Vorlesungen über höhere Mathematik: Erster Band Integration und Differentiation der Funktionen einer Veränderlichen. Anwendungen. Numerische Methoden. Algebraische Gleichungen. Unendliche Reihen

451 Pages·1965·17.58 MB·German

by  Dr. phil. Adalbert Duschek (auth.)

Vorlesungen
iiher hohere Mathematik
Von
Dr. phil. Adalbert Dusmek
weiland o. Professor der Mathematik an der T emnismen Homsmule Wien
Brster Band
Integration und Differentiation der Funktionen einer
Veranderlichen. Anwendungen. Numerische Metboden.
Atgebraische GleidlUngen. Unendlime Reiben
Mit 169 T extabbildungen
Vierte Auf/age
Unveranderter NachdrucK der dritten, verbesserten Auflage
1965
Springer=Verlag
Wien . New York
AIle Rechte. insbesondere das der "Obersetzung
in fremde Sprachen. vorbehalten
Ohne schriftliche Genehmigung des Verlages
ist es auch nicht gestattet. dieses Buch oder Teile daraus
auf photomechanischem Wege (Photokopie. Mikrokopie)
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ISBN-13: 978-3-7091-7692-4 e-ISBN-13: 978-3-7091-7691-7
DOl: 10.1007/978-3-7091-7691-7
e
1949. 1956, 1960 and 1965 by Springer-Verlag / Wien
Softcover reprint of the hardcover 4th edition 1965
Titel Nr. 8178
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.
A us einem Buch abschreiben, gibt: ein Plagiat.
Aus zwei Buchern abschreiben, gibt: einen Essay.
A us drei Buchern wird: eine Doktordissertation.
A us vier Buchern: ein funftes gelehrtes Buch.
Roda Roda.
Nur ein Dichter mag ein Buch schreiben, weil er meint, damit ein Kunstwerk
zu schaffen - aber ich bin kein Dichter und dieses Buch ist auch kein Kunst
werk. Ein anderer mag ein Buch schreiben, weil er meint, er habe seinen Mit
menschen etwas sehr Wichtiges und Neues zu sagen - aber auch das trifft hier
nicht zu. Und wieder ein anderer schreibt ein Buch, weil er meint, er konne
damit Geld verdienen und reich werden - aber wer den osterreichischen Steuer
fiskus kennt, wird mir eine solche Naivitat nicht zutrauen. lch kann nur eine
Entschuldigung dafUr anfUhren, daB ich hiemit der langen Reihe zum Teil ganz
ausgezeichneter Bucher uber denselben Gegenstand ein weiteres hinzufUge: Nam
lich die Tatsache, daB vor vier Jahren, als der Verlag und ich den Plan zu diesem
Buch faBten, nichts Derartiges auf dem Markt war und daB der grundlegend
geanderte Studienplan unserer Hochschule es doch notig machte, den Studieren
den einen brauchbaren Behelf in die Hand zu geben.
Das Buch ist also in erster Linie fUr Techniker und Physiker gedacht. lch
hoffe aber, daB meine Arbeit nicht nur diesen, sondern weiteren Kreisen nutzlich
sein wird. Es gibt ja keine eigene Mathematik fUr Techniker und Physiker,
sondern man kann nur den Stoff entsprechend den Bedurfnissen der Physik und
Technik auswahlen, aber was da gebracht wird, das ist Mathematik schlechthin,
und diese kann in ihrer Art nicht durch auBere Zwecke beeinfiuBt werden. Es
ist hochste Zeit, daB endlich ein fUr allemal mit dem Dnfug aufgeraumt wird,
anzunehmen, fUr den Naturwissenschaftler oder Techniker sei eine, sagen wir es
ehrlich: schlampige, d. h. unexakte Darstellung der Mathematik am Platz.
Mathematik kann man ja nicht einfach lernen wie Kochrezepte oder grammati
kalische Regeln, Mathematik muB man verstehen. Man wird aber nie das rechte
Verstandnis erwecken, wenn man sich in Vorlesungen und Lehrbuchern gerade
bei der Grundlegung uber die prinzipiellen Schwierigkeiten groBzugig hinweg
setzt. Nichts laBt sich durch eine unklare Darstellung klaren.
Die Anforderungen, die die moderne Technik an den lngenieur in den
Forschungsabteilungen und in den Berechnungsburos stellt, sind in den letzten
Jahren gewaltig gestiegen, und es ist unschwer vorauszusagen, daB sie in den
nachsten Jahren weiter steigen werden in dem MaB, wie sich die Ergebnisse der
modernen Physik in die technische Praxis umsetzen. Der wissenschaftlich
arbeitende Techniker muB heute ein guter Mathematiker sein, wenn er diesen
Anforderungen entsprechen will. Den technischen Hochschulen kann der Vor-
IV Vorwort.
wurf nicht erspart werden, daB sie zu lange gebraucht haben, urn diese Tat
sache richtig zu erkennen und vor allem, urn die richtigen Konsequenzen daraus
zu ziehen. Auch an den osterreichischen technischen Hochschulen, die hin
sichtlich der Ausbildung ihrer Absolventen nieht nur in den praktischen, sondern
vor allem auch in den theoretischen Fachern stets einen recht guten Ruf hatten,
hat man in der Zeit zwischen den beiden Weltkriegen Zahl und AusmaB der
rein praktischen Vorlesungen auf Kosten der theoretischen Facher immer mehr
vergroBert. Das stand aber in direktem Gegensatz zu den Erfordernissen der
industriellen Praxis, und das Ergebnis war, daB die Industrie fUr die wissen
schaftliche Arbeit in steigendem MaBe Universitatsabsolventen heranzog, weil
sie eben auf die praktische Ausbildung eher verzichten konnte als auf die theo
retische. Es war hochste Zeit, hier eineUmkehr einzuleiten, sollten die technischen
Hochschulen nieht gegeniiber den Universitaten einerseits und den technischen
Mittelschulen anderseits ilire Existenzberechtigung iiberhaupt verlieren. Die
Wiener Hochschule hat jedenfaHs die Gelegenheit, die sich vor vier Jahren
bot, geniitzt und eine weitgehende Reform des Studienplanes zugunsten der
'grundlegenden Facher durchgefUhrt; sie ist damit aus einer besseren Fachschule
wieder eine wissenschaftliche Lehr- und Forschungsstatte geworden.
Darin also besteht meine Rechtfertigung dafiir, daB ich diese Vorlesungen in
Buchform herausgebe. Bei einem solchen Vorhaben ist natiirlich ein einwand
freies Herausarbeiten der grundlegenden Begriffe ganz besonders geboten. Ich
habe gesagt, daB der moderne Techniker ein guter Mathematiker sein muB.
Ich fiige hinzu, daB selbst das beste Lehrbuch (und ich bilde mir durchaus nicht
ein, daB es mir gelungen sei, auch nur annahernd "das beste" Lehrbuch zu
schreiben) mangelnde mathematische Begabung nicht ersetzen kann. Woraus
folgt, daB der angehende Techniker an die Hochschule ein gewisses und gar nicht
geringes MaB mathematischer Begabung mitbringen muB, sonst ist er fehl am
Platz. Wie in meinen Vorlesungen, so habe ich mich auch hier in diesem Buch
vor aHem bemiiht, jm Leser jenes tiefere Verstehen der mathematischen Begriffe
und Methoden zu erwecken, ohne welches jedes Studium von vornherein aus
sichtslos und zum Scheitern verurteilt ist. Ich habe mieh in diesem Bemiihen
dort, wo es mir notig erschien, nicht von einer gewissen Breite der Darstellung
abhalten lassen. DaB ich durch moglichst zahlreiche und typische Beispiele die
Bedeutung und Tragweite der Methoden zu illustrieren versucht habe, ist wohl
eine Selbstverstandlichkeit. Demselben Zweck dienen die 0bungsaufgaben, deren
Wert ich durch die am SchluB des Bandes zusammengestellten Losungen hoffent
lich noch erhOht habe. Diese Losungen enthalten bei den leichteren Aufgaben
nur knappe Andeutungen iiber den einzuschlagenden Weg, bei schwierigeren
aber recht ausfUhrliehe Diskussionen; die wenigen ganz schweren sind dur:ch
einen Stern gekennzeichnet, damit sich keiner krankt, der sie nicht zusammen
bringt.
Dber Auswahl und Anordnung des Stoffes gibt das Inhaltsverzeiehnis allen
AufschluB. Systematisch entwickelt wurde allein die Analysis, alles andere er
scheint jeweils nur als Anwendungsbeispiel oder Hilfsmittel dort, wo die Dar
legung mit den entwickelten Methoden der Analysis moglich ist ...
Wien, im Sommer I949.
A. Duschek.
Aus dem Vorwort zur zweiten Auflage.
Fur die zweite Auflage wurde der ganze Text einer griindliehen Revision
unterzogen, die in einzelnen Absehnitten bis zu einer v6lligen Neubearbeitung
gefiihrt hat. leh hoffe, daB dadureh nieht nur alle dureh die besonderen Umstiinde
der ersten Naehkriegsjahre bedingten Fluehtigkeiten beseitigt sind, sondern
daB ieh dem Ziel, das ich mit dem Bueh verfolge, noeh niiher gekommen bin:
Eine aueh dem Anfiinger und dem Nieht-Mathematiker verstandliehe, ieh m6ehte
fast sagen: wirklich lesbare Darstellung zu liefem, die aber doeh jenes MaB von
Strenge besitzt, das der Mathematiker nun eben einmal mit guten Griinden fur
unerlaBlieh halt. Weil ieh auf diese Art jetzt noeh einen weiteren Sehritt in der
Riehtung zur Strenge hin getan habe, so habe ieh mich veranlaBt gesehen, gewisser
maBen zum Ausgleieh, dem mathematiseh weniger anspruehsvollen Leser ein
Entgegenkommen zu zeigen, indem ieh einige Absehnitte, die bei einem ersten
Studium ubergangen werden konnen (aber keineswegs ubergangen werden sollen),
dureh einen Stern gekennzeiehnet habe. Diese Absehnitte enthalten die Beweise
einiger fundamentaler Siitze.
1m Laufe der Zeit sind mir eine Reihe wertvoller kritiseher Bemerkungen
und Verbesserungsvorsehliige zugekommen. Allen Beteiligten, von denen ich
neben meinen Assistenten Dr. LEOPOLD PECZAR, Dr. WALTHER EBERL und
Dr. HANS REITER aueh Herrn Prof. Dr. GUSTAV KRAFFT in Marburg zu nennen
habe, sage ieh meinen herzliehsten Dank, eben so den Herren Assistent Dipl.
lug. JOSEF BOMZE, Assistent Dr. WALTHER EBERL, Prof. Dr. HANS HORNICH
und Prof. Dr. LEOPOLD SCHMETTERER fur ihre aufopfemde Mithilfe bei der
Korrektur.
Wien, im Fruhjahr I956.
A. Duschek.
Vorwort zur dritten Auflage.
In der dritten Auflage wurden Verbesserungen beriieksichtigt, die yom
Verfasser selbst in der Zeit naeh dem Erseheinen der zweiten Auflage bis zu
seinem Ableben im Jahre I957 vorbereitet worden waren.
Es handelte sich dabei nur mehr urn geringfugige Korrekturen und Ergiin
zungen, da ja bereits mit der zweiten Auflage eine Revision und teilweise
Neubearbeitung des Textes gegeben wurde, wie aus dem obigen Vorwort des
Verfassers zu entnehmen ist.
Wien, im Fruhjahr I960.
F. Duschek.
Vorwort zur vierten Auflage.
DaB schon nach der kurzen Zeitspanne von 4 Jahren wieder eine neue, die
vierte Auflage dieses Bandes notwendig wurde, zeugt davon, wie sehr sich dieses
Lehrbuch an den Universitiiten und teehnischen Hochschulen des deutsehen
Sprachraumes durehgesetzt hat. Eine neuerliehe Dberarbeitung hat sich nieht
als notwendig erwiesen. Die vierte Auflage ist daher ein unveriinderter Naeh
druek der ver besserten dritten Auflage.
Wien, im Herbst r¢4.
Der Verlag.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Feststehende Bezeichnungen und Symbole .......................... . . . . . . . . . . . . X
Einleitung ................................................................... .
I. Zahlen und Zahlenfolgen.
§ 1. Der Zahlbegriff 5
1. Die natiirlichen Zahlen und die vollstandige Induktion. - 2. Die ganzen
und die rationalen Zahlen. Ziffernsysteme. - 3. Die irrationalen und die reellen
Zahlen. - 4. Die komplexen Zahlen. - 5. Vorzeichen und absoluter Betrag. -
6. Die Fakultat. - 7. Die Binomialkoeffizienten und der binomische Lehrsatz.
- 8. Das Additionstheorem der Binomialkoeffizienten.
§ 2. Punkt- und Zahlenmengen ............................................... 2 I
1. Der Mengenbegriff. - 2. Die Zahlengerade. - 3. Einige wichtige Begriffe
und Satze aus der Lehre von den linearen Punktmengen. - 4. Abzahlbare Mengen.
- *5. Der Dedekindsche Schnitt und die Definition der irrationalen Zahlen. -
*6. Schnitte in der Menge der reellen Zahlen. - *7. Untere und obere Grenze
einer Menge. - *8. Beweis des Satzes von BOLZANO-WEIERSTRASS.
§ 3. Folgen. Konvergenz und Grenzwert ....................................... 36
1. Begriff der Folge. Beispiele. - 2. Konvergente und divergente Folgen. Der
Grenzwert einer konvergenten Folge. - 3. Satze iiber konvergente Folgen. Mono
tone Folgen. - 4. Das Rechnen mit Grenzwerten. - 5. Das allgemeine Kon
vergenzprinzip von CAUCHY. - 6. Die Intervallschachtelung. - 7. Der Borelsche
tJ'berdeckungssatz.
§ 4. Spezielle Zahlenfolgen ................................................... 45
1. Ein Hilfssatz. - 2. Die Potenz. - 3. Die geometrische Reihe. - 4. Die
Folge u. = I"I '.a.,- a > o. - 5. Die Folge u. = \V,/1_1. - 6. Die Folge Uv = I + ITI +
-
+ _1_ + ... + _1_1 ' _ 7. Die Folge v = (I + ~)v. 8. Das arithmetisch-
2! 11. v 11
geometrische Mittel.
§ 5. Kombinatorik ........................................................... 5 I
1. Permutationen. - 2. Kombinationen ohne Wiederholung. - 3. Kom
binationen mit Wiederholung. - 4. Variationen ohne Wiederholung. - 5. Varia
tionen mit Wiederholung.
II. Der Funktionsbegriff.
§ 6. Grundbegriffe und wichtigste Eigenschaften von Funktionen 55
1. Cartesische Koordinaten in der Ebene. - 2. Cartesische Koordinaten im
Raum. - 3. Der Begriff der Funktion. - 4. Beispiele. - 5. Gleichung und Identitat.
- 6. Einige Hinweise. - 7. Beschrankte Funktionen. - 8. Monotone Funktionen.
- 9. Gerade und ungerade Funktionen. ~ 10. Die Umkehrfunktion oder inverse
Funktion. - I l. Implizite Funktionen. - 12. Einteilung der Funktionen einer
Veranderlichen.
§ 7. Grenzwert und Stetigkeit ................................................. 70
1. Verhalten einer Funktion in der Umgebung eines Punktes. - 2. Endgiiltige
Definition des Grenzwertes einer Funktion. - 3. Zusammenhang mit dem Grenz-
Inhaltsverzeichnis. VII
Seile
wert von Zahlenfolgen. - 4. Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert. - 5. Un
eigentliche Grenzwerte. - 6. Verhalten einer Funktion im Unendlichen. - 7. Zu
sammenfassung. Das allgemeine Konvergenzprinzip von CAUCHY. - 8. Die Potenz
mit rationalem Exponenten. - 9. Die GraBenordnung von Funktionen. - 10. Das
Rechnen mit Grenzwerten.
§ 8. Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften ................................. 84
I. Der Begriff der Stetigkeit. - 2. Einige Definitionen. - 3. Die Stetigkeit
zusammengesetzter Funktionen. - 4. Beschranktheit der stetigen Funktionen. -
5. Der Satz von WEIERSTRASS iiber das Maximum und Minimum einer stetigen
Funktion. - 6. Der Zwischenwertsatz (Satz von BOLZANO). -7. Die Eindeutigkeit
der inversen Funktion. - 8. GleichmaBige Stetigkeit. - 9. Funktionenfolgen.
- 10. GleichmaBige Konvergenz. Stetigkeit der Grenzfunktion. - r I. Die Regula
falsi.
III. Integral und Ableitung.
§ 9. Flacheninhalt und bestimmtes Integral.......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. roo
I. Allgemeines zum Begriff des Flacheninhalts. - 2. Normalbereiche. -
3. Das bestimmte Integral einer Funktion.- 4. Beweis der Ungleichung
] * ~ J*. - 5· Die Integrierbarkeit der stetigen Funktionen. - *6. Beweis der Be
ziehungen (8) bis (10).
§ 10. Erganzungen zum Integralbegriff ........................................ '. III
I. Satze iiber bestimmte Integrale. - 2. Die Integrierbarkeit der monotonen
Funktionen. - 3. Die Integrierbarkeit stiickweise stetiger beschrankter Funktionen.
- 4. Der erste Mittelwertsatz der Integralrechnung. - 5. Integration der Potenz
mit rationalem Exponenten.
§ II. Die Ableitung oder der Differentialquotient ................................ 120
I. Das Tangentenproblem. - 2. Differenzenquotient und Ableitung. - 3. Dif
ferenzierbarkeit und Stetigkeit. - 4. Die Bedeutung der Differentiale. - 5. Die
Geschwindigkeit eines bewegten Punktes. - 6. Das Newtonsche Verfahren.
§ 12. Regeln und Satze der Differentialrechnung. Extrema... . . . . . . . .. . . . .. ... . . .. 130
I. Differentiation einer Summe. - 2. Differentiation eines Produktes. -
3. Differentiation eines Quotienten. - 4. Differentiation zusammengesetzter
Funktionen (Kettenregel). - 5. Differentiation der inversen Funktion. - 6. Dif
ferentiation der Potenz x'" fiir rationale cx. - 7. Begriff des Extremums.
Eine notwendige Bedingung fiir ein Extremum einer differenzierbaren Funktion.
- 8. Bestimmung des grofiten, einem Kreis eingeschriebenen Rechtecks.
- 9. Randextrema. - 10. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung. -
I I. Der Satz von ROLLE und der Beweis des Mittelwertsatzes. - 12. Der verall
gemeinerte Mittelwertsatz der Differentialrechnung. - 13. Lasung einer Gleichung
f(x) = 0 durch Iteration.
§ 13. Das unbestimmte Integral ................................................ 143
I. Das bestimmte Integral mit variabler oberer Grenze. - 2. Die Ableitung eines
bestimmten Integrals mit variabler oberer Grenze. - 3. Das unbestimmte Integral
und der Fundamentalsatz der Integralrechnung. - 4. Eine Deutung der Integra
tionskonstanten. - 5. Zusammenhang von bestimmtem und unbestimmtem
Integral. - 6. Geometrische Deutung des unbestimmten Integrals. Kurven
scharen. - 7. Begriff der Differentialgleichnng. - 8. Differentiation und Inte
gration als inverse Rechenoperationen. - 9. Physikalische Anwendungen.
10. Graphische Integration. - 11. Graphische Differentiation.
§ 14. Regeln und Methoden der Integralrechnung ................................ 153
I. Einfachste Integrationsregeln. - 2. Bemerkung iiber die Systematik der
Integration. Die Integrale der elementaren Funktionen. - 3. Partielle Integration.
- 4. Rekursionsformeln. - 5. Transformation eines Integrals. - 6. Integrale
gerader und ungerader Funktionen mit symmetrischem Integrationsbereich. -
7. Zusammenhang der Mittelwertsatze der Differentialrechnung mit jenen der
Integralrechnung. - 8. Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung. - 9. Inte
gration und Differentiation konvergenter Funktionenfolgen.
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seile
§ 15. Hahere Ab!eitungen ..................................................... 166
I. Begriff der haheren Ableitungen einer Funktion.- 2. Hahere Ableitungen
einer zusammengesetzten Funktion. - 3. Hahere Ableitungen der inversen Funk
tion. - 4. Hahere Ableitungen eines Produktes (Leibnizsche Formel). - 5. Ein
zweiter Beweis des binomischen Satzes.
IV. Die elementaren transzendenten Funktionen.
§ 16. Logarithmus und Exponentialfunktion ..................................... 172
x
. du
I. Das Integral ) --;;-. - 2. Der natiirliche Logarithmus. - 3. Die natiirliche
1
Exponentiaifunktion. - 4. Die allgemeine Exponentiaifunktion. - 5. Die allgemeine
Potenz. - 6. Der allgemeine Logarithmus. - 7. Grenzwerte, die mit Logarithmus
und Exponentiaifunktion zusammenhangen. - 8. Logarithmische Differentiation.
- 9. Die Differentialgleichung der Exponentiaifunktion. - 10. Stetige Ver
zinsung. - 11. Zerfall der radioaktiven Substanzen. - 12. Stromverlauf beim Ein
und Ausschalten eines elektrischen Stromkreises. - 13. Funktionsskala und
Rechenschieber.
§ 17. Die Kreisfunktionen und die zyk!ometrischen Funktionen .................... 136
I. Gradmal3 und Bogenmal3 eines Winkels. - 2. Definition der Kreisfunktionen.
- 3. Die Additionstheoreme. - 4. Die harmonische Schwingung. - 5. Differentia
tion und Integration der Kreisfunktionen. - 6. Definition der zyklometrischen
Funktionen. - 7. Differentiation der zyklometrischen Funktionen. - 8. Polar
koordinaten in der Ebene. - 9. Polarkoordinaten im Raum. - 10. Zylinder
koordinaten. - 1 I. Transformation rechtwinkeliger Koordinaten in der Ebene.
§ 18. Die Hyperbelfunktionen und ihre Urnkehrungen ............................ 202
I. Definition der Hyperbeifunktionen. - 2. Geometrische Deutung. -
3. Additionstheoreme und verwandte Formeln. - 4. Differentiation und Integration
der Hyperbelfunktionen. - 5. Die Umkehrfunktionen. - 6. Die Integrale
] 1 = JI" a x 2 +d bx x + c und J 2 = •\. Va x2 +d xb x + c .
V. Erganzungen zur DifferentiaI- und Integralrechnung.
§ 19. Die Parameterdarstellung einer Kurve. Vektoren in der Ebene ................ 20g
I. Die Parameterdarstellung einer Kurve. - 2. Differentiation einer Funktion
in Parameterdarstellung. Glatte und stiickweise glatte Kurven. - 3. Vektoren
in der Ebene. - 4. Beispiele. - 5. Der Beschleunigungsvektor. - 6. Rationale
Kurven.
§ 20. Unbestimmte Formen .................................................... 220
1. Grenzwert eines Quotienten, wenn Zahler und Xenner verschwinden
00
(Bernoullische Regel). - 2. Unbestimmte Formen. - 3. Der Fall-. - 4. Der Fall
(X)
0.00. - 5. Die Faile ICIO, 0° und 00°. - 6. Der Fall 00 - 00. - 7. Die Ordnung
der Nullstellen und oo-Stellen von Exponentialfunktion und Logarithmus.
§ 2 I. U neigentliche Integra!e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 227
I. Integrale mit nicht beschranktem Integranden. - 2. Eine hmreichende
Bedingung fiir die Konvergenz. - 3. Uneigentliche Integrale mit nicht beschranktem
Integrationsbereich. - 4. Beispiele.
§ 22. Die Tay!orsche Forme! ................................................... 236
I. Die Taylorsche Formel fiir ein Polynom. - 2. Die Taylorsche Formel fiir eine
beliebige Funktion. - 3. Darstellung des Restgliedes durch ein Integral. - 4. Ab
schatzung des Restgliedes. - 5. Die Gestalt einer Kurve in der Umgebung eines
Punktes. - 6. Notwendige und hinreichende Bedingungen fiir ein relatives Ex
tremum einer Funktion von einer Veranderlichen. - 7. Bemerkungen iiber die
Taylorschen Polynome und die Beriihrung von Kurven.
Inhal tsverzeichnis. IX
Seite
§ 23. Die Formeln von Wallis und Stirling ...................................... 246
1. Die Formeln von WALLIS. - 2. Die Formel von STIRLING. - 3. Beweis
co
der Stirlingschen Forme!. - 4· Das Integral J[ e -x'dx .
o
§ 24. Der Fliicheninhalt ebener Bereiche ........................................ 251
1. Zuriickfiihrung auf Normalbereiche. - 2. Der FHicheninhalt als Kurven
integra!. - 3. Beispiele. - 4. Weitere Formeln filr den Flacheninhalt. - 5. Die
Invarianz des FHicheninhalts. - 6. Flacheninhalt in Polarkoordinaten.
§ 25. Die Bogenliinge einer Kurve ............................................. 262
1. Begriff der Bogenlange. - 2. Darstellung der Bogenlange durch ein be
stimmtes Integral. - 3. Das Bogenelement. - 4. Die Bogenlange in Polarkoordi
naten. - 5. Beispiele.
§ 26. Weitere Anwendungen des Integralbegriffes in Geometrie und Mechanik ...... 265
1. Das Volumen eines Drehkorpers und der Inhalt einer Drehflache. - 2. Stati
sches Moment und Schwerpunkt eines ebenen Bereiches. - 3. Statisches Moment
und Schwerpunkt eines Kurvenbogens. - 4. Das statische Moment eines Dreh
korpers. - 5. Tragheitsmoment ebener Bereiche und Kurvenbogen. - 6. Beispiele.
- 7. Das Stieltjes-Integral.
§ 27. Numerische Integration .................................................. 275
I. Die Rechtecksformeln. - 2. Die Trapezformeln. - 3. Keplers FaBregel
und die Simpsonsche Forme!' - 4. Fehlerabschatzung.
§ 28. Die komplexen Zahlen ................................................... 281
1. Die GauBsche Zahlenebene. - 2. Das Rechnen mit komplexen Zahlen. -
3. Die Formeln von MOIVRE und EULER. - 4. Folgerungen aus der Eulerschen
Forme!' - 5. Darstellung der zyklometrischen Funktionen durch Logarithmen.
VI. Polynome, algebraische Gleichungen und rationale Funktionen.
§ 29. Polynome oder ganze rationale Funktionen ................................ 289
1. Grundbegriffe. - 2. Nullstellen eines Polynoms und Wurzeln einer Gleichung.
- 3. Nullstellen reeller Polynome. - 4. Grol3ter gemeinsamer Teiler zweier Poly
nome. Mehrfache Nullstellen. - 5. Das Hornersche Divisionsverfahren. - 6. Das
graphische Verfahren von LILL.
§ 30. Interpolation. Steigungen und Differenzen .................................. 297
1. Begriff der Interpolation. Die lineare Interpolation. - 2. Die Lagrangesche
Interpolationsformel. - 3. Steigungen und Steigungsschema. - 4. Die Newtonsche
Interpolationsforme!. - 5. Fehlerabschatzung. Die Taylorsche Formel als Sonder
fall der Newtonschen Interpolationsformel. - 6. Die verallgemeinerte Inter
polationsaufgabe. - 7. Die Newtonsche Formel filr aquidistante Argumente. Das
Differenzenschema.
§ 31. Algebraische Gleichungen ................................................ 308
1. Allgemeines. ~ 2. Die reine Gleichung und die Kreisteilung. - 3. Die kubische
Gleichung. - 4. Die biquadratische Gleichung. - 5. Reziproke Gleichungen.
§ 32. Numerische Aufliisung algebraischer Gleichungen ........................... 316
1. Vorbemerkungen. - 2. Die Cartesische Zeichenrege!. - 3. Schranken fiir
die Wurzeln. - 4. Trennung der Wurzeln und numerische Auflosung. - 5. Das
Graeffesche Verfahren.
§ 33. Die rationalen Funktionen und ihre Integration ............................ 325
1. Rationale Funktionen. - 2. Die Teilbruchzerlegung einer rationalen Funktion.
- 3. Die Integration der rationalen Funktionen. - 4. Abelsche Integrale. - 5. Die
quadratische Irrationalitat. - 6. Zwei Sonderfalle. - 7. Die bilineare Irrationali
tat. - 8. Binomische Integrale. - 9. Integration gewisser transzendenter Funk
tionen.
x Inhaltsverzeichnis.
VII. Unendliche Reihen.
Seite
§ 34. Konvergenz und Divergenz der Reihen .................................... 340
I. Grundbegriffe. - 2. Eine notwendige Bedingung fUr die Konvergenz einer
Reihe. - 3. Das allgemeine Konvergenzprinzip von CAUCHY. - 4. Das Konvergenz
kriterium von LEIBNIZ fiir alternierende Reihen. - 5. Absolut konvergente Reihen.
- 6. Das Rechnen mit Reihen. - 7. Unbedingt und bedingt konvergente Reihen.
- 8. Multiplikation von Reihen. - 9. Unendliche Reihen und uneigentliche Inte-
grale.
§ 35· Konvergenzkriterien ..................................................... 352
I. Reihenvergleichung. - 2. Das Quotientenkriterium. - 3. Die binomische
CD
Reihe. - 4. Das Wurzelkriterium. - 5. Die Reihe )1_1_ mit (X> o.
..=...1.. '1''''
§ 36. Reihen und Funktionen .................................................. 358
I. Gleichma13ige Konvergenz. - 2. Stetigkeit der Summenfunktion. - 3. Inte
gration unendlicher Reihen. - 4. Differentiation unendlicher Reihen.
§ 37. Potenzreihen ............................................................ 363
I. Der Fundamentalsatz iiber Potenzreihen. - 2. Bestimmung des Kon
vergenzradiu,> nach CAUCHY. - 3. Eigenschaften der durch Potenzreihen dar
gestellten Funktionen. - 4. Die Taylorsche Reihe. - 5. Die Methode des un
bestimmten Ansatzes. - 6. Noch einmal die binomische Reihe.
§ 38. Reihenentwicklung der elementaren Funktionen ............................ 373
I. Die geometrische Reihe. - 2. Die logarithmische Reihe. - 3. Die Reihe ftir
arctan x. - 4. Die Exponentialreihe. - 5. Die Reihen ftir sin x, cos x, sh x und ch x.
§ 39. Fouriersche Reihen ...................................................... 378
I. Periodische Funktionen und harmonische Analyse. - 2. Trigonometrische
Reihen. - 3. Fouriersche Reihen. - *4. Gleichmal3ige Konvergenz der Fourierreihe
einer stetigen Funktion mit beschrankter und stiickweise stetiger Ableitung. -
*5. Darstellbarkeit einer solchen Funktion durch ihre Fourierreihe. - *6. Fourier
sche Reihen unstetiger Funktionen. - 7. Erganzende Bemerkungen. Beispiele. -
8. Die Partialbruchzerlegung des Cotangens und die Produktentwicklung des
Sinus. - 9. Das Gibbssche Phanomen. - 10. Trigonometrische Interpolation.
Anhang. Liisungen der Aufgaben ............................................... 400
N amen verzeichnis (Biographische Notizen) ................................... 436
Sachverzeichnis ............................................................ 436
Feststehende Bezeichnungen und Symbole.
arcsin x, Arcsin x usw. 194. In x 173. sin x 187.
arch x. arsh x. arth x 204. a Sup 26. 65.
B(p, q) 413. 421. log x. log x 178. tan x 187.
ch x 202. Max 25. 88. th x 202.
cos x 187. Min 25. 88. Ixl 16.
cot x 187. nl 18. [x] 62.
esc x 187. (7) = 5·
18.
d 104. 121. 125. 149. = 63·
Ll 101. 121. N(z) 282. ::j::. <, >. ~ .. ~ 6.
e 14. 48. O(/(X)). o(/(X)) 80. ~ 38.
exp x 176. n 14. C 21.
r(z) 235. II 82. ~ 22.248.
~(z) 282. ffi(z) 282. E 25.
Inf 26. 65. 1: 19. - 37·
i 15· sec x 187. 00 24.
lim 37. sh x 202. oo-Stelle 77.
lim inf 27. Si x 396. i 103. 104. 146. 149·
lim sup 27. sign x 16.