Vorlesungen über Differentialgeometrie und Geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie: 1 Elementare Differentialgeometrie PDF
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MEINEM VEREHRTEN LEHRER E.STUDY ZUM SECHZIGSTEN GEBURTSTAG VORLESUNGEN DBER DIFFERENTIAL GEOMETRIE UND GEOMETRISCHE GRUNDLAGEN VON EINSTEINS RELA TIVITĂ TSTHEORIE VON WILHELM BLASCHKE ORD. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSlTÂT HAMBURG 1 ELEMENTARE DIFFERENTIAL~ GEOMETRIE MIT 38 TEXTFIGUREN SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1921 ISBN 978-3-642-49388-1 ISBN 978-3-642-49666-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-49666-0 ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTE:'>. COPYRIGHT 1921 BY SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG URSPRUNGLICH ERSCHIENEN BEI JULIUS SPRINGER IN BERLIN 1921 SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER IST EDITION 1921 DDIIEE GGRRUUNNDDLLEEHHRREENN DDEERR MMAATTHHEEMMAATTIISSCCHHEENN WWIISSSSEENNSSCCHHAAFFTTEENN IINN EEIINNZZEELLDDAARRSSTTEELLLLUUNNGGEENN MMIITT BBEESSOONNDDEERREERR BBEERROOCCKKSSIICCHHTTIIGGUUNNGG DDEERR AANNWWEENNDDUUNNGGSSGGEEBBIIEETTEE GGEEMMEEIINNSSAAMM MMIITT WW.. BBLLAASSCCHHKKEE MM.. BBOORRNN CC.. 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Im Gegensatz dazu betrachtet man in der algebraischen Geometrie die geometrischen Gebilde Yon vornherein in ihrer Gesamterstreckung. Indessen ver zichtet auch die Differentialgeometrie durchaus nicht auf das Studium der geometrischen Figuren im ganzen und die Fragen der "Differen tialgeometrie im großen", die die mikroskopischen mit den makro skopischen Eigenschaften verknüpfen, gehören zu den reizvollsten, allerdings auch zu den schwierigsten Fragen unsrer Wissenschaft. Die Krümmungstheorie erscheint, wenn man erst die Fesseln der Dimensionenzahl Drei und der Maßbestimmung Euklids zerrissen hat, von hohem Standpunkt aus gesehen, nicht mehr bloß als ein eng begrenztes Teilgebiet der Mathematik, sondern sie umfaßt einen er heblichen Teil der theoretischen Physik. Aus diesem weiten Gebiet soll in diesem Buch, das aus Vorlesungen in Tübingen und Harnburg entstanden ist, ein Ausschnitt geboten werden, der nicht allein im \V erdegang der Anwendungen der Analysis auf die Geometrie, sondern auch in Geschmack- und Arbeitsrichtung des Verfassers begründet ist. Als Leitstern möge uns F elix Kleins Erlanger Programm dienen. Ferner sollen besonders die Beziehungen zur Variationsrechnung ge pflegt werden. Als ich 1908 nach Bonn kam, hat mich E. Study trotz seiner schweren Erkrankung seines persönlichen Unterrichts gewürdigt und mir die kritischen Untersuchungen zur Differentialgeometrie vorge tragen, an denen er damals arbeitete. In dankbarem Gedenken an die schönen Bonner Tage sei Herrn Study dieses Bändchen gewidmet. Bei der Herausgabe der Vorlesung haben mich zahlreiche Fach genossen unterstützt, nämlich die Herren Baule, Berwald, Bieberbach, Hessenberg, Kruppa, Liebmann, Ostrowski, Radon, Reidemeister, Salkowski und Zindler. Insbesondere bin ich auch Fräulein E. Linde für ihre Hilfe dankbar. :\!athematisches Seminar, Harn burg, im September 1921. Inhaltsverzeichnis. Für ein erstes Studium genügt die Kenntnis der Kapitel 1, 3 und 4. Die Ab schnitte dieser Kapitel, die übergangen werden können, sind durch Sternchen gekennzeichnet. 1. Kapitel. Kurventheorie. Seite §1. Bogenlänge . . 1 § 2. Tangente ... 3 § 3. Schmiegeheue . 4 § 4.* Ein Mittelwertsatz von H. A. Schwarz und T. ]. Stieltjes . 7 § 5. Krümmung und "\Vindung 9 § 6. Formeln von Frenet . . . . . • . . 11 § 7. Über das Vorzeichen der Windung . 13 § 8.* Kinematische Deutung von Frenets Formeln 14 § 9. Ebene Kurven, Vierscheitelsatz . 15 § 10. Krümmungsmittelpunkt • 17 §11. Schmiegkugel • . . . • 17 § 12. Bertrandkurven . . • . 19 § 13. ~atiirliche Gleichungen 20 § 14. Hilfssatz über lineare Differentialgleichungen 22 § 15. Böschungslinien . . . • . . . . . . . . . 23 § 16. Böschungslinien auf einer Kugel • . • • . 24 § 17. Böschungslinien auf einem Drehparaboloid 25 § 18. Evoluten, Evolventen • • • . . . . 26 § 19. Isotrope Kurven . . . . . . . . . . . . . 27 § 20. Integrallose Darstellung der isotropen Kurven 29 § 21. Aufgaben und Lehrsätze . . . . . • . 30 2. Kapitel. Extreme bei Kurven. § 22. Die erste Variation der Bogenlänge 34 § 23. Variationsprobleme von ]. Radon • 35 § 24. Bestimmung der Extremalen unsrer Variationsprobleme . 37 § 25. Die Isoperimetrie des Kreises 39 § 26. Beweis von G. Frobenius . . . 40 § 27. Ein Beweis von A. H urwitz 42 § 28. Ein Hilfssatz über Kurven auf der Kugel 45 § 29. Sätze von H. A. Schwarz für Raumkurven fester Krümmung • 47 § 30. \V eitere Ungleichheiten vonH. A. Schwarz für Kurven fester Krümmung 48 § 31. Bemerkungen und Aufgaben . . . • • . • . • . . . . . . . • . 49 Inhaltsverzeichnis. JX 3. Kapitel. Anfangsgründe der Flächentheorie. Seite § 32. Die erste Grundform . . . . . 52 § 33. Die zweite Grundform 54 § 34. Sätze von M eusnier und Euler 55 § 35. Die Hauptkrümmungen . . . 57 § 36. Gaußens Theorema egregium 59 § 37. Krümmungslinien ..... . 60 § 38. Nabelpunkte . . . . . . . . 62 § 39. Satz von Dupin über Orthogonalsysteme 63 § 40. Die wirrkeltreuen Abbildungen des Raumes . 65 § 41. Gaußens sphärisches Abbild einer Fläche . 67 § 42. Normalensysteme . • . . • . • . . . . . . 69 § 43. Asymptotenlinien . . . . . . . . . . . . . 71 § 44. Asymptotenlinien auf geradlinigen Flächen . 72 § 45. Konjugierte Netze . . • • . . . . • . • . 74 § 46. Ableitungsformeln von Weingarten ..... 75 § 47. Satz vonBeltrami undEnneper über die Windung der Asymptotenlinien 76 § 48. Die Ableitungsformeln von Gauß 77 § 49. Grundformeln von Gauß und Codazzi . 79 §50. G. Mange •.•.•.•...... 80 § 51. Aufgaben und Lehrsätze . . . . . . 81 4. Kapitel. Geometrie auf einer Fläche. §52. Verbiegung ...............•• 87 §53. Geodätische Krümmung . . . • . . . . . . . . 88 §54. Räumliche Deutung der geodätischen Krümmung 90 §55.* Beweis von Radon für einen Satz von Schwarz 92 §56. Geodätische Linien • . . . . . . • . . . 93 §57. Geodätische Polarkoordinaten . . • . . . • . 95 § ;,8. Noch einmal Gaußens Theorema egregium .. 96 §59. Zwei verschiedene Erklärungen der geodätischen Kreise 99 § 60. Flächen festen Krümmungsmaßes 100 § 61. Abbildung der Flächen festen negativen Krümmungsmaßes auf Poincares Halbebene • • . . • . . . . • . • . . . . 101 § 62. Längentreue Abbildungen einer Fläche mit K ~ -1 auf sich selbst 103 § 63. Das Integral der geodätischen Krümmung • . • • . . • . 107 § 64. Folgerungen aus der Integralformel von Gauß und Bannet . 108 § 65. Über Hüllkurven von geodätischen Linien 111 § 66. Beltramis erster Differentiator . 112 § 67. Beltramis zweiter Differentiator . . . . . 114 § 68. Formeln nach Green . • . . . . . . . • 115 § 69. Allgemeine Formel für die geodätische Krümmung 116 § 70.* Flächen, deren geodätische Krümmungskreise geschlossen sind 117 §71. Isotherme Parameter . . • . . . . . • . • . 119 § 72. Winkeltreue Abbildung • . . . . . . . . . . 121 § 73. Die Förderung der Flächentheorie durch Gauß 123 § 74. Aufgaben und Lehrsätze • . . • . . . 123 5. Kapitel. Fragen der Flächentheorie im großen. § 75. Unverbiegbarkeit der Kugel . • . . . • . . . . . . 127 § 76. Die Kugeln als einzige Eiflächen mit fester mittlerer Krümmung • 130 X Inhaltsverzeichnis. Seite §77. Starrheit der Eiflächen . . . . . . • 131 § 78. Minkowskis Stützfunktion . . . . . . 134 § 79. Ein Satz Christoffeis über geschlossene Flächen . 136 § 80. Ein Satz von Hilbert über Flächen festen negativen Krümmungsmaßes 138 § 81. Bemerkungen über geschlossene geodätische Linien auf einer Ei- fläche nach H. Poincare 141 § 82. Erdmanns Eckbedingung 143 § 83. Die Bedingung von ]acobi 145 § 84. Satz von Bannet über den Durchmesser einer Eifläche 148 § 85. Das Vorhandensein kürzester Wege auf Eiflächen 150 § 86. Flächen, deren konjugierte Punkte festen geodätischenAbstand haben 155 § 87. Ein Satz Carathiodorys über die Hüllkurven geodätischer Linien auf Eiflächen . . . . . . 158 § 88. Aufgaben und Lehrsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6. Kapitel. Extreme bei Flächen. § 89. Erste Variation der Oberfläche ..... . 164 § 90. Die Minimalflächen als Schiebflächen . . . 165 § 91. Formeln von Weierstraß für :.Ylinimalflächen 166 § 92. Formeln von Study für Minimalflächen . 168 § 93. Eine allgemeine Formel von Gauß für die erste Variation der Oberfläche . • . • . . . . . . . . . 170 § 94. Eine Formel von Schwarz für die Oberfläche einer Minimalfläche 172 § 95. Bestimmung einer Minimalfläche durch einen Streifen . 173 § 96. Ein Satz von Carleman über den Kreis . . . . . . . . . . 175 § 97. Isoperimetrie der Kugel • . . . . . • . . . . . . . . . . 176 § 98. Wirkung von Steiners Symmetrisierung auf die Oberfläche . 178 § 99. Konvergenzbeweis von Wilhelm Groß . 179 § 100. Zweite Variation der Oberfläche . 183 § 101. Erste Variation von H und K . . . . 185 § 102. Aufgaben und Lehrsätze . . . . . . 187 7. Kapitel. Liniengeometrie. § 103. Studys Übertragungsprinzip . . 190 § 104. Geradlinige Flächen . . . • • 193 § 105. Besondere geradlinige Flächen 198 § 106. Strahlensysteme . . . . . . . 201 § 107. Übertragung der Integralformeln von Gauß und Bannet auf Strahlen- systeme . . . • . • . . . . . 203 § 108. Brennflächen eines Strahlensystems 205 {i 109. Formeln von Hamilton und Mannheim 206 § 110. Isotrope Strahlensysteme . • . . . • 207 § 111. Beziehungen zu den Minimalflächen . 209 § 112. Darstellung der isotropen Strahlensysteme durch stereographische Linienkoordinaten . . . . • • . • • . . . . . . • 212 § 113. Weitere Formeln für stereographische Linienkoordinaten 216 § 114. Zusammenha~g mit der Theorie der Minimalflächen nach Weierstraß 217 § 115. Bemerkungen und Aufgaben 219 Namen- und Stichwortverzeichnis • • . . . . . . . . . . . . . 225 Berichtigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Anmerkungen und Formeln sind innerhalb eines jeden Kapitels durchnumeriert. 1. Kapitel. Kurventheorie. § 1. Bogenlänge. Eine räumliche Kurve kann man dadurch festlegen, daß man die rechtwinkligen Koordinaten xl' x2, x3 eines Kurvenpunktes als Funktionen eines Parameters t gibt xk = xk (t), k = 1, 2, 3. Es soll von den Funktionen xk (t) im folgenden m der Regel an· genommen werden, daß sie "analytisch" 3 sind, sich also nach Potenzen von t oder t - t entwickeln lassen. Wir 0 werden ferner im allgemeinen nur re elle Parameterwerte und nur reelle analytische Funktionen zulassen. Natür lich dürfen unsre drei Funktionen xk (t) nicht alle drei konstant sein, sonst schrumpft die Kurve auf einen ein zelnen Punkt zusammen. Von den Koordinatenachsen werden wir voraus setzen, daß sie so zueinander liegen, Figur 1. wie das in der Fig. 1 angedeutet ist. Die Entfernung zwei er Nachbarpunkte, die zu den Parameter t t + dt werten und gehören, ist ,-;;---;--;--~--,--:;-""' (1) ds=v(dd~l)"+(d~·)"+(d~·Ydt, und das Integral b + + dt (2) s = fv'x1'2 x2'2 x3'2 a wird als die Bogenlänge unsrer Kurve bezeichnet. Es sei kurz darauf hingewiesen, wie man diese Bogenlänge durch Grenzübergang aus der Länge von "einbeschriebenen" Vielecken er hält. Setzt man (3) a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b, B 1 a s c h k e, Differentialgeometrie. 1
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