Vorkurs Mathematik: Arbeitsbuch zum Studienbeginn in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften (

445 Pages·2005·2.64 MB·German

by  E. Cramer

E. Cramer • J. Nešlehová
Vorkurs Mathematik
Arbeitsbuch zum Studienbeginn in den
Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Zweite Auflage
123
Prof. Dr. Erhard Cramer
Institut für Statistik und Wirtschaftsmathematik
RWTH Aachen
Wüllnerstraße 3
52056 Aachen, Deutschland
e-mail: [email protected]
Dr. Johanna Nešlehová
Finanzkompetenzzentrum RiskLab
Department of Mathematics
ETH Zürich Zentrum
8092 Zürich, Schweiz
e-mail: [email protected]
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Mathematics Subject Classification (2000): 62-01
ISBN-10 3-540-26186-9 Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN-13 978-3-540-26186-5 Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN 3-540-21920-X 1. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung,
des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfil-
mung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben,
auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses
Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der
Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich
vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.
Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media
springer.de
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005, 2006
Printed in Germany
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch
ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und
Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Innentypografie: deblik, Berlin
Einbandgestaltung: design & production, Heidelberg
a
Datenerstellung durch den Autor unter Verwendung eines Springer L T E X -Makropakets
Gedruckt auf säurefreiem Papier 40/3142YL - 543210
Vorwort v
Vorwort
MathematischesSchulwissenwirdinVorlesungenvielerStudieng¨angealsbe-
kannt und vollst¨andig verstanden vorausgesetzt. In der Realit¨at zeigt sich
jedoch, dass dieser Anspruch zunehmend nicht erfu¨llt ist und Studierende
oft Schwierigkeiten haben, dem Inhalt einer einfu¨hrenden Veranstaltung zur
Mathematik oder Statistik zu folgen. Zur Schließung vorhandener Lu¨cken
werden daher oft Vorkurse oder so genannte Bru¨ckenkurse“ angeboten, die
”
das Schulwissen beginnend bei Mengenlehre und Bruchrechnung aufberei-
ten. Aus einem derartigen Kurs, der von den Autoren an der Universit¨at
Oldenburg mehrfach durchgefu¨hrt wurde, ist auch die Idee zu diesem Buch
entstanden. Der Vorkurs Mathematik pr¨asentiert die bis zur Oberstufe des
GymnasiumsvermittelteMathematikineinerForm,dieeinerseitsdasSelbst-
studium ohne weitere Betreuung erlaubt und andererseits den Einsatz des
Buchs als Begleittext zu einem Vorkurs unterstu¨tzt. Dazu enth¨alt er neben
einerausfu¨hrlichenDarstellungderInhalteundeinergroßenAnzahlvonBei-
spieleneineVielzahlvonAufgabenmitausfu¨hrlichenL¨osungen,dieLernende
bei der (selbstst¨andigen) Einu¨bung des Stoffs sowie der Analyse der eigenen
Bearbeitung unterstu¨tzen.
Als ein weiterer zentraler Aspekt enth¨alt dieses Buch viele Beispiele aus der
angewandtenStatistikundWahrscheinlichkeitsrechnung.DieseBereichestel-
len ein wichtiges Anwendungsfeld der Mathematik in den Wirtschafts- und
Sozialwissenschaften dar und liefern somit die Motivation fu¨r die ben¨otigte
Mathematik.DieDarstellungindiesemBuchtr¨agtdiesemZielauchdadurch
Rechnung, dass sie Themen wie z.B. Funktionen, Mengen, Folgen etc. und
Problemstellungen aufgreift, die in der Statistik von Bedeutung sind. Dabei
werden zwangsl¨aufig Begriffe eingefu¨hrt, deren inhaltliche Relevanz sich erst
imRahmeneinerVeranstaltungzurStatistikerschließt.EinevertiefendeDis-
kussionsowiederAufbaueinesVerst¨andnissesfu¨rdieseBegriffekannundsoll
hier nicht geleistet werden. Ein Vorteil dieses Ansatzes besteht darin, dass
Lernende den Umgang mit Begriffen einu¨ben und den mathematischen Ge-
halt des Begriffs realisieren. Insofern er¨offnet dieser Zugang einen wichtigen
Beitrag zum abstrakten Denken und bietet zudem Wiedererkennungseffekte
in den Veranstaltungen zur Statistik. Zudem kann der Vorkurs begleitend
zu einer Statistikveranstaltung genutzt werden, um mathematische Zusam-
menh¨ange aufzuarbeiten.
vi Vorwort
Das vorliegende Buch erscheint in der Reihe EMILeA-stat:Medienreihe
zurangewandten Statistik, die projektbegleitend zum Multimediaprojekt
EMILeA-stat∗ herausgegeben wird. Teile dieses Manuskripts werden dem-
n¨achst auch in der im Rahmen dieses Projekts entwickelten Lehr- und Ler-
numgebung zur Verfu¨gung stehen. Zudem k¨onnen statistische Fachbegriffe
dort oder in einfu¨hrenden Bu¨chern wie z.B. Burkschat et al. (2004) und
Becker und Genschel (2004) nachgelesen werden.
DerVorkursumfasstinzw¨olfKapitelndasineinemStudiumderWirtschafts-
und Sozialwissenschaften ben¨otigte mathematische Schulwissen, wobei ein
großer Teil der in den Vorlesungen zur Statistik vorausgesetzten Mathema-
tikkenntnisse abgedeckt wird. Ausfu¨hrlicher als in der Schule werden fu¨r die
Statistik bedeutsame Themen wie Summen- und Produktzeichen oder Fol-
gen und Reihen behandelt. Einige weiterfu¨hrende Konzepte wie Funktionen
mehrerer Ver¨anderlicher sind nicht enthalten und mu¨ssen an anderer Stelle
nachgelesen werden (s. z.B. Kamps et al., 2003).
Der Vorkurs Mathematik unterscheidet sich von anderen Lehrbu¨cherndurch
die inhaltliche Konzeption, die Art der Darstellung und die problem- und
zielorientierte Aufbereitung. Insbesondere werden folgende Aspekte beru¨ck-
sichtigt:
Alle vorgestelltenBegriffewerdenausfu¨hrlicherl¨autertund– sofernsinn-
voll – grafisch veranschaulicht. Dabei ist die Wiederholung von bereits
vorgestelltenInhaltenbeabsichtigt,umdenLernendendieM¨oglichkeitzu
geben, die Themen selbstst¨andig zu erarbeiten und einzuu¨ben.
Die Methoden und Verfahren werden durch viele Beispiele aus der ange-
wandten Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnungillustriert.
Erg¨anzend zur formalen Darstellung werden Begriffe und Eigenschaften
durchgehend auch verbal eingefu¨hrt bzw. erl¨autert.
Die große Auswahl an Aufgaben und deren ausfu¨hrliche L¨osungen un-
terstu¨tzendasselbstst¨andigeLernenunderm¨oglicheneineeffizienteSelbst-
kontrolle. Das Nachschlagen einer L¨osung zu einer Aufgabe (und umge-
kehrt)wirddurcheineinfachesVerweissystemerleichtert:AmRandeiner
Aufgabe (L¨osung) befindet sich jeweils ein Verweis auf die Seite, auf der
die zugeh¨orige L¨osung (Aufgabe) abgedruckt ist.
Die Gestaltung dieses Buchs ist andie modulare Online-Pr¨asentationder
InhalteinderLehr-undLernumgebungEMILeA-statangelehnt.Bezeich-
nungenundDefinitionen,BeispieleundRegelnsindimBuchgrafischher-
vorgehoben.
WichtigeStellenimText,dieeinerbesonderenAufmerksamkeitbedu¨rfen,
(cid:1)
werden auf dem Rand zus¨atzlich mit dem Symbol markiert.
∗ZuweiterenInformationens.http:\\www.emilea.de
Vorwort vii
VieleGrafikenillustrierenVorgehensweisenundVerfahren.Siedienenu.a.
der Vertiefung und dem besseren Verst¨andnis des Stoffs. Einige Grafi-
ken wurden mit dem EMILeA-statGrafikpaketerzeugt (s. Cramer et al.,
2004).
VerweiseaufBeispiele,BegriffeundEigenschafteninnerhalbdesLehrtexts
sindeinerOnline-Umgebungnachempfunden.Jedem123(cid:1)Verweisistzur
schnellen Orientierung die zugeh¨orige Seitenzahl zugeordnet, so dass ein
Umweg u¨ber den Index entfallen kann.
Weitere Elemente zur besseren Orientierung sind ein ausfu¨hrlicher Index
und ein strukturiertes Abku¨rzungs- und Symbolverzeichnis, das neben
einer kurzen Erl¨auterung auch den Verweis auf eine Textstelle enth¨alt.
DiezweifarbigeUmsetzungerm¨oglichtdieHervorhebungwesentlicherAs-
pekteunddieoptischeStrukturierungderInhalte.ZudemwerdenRechen-
schritte undArgumentationendurchdie KennzeichnungvonA¨nderungen
deutlicher gemacht.
Bei der Entstehung dieses Buchs wurden wir von Freunden und Kollegen in
vielerlei Hinsicht unterstu¨tzt. Herr Prof. Dr. Udo Kamps hat uns als Her-
ausgeberderEMILeA-stat-MedienreihezudiesemProjekteingeladenundes
in seiner Entstehung begleitet. Wir dankenihm weiterhin fu¨r einige wertvol-
le Anregungen, die zum Gelingen des Buchs beigetragen haben. Herrn Cle-
mens HeinegiltunserDankfu¨rdieausgezeichneteZusammenarbeitmitdem
Springer-Verlag. Einige Aufgaben und L¨osungen wurden von Frau Corinna
Krautz und Herrn Christian Mohn erstellt, der auch die Durchsicht einiger
Kapitel u¨bernommen hat. Schließlich gebu¨hrt unser besonderer Dank Frau
Dr. Katharina Cramer und Frau Doreen Scholze, die durch sorgf¨altiges Le-
sendesgesamtenManuskriptseinigeUnstimmigkeitenausgemerztunddurch
ihre Hinweise zur Verbesserung der Darstellung beigetragen haben.
Darmstadt, Oldenburg ErhardCramer,JohannaNeˇslehova´
Juni 2004
Vorwort zur 2. Auflage
Fu¨rdiezweiteAuflagewurdendergesamteTextnochmalsgru¨ndlichdurchge-
sehen und alle Aufgabenl¨osungen gepru¨ft. Zudem wurden an einigen Stellen
Erweiterungen vorgenommen und zur Abrundung weitere Aufgaben hinzu-
gefu¨gt. Gr¨oßere Umstellungen sowie geringfu¨gige Erg¨anzungen hat 153(cid:1)Ka-
pitel 5 (Funktionen) erfahren. Unser Dank gilt allen Leserinnen und Lesern,
dieunsHinweise,AnregungenundVerbesserungsvorschl¨agemitgeteilthaben.
Aachen, Zu¨rich ErhardCramer,JohannaNeˇslehova´
Mai 2005
Inhaltsverzeichnis ix
Inhaltsverzeichnis
Vorwort........................................................... v
1 Grundlagen 3
1.1 Grundbegriffe..................................................... 4
1.2 Zahlbereiche und elementare Verknu¨pfungen............... 9
1.3 Runden von Zahlen.............................................. 24
1.4 Indizierung von Variablen ...................................... 27
1.5 Aufgaben.......................................................... 30
1.6 L¨osungen.......................................................... 34
2 Mengen 41
2.1 Grundbegriffe..................................................... 41
2.2 Mengenoperationen.............................................. 47
2.3 Rechenregelnfu¨r Mengenoperationen........................ 56
2.4 Spezielle Mengen ................................................ 59
2.5 Aufgaben.......................................................... 65
2.6 L¨osungen.......................................................... 69
3 ElementareRechenoperationen 77
3.1 Bruchrechnung................................................... 77
3.2 Potenzen........................................................... 84
3.3 Wurzeln............................................................ 87
3.4 Logarithmen ...................................................... 92
3.5 Aufgaben.......................................................... 96
3.6 L¨osungen.......................................................... 100
4 Summen-undProduktzeichen 111
4.1 Summenzeichen.................................................. 111
4.2 Produktzeichen................................................... 130
4.3 Fakult¨aten und Binomialkoeffizienten........................ 136
x Inhaltsverzeichnis
4.4 Aufgaben.......................................................... 140
4.5 L¨osungen.......................................................... 143
5 Funktionen 153
5.1 Relationen und Funktionen .................................... 153
5.2 GrundlegendeFunktionen...................................... 160
5.3 Funktionen mit Parametern.................................... 165
5.4 Verknu¨pfungvon Funktionen.................................. 167
5.5 Eigenschaftenvon Funktionen................................. 170
5.6 Aufgaben.......................................................... 179
5.7 L¨osungen.......................................................... 181
6 Gleichungen 187
6.1 LineareGleichungen............................................. 193
6.2 QuadratischeGleichungen...................................... 195
6.3 Bruchgleichungen................................................ 208
6.4 Wurzelgleichungen............................................... 210
6.5 Logarithmische Gleichungen................................... 216
6.6 Exponentialgleichungen......................................... 221
6.7 Betragsgleichungen.............................................. 224
6.8 Gleichungen mit Parametern .................................. 231
6.9 Substitutionsmethode........................................... 234
6.10 LineareGleichungssystememitzweiGleichungenundzwei
Unbekannten...................................................... 236
6.11 Aufgaben.......................................................... 245
6.12 L¨osungen.......................................................... 249
7 PolynomeundPolynomgleichungen 265
7.1 Faktorisierung .................................................... 268
7.2 Substitutionsmethode........................................... 269
7.3 Polynomdivision.................................................. 272
Inhaltsverzeichnis xi
7.4 Aufgaben.......................................................... 278
7.5 L¨osungen.......................................................... 279
8 Ungleichungen 287
8.1 Lineare Ungleichungen.......................................... 288
8.2 QuadratischeUngleichungen................................... 291
8.3 Bruchungleichungen............................................. 297
8.4 Betragsungleichungen........................................... 302
8.5 Aufgaben.......................................................... 305
8.6 L¨osungen.......................................................... 306
9 FolgenundReihen 313
9.1 Folgen.............................................................. 313
9.2 Reihen.............................................................. 321
9.3 Spezielle Reihen.................................................. 323
9.4 Aufgaben.......................................................... 326
9.5 L¨osungen.......................................................... 328
10 Grenzwerte,Stetigkeit,Differenziation 335
10.1 Grenzwertevon Funktionen.................................... 335
10.2 Stetige Funktionen .............................................. 343
10.3 Differenziation.................................................... 347
10.4 Differenziation parameterabh¨angigerFunktionen.......... 355
10.5 Aufgaben.......................................................... 356
10.6 L¨osungen.......................................................... 358
11 Integration 365
11.1 Integration und Stammfunktionen............................ 365
11.2 Integrationsregeln................................................ 371
11.3 Integration von stu¨ckweise definierten Funktionen........ 375
11.4 Anwendungenin der Statistik................................. 377