Vorkurs Mathematik für Nebenfachstudierende: Mathematisches Grundwissen für den Einstieg ins Studium als Nicht-Mathematiker

199 Pages·2015·6.24 MB·German

by  Marcel Klinger (auth.)

Vorkurs Mathematik für Nebenfachstudierende
Marcel Klinger
Vorkurs Mathematik für
Nebenfachstudierende
Mathematisches Grundwissen für
den Einstieg ins Studium als Nicht-
Mathematiker
Marcel Klinger
Fakultät für Mathematik
Universität Duisburg-Essen
Essen, Deutschland
ISBN 978-3-658-06595-9 ISBN 978-3-658-06596-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-06596-6
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Für Christel
Vorwort oder FAQ
An wen richtet sich dieses Buch? In erster Linie richtet sich dieses Buch natu¨rlich ganz
dem Namen nach an Studierende, in deren Studienverlauf Mathematik nur als Nebenfach
auftritt. Ich habe besonders darauf geachtet, motivierende, anschauliche und anwendungs-
bezogene Beispiele zu finden, da klar ist, dass sich nicht jeder Leser gleichermaßen fu¨r Ma-
thematik interessiert oder gar begeistern kann. Enthusiasmus fu¨r Mathematik ist also nur
eineKann-Bedingung,keineMuss-Bedingung.Natu¨rlichstehtaberauchjedemmathematisch
Interessierten die Lektu¨re dieses Werkes frei. Es eignet sich mit seinen Inhalten zudem fu¨r
angehende Fachmathematiker wie auch Lehramtskandidaten.
ObwohldasWerkdasTitelwort Vorkurs“ fu¨hrt,kannmanesaberauchparallelzudenersten
”
Studiensemesternlesen.Erfahrungsgem¨aßistesmeistgewinnbringenddiegleichenDingevon
zwei oder mehr Stellen erkl¨art zu bekommen.
Was enth¨alt dieses Buch? Das Buch ist in drei große Kapitel gegliedert: Es beginnt mit
dem Kapitel Grundlagen“. Hier wird auf die mathematischen Begriffe und Notationen einge-
”
gangen, die nicht immer in Anf¨angervorlesungen in der Pr¨azision erl¨autert werden wie sie ein
Studieneinsteigerben¨otigt.AußerdemfrischenwireinbisschendieMathematikderMittelstufe
auf und fu¨hren gleichsam etwaig bekannte Definitionen erneut in einer universit¨atskonformen
Schreibweise ein.
Das zweite Kapitel widmet sich der (linearen) Algebra. Dies ist ein großer Themenblock, der
nebendersog.AnalysismeistdenErstkontaktmitHochschulmathematikdarstellt,sowohlfu¨r
Nebenf¨achler als auch Hauptfachstudierende und Lehramtskandidaten. Wichtige Stichworte
sind lineare Gleichungssysteme, Vektorr¨aume und Matrizenrechnung.
Im dritten und letzten Kapitel dieses Werkes findet sich die bereits angesprochene Analysis.
HierfrischenwirallesausderSchuleBekanntezuFunktionenunddemVerhaltenselbigerauf.
Schlagw¨orter sind Nullstelle, Ableitung, Kurvendiskussion und Integral.
AlsGrundlagedienteeinausfu¨hrlichesVorlesungsskriptumzueinemVorkurs,denichimM¨arz
2014anderTechnischenUniversit¨atDortmundfu¨rStudienanf¨angerderInformatikhaltendurf-
te. Erfahrungen aus dieser Zeit habe ich in einem Bericht festgehalten (vgl. Klinger 2014
[39]).
Reicht denn ein Buch zur Vorbereitung auf das Studium?Dasistnatu¨rlicheineFrage,
die sich jeder selbst beantworten muss. Die meisten lesen meiner Erfahrung nach aber gar
nichts vor dem Studium. Ein Buch ist natu¨rlich auch nicht die einzige M¨oglichkeit zur Vor-
bereitung: Fast alle Universit¨aten und Fachhochschulen bieten vor Studienbeginn kostenlose
Vorkurse (oft auch Bru¨ckenkurse“ genannt) an. Diese sollen den gleichen Zweck wie dieses
”
Buch erfu¨llen, bieten aber auch noch den Vorteil, bereits vor dem offiziellen Studienstart ein-
mal in einer Vorlesung gesessen zu haben.
Was sollte ich vor dem Studium lernen? Wer viel aus der Schule mitbringt, braucht im
Grunde nichts lernen. Schaden tut es jedoch nie und da du dieses Buch in H¨anden h¨altst,
hast du ja bereits den ersten Schritt getan. Wichtig ist aber meiner Meinung nach nicht nur
eine gut sitzende Schulmathematik. Deshalb betrachten wir in diesem Werk nicht nur wichti-
ges Basiswissen, sondern gehen an einigen Stellen auch u¨ber das Schulniveau hinaus. Hierzu
VIII Vorwort oderFAQ
geho¨rt natu¨rlich auch das Anbahnen universita¨tsu¨blicher Schreibweisen und Formulierungen.
InAusblickenamEndeeinesjedenKapitelshaltenwirfernerfest,waswirausgelassenhaben,
undversucheninteressantewiemotivierendeEinblickeindaszugeben,wasnochkommt.Auch
einige Hinweise zu weiterfu¨hrender Literatur habe ich eingebaut, falls dieses Buch sich nicht
als hinreichend s¨attigend herausstellen sollte.
Gibt es auch U¨bungsaufgaben zum Stoff des Buches? Zu jedem Unterkapitel gibt es
einige U¨bungsaufgaben an dessen Ende. Hier kannst du testen, ob du alles verstanden hast.
Diese sind teilweise auf recht hohem Niveau und lassen sich entgegen der Gewohnheit aus
der Schule manchmal nur mit viel Nachdenken oder – und auch das geh¨ort definitiv zum
Studium dazu – leider sogar gar nicht l¨osen. Ich habe mich bewusst dazu entschieden, diese
Anforderungen an den Leser zu stellen, da es meiner Erfahrung nach auch die Professoren im
Studium tun werden. Lass dich davon aber m¨oglichst nicht abschrecken.
Musterl¨osungen mit einigen Erkl¨arungen stellen wir auf der Springer-Homepage zum Buch
bereit. Diese findest du auf
http://www.springer.com/mathematics/book/978-3-658-06595-9
unter der U¨berschrift Zus¨atzliche Informationen“.
”
Du solltest bevor du zur Lektu¨re der L¨osungen schreitest dir jedoch zun¨achst ggfs. die Z¨ahne
ausbeißen,d.h.einwenigdaru¨bernachdenken.SoistderLerneffekterfahrungsgem¨aßamergie-
bigsten.InterpretieredieAufgabeninklusiveMusterl¨osungenalsom¨oglichstnichtalsweiteren
Leseteil des Buches.
Was mache ich, wenn ich einen Fehler entdecke? Obwohlich gr¨oßteSorgfalt beimVer-
fassenhabewaltenlassen,sindFehlernatu¨rlichnichtausgeschlossen.U¨berdieMeldungeines
Fehlers via E-Mail an [email protected] freue ich mich sehr herzlich.
WarumistdiesesBuch nur“ 200Seitenlang?Ichhabemirnatu¨rlicheinigeLiteraturim
”
UmfeldmathematischerStudienvorkurseangeschaut.DieBu¨cher,diedabeizuTagegef¨ordert
wurden,umfasstenz.T.500undmehrSeiten.Ichkannmirvorstellen,dassdiesegroßeMenge
zu Beginn sehr unu¨bersichtlich wirkt, ich selbst wu¨rde es sicher so empfinden! Deswegen war
esmirwichtig,einetwaskleineresBuchzumachen.Natu¨rlichsind200Seitenaberauchnoch
recht viel und man wird es nicht von heute auf morgen durchlesen k¨onnen.
Was mache ich, wenn ich etwas einfach nicht verstehe? Das geh¨ort zur Mathematik
dazu.EsgibteinfachDinge,u¨berdiekannmanStundengru¨belnundmanwirdkeineEinsicht
indieMaterieerhaltenunddas,obwohlwom¨oglichjemandanderesgenaudieseSacheinzehn
Minuten durchschaut. Das ist aber – wie gesagt – v¨ollig normal und sollte nicht demotivieren
(obwohl es das natu¨rlich tut; machen wir uns nichts vor).
In solchen Situationen hilft es manchmal ein anderes Buch heranzuziehen. Ein weiterer Autor
gehtbeiderErkl¨arungeventuelleinenetwasanderenWegundpl¨otzlichmachtesklick.Meist
ist es dann sogar so, dass man nun auch den Ausgangstext versteht. Alternativ sollte man
Kommilitonen (Mitstudierende) fragen oder, falls bereits bekannt, an Dozenten und U¨bungs-
leiter herantreten. Und last but not least gibt es ja auch noch Google...
Vorwort oderFAQ IX
Da diese FAQ auch die Funktion eines Vorwortes erfu¨llen sollen, m¨ochte ich zun¨achst mit
etwas Dank fortfahren.
Natu¨rlichhabeichwiejeder,derbishereinBuchgeschriebenhat,daru¨bernachgedacht,obes
eine M¨oglichkeit gibt hier nicht stereotyp vorzugehen. Leider stieß meine Kreativit¨at an ihre
Grenzen und so m¨ochte ich zun¨achst der Fakult¨at fu¨r Informatik der Technischen Universit¨at
Dortmund danken, die mit der Verantwortung, welche sie mir anvertraute, dieses Werk u¨ber-
haupt initial anstieß.
Ferner danke ich auch Frau Schmickler-Hirzebruch vom Springer-Verlag, die von Anfang an
sehr angetan bezu¨glich der Idee und Umsetzung dieses Buches agierte.
Prof. Dr. B¨arbel Barzel m¨ochte ich danken, dass sie sich die Zeit genommen hat, um mit mir
gemeinsam u¨ber das Manuskript zu schauen und mich ebenso bei der Umsetzung unterstu¨tzt
hat.
Lutz Bu¨ch danke ich an dieser Stelle fu¨r die Nutzungserlaubnis seines Gedichtes.
Miriam Georges, Dennis Kral, Hana Ruchniewicz, Dr. Frank Schulz, Daniel Thurm und Marc
ChristianZimmermanngebu¨hrtnatu¨rlichaucheinganzbesondererDank,habtihrdochmaß-
geblich Zeit in die Korrektur meiner Missetaten investiert.
Selbstverst¨andlichschließeichmiteinemgewaltigenDankanmeineEltern,FamilieundFreun-
de, die in letzter Zeit unter der Arbeit, die ich in diese Seiten gesteckt habe, leiden mussten
und dies bereitwillig in Kauf nahmen.
Annika, der letzte Dank gebu¨hrt selbstverst¨andlich dir. Du hast nicht nur an vielen Abenden
auf meine kognitive Anwesenheit verzichten mu¨ssen. Nein, du hast natu¨rlich auch mit deiner
mentalenwiepraktischenUnterstu¨tzungeinenwesentlichenTeilzurEntstehungdiesesBuches
beigesteuert.
Nochmals allen ein sehr herzliches Dankesch¨on!
Widmenm¨ochteichdiesesBuchabermeiner2004verstorbenenGroßmutter.Mitihremwun-
dervollen Charakter hat sie meine Kindheit maßgeblich beeinflusst und ich habe mir stets
vorgenommen,sollteicheinmaleinBuchschreiben,egalobEinrichtungsratgeber,Telefonver-
zeichnis oder Lehrbuch, gebu¨hrt dir Christel die Widmung.
Und ich m¨ochte schließen, indem ich allen Lesern an dieser Stelle natu¨rlich eine gewinnbrin-
gende Lektu¨re dieses Werkes, aber noch wichtiger – einen erfolgreichen Start ins Studium –
wu¨nsche.
Dortmund und Essen im Juni 2014 Marcel Klinger
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 1
1.1 Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Logische Verknu¨pfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Beschreibung von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5 Kardinalit¨at und Potenzmenge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Reelle Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Rechenregeln und Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1 Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Potenz und Wurzel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Summen- und Produktzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.4 Fakult¨at und Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Beweise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.1 Direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.2 Indirekter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.3 Gegenbeispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5.4 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6.2 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.6.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.7 Was fast nie erkl¨art wird... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.7.1 Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.7.2 Begriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.7.3 Griechisches Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.7.4 Englisches Fachvokabular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.8 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2 Algebra 67
2.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
XII Inhaltsverzeichnis
2.1.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.3 L¨osungsverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2.1 Verknu¨pfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2.2 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3 K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.3.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.4 Vektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.4.2 Der Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.4.3 Geraden und Ebenen im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.4.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.5 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.5.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.5.2 Matrix-Vektor-Multiplikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.5.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.5.4 Matrix-Matrix-Multiplikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.5.5 Matrizen als Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.5.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.5.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.6 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3 Analysis 123
3.1 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.1.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.1.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.1.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.2 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.2.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.3.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.4 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.4.1 Sekante, Tangente und Passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.4.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.4.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.4.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.5 Weitere Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.5.1 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.5.2 Wendestellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.5.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.5.4 Unendlichkeitsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.5.5 Exemplarische Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.5.A Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.6 Besondere reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.6.1 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.6.2 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.6.3 Natu¨rliche Exponential- und Logarithmusfunktion. . . . . . . . . . . . 161