Vorlesungen über Funktionalgleichungen und ihre Anwendungen

327 Pages·1960·9.739 MB·German

by  J. Aczél (auth.)

J. ACZEL
VORLESUNGEN ÜBER FUNKTIONALGLEICHUNGEN
UNDIHREANWENDUNGEN
MATHEMATISCHE REIHE- BAND 25
LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN AUS DEM GEBIETE
DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN
VORLESUNC-EN
ÜBER FUNKTIONALGLEICHUNGEN
UNDIHREANWENDUNGEN
VON
J.ACZEL
PROFESSOR A.N DER UNIVERSITÄT DEBRECEN
SPRINGER BASEL AG 1961
ISBN 978-3-0348-6905-8 ISBN 978-3-0348-6904-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-6904-1
Nachdruck verboten
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und der Reproduktion auf Photostatischem Wege ader durch Mikrofilm vorbehalten
© Springer Basel AG 1900
Urspriinglich erschienen bei Birkhll.user Verlag Basel 1 g6o
Softcover reprint ofthe hardcover lSt edition 1900
DEM ANDENKEN AN
LEOPOLD FEJER
9.FEBRUAR 1880 BIS 15.0KTOBER 1959
GEWIDMET
Vorwort
Das Lösen von Funktionalgleichungen bildet einen der ältesten Problem
kreise der Analysis. EuLER, n' ALEMBERT, GAuss, CAUCHY, ABEL, WEIER
STRASS, DARBOUX, HrLBERT, um nur ein paar der größten Namen zu nennen,
befaßten sich wiederholt und eingehend mit der Auflösung von Funktional
gleichungen und mit Lösungsmethoden für diese. In den letzten 50 Jahren ist
rue Produktion auch in diesem wie in den übrigen Gebieten der Mathematik
ungeheuer gewachsen. Da es aber in rueser so alten und für die Anwendungen
so wichtigen Disziplin eigentlich gar kein zusammenfassendes Werk gab, kam
es wiederholt zur Wiederentdeckung von schon Jahrzehnte früher gefundenen
Resultaten.
Die vorliegende Monographie setzt sich das Ziel, diesen Mangel wenigstens
teilweise beseitigen zu helfen. Im Gegensatz zu den natürlich anderen Zielen
ruenenden Berichten von PINCHERLE 1906, 1912 in der deutschen und fran
zösischen Enzyklopädie werden hier zu den Resultaten meist auch Beweise
angegeben. In den bis jetzt vorhandenen, sich zum Teil auch mit Funktional
gleichungen befassenden Büchern von CzuBER 1891, PrcARD 1928, HARDY
LITTLEWoon-P6LYA 1934, FRECHET 1938 und HosTINSKY 1939 sind rue be
handelten speziellen Funktionalgleichungen den Anwendungen, denen sie dort
dienen, untergeordnet; dagegen ordnen wir das Material eher nach den Typen
der Funktionalgleichungen selbst. Da ein Plan von ScHWElTZER 1918 [3] be
züglich der Zusammenstellung einer Bibliographie der Theorie der Funktional
gleichungen leider nicht verwirklicht wurde, will das Literaturverzeichnis am
Ende dieses Buches zum Teil auch diesem Zwecke dienen, obzwar auch jenes
bei weitem nicht vollstänrug ist.
Wir deuten hier den Begriff der Funktionalgleichung natürlich in seinem
modernen, engeren Sinne (siehe die genaue Definition in der Einleitung, Ab
schnitt 0.1.), so daß zum Beispiel rue Differentialgleichungen, Integralglei
chungen, Integro-Differentialgleichungen, Differential-Funktionalgleichungen
usw. nicht darin einbegriffen sind. Da das Gebiet der Funktionalgleichungen
aber auch danach noch ungeheuer groß blieb, mußten wir das zu behandelnde
Material weiter einschränken. Insbesondere würde unsere Interpretation dieses
Begriffes unter anderem rue Differenzengleichungen noch einschließen. Die Be
handlung dieser Disziplin konnte aber um so eher beiseitegelassen werden, als
auf ruesem Gebiete eine große Anzahl von Standardwerken vorhanden ist.
8 Vorwort
Ferner ließen wir der Folgerichtigkeit halber, und weil auch diese verhältnis
mäßig oft systematisch behandelt wurden, zugleich die Untersuchung aller
Funktionalgleichungen beiseite, in denen alle unbekannten Funktionen von
wenigstens derselben Veränderlichenzahl sind wie die Zahl der in der Gleichung
überhaupt vorkommenden unabhängigen Veränderlichen, so beispielsweise alle
lterationsgleichungen. Obzwar damit eben solche Funktionalgleichungen aus
geschlossen werden, bei deren Lösung Methoden dominieren, die der Behand
lung der übrigen Funktionalgleichungen fremd sind, wird der Leser diesen Ver
lust schon schmerzlicher empfinden. Der Verfasser sah sich aber gezwungen,
diesen Schnitt durchzuführen, um einen vernünftigen Umfang und die syste
matische Einheit des Buches wahren zu können.
Die Einteilung des Buches ist eine Resultante mehrerer möglicher Ord
nungsprinzipien: Funktionalgleichungen für Funktionen von einer und m·ehre
ren Veränderlichen, für eine Funktion oder mehrere Funktionen, einfache und
zusammengesetzte Gleichungen, Veränderliche, die außerhalb der gesuchten
Funktionen vorkommen, und innere Veränderliche, elementare Lösungs
methoden und Zurückführung auf Differential-usw. -gleichungen, die speziellen
Anwendungsgebiete der Gleichungen, der historische Gesichtspunkt usw. Die
Klassifikation ist keineswegs starr, und manche der, streng betrachtet, in ein
gewisses Kapitel gehörenden Untersuchungen werden wegen ihres Zusammen
hanges in einem anderen behandelt. Als Bindeglied zwischen Gleichungen mit
einer und mit mehreren unbekannten Funktionen von einer und von mehreren
Veränderlichen werden kurz auch Vektoren- und Matrizen-Funktional
gleichungen endlicher Dimensionszahl behandelt. Gleichungen für beliebige
Operatoren und Funktionale konnten dagegen hier nicht berücksichtigt werden,
da dies uns weit in die Funktionalanalysis hineingeführt hätte. Funktional
ungleichungen, deren Untersuchung beispielsweise die ganze Theorie der kon
vexen Funktionen enthalten würde, werden in diesem Buche, wie schon der
Titel sagt, überhaupt nicht behandelt. Wir können in diesem Rahmen auch die
Verwendung von Funktionalgleichungen zur Definition von Funktionen und
deren Erweiterung vom reellen auf das komplexe Gebiet, auf Matrizen usw.,
sowie ihre Verwendung zum Aufbau der Funktionen von mehreren Veränder
lichen mittels Funktionen von wenigerVeränderlichen und ähnliche Fragen nur
flüchtig berühren, da sie dem Programm dieses Buches, dessen Hauptakzent auf
den Lösungsmethoden liegt, etwas ferner stehen.
Gewisse einschränkende Bedingungen bezüglich des Definitionsgebietes und
des Wertevorrates sowie der "Regularität" der in den Gleichungen figurierenden
Funktionen mußten gestellt werden, da sonst zum Beispiel der größte Teil der
Algebra als Behandlung der Funktionalgleichungen der Assoziativität, Trans
formation und Distributivität hätte eingeschlossen werden müssen. Dagegen
trachteten wir, algebraische Strukturen mit anderen Gesetzen wenigstens zu
streifen, und die Arbeiten, in denen sie behandelt werden, größtenteils in das
Literaturverzeichnis aufzunehmen. Entsprechend diesen Regularitätsbedin
gungen gehen wir auch auf die singulären (nichtstetigen usw.) Lösungen von
Funktionalgleichungen nicht ein. Diese Einschränkung ist wieder bedauerns-
Vorwort 9
wert, da sie uns vieler analytischer und algebraischer Feinheiten beraubt; aber
auch sie mußte der Kürze und Einheitlichkeit halber gemacht werden. - Auch
solche selbständigen Gebiete der Mathematik, die größtenteils als Lösung und
Anwendung von Funktionalgleichungen betrachtet werden können, wie etwa
die Theorie der kontinuierlichen Gruppen und die der geometrischen Objekte,
können hier nicht behandelt werden. Über die Funktionalgleichungen der
Theorie der geometrischen Objekte ist übrigens ein gemeinsames Büchlein von
Prof. Dr. S. GOLi\B mit dem Verfasser dieses Buches in Vorbereitung. Die haupt
sächlich mit Funktionalgleichungen arbeitenden Aufsätze dieser Theorie haben
wir aber ebenfalls im Literaturverzeichnis des vorliegenden Buches berücksich
tigt. - Wir wünschen jedenfalls, die Zusammenhänge unserer Disziplin mit
der Algebra und mit vielen "algebraisierten" Gebieten der Geometrie (kon
tinuierliche Gruppen, Vektorrechnung usw.) ausdrücklich zu betonen. Auch
die großen Anwendungsgebiete Wahrscheinlichkeitstheorie, nichteuklidische
Geometrie und Mechanik, die selbst zur Entwicklung der Disziplin der
Funktionalgleichungen so viel beigetragen haben, sollten hier eine würdige
Rolle spielen. Die Behandlung der Anwendungen ist aber natürlich den Glei
chungen selbst untergeordnet, und deshalb kann in den Vorbereitungen
und Konsequenzen auf diese Gebiete nicht ausführlich eingegangen werden.
Einzelheiten der Anwendungen, die zum Verständnis nötig sind, aber selbst
keine Funktionalgleichungen verwenden, sowie weniger wichtige Beispiele
und weitläufigere Teile gewisser Beweise sind zum Teil in Kleindruck wieder
gegeben.
Das Buch gliedert sich in zwei Teile nebst Vorwort, Einleitung, Schlußbemer
kungen und Literaturverzeichnis. Die weitere Gliederung besteht in Kapiteln,
Abschnitten und Nummern. Die Nummern werden innerhalb der einzelnen
Abschnitte, die Abschnitte innerhalb der Kapitel, die Kapitel und die Formeln
dagegen durch das ganze Buch laufend numeriert. So bedeutet in den Hinweisen
zum Beispiel 1.2.3. (::38) die Formel (38) der Nummer 3 im Abschnitt 2 des
1. Kapitels (welches sich seinerseits im ersten Teil befindet).-Hinweise auf das
Literaturverzeichnis lauten folgendermaßen: Zum Beispiel ist die im Text oder
in einer Fußnote oder in diesem Vorwort mit ScHWElTZER 1918 [3] zitierte Arbeit
im Literaturverzeichnis unter dem Haupttitel1918 bei dem Namen ScHWElTZER
unter der Ziffer [3] zu finden.
Leider können wir nur sehr wenige Existenz- und Unitätssätze sowie Unter
suchungen über den Einfluß der Gestalt der Gleichung auf die der Lösungen
bringen, da solche Resultate fast überhaupt nicht vorhanden sind. So trachteten
wir wenigstens nach Möglichkeit das Prinzip durchzusetzen, daß auch die Trag
weite der gegebenen Lösungsmethoden untersucht werde, daß also neben den
bisher meist behandelten ganz speziellen Funktionalgleichungen mit indivi
duellen Lösungsmethoden hier auch Funktionalgleichungstypen mit allgemei
neren Lösungsmethoden untersucht werden. Dadurch wird auch eine gewisse
Ordnung und ein gewisser Zusammenhang in dieses so atomisierte Gebiet hin
eingetragen, obzwar sich natürlich der Mangel an einer einheitlichen Theorie
auch so noch stark spürbar macht.
10 Vorwort
Eine andere Besonderheit, die die Funktionalgleichungen etwa von den
Differential-, Integral-, Differenzen- usw. -gleichungen unterscheidet, besteht,
wie dies schon von ABEL bemerkt wurde, darin, daß hier eine Funktional
gleichung mehrere unbekannte Funktionen enthalten kann, derart, daß aus ihr
alle unbekannten Funktionen bestimmt werden können. Dem werden wir im
Laufe der Arbeit sehr oft begegnen. Auch das will hier als vereinigendes Prinzip
gelten, da solche Funktionalgleichungen oft viele, scheinbar verschiedene
Gleichungen zusammenfassen.
Während in Gebieten, die systematisiert vorliegen, die Bücher oft so an
gelegt werden, daß einzelne Teile auch selbständig verständlich sind, betonen
wir hier eher den Zusammenhang der sonst vereinzelten Untersuchungen. Dies
nötigt oft zum Zurückblättern, obzwar eigentlich fast alle Kapitel und viele
Abschnitte für sich allein verständlich sind. - Überhaupt hat das Buch etwas
den Charakter einer Originalarbeit, was an Stil, Aufbau und Ausstattung wohl
zu spüren ist.
Wir wollen den Ursprung der vorgetragenen Untersuchungen überall aus
drücklich angeben. Der Kenner wird auch manches Neue finden. Als Zwischen
glied zwischen Lehrbuch, Monographie und Nachschlagewerk enthält die Arbeit
gleichermaßen Sätze mit ausführlichen, skizzierten bzw. ausstehenden Be
weisen. Die Voraussetzungen und die Behauptungen werden manchmal im
voraus, manchmal erst nachträglich (selten überhaupt nicht explizit) formu
liert. Wir trachteten meist auch nicht danach, die stärksten Behauptungen
unter den schwächsten Voraussetzungen zu beweisen. Eine gewisse Anzahl der
sehr zahlreichen und mannigfaltigen Lücken, Probleme und Vermutungen, die
in diesem Gebiete noch offenstehen, werden im Gang der Arbeit explizit formu
liert. Dies wird hoffentlich zur Verbreitung dieses elementaren und für die
Anwendungen doch so wichtigen, so problemreichen und fesselnden Gebietes
beitragen.
In diesem Zusammenhang sei noch erwähnt, daß ein großer Teil der Mängel,
die der Kenner wohl bemerken wird, dadurch entstanden ist, daß der Ver
fasser bestrebt war, zugunsten des Lernenden das Buch möglichst elementar
zu halten. Die Begriffe Funktion, Monotonie und Stetigkeit genügen schon zum
Verständnis eines beträchtlichen Teiles und mit der Kenntnis der Begriffe der
Integrierbarkeit (Meßbarkeit), der (partiellen) Derivierten und der Jacobischen
Funktionaldeterminante kommt man schon, abgesehen von einigen Anwen
dungen, fast überall durch. Eben dieser elementare Charakter bildet auch im
allgemeinen, wie schon bemerkt wurde, einerseits einen gewissen Reiz, an
dererseits einen gewissen Mangel des heutigen Standes der Theorie der Funk
tionalgleichungen. Das Ziel des vorliegenden Buches ist jedenfalls, mit Hilfe des
ersteren Vorteiles auch solche neuen Anhänger dieser Disziplin zu gewinnen,
die vielleicht einmal zur Beseitigung der letzteren Mängel beitragen werden.
Wenn dies gelänge, so würde der Verfasser seine Arbeit als weit über sein Er
warten hinaus erfolgreich betrachten.
Das vorliegende Buch entstand zum Teil aus Vorlesungen, die der Verfasser,
dasselbe Ziel verfolgend, in den Jahren 1953-1960 an der Universität Debrecen