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Mathematischer Korrespondenzzirkel Göttingen (Hg.) Voller Knobeleien Erschienen in der Reihe der Universitätsdrucke Göttingen 2005 Mathematischer Korrespondenzzirkel Göttingen (Hg.) Voller Knobeleien Erarbeitet von Wolfgang Barthel, Andreas Röscheisen, Karsten Roeseler, Robert Strich, Kristin Stroth und Barbara Zwicknagl Universitätsverlag Göttingen 2005 Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar. Mathematischer Korrespondenzzirkel Göttingen Mathematisches Institut Bunsenstraße 3–5 37073 Göttingen http://www.math.uni-goettingen.de/zirkel/ [email protected] Gedruckt mit freundlicher Unterstützung des Universitätsbundes Göttingen sowie des Mathematischen Institutes der Georg-August-Universität Göttingen © Alle Rechte vorbehalten, Universitätsverlag Göttingen 2005 ISBN 3-930457-76-8 Vorwort Der vorliegende Band beinhaltet eine Zusammenstellung der ersten 25 Aufgaben- bl¨atter des Mathematischen Korrespondenzzirkels der Universit¨at G¨ottingen und der zugeh¨origen L¨osungen. DerMathematischeKorrespondenzzirkel anderUniversit¨at G¨ottingenentstandvor nunmehrfastfu¨nfJahrenauseinerInitiativederAutorendiesesBuches,einerGrup- pe von Studenten, die zum Teil selbst schon w¨ahrend ihrer Schulzeit an derartigen Arbeitsgemeinschaften mit Begeisterung teilgenommen haben. Ziel des Mathemati- schen Korrespondenzzirkels war und ist die F¨orderung mathematisch interessierter Schu¨lerinnen und Schu¨ler, insbesondere durch die Bereitstellung mathematischer Aufgaben, die die Zirkelteilnehmer zu Hause bearbeiten k¨onnen. Die ersten 100 dieser Aufgaben sind zusammen mit ihren L¨osungen im Folgenden abgedruckt. Die Auswahl dieser Probleme fu¨r den Korrespondenzzirkel erfolgte dabei unter an- derem unter folgenden drei Gesichtspunkten. • Die Aufgaben und ihre Formulierung sollen interessant sein. Die Probleme kommen daher aus einer ganzen Reihe von Themengebieten. Von der Zahlentheorie u¨ber kombinatorische Probleme bis hin zur Geometrie findet sich fu¨r jeden Geschmack etwas. Auch wurde bei der Formulierung von Aufgaben und L¨osungen weniger Wert auf Glanz durch Minimalismus gelegt, sondern es wurde versucht, der jeweiligen Fragestellung sofern m¨oglich einen interessanten Rahmen zu geben. • DieAufgabenund ihre L¨osungen sollen m¨oglichst nicht schon anvielen ande- ren Stellen ver¨offentlicht oder zug¨anglich sein. So entstammen viele Probleme der Feder der Autoren. Andere wiederum sind zwar bekannten Aufgaben der Mathematik-Olympiade oder des Bundeswett- bewerbs Mathematik entlehnt, wurden aber erweitert oder zumindest umfor- muliert. • Die Aufgaben sollen fu¨r Schu¨lerinnen und Schu¨ler eines m¨oglichst breiten Al- tersspektrums zug¨anglich sein. Zur L¨osung der Aufgaben ist daher nie u¨ber die Schulmathematik hinaus- gehendes Wissen vonn¨oten; meist genu¨gt Wissen aus der Sekundarstufe I. Innerhalb eines Aufgabenblattes wurde darauf geachtet, dass der Schwierig- keitsgrad der Aufgaben von der ersten zur vierten Aufgabe hin im Regelfall zunimmt – w¨ahrend die erste Aufgabe eines Blattes das Niveau einer leich- ten Einstiegsaufgabe besitzt, hat die vierte Aufgabe oft den Charakter eines Olympiadeproblems fu¨r h¨ohere Klassenstufen. 1 Vorwort Dieses Buch ist geeignet fu¨r alle, die Spaß an der Mathematik haben oder auf der SuchenachinteressantenmathematischenKopfnu¨ssenundHerausforderungensind, insbesondere fu¨r Schu¨lerinnen und Schu¨ler, die sich auf mathematische Wettbewer- be wie zum Beispiel die Mathematik-Olympiade vorbereiten wollen. Fu¨r Mathema- tiklehrer und Leiter mathematischer Arbeitsgemeinschaften bietet es ebenso eine reichhaltige Auswahl an Materialien. Jederzeit dankbar sind wir fu¨r alle Hinweise, Anregungen und Erg¨anzungen zu den Aufgaben und L¨osungen in diesem Buch. Wir wu¨nschen uns, dass die Aufgaben des Mathematischen Korrespondenzzirkels auf diesem Wege weitere Verbreitung finden und vielen Mathematikinteressierten Freude bereiten. G¨ottingen, im Februar 2005 Die Autoren 2 Mathematisches Institut Georg-August-Universit¨at G¨ottingen ¨ Uber den Korrespondenzzirkel Was ist der Mathematische Korrespondenzzirkel? DerMathematischeKorrespondenzzirkelisteineArbeitsgemeinschaftfu¨rSchu¨- lerinnen und Schu¨ler, die vom Mathematischen Institut der Universit¨at G¨ot- tingen angeboten wird. Wer kann mitmachen? Alle,dieSpaßamL¨osenmathematischer Problemehaben.Gedachthabenwir andie Klassenstufen 9–13,aber die Teilnahme steht auch ju¨ngeren Schu¨lerin- nen und Schu¨lern offen. Wie funktioniert das? Alle sechs Wochen wird von der Uni G¨ottingen eine Aufgabenserie mit vier mathematischen Aufgaben herausgegeben und direkt an euch geschickt. Au- ßerdem findet ihr die Aufgaben auch im Internet auf unserer Homepage: http://www.math.uni-goettingen.de/zirkel Ihr habt dann ca. vier Wochen Zeit, eure L¨osungen an uns zu senden. Diese korrigieren wir, versehen sie mit Anmerkungen und schicken sie euch zusam- men mit L¨osungsbeispielen und der neuen Aufgabenserie wieder zu. EinmalimJahrgibteseingemeinsames TreffenamMathematischen Institut. An diesem Tag habt ihr die Gelegenheit, Uni und besonders Mathe hautnah zu erleben. Außerdem lernt ihr die anderen Zirkelteilnehmer kennen. Was sind das fu¨r Aufgaben? Fu¨rdasL¨osenderAufgabenbrauchtihrimAllgemeinenkeineu¨berdasSchul- wissen hinausgehenden Kenntnisse. Es kommt oft eher darauf an, eine pfiffige Ideezuhaben.AußerdemgibtesExperimentieraufgaben,beidenenihreinwe- nigherumprobieren,knobelnundselbsteigeneVermutungenaufstellenk¨onnt. Manchmal kann dafu¨r auch ein Computer eingesetzt werden. Muss ich immer alle Aufgaben l¨osen? Natu¨rlich nicht! Alles, was ihr einsendet, wird von uns angeschaut und kor- rigiert. Solltet ihr eine Aufgabe nicht vollst¨andig herausbekommen, so k¨onnt (und solltet) ihr auch Ideen und Teilergebnisse aufschreiben. Außerdem gibt es eine Telefon-Hotline fu¨r Tipps und Fragen zu den aktuellen Aufgaben. DieTeilnahme ist kostenlos undunverbindlich und mankannjederzeit aufh¨o- ren oder auch fu¨r eine Aufgabenserie aussetzen. 3 Mathematisches Institut Georg-August-Universit¨at G¨ottingen Anmeldecoupon Haben dir die Aufgaben in diesem Buch gefallen? WennduselbstamMathematischenKorrespondenzzirkelteilnehmenm¨ochtest,dann kopiere diesen Anmeldecoupon und schicke ihn ausgefu¨llt an uns. Wir senden dir gerne das aktuelle Aufgabenblatt kostenlos zu. Name : Vorname : geb. am : Klasse : Straße/Nr. : PLZ/Ort : E-Mail : Deine Schule : Schulanschrift : : Sonstiges/Bemerkungen (z.B. Teilnahme an Mathematikwettbewerben) Unsere Anschrift: Mathematisches Institut Mathematischer Korrespondenzzirkel Bunsenstraße 3–5 37073 G¨ottingen Internet:http://www.math.uni-goettingen.de/zirkel E-Mail: [email protected] 4
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