Vorlesungen über höhere Mathematik: Erster Band: Integration und Differentiation der Funktionen einer Veränderlichen. Anwendungen. Numerische Methoden. Algebraische Gleichungen. Unendliche Reihen

454 Pages·1956·20.23 MB·German

by  Adalbert Duschek (auth.)

Vorlesungen
über höhere Mathematik
Von
A.dalbert Dusmek
o. Professor der Mathematik an der T e<hnis<hen Ho<hs<hule Wien
Erster Band
Integration und Differentiation der Funktionen einer
Veränderlimen. Anwendungen. Numerisme Methoden.
Atgebraisme Gfeimungen. Unendlime Reihen.
Mit 169 Textabbildungen
Zweite, neu bearbeitete Auflage
Springer-Verlag Wien GmbH
1956
ISBN 978-3-7091-3557-0 ISBN 978-3-7091-3556-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-7091-3556-3
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten
© 1949 and 1956 by Springer-Verlag Wien
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag in Vienna 1956
Softcoverreprint ofthe bardeover 2nd edition 1956
Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.
Aus einem Buch abschreiben, gibt: ein Plagiat.
Aus zwei Büchern abschreiben, gibt: einen Essay.
Aus drei Büchern wird: eine Doktordissertation.
Aus vier Büchern: ein fünftes gelehrtes Buch.
Roda Roda.
Nur ein Dichter mag ein Buch schreiben, weil er meint, damit ein Kunstwerk
zu schaffen -aber ich bin kein Dichter und dieses Buch ist auch kein Kunst
werk. Ein anderer mag ein Buch schreiben, weil er meint, er habe seinen Mit
menschen etwas sehr Wichtiges und Neues zu sagen- aber auch das trifft hier
nicht zu. Und wieder ein anderer schreibt ein Buch, weil er meint, er könne
damit Geld verdienen und reich werden - aber wer den Österreichischen Steuer
fiskus kennt, wird mir eine solche Naivität nicht zutrauen. Ich kann nur eine
Entschuldigung dafür anführen, daß ich hiemit der langen Reihe zum Teil ganz
ausgezeichneter Bücher über denselben Gegenstand ein weiteres hinzufüge: Näm
lich die Tatsache, daß vor vier Jahren, als der Verlag und ich den Plan zu diesem
Buch faßten, nichts Derartiges auf dem Markt war und daß der grundlegend
geänderte Studienplan unserer Hochschule es doch nötig machte, den Studieren
den einen brauchbaren Behelf in die Hand zu geben.
Das Buch ist also in erster Linie für Techniker und Physiker gedacht. Ich
hoffe aber, daß meine Arbeit nicht nur diesen, sondern weiteren Kreisen nützlich
sein wird. Es gibt ja keine eigene Mathematik für Techniker und Physiker,
sondern man kann nur den Stoff entsprechend den Bedürfnissen der Physik und
Technik auswählen, aber was da gebracht wird, das ist Mathematik schlechthin,
und diese kann in ihrer Art nicht durch äußere Zwecke beeinflußt werden. Es
ist höchste Zeit, daß endlich ein für allemal mit dem Unfug aufgeräumt wird,
anzunehmen, für den Naturwissenschaftler oder Techniker sei eine, sagen wir es
ehrlich: schlampige, d. h. unexakte Darstellung der Mathematik am Platz.
Mathematik kann man ja nicht einfach lernen wie Kochrezepte oder grammati
kalische Regeln, Mathematik muß man verstehen. Man wird aber nie das rechte
Verständnis erwecken, wenn man sich in Vorlesungen und Lehrbüchern gerade
bei der Grundlegung über die prinzipiellen Schwierigkeiten großzügig hinweg
setzt. Nichts läßt sich durch eine unklare Darstellung klären.
Die Anforderungen, die die moderne Technik an den Ingenieur in den
Forschungsabteilungen und in den Berechnungsbüros stellt, sind in den letzten
Jahren gewaltig gestiegen, und es ist unschwer vorauszusagen, daß sie in den
nächsten Jahren weiter steigen werden in dem Maß,wie sich die Ergebnisse der
modernen Physik in die technische Praxis umsetzen. Der wissenschaftlich
arbeitende Techniker muß heute ein guter Mathematiker sein, wenn er diesen
Anforderungen entsprechen will. Den technischen Hochschulen kann der Vor-
IV Vorwort.
wurf nicht erspart werden, daß sie zu lange gehraucht haben, um diese Tat
sache richtig zu erkennen und vor allem, um die richtigen Konsequenzen daraus
zu ziehen. Auch an den Österreichischen technischen Hochschulen, die hin
sichtlich der Ausbildung ihrer Absolventen nicht nur in den praktischen, sondern
vor allem auch in den theoretischen Fächern stets einen recht guten Ruf hatten,
hat man in der Zeit zwischen den beiden Weltkriegen Zahl und Ausmaß der
rein praktischen Vorlesungen auf Kosten der theoretischen Fächer immer mehr
vergrößert. Das stand aber in direktem Gegensatz zu den Erfordernissen der
industriellen Praxis, und das Ergebnis war, daß die Industrie für die wissen
schaftliche Arbeit in steigendem Maße Universitätsabsolventen heranzog, weil
sie eben auf die praktische Ausbildung eher verzichten konnte als auf die theo
retische. Es war höchste Zeit, hier eine Umkehr einzuleiten, sollten die technischen
Hochschulen nicht gegenüber den Universitäten einerseits und den technischen
Mittelschulen anderseits ihre Existenzberechtigung überhaupt verlieren. Die
Wiener Hochschule hat jedenfalls die Gelegenheit, die sich vor vier Jahren
bot, genützt und eine weitgehende Reform des Studienplanes zugunsten der
grundlegenden Fächer durchgeführt; sie ist damit aus einer besseren Fachschule
wieder eine wissenschaftliche Lehr- und Forschungsstätte geworden.
Darin also besteht meine Rechtfertigung dafür, daß ich diese Vorlesungen in
Buchform herausgebe. Bei einem solchen Vorhaben ist natürlich ein einwand
freies Herausarbeiten der grundlegenden Begriffe ganz besonders geboten. Ich
habe gesagt, daß der moderne Techniker ein guter Mathematiker sein muß.
Ich füge hinzu, daß selbst das beste Lehrbuch (und ich bilde mir .durchaus nicht
ein, daß es mir gelungen sei, auch nur annähernd "das beste" Lehrbuch zu
schreiben) mangelnde mathematische Begabung nicht ersetzen kann. Woraus
folgt, daß der angehende Techniker an die Hochschule ein gewisses und gar nicht
geringes Maß mathematischer Begabung mitbringen muß, sonst ist er fehl am
Platz. Wie in ·meinen Vorlesungen, so habe ich mich auch hier in diesem Buch
vor allem bemüht, im Leser jenes tiefere Verstehen der mathematischen Begriffe
und Methoden zu erwecken, ohne welches jedes Studium von vomherein aus
sichtslos und zum Scheitern verurteilt ist. Ich habe mich in diesem Bemühen
dort, wo es mir nötig erschien, nicht von einer gewissen Breite der Darstellung
abhalten lassen. Daß ich durch möglichst zahlreiche und typische Beispiele die
Bedeutung und Tragweite der Methoden zu illustrieren versucht habe, ist wohl
eine Selbstverständlichkeit. Demselben Zweck dienen die Übungsaufgaben, deren
Wert ich durch die am Schluß des Bandes zusammengestellten Lösungen hoffent
lich noch erhöht habe. Diese Lösungen enthalten bei den leichteren Aufgaben
nur knappe Andeutungen über den einzuschlagenden Weg, bei schwierigeren
aber recht ausführliche Diskussionen; die wenigen ganz schweren sind durch
einen Stern gekennzeichnet, damit sich keiner kränkt, der sie nicht zusammen
bringt.
Über Auswahl und Anordnung des Stoffes gibt das Inhaltsverzeichnis allen
Aufschluß. Systematisch entwickelt wurde allein die Analysis, alles andere er
scheint jeweils nur als Anwendungsbeispiel oder Hilfsmittel dort, wo die Dar
legung mit den entwickelten Methoden der Analysis möglich ist ...
Wien, im Sommer 1949.
A. Duschek.
Vorwort zur zweiten Auflage.
Für die zweite Auflage wurde 'der ganze Text einer gründlichen Revision
unterzogen, die in einzelnen Abschnitten bis zu einer völligen Neubearbeitung
geführt hat. Ich hoffe, daß dadurch nicht mit alle durch die besonderen Umstände
der ersten Nachkriegsjahre bedingten Flüchtigkeiteil beseitigt sind, sondern
daß ich dem Ziel, das ich mit dem Buch verfolge, noch näher gekommen bin:
Eine auch dem Anfänger und dem Nicht-Mathematiker verständliche, ich möchte
fast sagen: wirklich lesbare Darstellung zu liefern, die aber doch jenes Maß von
Strenge besitzt, das der Mathematiker nun eben einmal mit guten Gründen für
unerläßlich hält. Weil ich auf diese Art jetzt noch einen weiteren Schritt in der
Richtung zur Strenge hin getan habe, so habe ich mich veranlaßt gesehen, gewisser
maßen zum Ausgleich, dem mathematisch weniger anspruchsvollen Leser ein
Entgegenkommen zu zeigen, indem ich einige Abschnitte, die bei einem ersten
Studium übergangen werden können (aber keineswegs übergangen werden sollen),
durch einen Stern gekennzeichnet habe. Diese Abschnitte enthalten die Beweise
einiger fundamentaler Sätze.
Einem von mehreren .S eiten geäußerten Wunsch bin ich· recht gern nachge
kommen: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung, die in der ersten Auflage in drei
Teile zerrissen war, wird in der zweiten Auflage in einem geschlossenen Ab
schnitt des zweiten Bandes behandelt. Da die beiden ersten Bände so eng zu
sammengehören, daß jeder einzelne allein nicht viel mehr als ein Torso ist, liegt
hier in der Tat kaum ein vernünftiger Grund zu der früheren Aufspaltung vor;
daß es überhaupt dazu gekommen ist, hat seinen Grund darin, daß ich boshaft
genug war, meine Hörer zu zwingen, sich mit dem erfahrungsgemäß recht un
beliebten, aber doch gerade für den Techniker immer bedeutungsvoller werdenden
Gebiet dreimal zu beschäftigen. Zum Ausgleich habe ich dafür den Abschnitt
über die unendlichen Reihen in den ersten Band aufgenommen, wohin er auch
inhaltlich besser paßt. Die Umstellung hat nun allerdings den Nachteil, daß
jetzt die erste Auflage des zweiten Bandes nicht mehr zur zweiten Auflage des
ersten Bandes paßt; doch dürfte das, da es nur eine Übergangserscheinung ist,
nicht allzu schwer wiegen.
Wegen der zahlreichen Hinweise auf die erste Auflage des ersten Bandes,
·die sich im zweiten und dritten Band finden, gebe ich auf Seite XI noch eine
Übersicht über die Aufteilung des Stoffes auf die einzelnen Paragraphen und Ziffern
in der ersten und zweiten Auflage.
Im Laufe der Zeit sind mir eine Reihe wertvoller kritischer Bemerkungen
und Verbesserungsvorschläge zugekommen. Allen Beteiligten, von denen ich
neben meinen Assistenten Dr. LEOPOLD PEczAR, Dr. WALTHER EBERL und
Dr. HANS REITER auch Herrn Prof. Dr. GusTAV KRAFFT in Marburg zu nennen
habe, sage ich meinen herzlichsten Dank, ebenso den Herren Assistent Dipl.
Ing. JosEF BoMZE, Assistent Dr. WALTHER EBERL, Prof. Dr. HANS HoRNICH
und Prof. Dr. LEOPOLD ScHMETTERER für ihre aufopfernde Mithilfe bei der
Korrektur.
Wien, im Frühjahr 1956.
A. Duschek.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Feststehende Bezeichnungen und Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X
Gliederung des Stoffes in der ersten und zweiten Auflage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
Einleitung ................................................................... .
I. Zahlen und Zahlenfolgen.
§ I. Der Zahlbegriff 5
I. Die natürlichen Zahlen und die vollständige Induktion. - 2. Die ganzen
und die rationalen Zahlen. Ziffernsysteme. - 3· Die irrationalen und die reellen
Zahlen. - 4· Die komplexen Zahlen. - 5· Vorzeichen und absoluter Betrag. -
6. Die Fakultät. - 7· Die Binomialkoeffizienten und der binomische Lehrsatz.
- 8. Das Additionstheorem der Binomialkoeffizienten.
§ 2. Punkt- und Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I. Der Mengenbegriff. - 2. Die Zahlengerade. - 3· Einige wichtige Begriffe
und Sätze aus der Lehre von den linearen Punktmengen.-4· Abzählbare Mengen.
- *s. Der Dedekindsche Schnitt und die Definition der irrationalen Zahlen. -
*6. Schnitte in der Menge der reellen Zahlen. - *7. Untere und obere Grenze
einer Menge. - *8. Beweis des Satzes von BoLZANO-WEIERSTRAss.
§ 3· Folgen. Konvergenz und Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
I. Begriff der Folge. Beispiele. - 2. Konvergente und divergente Folgen. Der
Grenzwert einer konvergenten Folge.-3· Sätze über konvergente Folgen. Mono
tone Folgen. - 4· Das Rechnen mit Grenzwerten. - 5· Das allgemeine Kon
vergenzprinzip von CAUCHY.- 6. Die Intervallschachtelung.- 7· Der Boreische
Überdeckungssatz.
§ 4· Spezielle Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
I. Ein Hrri:l-fssatz. - 2. Die Potenz. - 3· Die geometrische Reihe. - 4· Die
Folge uv = v a, a > o. - s. Die Folge uv = VV V.- 6. Die Folge uv = I + lTI +
v .!...)v· -
+ _I_+ ... + _I_ _ - 7· Die Folge = (I + 8. Das arithmetisch-
2! V! V V
geometrische Mittel.
§ S· Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sr
I. Permutationen. - 2. Kombinationen ohne Wiederholung. - 3· Kom
binationen mit Wiederholung.- 4· Variationen ohne Wiederholung. - 5· Varia
tionen mit Wiederholung.
II. Der Funktionsbegriff.
§ 6. Grundbegriffe und wichtigste Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
r. Cartesische Koordinaten in der Ebene. - 2. Cartesische Koordinaten im
Raum.-3· Der Begriff der Funktion.-4· Beispiele.-5· Gleichung und Identität.
-6. Einige Hinweise.-7· Beschränkte Funktionen.-8. Monotone Funktionen.
- g. Gerade und ungerade Funktionen.- IO. Die Umkehrfunktion oder inverse
Funktion. - II. Implizite Funktionen. - 12. Einteilung der Funktionen einer
Veränderlichen.
§ 7. Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
r. Verhalten einer Funktion in der Umgebung eines Punktes.-2. Endgültige
Definition des Grenzwertes einer Funktion.- 3· Zusammenhang mit dem Grenz-
Inhaltsverzeichnis. VII
Seite
wert von Zahlenfolgen. - 4· Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert. - 5· Un
eigentliche Grenzwerte.-6. Verhalten einer Funktion im Unendlichen.- 7· Zu
sammenfassung. Das allgemeine Konvergenzprinzip von CAUCHY.-8. Die Potenz
mit rationalem Exponenten. - 9. Die Größenordnung von Funktionen. - ro. Das
Rechnen mit Grenzwerten.
§ 8. Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
r. Der Begriff der Stetigkeit. - 2. Einige Definitionen. - 3· Die Stetigkeit
zusammengesetzter Funktionen. - 4· Beschränktheit der stetigen Funktionen. -
5· Der Satz von WEIERSTRASS über das Maximum und Minimum einer stetigen
Funktion.-6. Der Zwischenwertsatz (Satz von BoLZANO). -7. Die Eindeutigkeit
der inversen Funktion. - 8. Gleichmäßige Stetigkeit. - 9· Funktionenfolgen.
- IO. Gleichmäßige Konvergenz. Stetigkeit der Grenzfunktion.- I I. Die Regula
falsi.
III. Integral und Ableitung.
§ 9· Flächeninhalt und bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . roo
r. Allgemeines zum Begriff des Flächeninhalts. - 2. Normalbereiche. -
3· Das bestimmte Integral einer Funktion. - 4· Beweis der Ungleichung
J * ~ ]*. - 5· Die Integrierbarkeit der stetigen Funktionen. - *6. Beweis der Be
ziehungen (8) bis (ro).
§ 10. Ergänzungen zum Integralbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 rr
r. Sätze über bestimmte Integrale. - 2. Die Integrierbarkeit der monotonen
Funktionen.-3· Die Integrierbarkeit stückweise stetiger beschränkter Funktionen.
- 4· Der erste Mittelwertsatz der Integralrechnung. - 5· Integration der Potenz
mit rationalem Exponenten.
§ u. Die Ableitung oder der Differentialquotient ................................ 120
r. Das Tangentenproblem. --2. Differenzenquotient und Ableitung. - 3· Dif
ferenzierbarkeit und Stetigkeit. - 4· Die Bedeutung der Differentiale. - 5· Die
Geschwindigkeit eines bewegten Punktes. - 6. Das Newtonsehe Verfahren.
§ 12. Regeln und Sätze der Differentialrechnung. Extrema ........................ 130
r. Differentiation einer Summe. - 2. Differentiation eines Produktes. -
3· Differentiation eines Quotienten. - 4· Differentiation zusammengesetzter
Funktionen (Kettenregel). - 5· Differentiation der inversen Funktion. - 6. Dif
ferentiation der Potenz x" für rationale IX. - 7· Begriff des Extremums.
Eine notwendige Bedingung für ein Extremum einer differenzierbaren Funktion.
8. Bestimmung des größten, einem Kreis eingeschriebenen Rechtecks.
- 9. Randextrema. - 10. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung. -
11. Der Satz von RoLLE und der Beweis des Mittelwertsatzes. - 12. Der verall
gemeinerte Mittelwertsatz der Differentialrechnung.-13. Lösung einer Gleichung
f(x) = o durch Iteration.
§ 13. Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
I. Das bestimmte Integral mit variabler oberer Grenze.-2. Die Ableitung eines
bestimmten Integrals mit variabler oberer Grenze.-3· Das unbestimmte Integral
und der Fundamentalsatz der Integralrechnung.- 4· Eine Deutung der Integra
tionskonstanten. - 5· Zusammenhang von bestimmtem und unbestimmtem
Integral. - 6. Geometrische Deutung des unbestimmten Integrals. Kurven
scharen. - 7· Begriff der Differentialgleichung. - 8. Differentiation und Inte
gration als inverse Rechenoperationen. - 9. Physikalische Anwendungen.
ro. Graphische Integration. - r r. Graphische Differentiation.
§ 14· Regeln und Methoden der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
I. Einfachste Integrationsregeln. - 2. Bemerkung über die Systematik der
Integration. Die Integrale der elementaren Funktionen. - 3· Partielle Integration.
- 4· Rekursionsformeln. - 5· Transformation eines Integrals. - 6. Integrale
gerader und ungerader Funktionen mit symmetrischem Integrationsbereich. -
7· Zusammenhang der Mittelwertsätze der Differentialrechnung mit jenen der
Integralrechnung.-8. Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung.-9. Inte
gration und Differentiation konvergenter Funktionenfolgen.
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 15. Höhere Ableitungen ..........................................· ...... , ..... r66
I. Begriff der höheren Ableitungen einer Funktion. - 2. Höhere Ableitungen
einer zusammengesetzten Funktion.-3· Höhere Ableitungen der inversen Funk
tion. - 4· Höhere Ableitungen eines Produktes (Leibnizsche Formel). - 5· Ein
zweiter Beweis des binomischen Satzes.
IV. Die elementaren transzendenten Funktionen.
§ r6. Logarithmus und Exponentialfunktion ..................................... I72
" .
Jr u~- · -
'r. Das Integral 2. Der natürliche Logarithmus. - 3· Die natürliche
1
Exponentialfunktion.-4· Die allgemeine Exponentialfunktion.-5· Die allgemeine
Potenz.-6. Der allgemeine Logarithmus.-7· Grenzwerte, die mit Logarithmus
und Exponentialfunktion zusammenhängen. - 8. Logarithmische Differentiation.
- 9· Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion. - ro. Stetige Ver
zinsung.- I I. Zerfall der radioaktiven Substanzen. - I2. Stromverlauf beim Ein
und Aus.schalten eines elektrischen Stromkreises. - I3. Funktionsskala und
Rech~nschieber.
§ 17. Die Kreisfunktionen und die zyklometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I86
I. Gradmaß und Bogenmaß eines Winkels. - 2. Definition der Kreisfunktionen ..
- 3· Die Additionstheoreme.-4· Die harmonische Schwingung. - 5· Differentia
tion und Integration der Kreisfunktionen. - 6. Definition der zyklometrischen
Funktionen. - 7· Differentiation der zyklometrischen Funktionen. - 8. Polar
koordinatim in der Ebene. - 9. Polarkoordinaten im Raum. - IO. Zylinder
koordinaten. - I I. Transformation rechtwinkeliger Koordinaten in der Ebene.
§ r8. Die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrungen ............. , : ............. 202
I. Definition der Hyperbelfunktionen. ·- 2. Geometrische Deutung. -
3· Additionstheoreme und verwandte Formeln. - 4· Differentiation und Integration
der Hyperbelfunktionen. - 5· Die Umkehrfunktionen. - 6. Die Integrale
Ir= f dx und fs = f dx .
J ax2+bx+c JVaxl+bx+c
V. Ergänzungen zur Differential- und Integralrechnung.
§ 19. Die Parameterdarstellung einer Kurve. Vektoren in der Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . 209
I. Die Parameterdarstellung einer Kurve. - 2. Differentiation einer Funktion
in Parameterdarstellung. Glatte und stückweise glatte Kurven. - 3· Vektoren
in der Ebene. - 4· Beispiele. - 5· Der Beschleunigungsvektor. - 6. Rationale
Kurven.
§ 20. Unbestimmte Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
I. Grenzwert eines Quotienten, wenn Zähler und Nenner verschwinden
(Bernoullische Regel).-2. Unbestimmte Formen.-3· Der Fall~. - 4· Der Fall
00
o . oo. - 5· Die Fälle Im, o0 und oo0• - 6. Der Fall oo-oo. - 7· Die Ordnung
der Nullstellen und oe-Stellen von Exponentialfunktion und Logarithmus.
§ 21. Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
I. Integrale mit nicht beschränktem Integranden. - 2. · Eine hinreichende
Bedingung für die Konvergenz. - 3. U neigentliche Integrale mit nicht beschränktem
Integrationsbereich. - 4· Beispiele.
§ 22. Die Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
1. Die Taylorsche Formel für ein Polynom. - 2. Die Taylorsche Formel für eine
beliebige Funktion. - 3· Darstellung des Restgliedes durch ein Integral. - 4· Ab
schätzung des Restgliedes. -.5· Die Gestalt einer Kurve in der Umgebung eines
Punktes. - 6. Notwendige und hinreichende Bedingungen für ein relatives Ex
tremum einer Funktion von einer Veränderlichen. - 7· Bemerkungen über die
Taylorschen Polynome und die Berührung von Kurven.
Inhaltsverzeichnis. IX
Seite
§ 23. Die Formeln von Wallis und Stirling ...................................... 246
I. Die Formeln von W ALLIS. - 2. Die Formel von STIRLING. - 3· Beweis
der Stirlingschen Formel. - 4· Das Integral ")r" e -x• d x.
0
§ 24. Der Flächeninhalt ebener Bereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 r
I. Zurückführung auf Normalbereiche. - 2. Der Flächeninhalt als Kurven
integral. - 3· Beispiele. - 4· Weitere Formeln für den Flächeninhalt. - 5· Die
Invarianz des Flächeninhalts. - 6. Flächeninhalt in Polarkoordinaten.
§ 25. Die Bogenlänge einer Kurve ............................................. 262
I. Begriff der Bogenlänge. - 2. Darstellung der Bogenlänge durch ein be
stimmtes Integral.- 3· Das Bogenelement.-4· Die Bogenlänge in Polarkoordi
naten. - 5· Beispiele.
§ 26. Weitere Anwendungen des Integralbegriffes in Geometrie und Mechanik ...... 265
I. Das Volumen eines Drehkörpers und der Inhalt einer Drehfläche.-2. Stati
sches Moment und Schwerpunkt eines ebenen Bereiches.- 3· Statisches Moment
und Schwerpunkt eines Kurvenbogens. - 4· Das statische Moment eines Dreh
körpers.-5· Trägheitsmoment ebener Bereiche und Kurvenbogen. - 6. Beispiele.
- 7· Das Stieltjes-Integral.
§ 27. Numerische Integration .................................................. 275
I. Die Rechtecksformeln. - 2. Die Trapezformeln. - 3· Keplers Faßregel
und die Simpsonsche Formel. - 4· Fehlerabschätzung.
§ 28. Die komplexen Zahlen ................................................... 28I
I. Die Gaußsehe Zahlenebene. - 2. Das Rechnen mit komplexen Zahlen. -
3· Die Formeln von MorvRE und EuLER. - 4· Folgerungen aus der Eulerschen
Formel. - 5· Darstellung der zyklometrischen Funktionen durch Logarithmen.
VI. Polynome, algebraische Gleichungen und rationale Funktionen.
§ 29. Polynome oder ganze rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
I. Grundbegriffe.-2. Nullstellen eines Polynoms und Wurzeln einer Gleichung.
- 3· Nullstellen reeller Polynome. - 4· Größter gemeinsamer Teiler zweier Poly
nome. Mehrfache Nullstellen. - 5· Das Hornersehe Divisionsverfahren.- 6. Das
graphische Verfahren von LILL.
§ 30. Interpolation. Steigungen und Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
I. Begriff der Interpolation. Die lineare Interpolation. - 2. Die Lagrangesche
InterpolationsformeL-3· Steigungen und Steigungsschema.-4· Die Newtonsehe
InterpolationsformeL - 5· Fehlerabschätzung. Die Taylorsche Formel als Sonder
fall der Newtonsehen InterpolationsformeL - 6. Die verallgemeinerte Inter
polationsaufgabe. - 7· Die Newtonsehe Formel für äquidistante Argumente. Das
Differenzenschema.
§ 31. Algebraische Gleichungen ................................................ 308
I. Allgemeines.-2. Die reine Gleichung und die Kreisteilung.-3· Die kubische
Gleichung. - 4· Die biquadratische Gleichung. - 5· Reziproke Gleichungen.
§ 32. Numerische Auflösung algebraischer Gleichungen ........................... 3I6
I. Vorbemerkungen. - 2. Die Cartesische ZeichenregeL - 3· Schranken für
die Wurzeln. - 4· Trennung der Wurzeln und numerische Auflösung. - 5· Das
Graeffesche Verfahren.
§ 33· Die rationalen Funktionen und ihre Integration ............................ 325
r. Rationale Funktionen.-2. Die Teilbruchzerlegung einer rationalen Funktion.
- 3· Die Integration der rationalen Funktionen. - 4· Abelsche Integrale. - 5· Die
quadratische Irrationalität. - 6. Zwei Sonderfälle. - 7· Die bilineare Irrationali
tät. - 8. Binomische Integnile. - g. Integration gewisser transzendenter Funk
tionen.