Vorkurs Mathematik: Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengangen

447 Pages·2008·4.73 MB·German

by  Professor Dr. Erhard Cramer

E. Cramer · J. Nešlehová
Vorkurs Mathematik
Arbeitsbuch zum Studienbeginn
in Bachelor-Studiengängen
Dritte, verbesserte Auflage
123
ProfessorDr.ErhardCramer Dr.JohannaNešlehová
InstitutfürStatistik DepartmentofMathematics
undWirtschaftsmathematik ETHZürichZentrum
RWTHAachen Rämistr.101
Wüllnerstr.3 8092Zürich
52056Aachen Schweiz
Deutschland e-mail:[email protected]
e-mail:[email protected]
MathematicsSubjectClassification(2000):62-01
ISBN978-3-540-78180-6 e-ISBN978-3-540-78181-3
DOI10.1007/978-3-540-78181-3
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(cid:1)c 2008,2006,2005Springer-VerlagBerlinHeidelberg
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springer.de
Vorwort v
Vorwort
MathematischesSchulwissenwirdinVorlesungenvielerStudieng¨angealsbe-
kannt und vollst¨andig verstanden vorausgesetzt. In der Realit¨at zeigt sich
jedoch, dass dieser Anspruch zunehmend nicht erfu¨llt ist und Studierende
oft Schwierigkeiten haben, dem Inhalt einer einfu¨hrenden Veranstaltung zur
Mathematik oder Statistik zu folgen. Zur Schließung vorhandener Lu¨cken
werden daher oft Vorkurse oder so genannte Bru¨ckenkurse“ angeboten, die
”
das Schulwissen beginnend bei Mengenlehre und Bruchrechnung aufberei-
ten. Aus einem derartigen Kurs, der von den Autoren an der Universit¨at
Oldenburg mehrfach durchgefu¨hrt wurde, ist auch die Idee zu diesem Buch
entstanden. Der Vorkurs Mathematik pr¨asentiert die bis zur Oberstufe des
GymnasiumsvermittelteMathematikineinerForm,dieeinerseitsdasSelbst-
studium ohne weitere Betreuung erlaubt und andererseits den Einsatz des
Buchs als Begleittext zu einem Vorkurs unterstu¨tzt. Dazu enth¨alt er neben
einerausfu¨hrlichenDarstellungderInhalteundeinergroßenAnzahlvonBei-
spieleneineVielzahlvonAufgabenmitausfu¨hrlichenL¨osungen,dieLernende
bei der (selbstst¨andigen) Einu¨bung des Stoffs sowie der Analyse der eigenen
Bearbeitung unterstu¨tzen.
Als ein weiterer zentraler Aspekt enth¨alt dieses Buch viele Beispiele aus der
angewandtenStatistikundWahrscheinlichkeitsrechnung.DieseBereichestel-
len ein wichtiges Anwendungsfeld der Mathematik dar und liefern somit die
Motivation fu¨r die ben¨otigte Mathematik. Die Darstellung in diesem Buch
tr¨agtdiesemZielauchdadurchRechnung,dasssieThemenwiez.B.Funktio-
nen,Mengen,Folgenetc.undProblemstellungenaufgreift,dieinderStatistik
von Bedeutung sind. Dabei werden zwangsl¨aufig Begriffe eingefu¨hrt, deren
inhaltliche Relevanz sich erst im Rahmen einer Veranstaltung zur Statistik
erschließt.EinevertiefendeDiskussionsowiederAufbaueinesVerst¨andnisses
fu¨r diese Begriffe kann und soll hier nicht geleistet werden. Ein Vorteil die-
sesAnsatzesbestehtdarin,dassLernendedenUmgangmitBegriffeneinu¨ben
unddenmathematischenGehaltdesBegriffsrealisieren.Insoferner¨offnetdie-
serZugangeinenwichtigenBeitragzumabstraktenDenkenundbietetzudem
Wiedererkennungseffekte in Veranstaltungen zur Statistik. Zudem kann der
Vorkurs begleitend zu einer Statistikveranstaltung genutzt werden, um ma-
thematischeZusammenh¨angeaufzuarbeiten.StatistischeFachbegriffek¨onnen
in einfu¨hrenden Bu¨chern wie z.B. Burkschat et al. (2004), Genschel und
Becker (2004) und Cramer und Kamps (2008) nachgelesen werden.
Der Vorkurs umfasst in zw¨olfKapiteln das in Bachelor-Studieng¨angenben¨o-
tigte mathematische Schulwissen, wobei ein großer Teil der in Grundvorle-
sungen zur Statistik vorausgesetztenMathematikkenntnisse abgedeckt wird.
vi Vorwort
Ausfu¨hrlicher als in der Schule werden fu¨r die Statistik bedeutsame Themen
wie Summen- und Produktzeichen oderFolgen und Reihen behandelt. Einige
weiterfu¨hrende Konzepte wie Funktionen mehrerer Ver¨anderlichersind nicht
enthalten und mu¨ssen an anderer Stelle nachgelesen werden (s. z.B. Kamps
et al., 2003).
Der Vorkurs Mathematik unterscheidet sich von anderen Lehrbu¨cherndurch
die inhaltliche Konzeption, die Art der Darstellung und die problem- und
zielorientierte Aufbereitung. Insbesondere werden folgende Aspekte beru¨ck-
sichtigt:
Alle vorgestelltenBegriffewerdenausfu¨hrlicherl¨autertund– sofernsinn-
voll – grafisch veranschaulicht. Dabei ist die Wiederholung von bereits
vorgestelltenInhaltenbeabsichtigt,umdenLernendendieM¨oglichkeitzu
geben, die Themen selbstst¨andig zu erarbeiten und einzuu¨ben.
Die Methoden und Verfahren werden durch viele Beispiele aus der ange-
wandten Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnungillustriert.
Erg¨anzend zur formalen Darstellung werden Begriffe und Eigenschaften
durchgehend auch verbal eingefu¨hrt bzw. erl¨autert.
Die große Auswahl an Aufgaben und deren ausfu¨hrliche L¨osungen un-
terstu¨tzendasselbstst¨andigeLernenunderm¨oglicheneineeffizienteSelbst-
kontrolle. Das Nachschlagen einer L¨osung zu einer Aufgabe (und umge-
kehrt)wirddurcheineinfachesVerweissystemerleichtert:AmRandeiner
Aufgabe (L¨osung) befindet sich jeweils ein Verweis auf die Seite, auf der
die zugeh¨orige L¨osung (Aufgabe) abgedruckt ist.
Die Gestaltung dieses Buchs ist an die modulare Online-Pr¨asentation
der Inhalte in der Lehr- und Lernumgebung EMILeA-stat angelehnt (s.
http://emilea-stat.rwth-aachen.de).BezeichnungenundDefinitionen,Bei-
spiele und Regeln sind im Buch grafisch hervorgehoben.
WichtigeStellenimText,dieeinerbesonderenAufmerksamkeitbedu¨rfen,
(cid:1)
werden auf dem Rand zus¨atzlich mit dem Symbol markiert.
VieleGrafikenillustrierenVorgehensweisenundVerfahren.Siedienenu.a.
der Vertiefung und dem besseren Verst¨andnis des Stoffs. Einige Grafi-
ken wurden mit dem EMILeA-stat Grafikpaketerzeugt (s. Cramer et al.,
2004).
VerweiseaufBeispiele,BegriffeundEigenschafteninnerhalbdesLehrtexts
sindeinerOnline-Umgebungnachempfunden.Jedem123(cid:1)Verweisistzur
schnellen Orientierung die zugeh¨orige Seitenzahl zugeordnet, so dass ein
Umweg u¨ber den Index entfallen kann.
Weitere Elemente zur besseren Orientierung sind ein ausfu¨hrlicher Index
und ein strukturiertes Abku¨rzungs- und Symbolverzeichnis, das neben
einer kurzen Erl¨auterung auch den Verweis auf eine Textstelle enth¨alt.
Vorwort vii
DiezweifarbigeUmsetzungerm¨oglichtdieHervorhebungwesentlicherAs-
pekteunddieoptischeStrukturierungderInhalte.ZudemwerdenRechen-
schritte undArgumentationendurchdie KennzeichnungvonA¨nderungen
deutlicher gemacht.
Die dritte Auflage des Vorkurses wurde erneut kritisch durchgesehen, alle
erkanntenUnstimmigkeitenwurdenbeseitigt.WeitereMaterialienzumBuch
bzw. zum mathematischen Grundwissen werden auf der Webseite
www.vorkurs-mathematik.de
zurVerfu¨gunggestellt.Dortk¨onnenSieunsauchIhreAnmerkungenundVor-
schl¨agemitteilen. Wir dankenallen Leserinnenund Lesern,die uns Hinweise
undAnregungenmitgeteilthabenunddamitzurVerbesserungdesVorkurses
beigetragen haben, sowie Frau Lilith Braun fu¨r die angenehme Zusammen-
arbeit mit dem Springer-Verlag.
Aachen, Zu¨rich ErhardCramer,JohannaNeˇslehova´
Januar 2008
Aus dem Vorwort zur 1. Auflage
Bei der Entstehung dieses Buchs wurden wir von Freunden und Kollegen in
vielerlei Hinsicht unterstu¨tzt. Herr Prof. Dr. Udo Kamps hat uns als Her-
ausgeberderEMILeA-stat-MedienreihezudiesemProjekteingeladenundes
in seiner Entstehung begleitet. Wir dankenihm weiterhin fu¨r einige wertvol-
le Anregungen, die zum Gelingen des Buchs beigetragen haben. Herrn Cle-
mens HeinegiltunserDankfu¨rdieausgezeichneteZusammenarbeitmitdem
Springer-Verlag. Einige Aufgaben und L¨osungen wurden von Frau Corinna
Krautz und Herrn Christian Mohn erstellt, der auch die Durchsicht einiger
Kapitel u¨bernommen hat. Schließlich gebu¨hrt unser besonderer Dank Frau
Dr. Katharina Cramer und Frau Doreen Scholze, die durch sorgf¨altiges Le-
sendesgesamtenManuskriptseinigeUnstimmigkeitenausgemerztunddurch
ihre Hinweise zur Verbesserung der Darstellung beigetragen haben.
Darmstadt, Oldenburg ErhardCramer,JohannaNeˇslehova´
Juni 2004
Inhaltsverzeichnis ix
Inhaltsverzeichnis
Vorwort........................................................... v
1 Grundlagen 3
1.1 Grundbegriffe..................................................... 4
1.2 Zahlbereiche und elementare Verknu¨pfungen............... 9
1.3 Runden von Zahlen.............................................. 24
1.4 Indizierung von Variablen ...................................... 27
1.5 Aufgaben.......................................................... 30
1.6 L¨osungen.......................................................... 34
2 Mengen 41
2.1 Grundbegriffe..................................................... 41
2.2 Mengenoperationen.............................................. 47
2.3 Rechenregelnfu¨r Mengenoperationen........................ 56
2.4 Spezielle Mengen ................................................ 59
2.5 Aufgaben.......................................................... 65
2.6 L¨osungen.......................................................... 69
3 ElementareRechenoperationen 77
3.1 Bruchrechnung................................................... 77
3.2 Potenzen........................................................... 84
3.3 Wurzeln............................................................ 87
3.4 Logarithmen ...................................................... 92
3.5 Aufgaben.......................................................... 96
3.6 L¨osungen.......................................................... 100
4 Summen-undProduktzeichen 111
4.1 Summenzeichen.................................................. 111
4.2 Produktzeichen................................................... 130
4.3 Fakult¨aten und Binomialkoeffizienten........................ 136
x Inhaltsverzeichnis
4.4 Aufgaben.......................................................... 140
4.5 L¨osungen.......................................................... 143
5 Funktionen 153
5.1 Relationen und Funktionen .................................... 153
5.2 GrundlegendeFunktionen...................................... 160
5.3 Funktionen mit Parametern.................................... 165
5.4 Verknu¨pfungvon Funktionen.................................. 167
5.5 Eigenschaftenvon Funktionen................................. 170
5.6 Aufgaben.......................................................... 179
5.7 L¨osungen.......................................................... 181
6 Gleichungen 187
6.1 LineareGleichungen............................................. 193
6.2 QuadratischeGleichungen...................................... 195
6.3 Bruchgleichungen................................................ 208
6.4 Wurzelgleichungen............................................... 210
6.5 Logarithmische Gleichungen................................... 216
6.6 Exponentialgleichungen......................................... 221
6.7 Betragsgleichungen.............................................. 224
6.8 Gleichungen mit Parametern .................................. 231
6.9 Substitutionsmethode........................................... 234
6.10 LineareGleichungssystememitzweiGleichungenundzwei
Unbekannten...................................................... 236
6.11 Aufgaben.......................................................... 245
6.12 L¨osungen.......................................................... 249
7 PolynomeundPolynomgleichungen 265
7.1 Faktorisierung .................................................... 268
7.2 Substitutionsmethode........................................... 269
7.3 Polynomdivision.................................................. 272
Inhaltsverzeichnis xi
7.4 Aufgaben.......................................................... 278
7.5 L¨osungen.......................................................... 279
8 Ungleichungen 287
8.1 Lineare Ungleichungen.......................................... 288
8.2 QuadratischeUngleichungen................................... 291
8.3 Bruchungleichungen............................................. 297
8.4 Betragsungleichungen........................................... 302
8.5 Aufgaben.......................................................... 305
8.6 L¨osungen.......................................................... 306
9 FolgenundReihen 313
9.1 Folgen.............................................................. 313
9.2 Reihen.............................................................. 321
9.3 Spezielle Reihen.................................................. 323
9.4 Aufgaben.......................................................... 327
9.5 L¨osungen.......................................................... 328
10 Grenzwerte,Stetigkeit,Differenziation 335
10.1 Grenzwertevon Funktionen.................................... 335
10.2 Stetige Funktionen .............................................. 343
10.3 Differenziation.................................................... 347
10.4 Differenziation parameterabh¨angigerFunktionen.......... 355
10.5 Aufgaben.......................................................... 356
10.6 L¨osungen.......................................................... 358
11 Integration 365
11.1 Integration und Stammfunktionen............................ 365
11.2 Integrationsregeln................................................ 371
11.3 Integration von stu¨ckweise definierten Funktionen........ 375
11.4 Anwendungenin der Statistik................................. 377
xii Inhaltsverzeichnis
11.5 Aufgaben.......................................................... 383
11.6 L¨osungen.......................................................... 385
12 Optimierung 395
12.1 Monotonieverhalten............................................. 398
12.2 Extrema............................................................ 402
12.3 Konkavit¨at und Konvexit¨at.................................... 413
12.4 Optimierung bei stu¨ckweise definierten Funktionen....... 414
12.5 Anwendungenin der Statistik................................. 416
12.6 Aufgaben.......................................................... 424
12.7 L¨osungen.......................................................... 425
Literaturverzeichnis ........................................... 431
Symbol-undAbk¨urzungsverzeichnis................. 433
Index............................................................... 437