Vorkurs Mathematik: Arbeitsbuch zum Studienbeginn in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

425 Pages·2005·3.972 MB·German

by  Prof. Dr. Erhard Cramer, Dr. Johana Nešlehová (auth.)

E. Cramer • J. Nešlehová
Vorkurs Mathematik
Arbeitsbuch zum Studienbeginn in den
Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
123
Prof. Dr. Erhard Cramer
Fachbereich Mathematik
Technische Universität Darmstadt
Schloßgartenstraße 7
64289 Darmstadt, Deutschland
e-mail: [email protected]
Dr. Johana Nešlehová
Institut für Mathematik
Carl von Ossietzky Universität Oldenburg
26111 Oldenburg, Deutschland
e-mail: [email protected]
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Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Mathematics Subject Classification (2000): 62-01
ISBN 3-540-21920-X Springer Berlin Heidelberg New York
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Einbandgestaltung: design & production, Heidelberg
a
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Gedruckt auf säurefreiem Papier 40/3142YL - 543210
Vorwort v
Vorwort
MathematischesSchulwissenwirdinVorlesungenvielerStudieng¨angealsbe-
kannt und vollst¨andig verstanden vorausgesetzt. In der Realit¨at zeigt sich
jedoch, dass dieser Anspruch zunehmend nicht erfu¨llt ist und Studierende
oft Schwierigkeiten haben, dem Inhalt einer einfu¨hrenden Veranstaltung zur
Mathematik oder Statistik zu folgen. Zur Schließung vorhandener Lu¨cken
werden daher oft Vorkurse oder so genannte Bru¨ckenkurse“ angeboten, die
”
das Schulwissen beginnend bei Mengenlehre und Bruchrechnung aufberei-
ten. Aus einem derartigen Kurs, der von den Autoren an der Universit¨at
Oldenburg mehrfach durchgefu¨hrt wurde, ist auch die Idee zu diesem Buch
entstanden. Der Vorkurs Mathematik pr¨asentiert die bis zur Oberstufe des
GymnasiumsvermittelteMathematikineinerForm,dieeinerseitsdasSelbst-
studium ohne weitere Betreuung erlaubt und andererseits den Einsatz des
Buchs als Begleittext zu einem Vorkurs unterstu¨tzt. Dazu enth¨alt er neben
einerausfu¨hrlichenDarstellungderInhalteundeinergroßenAnzahlvonBei-
spieleneineVielzahlvonAufgabenmitausfu¨hrlichenL¨osungen,dieLernende
bei der (selbstst¨andigen) Einu¨bung des Stoffs sowie der Analyse der eigenen
Bearbeitung unterstu¨tzen.
Als ein weiterer zentraler Aspekt enth¨alt dieses Buch viele Beispiele aus der
angewandtenStatistikundWahrscheinlichkeitsrechnung.DieseBereichestel-
len ein wichtiges Anwendungsfeld der Mathematik in den Wirtschafts- und
Sozialwissenschaften dar und liefern somit die Motivation fu¨r die ben¨otigte
Mathematik.DieDarstellungindiesemBuchtr¨agtdiesemZielauchdadurch
Rechnung, dass sie Themen wie z.B. Funktionen, Mengen, Folgen etc. und
Problemstellungen aufgreift, die in der Statistik von Bedeutung sind. Dabei
werden zwangsl¨aufig Begriffe eingefu¨hrt, deren inhaltliche Relevanz sich erst
imRahmeneinerVeranstaltungzurStatistikerschließt.EinevertiefendeDis-
kussionsowiederAufbaueinesVerst¨andnissesfu¨rdieseBegriffekannundsoll
hier nicht geleistet werden. Ein Vorteil dieses Ansatzes besteht darin, dass
Lernende den Umgang mit Begriffen einu¨ben und den mathematischen Ge-
halt des Begriffs realisieren. Insofern er¨offnet dieser Zugang einen wichtigen
Beitrag zum abstrakten Denken und bietet zudem Wiedererkennungseffekte
in den Veranstaltungen zur Statistik. Zudem kann der Vorkurs begleitend
zu einer Statistikveranstaltung genutzt werden, um mathematische Zusam-
menh¨ange aufzuarbeiten.
vi Vorwort
Das vorliegende Buch erscheint in der Reihe EMILeA-stat:Medienreihe
zur angewandten Statistik, die projektbegleitend zum Multimediaprojekt
EMILeA-stat∗ herausgegeben wird. Teile dieses Manuskripts werden dem-
n¨achst auch in der im Rahmen dieses Projekts entwickelten Lehr- und Ler-
numgebung zur Verfu¨gung stehen. Zudem k¨onnen statistische Fachbegriffe
dort oder in einfu¨hrenden Bu¨chern wie z.B. Burkschat et al. (2004) und
Becker und Genschel (2004) nachgelesen werden.
DerVorkursumfasstinzw¨olfKapitelndasineinemStudiumderWirtschafts-
und Sozialwissenschaften ben¨otigte mathematische Schulwissen, wobei ein
großer Teil der in den Vorlesungen zur Statistik vorausgesetzten Mathema-
tikkenntnisse abgedeckt wird. Ausfu¨hrlicher als in der Schule werden fu¨r die
Statistik bedeutsame Themen wie Summen- und Produktzeichen oder Fol-
gen und Reihen behandelt. Einige weiterfu¨hrende Konzepte wie Funktionen
mehrerer Ver¨anderlicher sind nicht enthalten und mu¨ssen an anderer Stelle
nachgelesen werden (s. z.B. Kamps et al., 2003).
Der Vorkurs Mathematik unterscheidet sich von anderen Lehrbu¨chern durch
die inhaltliche Konzeption, die Art der Darstellung und die problem- und
zielorientierte Aufbereitung. Insbesondere werden folgende Aspekte beru¨ck-
sichtigt:
Alle vorgestellten Begriffe werden ausfu¨hrlich erl¨autert und – sofern sinn-
voll – grafisch veranschaulicht. Dabei ist die Wiederholung von bereits
vorgestelltenInhaltenbeabsichtigt,umdenLernendendieM¨oglichkeitzu
geben, die Themen selbstst¨andig zu erarbeiten und einzuu¨ben.
Die Methoden und Verfahren werden durch viele Beispiele aus der ange-
wandten Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung illustriert.
Erg¨anzend zur formalen Darstellung werden Begriffe und Eigenschaften
durchgehend auch verbal eingefu¨hrt bzw. erl¨autert.
Die große Auswahl an Aufgaben und deren ausfu¨hrliche L¨osungen un-
terstu¨tzendasselbstst¨andigeLernenunderm¨oglicheneineeffizienteSelbst-
kontrolle. Das Nachschlagen einer L¨osung zu einer Aufgabe (und umge-
kehrt)wirddurcheineinfachesVerweissystemerleichtert:AmRandeiner
Aufgabe (L¨osung) befindet sich jeweils ein Verweis auf die Seite, auf der
die zugeh¨orige L¨osung (Aufgabe) abgedruckt ist.
Die Gestaltung dieses Buchs ist an die modulare Online-Pr¨asentation der
InhalteinderLehr-undLernumgebungEMILeA-statangelehnt.Bezeich-
nungenundDefinitionen,BeispieleundRegelnsindimBuchgrafischher-
vorgehoben.
WichtigeStellenimText,dieeinerbesonderenAufmerksamkeitbedu¨rfen,
(cid:1)
werden auf dem Rand zus¨atzlich mit dem Symbol markiert.
∗ZuweiterenInformationens.http:\\www.emilea.de
Vorwort vii
VieleGrafikenillustrierenVorgehensweisenundVerfahren.Siedienenu.a.
der Vertiefung und dem besseren Verst¨andnis des Stoffs. Einige Grafi-
ken wurden mit dem EMILeA-stat Grafikpaket erzeugt (s. Cramer et al.,
2004).
VerweiseaufBeispiele,BegriffeundEigenschafteninnerhalbdesLehrtexts
sindeinerOnline-Umgebungnachempfunden.Jedem123(cid:1)Verweisistzur
schnellen Orientierung die zugeh¨orige Seitenzahl zugeordnet, so dass ein
Umweg u¨ber den Index entfallen kann.
Weitere Elemente zur besseren Orientierung sind ein ausfu¨hrlicher Index
und ein strukturiertes Abku¨rzungs- und Symbolverzeichnis, das neben
einer kurzen Erl¨auterung auch den Verweis auf eine Textstelle enth¨alt.
DiezweifarbigeUmsetzungerm¨oglichtdieHervorhebungwesentlicherAs-
pekteunddieoptischeStrukturierungderInhalte.ZudemwerdenRechen-
schritteundArgumentationen durchdieKennzeichnungvonA¨nderungen
deutlicher gemacht.
Bei der Entstehung dieses Buchs wurden wir von Freunden und Kollegen in
vielerlei Hinsicht unterstu¨tzt. Herr Prof. Dr. Udo Kamps hat uns als Her-
ausgeberderEMILeA-stat-MedienreihezudiesemProjekteingeladenundes
in seiner Entstehung begleitet. Wir danken ihm weiterhin fu¨r einige wertvol-
le Anregungen, die zum Gelingen des Buchs beigetragen haben. Herrn Cle-
mensHeinegiltunserDankfu¨rdieausgezeichneteZusammenarbeitmitdem
Springer-Verlag. Einige Aufgaben und L¨osungen wurden von Frau Corinna
Krautz und Herrn Christian Mohn erstellt, der auch die Durchsicht einiger
Kapitel u¨bernommen hat. Schließlich gebu¨hrt unser besonderer Dank Frau
Dr. Katharina Cramer und Frau Doreen Scholze, die durch sorgf¨altiges Le-
sendesgesamtenManuskriptseinigeUnstimmigkeitenausgemerztunddurch
ihre Hinweise zur Verbesserung der Darstellung beigetragen haben.
Darmstadt, Oldenburg ErhardCramer,JohanaNeˇslehova´
Juni 2004
Inhaltsverzeichnis ix
Inhaltsverzeichnis
Vorwort........................................................... v
1 Grundlagen 3
1.1 Grundbegriffe..................................................... 4
1.2 Zahlbereiche und elementare Verknu¨pfungen............... 9
1.3 Runden von Zahlen.............................................. 24
1.4 Indizierung von Variablen ...................................... 27
1.5 Aufgaben.......................................................... 30
1.6 L¨osungen.......................................................... 34
2 Mengen 41
2.1 Spezielle Mengen ................................................ 41
2.2 Mengenoperationen.............................................. 47
2.3 Rechenregeln fu¨r Mengenoperationen........................ 56
2.4 Intervalle........................................................... 62
2.5 Aufgaben.......................................................... 63
2.6 L¨osungen.......................................................... 67
3 ElementareRechenoperationen 75
3.1 Bruchrechnung................................................... 75
3.2 Potenzen........................................................... 82
3.3 Wurzeln............................................................ 85
3.4 Logarithmen ...................................................... 89
3.5 Aufgaben.......................................................... 93
3.6 L¨osungen.......................................................... 98
4 Summen-undProduktzeichen 109
4.1 Summenzeichen.................................................. 109
4.2 Produktzeichen................................................... 127
4.3 Fakult¨aten und Binomialkoeffizienten........................ 133
x Inhaltsverzeichnis
4.4 Aufgaben.......................................................... 137
4.5 L¨osungen.......................................................... 140
5 Funktionen 149
5.1 Relationen und Funktionen .................................... 149
5.2 Grundlegende Funktionen...................................... 154
5.3 Funktionen mit Parametern.................................... 159
5.4 Eigenschaften von Funktionen................................. 161
5.5 Aufgaben.......................................................... 167
5.6 L¨osungen.......................................................... 169
6 Gleichungen 175
6.1 Lineare Gleichungen............................................. 181
6.2 Quadratische Gleichungen...................................... 183
6.3 Bruchgleichungen................................................ 195
6.4 Wurzelgleichungen............................................... 197
6.5 Logarithmische Gleichungen................................... 204
6.6 Exponentialgleichungen......................................... 208
6.7 Betragsgleichungen.............................................. 211
6.8 Gleichungen mit Parametern .................................. 219
6.9 Substitutionsmethode........................................... 221
6.10 LineareGleichungssystememitzweiGleichungenundzwei
Unbekannten...................................................... 223
6.11 Aufgaben.......................................................... 232
6.12 L¨osungen.......................................................... 236
7 PolynomeundPolynomgleichungen 251
7.1 Faktorisierung .................................................... 254
7.2 Substitutionsmethode........................................... 255
7.3 Polynomdivision.................................................. 258
7.4 Aufgaben.......................................................... 264
Inhaltsverzeichnis xi
7.5 L¨osungen.......................................................... 265
8 Ungleichungen 273
8.1 Lineare Ungleichungen.......................................... 274
8.2 Quadratische Ungleichungen................................... 277
8.3 Bruchungleichungen............................................. 283
8.4 Betragsungleichungen........................................... 287
8.5 Aufgaben.......................................................... 291
8.6 L¨osungen.......................................................... 292
9 FolgenundReihen 299
9.1 Folgen.............................................................. 299
9.2 Reihen.............................................................. 307
9.3 Spezielle Reihen.................................................. 309
9.4 Aufgaben.......................................................... 312
9.5 L¨osungen.......................................................... 314
10 Grenzwerte,Stetigkeit,Differentiation 321
10.1 Grenzwerte von Funktionen.................................... 321
10.2 Stetige Funktionen .............................................. 329
10.3 Differentiation.................................................... 333
10.4 Differentiation parameterabh¨angiger Funktionen.......... 341
10.5 Aufgaben.......................................................... 342
10.6 L¨osungen.......................................................... 343
11 Integration 351
11.1 Integration und Stammfunktionen............................ 351
11.2 Integrationsregeln................................................ 356
11.3 Integration von stu¨ckweise definierten Funktionen........ 360
11.4 Anwendungen in der Statistik................................. 362
11.5 Aufgaben.......................................................... 368
xii Inhaltsverzeichnis
11.6 L¨osungen.......................................................... 370
12 Optimierung 381
12.1 Monotonieverhalten............................................. 383
12.2 Extrema............................................................ 387
12.3 Konkavit¨at und Konvexit¨at.................................... 397
12.4 Optimierung bei stu¨ckweise definierten Funktionen....... 398
12.5 Anwendungen in der Statistik................................. 399
12.6 Aufgaben.......................................................... 407
12.7 L¨osungen.......................................................... 408
Literaturverzeichnis ........................................... 413
Symbol- und Abku¨rzungverzeichnis...................... 415
Index............................................................... 418