Volume arithmétique de certains fibrés en droites hermitiens sur une variété torique lisse

0.28 MB·French

by  Mounir Hajli

Volume arithmétique de certains fibrés en droites
hermitiens sur une variété torique lisse
Mounir Hajli
3
1
Résumé
0
2
SoitX(Σ)unevariététoriqueprojectivelissesurSpec(Z).Si (D)estunfibréen
n droites équivariant sur X(Σ), muni d’une métrique définie positOive et invariante par
a
J l’action du tore compact de X(Σ)(C), nous montrons que son volume arithmétique

6 s’exprime en fonction de la transformée de Fenchel-Legendre associée à sa métrique.
1

] Table des matières
G
A
. 1 Introduction 1
h
t
a
2 Rappels sur les Z-schémas projectifs toriques 3
m
[
3 L’amplitude arithmétique sur les Z-schémas toriques lisses 9

2
3.1 Espace de sections petites d’un fibré en droites défini positif . . . . . . . . 11
v
4 3.2 Positivité arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8
7
1 1 Introduction
.
1
0
3 Soit X une variété arithmétique de dimension d sur Spec(Z). Si L est un fibré en
1 droites muni d’une métrique hermitienne continue, le volume arithmétique de L est défini
:
v par :
i
X logCard s H0(X,lL) s 1
sup
vol(L) = limsup ∈ |k k ≤ .
r (cid:8) ld+1/(d+1)! (cid:9)
a l7→∞
c
C’est un analogue arithmétique du volume géométrique pour les fibrés en droites sur une
variété projective définie sur un corps.
Lorsque X est régulier, L est ample sur X et que la première forme de Chern, c (L)
1
est définie positive sur X(C), alors on a l’inégalité suivante :
vol(L) deg(c (L)d+1),
1
≥
c d
b
1
qui une conséquence du théorème de Riemann-Roch arithmétique de Gillet-Soulé, cf. [7]
(ou de la formule de Hilbert-Samuel due à Abbes-Bouche [1]).
Le cas des variétés toriques a été étudié de manière intense par Burgos, Phillipon et
Sombra dans [2]. Plus précisément, ils s’intéressent aux fibrés en droits équivariants munis
de métriques continues, positives et invariantes par l’action du tore compact de la variété
torique. En utilisant la structure combinatoire de ces variétés, ils établissent une corres-
pondance entre ces métriques et une classe de fonctions concaves sur un espace vectoriel
attaché à la variété. Moyennant cette correspondance, ils expriment le degré arithmétique
comme étant l’intégrale d’une fonction concave donnée, sur le polytope associé au fibré.
Quant au volume arithmétique, il a été étudié par Moriwaki dans le cas de l’espace
projectif et pour un exemple précis de métriques, cf. [11]. Il établit une formule analogue
au cas du degré arithmétique.
En s’inspirant de [11], nous étendons certaines de ses résultats aux variétés toriques
lisses. Le principal résultat de cet article est le théorème suivant, cf. (3.13) :
Théorème 1.1. Soit X(Σ) une variété torique lisse, et (D) = ( (D),h) un fibré en
O O
droites équivariant muni d’une métrique définie positive, h, qui soit invariante par l’action
de tore compact de X(Σ)(C). Alors
vol( (D)) = (d+1)! gˇ (x)dx.
O Z h
Θh
c
où Θ = x ∆ gˇ (x) 0 avec ∆ est le polytope associé à (D).
h D h D
{ ∈ | ≥ } O
Ce résultat s’étend aux variétés toriques X(Σ) singulières. En effet, on peut trouver
un morphisme birationel équivariant X(Σ′) X(Σ) tel que X(Σ′) soit lisse, et par in-
→
variance du volume arithmétique, cf. [10, théorème 4.3], on établit une formule analogue
pour le volume arithmétique dans ce cas.
Dans (2), nous rappelons la construction des variétés toriques, et la description des
fibrés en droites équivariants sur ces variétés en terme de la combinatoire de la variété.
Nous terminons par un résultat utile dans la suite, cf. (2.22), qui décrit l’image d’une
variété torique par morphisme équivariant dans un espace projectif.
La première partie de (3) regroupe les définitions des différents objets qui seront étu-
diés dans ce texte. Nous décrivons dans (3.1), les sections petites d’un fibré en droites
équivariant muni d’une métrique définie positive et invariante par l’action du tore com-
pact. Pour cela, nous commençons par déterminer l’ensemble des sections petites pour la
métrique L2 pour les différentes puissances du fibré en droites hermitien en question, et
2
par l’inégalité de Gromov on déduit ceux de normes sup inférieur à 1.
Dans (3.2),nousrappelonsles troistypes depositivité sur unfibréendroites hermitien
∞ d’après Moriwaki, ces notions s’étendent grâce à la théorie developpée dans [8] aux
C
métriques admissibles. Nous montrons en particulier, qu’un fibré en droites équivariant
muni de sa métrique canonique n’est pas gros, c’est l’objet de la proposition (3.5).
Etant donné (D) un fibré en droites muni d’une métrique hermitienne ∞ définie
O C
positive, nous montrons le résultat suivant, cf. (3.7) :
Proposition 1.2. Soit (D) un fibré en droites hermitien muni d’une métrique définie
O
positive. On a
1. (D) est ample si et seulement si gˇ (e) > 0, e ∆ Zd.
h D
O ∀ ∈ ∩
2. (D) est nef si et seulement si gˇ (e) 0, e ∆ Zd.
h D
O ≥ ∀ ∈ ∩
3. (D) est gros si et seulement si g (0) > 0.
h
O
Lapreuvesuivralaméthodede[11].Ens’inspirantde[11],nousétablissonslethéorème
(3.13), donnant une formule pour le volume arithmétique pour un fibré en droites défini
positif. Nous généralisons ce résultat à deux classes de métriques non nécessairement ∞ :
C
Si (D) admet une métrique continue qui peut être approchée uniformément par une
O
suite de métriques définie positives ∞, alors on a le résultat suivant, cf. (3.14) :
C
Proposition1.3. SoitX(Σ) une variététorique lissede dimensiond,et (D) = ( (D),h)
O O
un fibré en droites muni d’une métrique hermitienne continue h. On suppose qu’il existe
une suite (h ) de métriques hermitiennes ∞ définies positives sur (D) qui converge
k k∈N
C O
uniformément vers h, alors
vol( (D)) = (d+1)! gˇ .
O Z h
Θh
c
Si (D) est positif, mais pas ample, en d’autres termes, ce fibré ne vérifie pas les
O
conditions de la proposition précédente. Alors, nous établissons, modulo quelques hypo-
thèses, une généralisation du théorème (3.13), cf. (3.14).
Remerciements : Je tiens à remercier Vincent Maillot pour ses conseils et ses remarques
autour de ce travail.
2 Rappels sur les Z-schémas projectifs toriques
Soit N Zd un Z-module libre de rang d dans lequel on a choisi une base e ,...,e .
1 d
≃
On note M=Hom (N,Z) son Z-module dual. On obtient un accouplement non dégénéré :
Z
3
<,>: M N Z
× −→
On pose N = N R et M = M R. Ce sont des R-espaces vectoriels de dimension
R Z R Z
⊗ ⊗
n. L’accouplement ci-dessus s’étend en une forme bilinéaire non-dégénérée :
<,>: M N R
R R
× −→
Définition 2.1. On appelle cône polyhédral rationnel dans N ou plus simplement cône
tout ensemble σ N de la forme :
R
⊆
σ = Σ R+n
i∈I i
où (n ) est une famille finie d’éléments de N. La dimension de σ est définie comme la
i i∈I
dimension de l’espace vectoriel réel engendré par les points du cône σ :
dimσ = dim (Vect(σ)) = dim (σ +( σ))
R R
−
On définit le dual σ∗ (resp. l’orthogonal σ⊥) du cône σ de la façon suivante :
σ∗ = v M :< v,x > 0, x σ M ,
R R
{ ∈ ≥ ∀ ∈ } ⊆
σ⊥ = v M :< v,x >= 0, x σ M
R R
{ ∈ ∀ ∈ } ⊆
Définition 2.2. On dit que τ σ est une face de σ, et on note τ < σ, si l’on peut trouver
⊆
v σ∗ tel que :
∈
τ = σ v ⊥
∩{ }
Définition 2.3. Un cône σ est dit strict s’il ne contient aucune droite réelle.
Définition 2.4. Un éventail de N est une famille finie Σ = σ de cônes stricts de N
R R
{ }
tels que :
– Si σ Σ alors toute face τ de σ appartient à Σ.
∈
– Si σ, σ′ Σ, alors σ σ′ est une face à la fois de σ et de σ′.
∈ ∩
La réunion Σ = σ est appelée le support de Σ.
σ∈Σ
| | ∪
Définition 2.5. Soit σ un cône strict de N , on note S = M σ∗.
R σ
∩
Grâce à Demazure ([3]), on peut associer à tout éventail Σ sur Zd un schéma π :
X(Σ) Spec(Z).
−→
Définition 2.6 (Variétés toriques affines associée à un cône σ). . Soit σ un cône strict
de N , on note U le Z-schéma :
R σ
U = Spec(Z[S ])
σ σ
4
Proposition 2.7. Le Z-schéma U est affine, normal, plat sur Spec(Z), à fibres géomé-
σ
triquement intègres.
Proposition 2.8. Soit τ < σ, l’inclusion S S induit un morphisme canonique
σ τ
⊆
U U ; c’est une immersion ouverte de Z-schémas
τ σ
−→
Démonstration. Voir [3, §4, lemme 1], et aussi [12, th. 1.4]
Soient σ et σ′ deux cônes d’un même éventail Σ. On a le digramme suivant :
U
xx;; σ
-(cid:13)xxxxxx
U
σ∩σ(cid:17)′FqFFFFFFF##
U
σ′
La proposition précédente permet de recoller U et U le long de U . Plus généra-
σ σ′ σ∩σ′
lement on pose la définition suivante :
Définition 2.9. Soit Σ un éventail. On appelle variété torique associée à l’éventail Σ
et on note X(Σ) le schéma obtenu par recollement des U , σ parcourant Σ à l’aide des
σ
immersions ouvertes U ֒ U et U ֒ U , pour σ,σ′ Si.
σ∩σ′ σ σ∩σ′ σ′
→ → ∈
Notons que par (2.8) on a l’inclusion ouverte naturelle :
T = U = Spec(Z[M])(cid:31)(cid:127) //X(Σ) (1)
{0}
Proposition 2.10. Le Z-schéma X(Σ) est plat sur Spec(Z), normal, séparé, intègre, de
dimension absolue d+1, à fibres géométriquement intègres.
Démonstration. Voir [3, §4, lemme 1], et aussi [12, th. 1.4]
Proposition 2.11. La variété torique X(Σ) est propre sur Spec(Z) si et seulement si Σ
est complet (i.e; Σ = N ).
R
| |
Remarque 2.12. Dans la suite, toutes les variétés toriques provenantd’un éventailseront
supposées propres.
Définition 2.13. Soient (N,Σ) et (N′,Σ′) deux éventails, avec N Zd et N′ Zd′ ; un
≃ ≃
morphisme d’éventails ϕ : (N′,Σ′) (N,Σ) est un morphisme de Z-modules ϕ : N′
−→ −→
N telle que l’application induite ϕ : N′ N définie par extension des scalaires à
R R −→ R
partir de ϕ, vérifie : pour tout σ′ Σ′, il existe σ Σ tel que ϕ(σ′) σ.
∈ ∈ ⊆
5
Soitϕ : (N′,Σ′) (N,Σ)untelmorphismed’éventails. Onconstruitàpartirdeϕun
−→
morphismeéquivariantϕ : X(Σ′) X(Σ)delafaçonsuivante:Onnotetϕ : M M′
∗
−→ −→
la transposée de ϕ et tϕ : M M′ l’application définie par extension des scalaires à
R R −→ R
partir de tϕ. Soient σ′ Σ′ et σ Σ tels que ϕ (σ′) σ. De l’inclusion tϕ (σ∗) σ′∗, on
R R
∈ ∈ ⊂ ⊂
tire que tϕ (S ) S . On dispose donc d’une application tϕ : S S qui induit
R σ σ′ σ σ′
⊂ −→
un morphisme équivariant ϕ : U U . En particulier, si l’on prends σ′ = 0 et
∗ σ′ σ
−→ { }
σ = 0 , on obtient le morphisme de tore :
{ }
ϕ : T′ = Spec(Z[M′]) Spec(Z[M]) = T
∗
−→
induit par l’application tϕ : M M′. La proposition suivante affirme qu’on peut
−→
recoller ces constructions locales pour obtenir un morphisme globale équivariant ϕ et
∗
donne une condition nécessaire et suffisante sur ϕ pour que ϕ soit propre :
∗
Proposition 2.14. Soit un morphisme d’éventails ϕ : (N′,Σ′) (N,Σ). Le morphisme
−→
de tores algébriques :
ϕ : T′ = Spec(Z[M′]) Spec(Z[M]) = T
∗
−→
induit par l’application duale tϕ : M M′, se prolonge en un morphisme :
R R −→ R
ϕ : X(Σ′) X(Σ).
∗
−→
Le morphisme ϕ est équivariant sous l’action de T′ et T. De plus, ϕ est propre si et
∗ ∗
seulement si :
ϕ−1( Σ ) = Σ′ )
R | | | |
Démonstration. On peut consulter [12, proposition. 1.13 et 1.15]
On considère Σ un éventail complet, de sorte que la variété torique associée X(Σ) soit
propre. On note par τ ,...,τ les demi-droites de Σ et u ,...,u leur générateur dans N,
1 d 1 d
c’est à dire les éléments de N tels que τ N = Zu . A tout τ on peut lui associer un
i i i
∩
schéma irréductible de codimension 1 invariant sous l’action de T, cf. par exemple [4].
Définition 2.15. On appelle diviseur invariant élémentaire ou simplement diviseur élé-
mentaire et on note D le cycle associé à V(τ ).
i i
Proposition 2.16. Tout diviseur de Weil D sur X(Σ) horizontal invariant par T est de
la forme :
d
D = a D , (a Z)
i i i
∈
X
i=1
6
Démonstration. Cela découle de [3, §4, proposition 2], On pourra également consulter [12,
proposition 1.6] et [4, §3.1].
Définition 2.17. On dit qu’une fonction ψ : N R est linéaire par morceaux sur Σ si
R
→
la restriction de ψ à chacun des cônes σde Σ est définie par une forme linéaire m M
ψ,σ
∈
Proposition 2.18. Un diviseur de Weil horizontal T-invariant D = d a D sur X(Σ)
i=1 i i
provient d’un diviseur de Cartier si et seulement s’il existe une fonPction ψ : N R
R
→
continue et linéaire par morceaux sur Σ telle que ψ(u ) = a pour (1 i d). Si elle
i i
− ≤ ≤
existe, une telle fonction ψ est unique
Démonstration. Voir [12, proposition 2.1] et [4, p.66]
Définition 2.19. Soit D un diviseur de Cartier sur X(Σ) horizontal et T-invariant, on
appelle fonction support associée à D et l’on note ψ la fonction définie par la proposition
D
ci-dessus. On notera m la forme linéaire définissant ψ sur σ Σ.
σ,ψ D
∈
Proposition 2.20. Si ϕ : (N′,Σ′) (N,Σ) est un morphisme d’éventails et D un
→
diviseur de Cartier T-invariant sur X(Σ) de fonction support ψ , alors le diviseur de
D
Cartier T-invariant (ϕ )∗(D) sur X(Σ′) admet ψ ϕ comme une fonction support.
∗ D
◦
Démonstration. Voir [8, proposition 2.3.8].
Proposition 2.21. Soit D = d a D un diviseur de Cartier horizontal T-invariant et
i=1 i i
(D) le faisceau inversible asPsocié à D. On note ∆ le polytope convexe de M défini
D R
O
par les inéquations suivantes :
∆ = v M ,< v,u > ψ , u N .
D R D R
{ ∈ ≥ ∀ ∈ }
Le Z-module des sections globales de (D) est donné par :
O
H0(X(Σ), (D)) = Zχm
O
M
m∈∆D∩M
Démonstration. On peut consulter [12, lemme 2.3] et [4, p.66], les arguments donnés sur
C s’étendant immédiatement à la situation sur Spec(Z).
Soit X(Σ), une variété torique définie par un éventail Σ, et un fibré en droites (D)
O
sur X(Σ) équivariant engendré par ses sections globales. Ce dernier définit un morphisme
équivariant de X(Σ) vers l’espace projectif de dimension Card(∆ M) 1. Nous allons
D
∩ −
décrire l’image de X(Σ) par ce morphisme, c’est l’objet de la proposition (2.22). Ce ré-
sultat nous servira dans la suite pour étudier le volume arithmétique associée à un fibré
en droites équivariant positif.
7
On note par k, un corps algébriquement clos. Soit Td = (k×)d le tore algébrique et
Pn(k) l’espace projectif de dimension d et n respectivement. Soit = a ,...,a une
0 n
A { }
suite de n+1 vecteurs de Zd.
L’ensemble définit une action de Td sur Pn(k) :
A
: Td Pn(k) Pn(k), (s,x) (sa0x : : sanx ).
A 0 n
∗ × −→ → ···
On note par X l’adhérence de Zariski de l’image de l’application monomiale :
A,1
:= : Td Pn(k), s (sa0 : : san) (2)
A,1 A 1
∗ ∗ | −→ → ···
C’est une variété torique projective au sens de Gelfand, Kapranov et Zelevinsky cf.
[5], c’est à dire une sous-variété de Pn(k) stable par rapport à l’action de Td, avec une
orbite dense X◦ := Td 1.
A,1 ∗A
Proposition 2.22. Soit X(Σ) une variété torique de dimension d provenant d’un éventail
et (D) un fibré en droites équivariant qu’on suppose engendré par ses sections globales.
O
On définit un morphisme équivariant associé à D, qu’on le note Φ , de la façon suivante :
D
Φ : X(Σ) Pn
D Z
−→
x (χm(x))
7−→ m∈KD∩M
où on a choisit un ordre sur les éléments ∆ M, n = Card(∆ M) 1.
D D
∩ ∩ −
Alors il existe un sous ensemble fini de vecteurs de Zd, tel que l’image de X(Σ)(C)
B
par Φ coïncide avec X .
D B,1
Démonstration. Par (2.14), Φ provient d’un morphisme d’éventails
D
ϕ : (Zd,Σ ) (Zn,Σ)
X
−→
où Σ est l’éventail de X(Σ) et Σ celui de Pn.
Pn Z
(d) 1
On pose c = ϕ(e ) pour 1 k d, et on note par B la matrice d’ordre n d qui
k k ≤ ≤ ×
a pour colonnes c ,c ,...,c . Si l’on note par b pour j = 1,...,n, les lignes de B, alors
1 2 d j
tϕ, le morphisme dual de ϕ, s’écrit :
tϕ : Zn Zd
−→
m tB m,
7−→ ·
où tB est la matrice transposée de B.
1. e(d) désigne la k-ème vecteur de la base usuelle de Zd.
k
8
Le morphisme tϕ induit l’homomorphisme de Z-algèbres suivant :
Z[Zn] Z[Zd]
−→ (3)
χm χtϕ(m).
7−→
Comme
tϕ(e(n)) = tB e(n)( Zd)
j · j ∈
d
(d)
= b e ,
k,j j
X
j=1
alors (3) devient :
Z[Zn] Z[Zd]
−→ (4)
χe(jn) χPdj=1bk,je(jd)
7−→
Soit s Spec(Z[Zd])(k) = (k×)d, on a :
∈
s = (s1,...,sd) = (Xe(1d)(s),...,Xe(dd)(s)).
Ce point s’envoie par Φ sur
D
d d
1,XPdj=1b1,je(jd)(s),...,XPdj=1bn,je(jd)(s) = 1, Xb1,je(jd)(s),..., Xbn,je(jd)(s)
(cid:0) (cid:1) (cid:0) Yj=1 Yj=1 (cid:1)
= 1,sb1,...,sbn .
(cid:0) (cid:1)
(puisque Xbk,je(jd)(s) = sbk,j pour j = 1,...,d).
j
On conclut que le morphisme Φ coïncide sur (k∗)d avec :
D
(k×)d Pn(k)
−→
s (1,sb1,...,sbn).
−→
On termine la démonstration en rappelant que χtϕ(e(jn)) sont les sections globales de
(D) qui correspondent à l’ensemble ∆ M (cf. (2.20)).
D
O ∩
3 L’amplitude arithmétique sur les Z-schémas toriques
lisses
Dans (3.1), nous allons décrire l’espace des sections petites d’un fibré en droites hermi-
tien défini positif en fonction de la transformée de Fenchel-Legendre associée, c’est l’objet
9
de la proposition (3.2). Nous suivrons le raisonnement de [11], et nous utiliserons de ma-
nière cruciale l’inégalité de Gromov cf.(3.1).
La partie(3.2) est consacrée à l’étude de la positivité arithmétique des fibrés endroites
hermitiens positifs sur une variété torique lisse, nous commencerons par rappeler les dif-
férents types de positivité d’après Moriwaki. Le principal résultat de cette partie est le
théorème (3.13), qui exprime le volume arithmétique d’un fibré en droites équivariant
muni d’une métrique définie positive, en fonction de la transformée de Legendre-Fenchel.
Nous étendons ce résultat dans deux directions : La première la métrique est continue
et peut être approximer uniformément par une suite de métriques définies positives. Le
deuxième direction traite le cas plus général d’une métrique positive sous certaines hypo-
thèses, nous utiliserons la continuité du volume arithmétique pour démontrer un résultat
analogue.
Soit Q un Z-module libre de rang d, P son dual et Σ un éventail sur Q . On considère
R
le schéma torique X(Σ) associé qu’on supposera lisse dans la suite. Soit (D) un fibré
O
en droites équivariant ample sur X(Σ). Soient Ψ la fonction support et ∆ le polytope
D
associés (D).
O
On munit (D) d’une métrique hermitienne définie positive h, qu’on suppose inva-
O
riante par l’action du sous-tore compact t T(C) t = 1 . Dans la suite, on notera le
{ ∈ || | }
fibré (D), ainsi métrisé par ( (D),h), (D) ou plus simplement par D.
O O O
Le quotient de X(Σ)(C) par le sous-tore compact t T(C) t = 1 est la variété
∈ | |
à coins associée, noté X(Σ) . L’ouvert dense X(Σ)(cid:8)◦ de cet(cid:12)te varié(cid:9)té s’identifie à
R≥0 R≥0 (cid:12)
Hom(P,R ), cf. [4, § 4], et puisque Q Hom(P,R) alors on a la paramétrisation
≥0 R
≃
suivante donnée par l’exponentielle usuelle :
Q X(Σ)◦
R R
−→ ≥0
u exp( u).
7−→ −
Si s est une section rationnelle équivariante, tel que div(s ) = D, alors on pose
Ψ Ψ
g (u) = log s (exp( u)) u Q ,
h Ψ h R
k − k ∀ ∈
et on note par gˇ , la transformée de Legendre-Fenchel de g , qui est par définition :
h h
gˇ (x) := min x,u g (u) , x P .
h h R
u∈Rn h i− ∀ ∈
(cid:0) (cid:1)
On montre que gˇ est finie si et seulement si x ∆ et on pose
h D
∈
Θ := x ∆ gˇ (x) 0 . (5)
h D h
∈ | ≥
(cid:8) (cid:9)
10