Vorlesungen über die Hypergeometrische Funktion: Gehalten an der Universität Göttingen im Wintersemester 1893/94 PDF
Preview Vorlesungen über die Hypergeometrische Funktion: Gehalten an der Universität Göttingen im Wintersemester 1893/94
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 39 ASeries 0/ Comprehensive Studies in Mathematics Felix Klein Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion Reprint Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1981 CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek: Klein, Felix: Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion/Felix Klein. -Reprint [d. Ausg.] (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften; Bd. 39) ISBN 978-3-540-10455-1 ISBN 978-3-642-67888-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-67888-2 AMS-Subject Classifications (1970): 30 C XX, 33-XX Das Werk ist urheben:~chtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Ubersetzung, des Nachdrucks, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Bei Vervielfältigungen für gewerbliche Zwecke ist gem. § 54 UrhG eine Vergütung an den Verlag zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. Copyright 1933 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg Ursprünglich erschienen bei Julius Springer in Berlin 1933 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1933 2140/3014-54321 DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERÜCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE GEMEINSAM MIT c. W.BLASCHKE M. BORN RUNGEt HAMBURG GÖTTINGEN GÖTTINGEN HERAUSGEGEBEN VON R.COURANT GÖTTIN GEN BAND XXXIX VORLESUNGEN ÜBER DIE HYPERGEOMETRISCHE FUNKTION VON FELIX KLEIN SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1933 FELIX KLEIN VORLESUNGEN ÜBER DIE HYPERGEOMETRISCHE FUNKTION GEHALTEN AN DER UNIVERSITÄT GÖTTINGEN IM WINTERSEMESTER 1893/94 AUSGEARBEITET VON ERNST RITTER HERAUSGEGEBEN UND MIT ANMERKUNGEN VERSEHEN VON OTTO HAUPT PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT ERLANGEN MIT 96 FIGUREN SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1933 Vorwort. Bei der Herausgabe der KLEINschen Vorlesung über die hyper geometrische Funktion erschienen nur zwei Wege gangbar: Entweder eine durchgreifende Umarbeitung, auch im großen, oder eine möglichst weitgehende Erhaltung der ursprünglichen Form. Vor allem auch aus historischen Gründen wurde der letztere Weg beschritten. Daher ist die Anordnung des Stoffes erhalten geblieben; e,s ist nur, von kleinen Änderungen abgesehen, ein Exkurs über homogene Schreibweise aus der KLEINschen Vorlesung über lineare Differentialgleichungen ein gefügt, ferner sind die Schlußbemerkungen zur geometrischen Theorie im Falle komplexer Exponenten als durch die Arbeiten von F. SCHILLING überholt, weggelassen. Aus dem obengenannten Grunde sind beispiels weise auch Entwicklungen beibehalten worden, die heute schon dem Anfänger geläufig sind (etwa die Ausführungen über stereographische Projektion). In Rücksicht auf möglichste Erhaltung der KLEINschen Darstellung sind ferner Hinweise des Herausgebers auf inzwischen ge machte Fortschritte der Wissenschaft vom Texte getrennt als Anmerkun gen am Schluß zusammengestellt. Diese Hinweise erheben aber in keiner Weise den Anspruch auf Vollständigkeit. Bei der nicht zu um gehenden Revision des Textes im einzelnen ist, dem oben angegebenen Gesichtspunkt entsprechend, möglichste Wahrung des persönlichen KLEINschen Stils angestrebt. übrigens habe ich darauf Bedacht genommen, auch dem A nlänger die Lektüre durch Anmerkungen und durch Nachweise der KLEINschen Zitate zu erleichtern. Denn zweifellos bieten gerade diese Vorlesungen eine treffliche Ergänzung und Weiterführung dessen, was der Studierende mittleren Semesters an Geometrie und Funktionentheorie kennen gelernt hat. Alles in allem wurde danach getrachtet, dem Zweck der vorliegenden Neuausgabe gerecht zu werden: Auch diesem Werke KLEINS den ihm gebührenden Platz, insbesondere im Unterrichte, zu erhalten. Es war ursprünglich geplant, der vorliegenden Ausgabe einen Anhang über lineare Differentialgleichungen anzufügen, in welchem unter anderem auch die in der gleichnamigen Vorlesung von KLEIN be sprochenen Fragen behandelt und in welchem auch die Literaturnach weise vervollständigt werden sollten. Die Ungunst der Zeit zwang dazu, die Ausführung dieses Planes auf später zu verschieben. VI Vorwort. Herzlichst zu danken habe ich vor allem Herrn W. WIRTIN GER-Wien für viele, höchst wertvolle Bemerkungen, die in den Anmerkungen ihren Niederschlag fanden. So gehen - unter anderem - auf Anregungen von Herrn WIRTINGER zurück die Anmerkungen: [*] zu Seite 15; [**] zu Seite 16; [*] zu Seite 32; erster Absatz von [**] zu Seite 33; [*] zu Seite 51; [*] zu Seite 64; [*] zu Seite 131. Ebenfalls sehr ver pflichtet bin ich Herrn E. VON WEBER-Würzburg für seine so förder lichen Ratschläge gelegentlich der Durchsicht des Manuskriptes. Meinen besten Dank sage ich ferner Herrn R. BAER-Halle für Mitteilungen bezüglich des gegenwärtigen Standes der PICARD-VESsIOTschen Theorie, welche in der Anmerkung [*] zu Seite 279 zusammengefaßt sind. End lich hatte Exzellenz VON RAUCHENBERGER-München die große Liebens würdigkeit, das Manuskript einer genauen Durchsicht zu unterziehen sowie die Korrekturen mit zu lesen. Herr A. VÖLKL-Nürnberg hat mich auch diesmal aufs beste unterstützt; er hat die Korrekturen mitgelesen, die sämtlichen Figuren entworfen sowie bei der Fertigstellung des Literaturverzeichnisses mitgewirkt. Nicht verfehlen möchte ich auch, das liebenswürdige Entgegenkommen hervorzuheben, mit dem der Herausgeber sowie der Verlag meinen Wünschen entgegenkamen. Ich schließe mit herzlichstem Dank an meine Frau, welche mir dUrch die Herstellung der Reinschrift des Manuskriptes wieder so sehr viel ge holfen hat. Erlangen, im April 1933. HAUPT. Inhaltsverzeichnis. Seite Vorbemerkung .. Erster Teil. Die geschichtliche Entwicklung bis einschließlich RIEMANNS Arbeit aus dem Jahre 1857. . . . . . . . . .. 2 Einleitung: Erstes Auftreten der hypergeometrischen Funktion: Reihe, Differentialgleichung, bestimmtes Integral. . . .. 2 Erster Abschnitt: Die hypergeometrische Reihe F(a, b; c; x) . .. 8 § 1. GAUSS' Arbeit: Konvergenz der Reihe, verwandte Funktionen, Bestim- mung von F(a, b; c; 1) . . . . . . . . . . 8 § 2. Verhalten der Reihe auf dem Konvergenzkreis . . . . . . . . .. 15 § 3. Verschiedene Verallgemeinerungen . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Zweiter Abschnitt: Die hypergeometrische Differentialgleichung 23 § 4. Allgemeines über die Integration von Differentialgleichungen. Die RIE- MANNsche Bezeichnung der P-Funktion . . . . . . . 23 § 5. Existenz der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 § 6. Reihenentwicklungen für die Umgebung einer singulären Stelle . .. 33 § 7· Reihenentwicklungen bei ganzzahligen Exponentendifferenzen : Aus- nahmefall zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 35 § 8. Reihenentwicklungen bei ganzzahligen Exponentendifferenzen : Aus- nahmefall erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 § 9· Die 24 Reihenentwicklungen von KUMMER und ihre Konvergenzbereiche 43 § 10. Lineare Beziehungen zwischen den verschiedenen Fundamentallösungen 49 §11. RIEMANNS Grundauffassung. Die Monodromiegruppe der P-Funktion 53 § 12. Kanonische Form der erzeugenden Substitutionen . . . . . . . .. 57 Dritter Abschnitt: Darstellung der hypergeometrischen Funktion durch bestimmte Integrale. . . . . . 62 § 13. Integrationswege. Homogene Schreibweise. . . . . . . . 62 § 14. Grundeigenschaften der Gammafunktion . . . . . . . . . 68 § 15. Definition der Gammafunktion durch das Schleifenintegral 76 § 16. Das EULERsche Integral erster Art. . . . . . . . . 79 § 17. Verallgemeinerung der EULERschen Integrale 85 § 18. Das hypergeometrische Integral. Seine Vieldeutigkeit. 88 A. Algebraische Bemerkungen . . . . . . . . . . . 89 B. Funktionentheoretische Bemerkungen . . . . . . 91 § 19. Funktionentheoretische Untersuchung des hypergeometrischen Integrals, insbesondere sein Zusammenhang mit der P-Funktion . . . . . . 96 § 20. Theorie der P-Funktion vom Integral aus . . . . . . . . . 103 § 21. Die zu einer P-Funktion gehörigen acht Integrale. Homogene Normie- rung der P-Funktion ..................... 109 § 22. Anhang zum dritten Abschnitt: Einige Bemerkungen über lineare Diffe rentialgleichungen zweiter Ordnung mit n singulären Stellen der Be stimmtheit (n:2: 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 VIII Inhaltsverzeichnis. Seite Vierter Abschnitt: Abschließende Bemerkungen zu RIEMANNS Ab- handlung aus dem Jahre 1857 • . . . . . . . . . . . 118 § 23. Der allgemeine Charakter der Abhandlung, ihre Gliederung. 118 § 24. Bedeutung des Wertes der Exponentensumme. Nebenpunkte 123 § 25. Die verwandten Funktionen. GAU55' Kettenbruch . . . . . 128 § 26. Verallgemeinerung: Das Fragment XXI aus RIEMANNS Nachlaß. 132 Zweiter Teil. Die konforme Abbildung durch den Quotienten "l . . . 138 Erste Hälfte. ....... .. Der allgemeine Ansatz ,- 138 Erster Abschnitt: Differentialgleichung dritter Ordnung für 1/ 138 § 27. Einführung der Differentialgleichung . . . . . . . . . . 138 § 28. Allgemeine Lösung der Differentialgleichung dritter Ordnung. Konforme Abbildung • . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . 143 § 29. Beziehung zur linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung; RICCATI- sche Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 § 30. Exkurs über die LIESche Auffassung . . . . . . . . . . . . . . . 151 § 3t. Gewöhnliche RIccATIsche Differentialgleichung. BEssELSche Funktionen t54 Zweiter Abschnitt: übersicht über die sphärische Trigonometrie 158 § 32. Die elementaren Ansätze; analytische Auffassung . • . . . . . • . t 58 § 33. Transzendente und algebraische Trigonometrie •.... ; ..... t62 § 34. Transzendente Trigonometrie. Der .. Kern"; die .. verwandten" Dreiecke t66 § 35. Algebraische Trigonometrie . . . • . . • . . . . . t69 § 36. Trigonometrie als Invariantentheorie dreier diametraler quadratischer Formen . . . . . • . • . . • . . • . . . 173 § 37. Übertragung auf beliebige quadratische Formen 179 § 38. Exkurs über nichteuklidische Geometrie. t 82 § 39. Die SCHILLINGSche Figur. . . . . . . . . . . t 89 § 40. Kin-amatische Bedeutung des Kerns . . . . . 193 Dritter Abschnitt: Der Fundamentalbereich der 1/-Funktion 196 § 4t. Fundamentalbereich und Kern. . . . . . . . . 196 § 42. Monodromiegruppe und sphll.rische Trigonometrie. 20t § 43. Verwandte Funktionen. Nebenpunkte usw. 204 Zweite Hälfte. Der besondere Fall reeller Exponenten 206 Vierter Abschnitt: Einleitung . . . . . . • . 206 § 44. Die Kreisbogendreiecke als Flächen (Membrane) . . . 206 § 45. Die Ergänzungsrelationen • • . . . . . . . . . . . 210 Fünfter Abschnitt: Genaueres Studium der Dreiecke 2ft § 46. Grundlegende Beziehungen. Drei Fälle des Kerns . 2t t § 47. Die Maßzahlen der Winkel und Seiten . . . . . . 2t5 § 48. Die zu einem Kern gehörigen reduzierten Dreiecke. 219 § 49. Besonderheiten des Falles II . . . . . . . . . 225 § SO. Übergang zu den allgemeinsten Dreiecksflächen 228 § 5t. Ganzzahlige Exponenten. 234 § 52. Der BEssELSche Grenzfall . . . . . . . . . . 238 Inhaltsverzeichnis. IX SeIte Sechster Abschnitt: Funktionen theoretische Bedeutung der Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 § 53. Die Gleichung "I (~) = konst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 § 54. Die zu zwei verwandten P-Funktionen gehörige Determinante . . . 243 Siebenter Abschnitt: Analytische Fortsetzung der "I-Funktion 249 § 55. Einführung des Symmetrieprinzips (Spiegelungsprinzips) • • . . . . . 249 Achter Abschnitt: Zurückführung auf niedere Funktionen. (Erste Anwendung des Symmetrieprinzips) . . . 254 § 56. Rationale Funktionen . . . . . . . . ... . . . . . . 254 § 57. Algebraische Funktionen, insbesondere der Ikosaederfall 257 § 58. Allgemeines über rationale Transformation. . . . . . . 266 § 59. Zusammenhänge zwischen verwandten Funktionen. . . 268 § 60. 'I-Funktionen, die sich auf unbestimmte Integrale reduzieren lassen 274 § 61. Stellung zu PICARD-VBSSIOT • • • • • • • • • • • • • • • • •• 279 Neunter Abschnitt: Zurückführung auf eindeutige Funktionen. (Zweite Anwendung des Symmetrieprinzips) 286 § 62. Eindeutig umkehrbare "I-Funktionen . . . . . . . . 286 § 63. Darstellung aller 'I-Funktionen durch besondere "I-Funktionen 295 Anmerkungen . . . . 303 Literaturverzeichnis 336 Sachverzeichnis. . . 343
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