wohl meistens aus praktischen Grunden
damit abfinden. In dem hier einschlagigen Kapitel unseres Buches wird
indessen gezeigt, daB es grundsatzlich durchaus moglich ist, den formalen
elementaren Polyederinhalt ohne disziplinfremde geometrische Grenz
betrachtungen exakt zu begrunden. Allerdings ist hierzu erforderlich,
daB die Zerlegungstheorie der Polyeder verhaltnismaBig weit entwickelt
wird. Diesem Teil der Elementargeometrie ist in unserem Buche ein
besonders breiter Raum zugemessen. A bgesehen von der Bedeutung
fUr die allgemeine Inhaltstheorie, die mit der Lehre von den elementar
geometrischen Zerlegungen in engste Wechselwirkung tritt, lohnt sich
dieser Ausbau schon mit Rucksicht auf die fundamentale Bedeutung der
Polyeder als element are Bausteine der Korper des euklidischen Raumes.
b) Die Beschrankung auf elementare Gegenstande verburgt auch
nicht, daB alle behandelten Fragen ihre Erledigung finden konnen, wie
VIn Vorwort
man vielleicht dann anzunehmen geneigt ist, wenn elementar voreilig
mit trivial verwechselt wird. Es ist ja geradezu eine besondere Merk
wurdigkeit der Mathematik, daB auch trotz des modernsten Standes
vieler ihrer hochentwickelten Gebiete immer wieder vallig elementare
Fragen maglich sind, denen man genau so ratIos gegenubersteht, wie
vor einem halben J ahrhundert. Diese Tatsache stellt keineswegs einen
Mangel unserer Wissenschaft dar, sondern einen Born nie versiegenden
Reichtums. Ein Beispiel, das in unserem Zusammenhang genannt werden
kann, ist das HILBERT-DEHNsche Problem der Zerlegungsgleichheit
zweier Polyeder des gewahnlichen Raumes im Sinne der Elementar
geometrie. Bis heute konnte noch nicht entschieden werden, ob die
bekannten notwendigen Bedingungen auch hinreichend sind. In unserem
Buche sind, wie bereits erwahnt, verschiedene Ergebnisse derZerlegungs
theorie k-dimensionaler Polyeder entwickelt; doch die eben erwahnte
Lucke muBte bleiben.
c) SchlieBlich muB eingeraumt werden, daB sich mit del' starken
methodischen und sachlichen Vereinheitlichung der Nachteil einer
gewissen Einseitigkeit verbindet. In den am Ende del' Kapitel ange
brachten Anmerkungen werden neben Erlauterungen verschiedener
Art auch vor allem die mit dem Kapitelstoff in Beziehung stehenden
Schriften zitiert. Es handelt sich hier abel' in der Regel nul' um Fach
literatur, die sich del' dem Buche zugrundeliegenden Zielrichtung ein
ordnet. Dadurch blieb aber ein erheblicher Teil dessen unberucksichtigt,
was Fachleute zu unserem im Buch verarbeiteten Sachgebiet bei
getragen haben, das aber methodisch und stofflich in einer anderen
Ebene liegt. In dieser Hinsicht muB ich die Leser um gutige N achsicht
bitten.
Meine Bestrebungen, die der Mengengeometrie, Inhaltslehre und
Theorie der konvexen Karper und der Integralgeometrie angeharenden
Ergebnisse zu sammeln, einiges davon zu vereinfachen und zu erganzen,
reichen we it vor den Zeitpunkt zuruck, mit welchem die Vorarbeiten
zu dem heute vollendeten Buch begannen. Innerhalb dieser Arbeits
periode wurden mir mannigfache Anregungen zuteil, und ich machte
an dieser Stelle meinen Dank an einige Kollegen rich ten , die durch
brieflichen Kontakt, durch Einladungen zu Vortragen oder durch
gleichgerichtete und gemeinsame publizistische Tatigkeit einen besonders
farderlichen EinfluB ausubten, namlich an die Herren Kollegen
W. BLASCHKE (Hamburg), A. DINGHAS (Berlin), L. FEJES TOTH (Buda
pest), B. JESSEN (Kopenhagen), W. NEF (Bern), L. A. SANTALO (Buenos
Aires) und W. Suss (Freiburg i. Br.).
Fur die tatkraftige Unterstutzung bei der Fertigstellung des Manu
skriptes, bei der Anfertigung der Abbildungen, sowie beim Korrekturen
lesen habe ich den Herren H. DEBRUNNER, H. KUMMER und P. WILKER
Vorwort IX
in Bern, die auch mit vielen VerbesserungsvorschHigen wert volle Mit
arbeit geleistet haben, sehr zu danken.
Besonderen Dank schulde ich Herrn F. K. SCHMIDT in Heidelberg
fur die freundliche Ermunterung, an der von ihm herausgegebenen
Sarnmlung rnitzuwirken, und fUr seine Nachsicht wahrend der etwas
langen Entstehungszeit des vorliegenden Bandes.
Abschlie13end habe ich noch dem Springer-Verlag fUr die bekannte
sorgfaltige und prompte Herstellungsarbeit zu danken.
Bern, im Marz 1957
HUGO HADWIGER
Wegleitung fUr den Leser
1. Bei formelmiif3iger Fassung von Aussagen wurde vielfach das Folgezeichen [>
bzw. das Aquivalenzzeichen [> <J verwendet. "A [> B" bzw. "A [> <J B" bedeutet:
"Aus A folgt B" bzw. "A ist aquivalent mit B, d. h. aus A folgt B und umgekehrt."
2. Kleine hochgestellte Nummern verweisen auf den sich an jedes Kapitel
anschlieBenden Anmerkungsteil. Dort wird umgekehrt durch die neben del'
Anmerkungsnummer in mnder Klammer angebrachte Seitenzahl auf die bezugliche
Stelle im Buchtext verwiesen.
3. Die im Anmerkungsteil rechts von Namen in eckige Klammer gesetztcn
Nummern beziehen sich auf das Literaturverzeichnis.
4. 1m Literaturverzeichnis sind ausschlieBlich Bucher und Abhandlungen
aufgefiihrt, die in Anmerkungen zitiert wurden. Die Auffindung dieser Stellen
erleichtert das mit Seitenzahlen versehene Namenverzeichnis; dieses berucksichtigt
nur die Anmerkungsteile, nicht aber den Buchtext.
Inhaltsverzeichnis
Erstes Kapitel
Elementargeometrie der Polyeder
§1. Begriff des Polyeders .
1.1.1 Raum, Punkt und Richtung
1.1.2 Konvexe Polyeder 2
1.1.3 Simplex 4
1.1.4 Polyeder. 5
1.1.5 Elementargeometrische Zerlegung 7
1.1.6 Simplizialzerlegung 8
1.1.7 Polyederkategorien; Polyedererzeugung 9
§ 2. Elemente der Polyedergeometrie 11
1.2.1 Verwandtschaften . 11
1.2.2 MINKOWsKIsche Addition 13
1.2.3 Lineare Polyederscharen 16
1.2.4 Parallelotope . 16
1.2.5 Simp1otope 17
1.2.6 Kanonische Simplexzerlegung 18
1.2.7 Zylinder 19
§ 3. Zerl egungsgleichheit 20
1.3.1 Ganze Vervielfachung 20
1.3.2 Translative Zerlegungsgleichheit 20
1.3.3 Parallelotop und Determinante 22
1.3.4 Orthogonalerganzung 26
1.3.5 Zylinderklassen . 27
1.3.6 Zerlegungskongruenzen 28
1.3.7 Zerl egungshilfssatze 29
1.3.8 Rationale Vervielfachung 32
Anmerkungen 33
Zweites Kapitel
Der elementare Inhalt
§1. Begriindung des Polyederinhalts 34
2.1.1 Inhaltspostulate 34
2.1.2 Einfache Folgerungen 36
2.1.3 Eindeutigkeitssatz 37
2.1.4 Existenzsatz 39
2.1.5 Invarianz und Homogenitat 41
2.1.6 Der elementare Inhalt . 42
2.1.7 Unabhangigkeit der Inhaltspostulate 44
§ 2. Polyederinhalt und Zerlegungsgleichheit 45
2.2.1 Zerlegungs- und Erganzungsgleichheit 45
2.2.2 Das HILBERT-DEHNsche Problem; Zerlegungskriterien 49
Inhaltsverzeichnis XI
2.2.3 Inhaltsfunktionale von JESSEN 52
2.2.4 Zylindrische Zerlegungskongruenzen; Kriterien 55
2.2.5 Das form ale Hauptkriterium 58
2.2.6 Lineare Funktionale und translative Zerlegungskongruenz 59
2.2.7 Ein Zerlegnngssatz bei MINKOWSKIscher Addition 63
2.2.8 Ungerade und gerade Dimension 65
2.2.9 Polyeder und Gitter . 67
2.2.10 Intervallzerlegungen 73
§ 3. Inhalt und OberfHiche der Polyeder 77
2.3.1 Inhalts-und OberfHichenformel . 77
2.3.2 Axiomatische Charakterisierungen 78
2.3.3 Ein Fortsetzungssatz 80
Anmerkungen 81
Drittes Kapitel
J ORDANscher Inhalt und LEBESGUEsches Man
§1. Punktmengen 85
3.1.1 Punktmengen; Bezeichnungen 85
3.1.2 Mengenklassen 86
3.1.3 Einfache Hilfssatze 87
3.1.4 Zerlegungsgleichheit . 88
3.1.5 Zerlegungsparadoxien 90
3.1.6 Parallelotope und Zerlegnngsgleichheit 93
§ 2. Inhalts-und MaBsysteme 95
3.2.1 Begriff des Inhaltssystems; Inhaltspostulate 95
3.2.2 Einfache Folgerungen 97
3.2.3 Weitere Eigenschaften . 98
3.2.4 Verschiedene Aussagen und Satze 100
3.2.5 Begriff des MaBsystems 103
§ 3. Der J ORDANsche Inhalt. . . . . . . 105
3.3.1 AuBerer und innerer J ORDANscher Inhalt 105
3.3.2 Das J ORDANsche Inhaltssystem . 110
3.3.3 J ORDANsche MeBbarkeit; Kriterien 112
3.3.4 Charakterisierung des JORDANschen Inhalts 115
§ 4. Das LEBESGUESche MaB 116
3.4.1 AuBeres und inneres LEBESGUESches MaB. 116
3.4.2 Das LEBESGUESche MaBsystem 119
3.4.3 Charakterisierung des LEBESGUESchen MaBes 122
§ 5. Zum allgemeinen Inhalts- und MaBproblem 123
3.5.1 Fragestellungen 123
3.5.2 Zerlegnngsaquivalenz und Inhaltsgleichheit 124
3.5.3 Der TARsKIsche Inhalt 127
3.5.4 Normsystem und BANAcHsche Systeme 130
Aumerkungen 132
Viertes Kapitel
Ausgewahlte Studien zur Mengengeometrie
§ 1. Lineare Ausmessung von Punktmengen 137
4.1.1 Breite, Durchmesser und Dicke 137
4.1.2 Spannen und Radien 139
4.1.3 Einfache Ungleichungen 140