Vorlesungen Über Differential- und Integralrechnung: Erster Band: Funktionen Einer Veränderlichen

423 Pages·1930·16.326 MB·German

by  R. Courant (auth.)

VORLESUNGEN
..
UBER OIFFERENTIAL- UNO
INTEGRALRECHNUNG
VON
R.COURANT
O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITAT
GOTTINGEN
ERSTER BAND
FUNKTIONEN EINER VERANDERLICHEN
ZWEITE, VERBESSERTE AUFLAGE
MIT 126 TEXTFIGUREN
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
1930
ISBN-13: 978-3-642-98739-7 e-ISBN-13: 978-3-642-99554-5
DOl: 10.1007/978-3-642-99554-5
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER OBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN.
COPYRIGHT 1927 BY JULIUS SPRINGER IN BERLIN.
Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1927
MEINER FRAU
GEWIDMET
Vorwort zur ersten Auflage.
GewiB ist die mathematische Literatur nicht arm an guten Werken
iiber Differential- und 1ntegralrechnung; und doch wird der Anfanger
nur schwer ein Buch finden, das ihm einen geraden Weg in das
lebendige Wesen der Wissenschaft 6ffnet und ihm verstandnisvolle Be
wegungsfreiheit gegeniiber den Anwendungen gibt. Der Anfanger will
weder durch Weitschweifigkeit und Inhaltslosigkeit ermiidet werden,
noch kann er jene Pedanterie ertragcn, weIche keinen Unterschied
zwischen Wesentlichem und Unwesentlichem kennt und - der axio
matischen Systematik zuliebe - vor die eigentlichen Triebkrafte der
Wissenschaft, vor ihren gegenstandlichen Kern, einen undurchsichtigen
S2hleier zieht.
Sicherlich ist es leichter, Mangel zu sehen und zu fiihlen, als sie
abzustellen. 1ch bin weit entfernt von der Vorstellung, dem Anfiinger
das ideale Lehrbuch darbringen zu k6nnen. Trotzdem glaube ich nicht,
daB die Herausgabe meiner Vorlesungen iiberfliissig ist; sie weichen
in der Anordnung und der Auswahl des Stoffes, in der Tendenz und
vielleicht auch in der Darstellungsform erheblich von der landlaufigen
Li teratur abo
Am meisten wird auffallen, daJ3 der Bruch mit der iiberlebten Tradi
tion vollzogen ist, Differentialrechnung und 1ntegralrechnung vonein
ander zu trennen. Diese sachlich wie didaktisch unbegriindcte Trennung,
ein Produkt von historischen Zufalligkeiten, verhindert die Klarlegung
des Kernpunktes: des Zusammenhanges zwischen bestimmtem Integral,
unbestimmtem Integral und Differentialquotienten. 1m miindlichen
. Vorlesungsbetrieb hat sich seit dem Vorgange von Felix Klein und
anderen schon mehr und mehr die gemeinsame Behandlung durch
gesetzt. Hier nun wird versucht, dieser auch einen Platz in unserer
Literatur zu sichern. Der vorliegende erste Band behandelt Integral
und Differentialrechnung fUr Funktionen einer Veranderlichen; der
zweite weniger umfangreiche Band wird den Funktionen mehrerer Ver
anderlicher gewidmet sein und einige weitere Erganzungen enthalten.
Es ist me in Bestreben, dem Leser eine deutliche Einsicht in die enge
Verbundenheit der Analysis mit den Anwendungen zu vermitteln und
bei aller Wahrung mathematischer Strenge und Prazision - der An
schauung als dem Urquell mathematischer Wahrheiten volle Ge-
VI Vorwort zur ersten Auflage.
rechtigkeit widerfahren zu lassen. Gewill, die Darstellung der Wissen
schaft als geschlossenes System in sich ruhender Wahrheiten ohne
eine Erinnerung an He..rkunft und Ziel hat einen asthetischen Reiz
und bedeutet die Erfiillung eines tiefen philosophischen Erkenntnis
dranges. Aber als ausschlieI31iche grundsatzliche EinsteUung oder als
didaktisches Prinzip gegeniiber Anfangern ist der Standpunkt der ab
strakt logischen, in sich gekehrten Wissenschaft eine groBe Gefahr.
Mathematische Analysis treiben und dabei den Anwendungen und der
Anschauung den Riicken drehen, das heiBt, die Wissenschaft rettungs
los dem Schicksal der Vertrocknung und Verkiimmerung preisgeben.
Es scheint mir eine iiberaus wichtige Aufgabe, den Lernenden von An
fang an vor einem diinkelhaften allzu bequemen Purism us zu bewahren;
nicht zuletzt diesem Zwecke solI mein Buch dienen.
Es wendet sich an jedermann, der sich auf der Grundlage normaler
Schulkenntnisse ernstlich urn die Wissenschaft und ihre Anwendungen
bemiihen will, sei er Student an einer Universitat oder technischen
Hochschule, sci er Lehrer oder Ingenieur. Es verspricht nicht, dem Leser
das eigene Nachdenken zu ersparen, aber es fUhrt ohne Z6gern und ohne
iiberfliissige Umwege direkt zu interessanten und fruchtbaren Gegen
standen und versucht das Verstandnis zu erleichtern, indem es nicht
bloB Schritt fUr Schritt beweist, sondern auch die Zusammenhange llnd
Motive des Ganzen beleuchtet.
Fiir den jungen Leser, der sich naiv der Fiihrung dieses Buches an
vertrauen will, sei noch folgendes bemerkt: Ich habe es vermieden, den
Zugang zu den konkreten Tatsachen der Differential- und Integral
reehnung durch Grundlagenbetrachtungen zu verbarrikadieren, deren
N otwendigkeit man doch erst hinterher ganz begreifen kann; statt
dessen sind diese Dinge in Anhangen zu den einzelnen Kapiteln
zusammengefaBt, und der Anfanger, dem es in erster Linie urn die rasche
Durchdringung des Stoffes oder urn die Anwendungen zu tun ist, mag
ruhig die Lektiire dieser Teile hinausschieben, bis das Bediirfnis dazu
erwacht ist. 1m iibrigen enthalten die Anhange stoffliehe Erganzungen
zur Entlastung der fortlaufenden Darstellung in den einzelnen Kapiteln.
Sie sind verhaltnismaBig knapp gefaBt. Aueh sonst wird der Leser be
merken, daB die anfangs breite Schreibweise gegen den SehluB des Ban
des hin in eine knappere iibergeht. Er soUte sich aber durch vereinzelte
Schwierigkeiten, die er vielleicht in den letzten beiden Kapiteln findet,
nicht abschreeken lassen; solche Lucken des Verstandnisses pflegen sich
spater von selbst zu schlieBen, wenn sie nicht aUzusehr gehauft auf
treten.
Ieh kann diesen AniaB nicht voriibergehen lassen, ohne in Dankbarkeit
den Namen meines groBen Vorgangers im Lehramte Felix Klein zu
nennen; was ieh hier versuche, liegt ganz in der Richtung seiner Be-
Vorwort zur zweiten Auflage. VII
strebungen. Auch meinem Freunde Otto Toeplitz in Kiel, der wie
kaum ein anderer die hier vorliegenden didaktischen Probleme in ihrer
Tiefe durchdacht hat, verdanke ich bewuBt und unbewuBt emp£angene
Anregungen.
Die Niederschrift und Drucklegung dieses Buches an Hand einer Vor
lesungsausarbeitung in so kurzer Zeit ware mir inmitten anderer
Arbeiten unmoglich gewesen, wenn ich nicht das Gluck hatte, in einer
Schar hillsbereiter junger Kollegen zu wirken. Ihnen allen, die kri
tisch und tatig mir beigestanden haben, gilt mein herzlicher und
frcundschaftlicher Dank.
G6ttingen, im Juni 1927.
R. Courant.
Vorwort zur zweiten Auflage.
Die vorliegende zweite Auflage dieses Bandes unterscheidet sich
von der ersten lediglich durch Beseitigung von Druckfehlern und Irr
tumern und durch Anderungen bei Einzelheiten der Darstellung.
Auch diesmal habe ich wieder treuen Helfern bei der Druck
legung meinen herzlichen Dank auszusprechen. Vor allen Dingen
Herrn Dr. Werner Weber und Herrn Theodor Zech.
G6ttingen, im Fcbruar 1930.
R. Courant.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Vorbemerkungen .. I
Erstes Kapitel.
Vorbereitungen.
§ 1. Der Zahlbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Das System der reellen Zahlen. S.3 - Die Zahlensysteme. S.6
§ 2. Der Funktionsbegriff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Beispiele. S.7 - Begriffliche Formulierung. S.8 - Graphische
Darstellung. Eindeutigkeit und Mehrdeutigkeit. Stetigkeit. S. 9 - Um
kehrfunktionen. S. 13
§ 3. Nahere Betrachtung der elementaren Funktionen . . . . . . . . . 14
Die rationalen Funktionen. S. 14 - Algebraische Funktionen. S. 15
- Die trigonometrischen Funktionen. S.16 - Exponentialfunktion
und Logarithmus. S.17
§ 4. Funktionen einer ganzzahligen Veranderlichen . . . . . 18
§ 5. Der Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge. Bei~pie1e 20
1 l I n
an='l' S.20 - a2m=m;a2m-l=2m' S.21- an=n+l'
1l
tP.
S.21 - an = S. 22 - an = CX·. S.24 - Zur geometrischen Ver-
n
anschaulichung der Grenzwerte von cxn und t p. S. 25 - Die geome-
trische Reihe. S.26 - an = I1nl . S.27 - an = fji+ I-ln. S.27
n
-an = 2" S.27
§ 6. Genauere Erorterung des Grenzwertbegriffes . . . . . . . . . . . . 28
Allgemeines. S. 28 - Rechnen mit Grenzwerten. S. 30 - Die Zahl e.
S. 32 - Die Zahl n als Grenzwert. S. 33 - Das arithmetisch-geome
trische Mittel. S. 34
§ 7. Der Begriff des Grenzwertes bei stetigen Veranderlichen . . . . . . . 35
§ 8. Der Begriff der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Definitionen. S. 37 - Unstetigkeitspunkte. S. 38 - Satze tiber
stetige Funktionen. S. 41
Anhang zum ersten Kapitel.
Vorbemerkungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§ 1. Das Haufungsstellen-Prinzip und seine Anwendungen . . . . . . . . 43
Das Haufungsstellen-Prinzip. S.43 - Grenzwerte von Zahlenfolgen.
Beweis des Cauchyschen Konvergenzkriteriums. S. 44 - Oberer und
unterer Haufungspunkt. obere und untere Grenze einer Zahlenmenge.
S.47
§ 2. Satze fiber stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
GroBter und kIeinster Wert stetiger Funktionen. S. 48 - Die Gleich
mal.ligkeit der Stetigkeit. S. 49 - Der Zwischenwertsatz. S. 51 - Um
kehrung einer stetigen monotonen Funktion. S. 52 - Weitere Satze
tiber stetige Funktionen. S. 52
Inhaltsverzeichnis. IX
Sci!e
§ 3. Bemerkungen uber die clementaren Funktionen 53
§ 4. Polarkoordinaten . . . . . 54
§ 5. Bemerkungen uber komplexe Zahlen 55
Zweites Kapitel.
Grundbegriffe der Integral- und Differentialrechnung.
§ 1. Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 58
Das Integral als FIacheninhalt. S.58 - Die analytische Definition
des Integrales. S. 60 - Erganzungen, Bezeichnungen und Grundregeln
fur das bestimmte Integral. S. 61
§ 2. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Erstes Beispiel. S. 63 - Zweites Beispiel. S.64 - Integration von
XIX bei beliebigem positiven ganzzahligen ex. S.65 - Integration von
t -
XIX fiir beliebiges rationales ex 1. S. 66 - Integration von sin x und
cos x. S.68
§ 3. Die Ableitung oder der Differentialquotient . . . . . . . . . . . . . 69
Differentialquoticnt UIllI Kurventangente. S. 6!) - Dcr Differential
quotient als Geschwindigkeit. S. 72 - Beispiele. S. 74 - Einige Grund
regeln fiir die Differentiation. S.76 - Differenzierbarkeit und Stetig
keit der Funktionen. S. 76 - Hohere Ableitungen und ihre Bedeutung.
S.78 - Differentialquoticnten und Differenzenquotienten; Bezeich
nungen von Leibniz. S. 7!1 - Dcr Mittelwertsatz. S. 81 - Angenaherte
Darstellung beliebiger Funktionen durch !ineare. - Differentiale. S. 84 -
Bemerkungen tiber die Anwendungen unserer Begriffe in der Katurwissen
schaft. S. 85
§ 4. Das unbestimmte Integral, die primitive Funktion und die Fundamental
satze der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . 86
Das Integral als Funktion der oberen Grenze. S. 86 - Der Differen
tialquotient des unbestimmtcn Integrales. S. 88 - Die primitive Funk
tion (Stammfunktion); allgemeine Definition des unbestimmten Inte
grales. S. 89 - Die Verwendung der primitiven Funktion zur Ausfiihrung
bestimmter Integralc. S. 92 - Einige Beispiele. S.94
§ 5. Einfachstc Mcthoden zllr graphischcn Integration. . 95
§ 6. Weiterc Bcmerkungen tiber den Zusammenhang zwischen uelll Integral
und dem Differentialquotientcn . . . . . . . . . . . . . . 97
Die Massenverteilung und Dichte; Gcsamtquantitat und spezifische
Quantitat. S.97 - Gcsichtspunkte der Anwendungen. S.99
§ 7. Integralabschatzungen und J\Iittelwertsatz der Integralrechnung . . . 101
Der Mittelwertsatz c1er Ihtegralrechnung. S. 101 - Anwendungen.
Die Integration von XIX fur beliebiges irrationales ex. S. 103
Anhang zum zweiten Kapitel.
§ 1. Die Existenz des bestimmten Integrales einer stetigen Funktion . . . 105
§ 2. Zusammenhang des Mitte\wcrtsatz('s c1er Differentialrechnung mit dem
Mittelwertsatz der Integralrechnung • . . . . . . . . . . . . . . . 107
Dri ttes Kapi tel.
Differential- und Integralrechnung der elementaren
Funktionen.
§ 1. Die einfachsten Differentiationsregeln und ihre Anwendungen .. 109
Differentiationsregeln. S. 109 - Differentiation der rationalen FUllk
tionen. S. 111 - Differentiation der trigonometrischen Funktionen.
S.112
x Inhaltsverzeichnis.
Seile
§ 2. Die entsprechenden Integralformeln . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Allgemeine Integrationsregeln. S. 113 - Integration der einfachsten
Funktionen. S. 113
§ 3. Die Umkehrfunktion und ihr Differentialquotient . . . . . . . . . . 115
Die allgemeine Differentiationsformel. S. 115 - Die Umkehrfunk
tionen der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen. S. 117 -
Die zugehorigen Integralformeln. S. 120
§ 4. Die Differentiation der zusammengesetzten Funktionen . . . . . . . 122
Die Kettenregel. S. 122 - Beispiele. S. 124 - Nochmals Integration
und Differentiation von x" fiir irrationales IX. S. 125
§ 5. Maxima und Minima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Allgemeine Vorbemerkungen iiber die geometrische Bedeutung der
Differentialquotienten. S. 126 - Maxima und Minima. S. 128 - Bei
spiele fiir Maxima und Minima. S. 131
§ 6. Logarithmus und Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 134
Definition des Logarithmus. Differentiationsformel. S. 134 - Das Ad
ditionstheorem. S.136 - Monotoner Charakter und Wertevorrat des
Logarithmus. S. 137 - Die Umkehrfunktion des Logarithmus (Exponen
tialfunktion). S. 137 - Die allgemeine Exponentialfunktion a- und
die allgemeine Potenz x". S. 139 - Exponentialfunktion und Logarith
mus dargestellt durch Grenzwerte. S. 140 - Schlu13bemerkungen. S. 142
§ 7. Einige Anwendungen der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . 143
Charakterisierung der Exponentialfunktion durch eine Differential
gleichung. S. 143 - Stetige Verzinsung. Radioaktiver Zerfall. S. 144
- Abkiihlung oder Erwarmung eines Korpers in einem umgebenden
Medium. S. 145 - Abhangigkeit des Luftdruckes von der Rohe iiber
dem Erdboden. S.146 - Verlauf chemischer Reaktionen. S.147-
Ein- und Ausschalten cines elektrischen Stromes. S. 148
§ 8. Die Ryperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Analytische Definition. S. 148 - Additionstheoreme und Differentia
tionsformeln. S. 150 - Die Umkehrfunktionen. S.151 - Weitere Ana
logien. S. 152
§ 9. Die Gro13enordnung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Begriff der Gro13enordnung. Einfachste Faile. S. 154 - Die Gro13en
ordnung der Exponentiaifunktion und des Logarithmus. S. 155 - All
gemeine Bemerkungen. S. 156 - Die Gro13enordnung einer Funktion
in der Umgebung eines beliebigen Punktes. S. 157 - Gro13enordnung des
Verschwindens einer Funktion. S. 158
Anhang zum dritten Kapitel.
§ 1. Betrachtung einiger spezieller Funktionen . . . . ... . . . . . . . . 158
1 1
Die Funktion y = e x'. S. 159 - Die Funktion y = e --;. S. 159
1 1
~ Die Funktion y = :tg -. S. 160 - Die Funktion y = x :to - •
x x
S. 161 - Die Funktion y = x sin!, y (0) = O. S. 161
x
§ 2. Bemerkungen iiber die Differenzierbarkeit von Funktionen ]62
§ 3. Verschiedene Einzelheiten ............. . 163
Beweis des binomischen Satzes. S. 163 - Fortgesetzte Differentia
tion. S. 164 - Weitere Beispiele fiir Anwendung der Kettenregel. Ver
allgemeinerter Mittelwertsatz. S. 165
Inhaltsverzeichnis. XI
Seile
Viertes Kapitel.
Weiterer Ausbau der Integralrechnung.
§ 1. Zusammenstellung der elementaren Integrale ............ 166.
§ 2. Die Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Die Substitutionsformel. S. 168 - Neuer Beweis der Substitutions
formel. S.I71 - Beispiele. Integrationsformeln. S.172
§ 3. Weitere Beispiele zur Substitutionsmethode. . . . . . . . . . 173
§ 4. Die Produktintegration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Allgemeines. S. 176 - Beispiele. S. 177 - Rekursionsformeln. S.178
- Die Wallissche Produktzerlegung von 7/:. S. 180
§ 5. Integration der rationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . 182
Aufstellung der Grundtypen. S. 182 - Integration der G'rundtypen.
S. 183 - Die Partialbruchzerlegung. S. 185 - Beispiel. Chemische
Reaktionen. S. 186 - Weitere Beispiele flir Partialbruchzerlegung.
(Methode der unbestimmten Koeffizienten.) S. 187
§ 6. Integration einiger anderer Funktionenklassen . . . . . . . . . . . 189
Vorbemerkungen liber die rationale Darstellung der trigonometrischen
und Hyperbeifunktionen. S. 189 - Integration von R (cos x, sin x).
S. 190 - Integration von R ([of x, 6in x). S.191 - Integration von
R (x, V1 - ":;2). S. 191 - Integration von R (x, t x2 -1). s. 191
- Integration von R (x, f x2 + 1). S. 192 - Integration von
R (x, f~;2-+2bx-+c). S. 192 - Weitere Beispiele flir Zurlick
flihrung auf Integrale rationaler Funktionen. S. 192 - Bemerkungen
zu den Beispielen. S. 193
§ 7. Bemerkungen liber Funktionen, die sich nicht mittels der elementaren
Funktionen integrieren lassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Definition von Funktionen durch Integrale. Elliptische Integrale.
S. 194 - Grundsatzliches liber Differentiation und Integration. S. 196
§ 8. Erweiterung des Integralbegriffes. Uneigentliche Integrale . . . . . 197
Funktionen mit Sprungstellen. S. 197 - Funktionen mit Unend
lichkeitsstellen. S. 197 - Unendliches Integrationsintervall. S.201
Flinftes Kapitel.
Anwendungen.
§ 1. Darstellung von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Die Parameterdarstellung. S.205 - Die zu einer Kurve gehorigen
Differentialquotienten bei Parameterdarstellung. S. 208 - Ubergang
zu neuen Koordinatensystemen bei Parameterdarstellung. S.21O
Allgemeine Bemerkungen. S. 211
§ 2. Anwendung auf die Theorie der ebenen Kurven . . . . . . . . . . . 211
Der Flacheninhalt in rechtwinkligen Koordinaten. S. 211 - Flachen
inhalt in Polarkoordinaten. S.217 - Lange einer Kurve. S.218-
Die Krlimmung einer Kurve. S. 222 - Schwerpunkt und statisches
Moment einer Kurve. S.224 - Flacheninhalt und Volumen einer Ro
tationsfiache. S.225 - Tragheitsmoment. S.226
§ 3. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Die gemeine Zykloide. S. 227 - Kettenlinie. S. 228 - Ellipse und
Lemniskate. S. 229