Vocabulaire des mathematiques

20 Pages·2000·1.575 MB·French

by  Cessenat M.

Vocabulaire des mathématiques
par Michel CESSENAT
Ingénieur des Arts et Manufactures
Docteur en Mathématiques Statistiques et Physique Mathématique
1. Notions relatives aux ensembles......................................................... A 1 205 - 2
1.1 Ensembles.................................................................................................... — 2
1.2 Fonctions ou applications........................................................................... — 2
2. Notions relatives aux nombres............................................................ — 3
2.1 Principaux ensembles de nombres............................................................ — 3
2.2 Intervalles (dans (cid:2)).................................................................................... — 3
2.3 Notations particulières................................................................................ — 3
2.4 Espaces produits de nombres ou puissances n-ièmes............................ — 4
3. Principales notions d’algèbre linéaire............................................... — 4
4. Principales notions relatives à la topologie..................................... — 4
4.1 Notions fondamentales............................................................................... — 4
4.2 Définitions de quelques sous-ensembles d’un espace topologique E.... — 5
4.3 Définitions pour des fonctions numériques (à valeurs dans (cid:2)) sur E... — 5
4.4 Principaux types d’espaces topologiques................................................. — 5
4.5 Principales façons de définir une topologie sur un ensemble E............. — 6
4.6 Notions fondamentales de dualité............................................................. — 7
5. Calcul intégral. Notions fondamentales de mesure
et d’intégration......................................................................................... — 7
6. Calcul différentiel et opérateurs différentiels linéaires............... — 10
7. Propriétés dans les espaces vectoriels topologiques................. — 11
7.1 Notions fondamentales............................................................................... — 11
7.2 Principaux espaces de « suites »................................................................ — 12
8. Notions principales relatives aux distributions.............................. — 13
9. Principaux espaces fonctionnels......................................................... — 14
9.1 Espaces de fonctions « régulières » (au moins continues)...................... — 14
9.2 Espaces de fonctions intégrables............................................................... — 14
9.3 Espaces de Sobolev..................................................................................... — 15
9.4 Espaces de distributions............................................................................. — 15
10. Opérateurs................................................................................................. — 15
10.1 Notions sur les opérateurs différentiels linéaires (odl)............................ — 15
10.2 Notions relatives aux « opérateurs » linéaires dans les espaces
de Banach (et Hilbert).................................................................................. — 16
10.3 Quelques opérateurs particuliers............................................................... — 17
10.4 Principaux espaces d’applications (opérateurs) linéaires continues
(bornées)...................................................................................................... — 17
2
99 10.5 Topologie sur des familles de parties d’un espace métrique (E, d)........ — 18
1
2 - Références bibliographiques......................................................................... — 20

5 C e vocabulaire raisonné répertorie – en rappelant brièvement leurs défini-
0
tions – des notions utiles pour un ingénieur confronté à un problème, tant
2
au niveau de sa modélisation mathématique que de sa résolution effective

1 (théorique et numérique). L’ingénieur peut alors être en contact avec des
A mathématiciens ou des articles mathématiques dont il doit comprendre le lan-
Toute reproduction sans au©to Treiscahtnioiqnu deus Cdeen lt’Irneg férannieçuari,s t dra’eitxép Slociiteanticoens dfoun ddraomit ednet acloepsie est strictement interdite. A 1 205 − 1
VOCABULAIRE DES MATHÉMATIQUES _____________________________________________________________________________________________________
gage, ou encore mener lui-même l’étude, ce qui l’amènera normalement à uti-
liser quelques notions mathématiques indiquées ici. Les problèmes visés sont
surtout tournés vers l’analyse fonctionnelle ; c’est notamment le cas des systè-
mes distribués, pour des problèmes avec équations aux dérivées partielles,
avec conditions aux limites et conditions initiales.
Ce vocabulaire n’a pas la prétention d’être exhaustif et a, bien sûr, de
nombreuses lacunes. Pour combler ces lacunes, nous renvoyons le lecteur aux
articles de Sciences fondamentales, et aux références bibliographiques indiquées
à la fin de cet article.
R
Notations et Symboles E\AR = EA le complémentaire d’une partie A dans E∈ ∉
= A = {x E, x A} ;
(cid:2)(E) l’ensemble des parties (ie des sous-ensembles) de E.
Symbole Définition
∀ quel que soit (cid:2) Soient E1 et E2 deux ensembles, et plus généralement (Ei)i ∈ I une
∃ il existe famille (quelconque) d’ensembles ; on note : (0)
⇒ implique
⇔ équivalent à (= ssi : si et seulement si) E1 × E2 le produit cartésien de E1 et E∈2, ie l’ens∈emble
des couples (x , x ) avec x E et x E ;
def égal à, par définition 1 2 1 1 2 2
i=e c’est-à-dire i∏∈IEi liee {p(rxoi)di u∈i tI ,c xair t∈és Eiei,n ∀ d ei ∈la If)a}m ;ille (Ei)i ∈ I,
E × E × ... la puissance n-ième de E, ie le produit cartésien
× E = En de ∏ E avec E = E, ∀ i ∈ I, ie encore l’ensemble
i i
1. Notions relatives i=1 à n
∈
des n-uples (x , x , ..., x ), x E pour i = 1 à n.
1 2 n i
aux ensembles
1.2 Fonctions ou applications
1.1 Ensembles
Nota : le lecteur pourra se reporter aux articles Langage des ensembles et des structures
(cid:2) Si on désigne par E un ensemble, x un élément de E, x est aussi [AF 33] et Analyse fonctionnelle [A 101] du traité Sciences fondamentales.
appelé point ; on écrit : (0) (cid:2) Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F : à tout
élément x de E, f fait correspondre un élément f(x) de F. Suivant les
∈ auteurs, cela s’écrit de façon équivalente :
x E x appartient à E ;
x ∉ E x n’appartient pas à E ; f : x ∈ E →f(x)∈F
{x ∈ E, P} e(lnas veimrgbullee dpeesu té êlétmree rnetms pxl adceé Ee, paayra n to lua ppraor p;)r i;été P ou x∈E’ f ( x ) ∈ F ou xEŒ→f(Fx )
F ⊂ E F partie (sous-ensemble de E) contenue dans E ; tout
élément x de F est élément de E : ∀ x ∈ F ⇔ x ∈ E ;
f(x) est dit l’image de x par f.
⊂ est dite l’inclusion ;
Attention : on note parfois, par abus de notation, par f(x) l’application x → f(x).
∅ ensemble vide.
On considère parfois des applications f définies seulement sur
une partie D de E, et non sur tout E. L’ensemble D est alors dit
f f
(cid:2) Soient A , A deux sous-ensembles de E, et plus généralement : ensemble de définition de f.
1 2
lm f = f(E) ⊂ F ensemble image de E par f, ie :
(0)
(Ai)i ∈ I une famille (quelconque) de sous-ensembles de E ; {y ∈ F ; ∃ x ∈ E, y = f(x)}
on note :
A ∪ A l’union de A et A , ie l’ensemble des éléments qui (cid:2) On désigne par A un sous-ensemble de E, et B un sous-ensemble
1 2 appartiennen1t à A2 ou (non exclusif) à A ; de F ; on note : (0)
1 2
A ∩ A l’intersection de A et A , ie l’ensemble des éléments
1 2 qui appartiennent 1à la fo2is à A et à A ; f(A) (⊂ F) l’ensemble image de A par f,
i(cid:2)∈ I A i xl’u ∈n iAoni} d;e la famille Ai = {x ∈ E1, ∃ i ∈ 2I tel que –f1 (B)⊂E ile’e {nys e∈m Fb ;le∃ r éxc ∈ip rAo,quy e= dfe(x B) }par f,
i(cid:3)∈ I A i l∀ ’ i ni t∈ e r Is }e ;c t i o n d e l a f a m i l l e A i = { x ∈ E , x ∈ A i ; f a p p l i c a t i o n i n j e ic e t i{ vx e ∈ o uE , i n f j (e x c )t i ∈o n B : } f ( x ) = f ( x ’ ) ⇒ x = x ’
ou encore ∀ y ∈ f(E), ∃ x unique tel que y = f(x)
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f application surjective ou surjection : f(E) = F On utilise aussi souvent les ensembles suivants :
ou encore ∀ y ∈ F, ∃ x ∈ E tel que y = f(x)
f application bijective ou bijection : f est à la fois injective (cid:4)* = (cid:4)\{0} = {1, 2 , . . . }
et surjective : ∀ y ∈ F, ∃ x unique tel que y = f(x) (cid:5)* = (cid:5)\{0}
–1
f application réciproque de f (si f est une application (cid:6)* = (cid:6)\{0}
–1 (cid:2)* = (cid:2)\{0}
injective) : application de f(E) dans E notée f :
y ∈ f(E) → x ∈ E tel que y = f(x) (cid:7)* = (cid:7)\{0}
(cid:6)+ = {x∈(cid:6), x (cid:3) 0 }
 –f1(f(x)) = x, ∀ x∈E (ou x ∈ D f ) (cid:2)+ = {x∈(cid:2), x (cid:3) 0 }
ainsi  f (–f1(y)) = y, ∀ y∈lm f 2.2 Intervalles (dans (cid:2)) (0)
[a, b] fermé = {x∈(cid:2), a (cid:2) x (cid:2) b }
(cid:2) Si A est un sous-ensemble de E, et f une application de E dans F, ]a, b[ ouvert = {x∈(cid:2), a < x < b }
on note : (0) [a, b[ semi-ouvert à droite = {x∈(cid:2), a (cid:2) x < b }
]a, b] semi-ouvert à gauche = {x∈(cid:2), a < x (cid:2) b }
f| la restriction de f à l’ensemble A : x ∈ A → f(x) ∈ F.
A
(cid:2) Si E, F, G sont des ensembles, f et g des applications respective- On désigne parfois par (a, b) l’ensemble des nombres réels
ment f de E dans F et g de F dans G, on note par : (0) compris entre a et b, bornes comprises ou non (à ne pas confondre
avec le couple (a, b)).
g (cid:3) f plaa cr o: m(gp o (cid:3)s fé )e ( d xe)s= apgp(lfic(axt)i)o, n∀s xg ∈e tE f ,( odne dEi td «a ngs rGon, ddé ff i»n)i e; 2.3 Notations particulières
IE l’application identique dans E : ainsi IE(x)= x, ∀ x ∈ E. 2.3.1Notations dans (cid:2)
(cid:2) Si f est une application injective de E dans F, on a ainsi : (cid:2) Soit A un sous-ensemble de (cid:2) :
–f1(cid:3)f =IE, f(cid:3)–f1= I f (E) mmainjoorraanntt ddee AA :: yy tteell qquuee ay (cid:2)(cid:2) ya,, ∀∀ aa ∈∈ AA ,;
sup A : c’est le plus petit des majorants ; ie x = sup A vérifie
(cid:2) Une application f de E dans (cid:2) est généralement appelée fonction a (cid:2) x , ∀ a∈A, e t
numérique. 
x (cid:2) y , ∀ y m ajorant de A ;
inf A : c’est le plus grand des minorants ; ie x = inf A vérifie
2. Notions relatives x (cid:2) a , ∀ a∈A, e t
y (cid:2) x , ∀ y m inorant deA.
aux nombres
Si l’on sait que sup A ∈ A, ie que A a un plus grand élément,
on note sup A par max A ; de même, si inf A ∈ A, on note
Nota : le lecteur pourra se reporter à l’article Polynômes. Études algébriques [AF 37] du inf A par min A.
présent traité.
(cid:2) Si f est une fonction numérique définie sur un ensemble E, et si
2.1 Principaux ensembles de nombres (0) A est un sous-ensemble dsuep E, fo(nx )no=tes u: p f ( A )
(cid:4) ensemble des entiers naturels : {0, 1, 2, ...} ; x∈A
inf f(x) = inf f (A)
(cid:5) ensemble des entiers relatifs {..., – 2, – 1, 0, 1, 2, ...} ; x∈A
(cid:6) ensemble des nombres rationnels, ie ensemble
des fractions : p/q avec p et q∈(cid:5) ;
2.3.2Notations dans (cid:7)
(cid:2) ensemble des nombres réels ;
(cid:4), (cid:5) , (cid:6) , (cid:2) sont des ensembles ordonnés pour la relation (cid:2) ; Soit z∈(cid:7) (un nombre complexe) ; on note :
(cid:7) ensemble des nombres complexes ; z = x+iy, i = – 1
(cid:8) = (cid:2)/(cid:5) ensemble des nombres réels modulo (cid:5), avec x = Re z la partie réelle de z,
ou ensemble quotient de (cid:2) par (cid:5) (identifiable
à l’intervalle [0, 1[) [on note aussi parfois y = lm z la partie imaginaire de z,
(cid:8) = (cid:2)/2π (cid:5) , e n s e m b l e d e s a n g l e s ], aussi appelé ρ = |z| le module de z ; |z| = (x2 + y2)1/2,
tore à une dimension.
θ = Arg z l’argument de z, défini par : z = |z| exp(i θ),
z le complexe conjugué de z, donc z = x–iy.
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2.4 Espaces produits de nombres — concave, si – f est convexe
ou puissances n-ièmes — strictement convexe, si :
f(tx + (1 – t) y) < t f(x) + (1 – t) f(y) ∀ x, y ∈ E, x ≠ y, ∀ t ∈ ]0, 1[
(cid:4)n, (cid:5) n, (cid:6) n, (cid:2) n, (cid:7) n, (cid:8) n, (cid:2) n / (cid:5) n = ((cid:2)/(cid:5))n ensembles dont les — strictement concave, si – f est strictement convexe.
éléments sont :
(cid:3) Une fonction f de E × E dans F est dite :
α = (α , α , ..., α )
1 2 n — bilinéaire, si elle est linéaire par rapport à chacune des
avec α∈(cid:4), (cid:5) , (cid:6) , (cid:2) , (cid:7) , (cid:2) /(cid:5) respectivement. variables ;
i — sesquilinéaire (pour E espace vectoriel sur (cid:7)), si elle vérifie :
(cid:2) Pour α∈(cid:4)n, on note souvent |α| = α + α + ... + α et pour
1 2 n
x = (x1, ..., x n ) ∈(cid:2)n, on note xα= x1α1⋅x2α2 ... x nα n. f (λ1 x 1 +λ2 x 2, y ) = λ1 f (x1, y )+λ2 f (x2, y )
|α| est alors le degré du monôme xα.  f (x, λ 1 y 1 +λ2 y 2 ) = λ1 f (x, y 1 )+λ2 f (x, y 2 )
(cid:2) Sous-ensembles particuliers de (cid:2)n :
Sn–1(ou S n – 1 ) = {x∈(cid:2)n, x = ( x 12+...+xn2)1/2=1} sphère (cid:3)poPuor utro uFs =λ(cid:2)1, o λ u 2 (cid:7)∈ , (cid:7)on, xp,a yrl,e x d1e, fxo2rm, ye1 b, iyli2n é∈a iEre. et de forme ses-
unité de (cid:2)n ; quilinéaire.
B = {x∈(cid:2)n, x (cid:2) 1 } dite boule unité de (cid:2)n. (cid:3) Rappel : ensemble convexe A :
n
tx + (1 – t) y ∈ A, ∀ x, y ∈ A, ∀ t ∈ [0, 1]
3. Principales notions
4. Principales notions
d’algèbre linéaire
relatives à la topologie
Notions de groupe, d’anneau, de corps, d’espace vectoriel,
d’algèbre et notamment d’algèbre tensorielle, algèbre symétrique
et algèbre extérieure (voir articles [AF 85] Algèbre linéaire et [A 125] Nota : le lecteur pourra se reporter à l’article Analyse fonctionnelle [A 101] du traité
Calcul tensoriel du traité Sciences fondamentales). Sciences fondamentales.
La notion même de topologie est particulièrement importante pour
On se reportera à ces articles pour les définitions de ces notions
l’ingénieur, puisqu’elle concerne tous les problèmes d’approxi-
fondamentales.
mation.
Le lecteur doit faire attention à la notion de vecteur (voir article
[AF 85] Algèbre linéaire) défini en mathématique comme élément
d’un espace vectoriel, lui-même défini de façon axiomatique.
4.1 Notions fondamentales
Les vecteurs utilisés par l’ingénieur ou le physicien ne sont souvent
pas des vecteurs au sens précédent, mais des éléments d’un espace
affine (ie d’un espace translaté d’un espace vectoriel) ou bien encore
4.1.1Ouverts, fermés, voisinages
des champs vectoriels. Notamment du point de vue mathématique,
une fonction réelle définie sur un intervalle I de (cid:2) est un vecteur
(ie élément d’un espace vectoriel), un couple (x, y) avec x et y∈(cid:2) Une topologie t sur un ensemble E est définie de façon axio-
est un vecteur et même les scalaires x∈(cid:2) sont des vecteurs ! matique par la donnée d’une famille (que l’on peut noter aussi t)
de sous-ensembles de E, appelés ouverts, avec les propriétés
Rappelons seulement quelques propriétés utiles pour la suite.
suivantes :
(cid:2) Quelques propriétés importantes de fonctions  — toute réunion d’ouverts est un ouvert ;
sur un espace vectoriel 
 — toute intersection d’un nombre fini d’ouverts est un ouvert.
Soient E et F deux espaces vectoriels sur (cid:2) (ou (cid:7)). L’ensemble E avec t est alors dit espace topologique.
(cid:3) Une fonction f de E dans F est dite :
— additive, si f(x + y) = f(x) + f(y), ∀ x, y ∈ E (cid:2) Fermé : tout complémentaire dans E d’un ouvert.
— linéaire, si f(λ x + µ y) = λ f(x) + µ f(y), ∀ x, y ∈ E, (cid:2) Voisinage d’un ensemble A (resp. d’un point x ∈ E) : toute
partie de E contenant un ouvert contenant A (resp. x).
∀ λ, µ∈(cid:2)(ou (cid:7) )
Une topologie t sur un ensemble E peut aussi être définie de
— affine, s’il existe une fonction linéaire ϕ de E dans F, et un vec- façon axiomatique par la donnée de la famille des fermés, ou
teur a ∈ F tels que : f(x) = ϕ(x) + a, ∀ x ∈ E (cid:2)encBoarsee p dar’ ulan efa tmoiplloe ldoegsi ev otis isnuarg Ees : dfaem toilulet p(cid:3)o idn’to xu v∈e rEts. telle q u e
tout ouvert (cid:4) de t soit réunion d’ensembles de (cid:3).
Noter qu’une fonction affine n’est pas linéaire sauf si a = 0.
— homogène d’ordre α (α∈(cid:2)), si : (cid:2) Base de v∈oisinages g (ou système fondamental de voisi-
nages) de x E : famille de voisinages de x telle que pour tout voi-
f(λ x) = λα f(x), ∀ x ∈ E, ∀ λ > 0 sinage V de x, il existe un voisinage W de la famille g tel que
W ⊂ V.
(cid:3) Pour F = (cid:2), on dit que f : E→(cid:2) est :
— convexe, si : (cid:2) Comparaison de deux topologies t1 e t t 2 : la topologie t1
f(tx+(1–t) y ) (cid:2) t f ( x)+(1–t) f (y) ∀ x , y ∈ E, ∀ t∈[0, 1 ] eésctr itd :i tet 2pl⊂ust fi1n.e que t2 s i t 1 contient plus d’ouverts que t2, on
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4.1.2Convergence et limites Dans un espace métrique E (§ 4.4), muni d’une distance d, un
ensemble B est borné si son diamètre δ(B) = sup d (x, y ) est fini.
Une autre notion fondamentale est celle de convergence et de x∈B, y ∈B
limite qui nécessite, pour une définition générale, la notion de (cid:3) Ensemble connexe F dans E : E ne peut être la réunion de
filtre [2] ; donnons seulement deux cas particuliers, celui des suites deux ensembles ouverts non vides disjoints (ie d’intersection vide) ;
et celui des fonctions continues en un point. ou encore : il n’existe aucun sous-ensemble non vide (et différent
de F) à la fois ouvert et fermé.
(cid:2) Convergence d’une suite (x ) dans un espace topolo-
n n∈(cid:4)
∈
gique E. Un point x E est dit limite de la suite (x ) si, pour tout
n
voisinage V de x, il existe un entier N tel que x ∈ V, ∀ n > N. 4.3 Définitions pour des fonctions
n numériques (à valeurs dans (cid:2)) sur E
On dit alors que la suite (x ) converge vers x ; on note :
n
x = limx .
n→∞ n
(cid:2) Valeur d’adhérence (ou point d’accumulation) d’une suite (cid:2) Fonction f semi-continue inférieurement (resp. supérieure-
(txonu)t :N t oenutti epro, iinl te xyi s∈te E n t>e lN q tueel qpuoeu xr nt o∈u tV v.oisinage V de y et pour iml eexnistt)e e unn u vno ipsoiniangte a V ∈ d Ee a: pteolu qr utoeu ht <ré fe(lx h), (hre <s pf.( ah )> ( rfe(sxp).) ,h ∀ > x f ∈(a V)),.
(cid:2) Continuité en un point x0 d’une fonction f : E → F, E et (cid:2) Fonction semi-continue inférieurement (resp.∈ supérieure-
F étant deux espaces topologiques ; pour tout voisinage V ment) si la propriété précédente est vraie pour tout a E.
y
de y = f(x ), il existe un voisinage W de x dans E tel que f(W ) ⊂ V
0 x x y
–1
[ou encore f (V ) est un voisinage de x dans E]. On note : 4.4 Principaux types
y
d’espaces topologiques
y = lim f(x)
x→x0
Soit E un espace topologique.
(cid:2) Continuité d’une fonction f : E → F ; l’image réciproque par
f de tout ouvert dans F est un ouvert dans E. Ceci est équivalent à : (cid:2) Espace séparé (ou espace de Hausdorff)
f est continu en tout point x de E. Il y a bien d’autres définitions équi- Quels que soient a, b points distincts de E, il existe un voisinage
valentes telles que : l’image réciproque par f de tout fermé (resp. U de a et un voisinage V de b sans point commun.
voisinage) dans F est un fermé (resp. voisinage) de E.
(cid:2) Espace compact
L’espace E est séparé, et pour toute famille d’ouverts (Ωi)i ∈ I
4.2 Définitions recouvrant E (ie ∪Ω = E), il existe une sous-famille finie
i∈I i
de quelques sous-ensembles recouvrant E.
d’un espace topologique E
(cid:2) Espace localement compact
L’espace E est séparé, et tout point de E possède un voisinage
(cid:2) Étant donné une partie A de E, on définit : (0) compact.
(cid:2) Espace métrique
A la fermeture de A ou l’adhérence de A ; ie l’ensemble des Espace E muni d’une distance d (ou métrique). Cette distance
points x de E tel que tout voisinage de x rencontre A (ou définit sur E une topologie telle que pour tout x ∈ E, la famille :
encore l’intersection des fermés contenant A).
A° l’intérieur de A, ie l’ensemble des points x de E tel que A Bρ(x) = {x∈E, d (x, y ) (cid:2) ρ }, ρ >0
soit un voisinage de x (ou encore l’union des ouverts
contenus dans A). forme une base de voisinages de x.
Fr A la frontière de A : Fr A = A (cid:3) R A = A\A°. voLisai nfaagmeisl lde e (xB.1/n(x))n∈(cid:4) forme une base dénombrable de
(cid:2) Principaux sous-ensembles d’un espace E.
(cid:3) Ensemble dense (dans E) : partie A telle que A = E. (cid:2) Espace métrisable
(cid:3) Ensemble compact K dans un espace séparé E : de toute Espace topologique dont la topologie peut être définie à l’aide
ofanm piellue t( Ωexi)tir ∈ai rI ed ’uonuev efarmts idllee fiEn rieec o(Ωuvr)ant K, ie r etecloleu vqruaen tK K⊂. i∈∪IΩi , d(cid:2) ’uEnsep adciset amnécter.ique (ou métrisable) séparable
ik k=1 à N Espace métrique (ou métrisable) dans lequel il existe un ensemble
dénombrable dense (dans E).
Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles. Noter une
(cid:2) Espace métrique complet
propriété essentielle : toute suite (x) dans un compact K a
i i∈(cid:4) Un espace métrique est dit complet si toute suite de Cauchy
au moins un point d’accumulation dans K.
dans E est convergente dans E.
La notion d’espace complet peut être généralisée à des espaces
(cid:3) Ensemble relativement compact : ensemble dont la ferme- non métriques [2] [3].
ture est compacte.
(cid:3) Ensemble borné B dans un espace vectoriel topologique
E(EVT). Pour tout voisinage de zéro, U dans E, il existe λ (cid:3) 0
tel que :
B ⊂ λ U
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problèmes de stabilité vis-à-vis de données d’une structure), sur des
Suite de Cauchy familles de sous-ensembles de (cid:2)n (pour traiter de problèmes du
Une suite (x ) dans un espace métrique E est dite suite de type optimal shape design [5]).
n
Cauchy si elle vérifie la propriété suivante. Les topologies sur des espaces fonctionnels interviennent souvent
Pour tout ε > 0, il existe N∈(cid:4) tel que d(xn, xm) < ε, pour de façon naturelle pour le problème physique considéré (conserva-
tous n et m supérieurs à N. tion d’une énergie correspondant à une norme par exemple) ; les
espaces fonctionnels peuvent correspondre à des fonctions plus ou
(cid:2) Espace vectoriel topologique (EVT) moins régulières (éventuellement des distributions).
Espace vectoriel E sur (cid:7) (ou sur (cid:2)) muni d’une topologie telle On est aussi amené à changer de topologie pour améliorer la
que les applications d’addition et de multiplication par un scalaire : convergence. C’est le cas des topologies dites faibles.
(x, y ) ∈ E×E→x+y∈E

(λ, x )∈(cid:7)×E (ou (cid:2) ×E)→λ x ∈ E 4.5 Principales façons de définir
une topologie sur un ensemble E
sont continues.
(cid:2) Espace vectoriel topologique localement convexe
(cid:2) Écart
Un espace vectoriel topologique E est dit localement convexe s’il
On appelle écart sur E toute application f de E × E dans l’inter-
existe un système fondamental de voisinages de 0 formé
valle [0, + ∞] vérifiant :
d’ensembles convexes.
a) ∀ x ∈ E, f(x, x) = 0 ;
(cid:2) Espace de Fréchet b) ∀ x et y ∈ E, f(x, y) = f(y, x) (symétrie) ;
Un espace vectoriel topologique est un espace de Fréchet s’il est c) ∀ x, y, z ∈ E, f(x, y ) (cid:2) f (x, z ) +f(z, y ) (inégalité du triangle).
à la fois métrisable, complet et localement convexe. (cid:2) Distance ou métrique
(cid:2) Espace normé On appelle distance ou métrique sur E toute application d de
Espace vectoriel topologique E muni d’une norme || · ||. Cette E × E dans l’intervalle [0, + ∞[, vérifiant :
norme définit sur E une topologie telle que les boules : a) d(x, y) = 0 ⇔ x = y (deux points à distance nulle sont
identiques) ;
Bρ= {x∈E; x (cid:2) ρ }, ρ >0 b) d vérifie les propriétés (b) (symétrie) et (c) (inégalité du
triangle) relatives aux écarts.
forment une base de voisinages de l’origine.
(cid:2) Semi-norme sur un espace vectoriel E
(cid:2) Espace normable Une fonction x ∈ E → p(x) ∈ [0, + ∞[ est dite une semi-norme si
Espace vectoriel topologique E dont la topologie peut être elle vérifie les conditions suivantes :
définie à l’aide d’une norme. a) p est sous-additive, ie ∀ x , y ∈ E, p(x+y) (cid:2) p ( x)+p(y) ;
(cid:2) Espace de Banach b) p est positivement homogène de degré 1, ie ∀ x ∈ E et
∀ λ ∈(cid:7), p(λx) = |λ| p(x) ;
Espace normé complet.
c) p(0) = 0 [impliquée par (b)].
(cid:2) Espace préhilbertien (cid:2) Norme (sur un espace vectoriel E)
Espace vectoriel sur (cid:7)(ou (cid:2) ), muni d’une forme hermitienne
Une semi-norme sur E est appelée une norme si :
positive, notée (,) (ou (|)), (le produit scalaire).
∈
(cid:2) Espace hilbertien ou espace de Hilbert x E, p(x) = 0 implique x = 0
Espace préhilbertien séparé et complet [la forme hermitienne, on note de façon usuelle p(x) = ||x||.
(§ 4.5), (,) définit une norme || · || par ||x|| = (x, x)1/2]. (cid:2) Forme hermitienne positive. Produit scalaire
(cid:2) Les espaces (cid:2), (cid:7) , (cid:2) n, (cid:7) n sont naturellement munis d’une On appelle forme hermitienne (pour E espace vectoriel sur (cid:7), ou
topologie : celle due à la distance euclidienne. On est amené à symétrique pour E espace vectoriel sur (cid:2)) toute application f de
utiliser les ensembles suivants : E × E dans (cid:7) (resp. (cid:2)) vérifiant :
top(cid:2)o∪lo{g+ie ∞ d}e =(cid:2)]–, l ∞ a , f + a m ∞ i]ll ep o(cid:2)un-1--r- , l e+q ∞u e(cid:2)l, onn eanjtoiuerte, csoimmpmleem beanst eà dlea  ff((xx1, +y 1 x +2 ,y y2 )) == ff((xx,1 ,y y1 )) ++ff((xx,2 ,y y2 )),, ∀∀ xx ,1 , y x1 ,2 ,y y2 ∈∈ EE
voisinages de + ∞ ; f(λx, y ) = λ f (x, y )
(cid:3) (cid:3)  f(x, µ y ) = µf(x, y ) ∀ x , y ∈E, λ , µ ∈(cid:7) (ou (cid:2) )
(cid:2)∪{– ∞ , + ∞} ou droite achevée, avec la famille – ∞ , – n-1 -- - ,  f(x, y ) = f(x, y )
n entier, comme base de voisinages de – ∞ ;
(cid:2) = (cid:2)∪{∞} (compactifié de (cid:2)), c’est-à-dire (cid:2), avec sa topo- Une forme hermitienne f sur E est positive si elle vérifie :
logie, à laquelle on ajoute les familles (cid:2)\(cid:3)– - -1- - --, – - 1--- (cid:2) comme base f(x, x ) (cid:3) 0, ∀ x ∈E
m n
Alors (f(x, x))1/2 est une semi-norme sur E.
de voisinages de l’infini.
Une forme hermitienne f sur E est dite définie positive, ou posi-
(cid:2) Par ailleurs, pour traiter les problèmes d’équations aux dérivées tive non dégénérée, si elle vérifie :
partielles et pour les approximations, on est amené à définir des
topologies sur des espaces fonctionnels, sur des espaces de suites, x ≠ 0 ⇒ f(x, x) > 0
sur des espaces d’opérateurs (par exemple, pour traiter des
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Alors (f(x, x))1/2 est une norme sur E. On note de façon usuelle : les indices des crochets rappelant la dualité concernée.
f(x, y) = (x, y) ou (x|y), appelé produit scalaire de x et y J est une isométrie (§ 10.3) de E dans E’’.
(cid:2) Quelques autres façons de définir une topologie sur un ensemble (cid:2) Espace réflexif
(cid:3) Topologie induite sur un sous-ensemble E0 d’un espace topolo- Un espace de Banach E est dit réflexif si J E = E’’ (ie on peut
gique (E, t ) : c’est la topologie t sur E dont l’ensemble des identifier E à son bidual E’’ par J).
0 0
ouverts sont de la forme E0∩(cid:4), (cid:4) ouvert de t. La propriété essentielle des espaces de Banach réflexifs est que
(cid:3) Topologie produit sur l’espace produit E1 × E2 de deux espaces la boule unité BE = {x ∈ E, x (cid:2) 1 } est compacte pour la topologie
topologiques (E1, t 1) et (E2, t 2) : la famille des ensembles de la faible.
forme (cid:4)1×(cid:4)2 avec (cid:4)1∈t1 e t (cid:4) 2 ∈t2 forme une base de la topo- (cid:2) Topologie faible ✳ sur E’, ou topologie (cid:4)(E′, E )
logie produit. Topologie la moins fine sur E’ rendant continues toutes les
(cid:3) Transport de structure : étant donné un espace topologique applications :
(E1, t 1) et une bijection ϕ de E1 sur un ensemble E2, on définit sur f ∈ E’ → <f, x>, x ∈ E
E une topologie t par :
2 2 Comme E ⊂ E’’, la topologie faible ✳ sur E’ est moins fine que la
(cid:4)∈t si ϕ–1((cid:4))∈t topologie faible de E’, ie la topologie σ(E’, E’’).
2 1 La propriété essentielle de cette topologie faible ✳ est que la
(cid:3) Topologie t la moins fine sur un ensemble E rendant continue boule unité de E’, BE’ = {f ∈ E’, f (cid:2) 1 } est compacte pour cette
une famille d’applications ϕ de E dans un espace topologique topologie. Ceci n’a d’intérêt que si E’ n’est pas réflexif. Noter
(E ,t), i ∈ I : l’ensemble desi intersections finies des ensembles de que E’ est réflexif si et seulement si E est réflexif.
i i
la forme ϕ–i1((cid:4)i) pour (cid:4) i ∈ti forme une base de la topologie t. (cid:2) SP’riél dexuiaslt ed ’uunn eessppaaccee ddee BBaannaacchh FE tel que F = E’, E est dit prédual
de F.
4.6 Notions fondamentales de dualité (cid:2) Exemples d’espaces réflexifs : E = Lp(Ω), 1 < p < + ∞ (§ 9.2).
Soit E un espace vectoriel topologique (EVT) sur (cid:2) ou (cid:7). (cid:2) Exemples d’espaces non réflexifs E = L1(Ω), E = L∞(Ω).
(cid:2) Une forme linéaire f sur E est une application linéaire de E dans L’espace E = L1(Ω) n’admet pas de prédual.
(cid:2) o u (cid:7) (suivant le corps de E), et on note :
f(x) = <f, x>, ∀ x ∈ E Remarque : tout espace de Hilbert peut s’identifier à son dual
– par suite du théorème de Riesz – et donc est réflexif. Cette
(cid:2) Dual (topologie) E’ de E identification n’est pas toujours intéressante à faire : on appelle
Ensemble des formes linéaires continues sur E (si E est de généralement espace pivot (dans un cadre variationnel) un
dimension infinie, toute forme linéaire n’est pas continue). espace de Hilbert H identifié à son dual ; c’est généralement le
cas des espaces H = L2(Ω).
(cid:2) Topologie faible (cid:4)(E, E ′) sur E
Topologie la moins fine sur E rendant continus tous les éléments (cid:2) Antidual d’un espace de Hilbert (ou même de Banach) E sur (cid:7)
de E’. C’est une topologie localement convexe séparée, définie par
la famille des semi-normes x∈E→ <f, x > ∈(cid:2)+. Ensemble des formes antilinéaires continues sur E ; ie des appli-
cations f continues de E dans (cid:7), telles que :
Ces premières notions sont essentiellement utilisées pour f(λx+µy) = λf(x)+µf(y)
Ees epsapcaec de el oBcaanlaecmhe. nNto cuosn svuepxpeo sseérpoanrsé ,p aert lan ostuaimtem, peonut r psoimurp liE- ∀ x , y ∈E, λ , µ ∈(cid:7)
fier, que E est un espace de Banach. Alors la topologie faible
n’est pas métrisable. On appelle parfois, par opposition, topolo-
gie forte, la topologie initiale d’espace de Banach.
5. Calcul intégral. Notions
L’hypothèse que E est un espace de Banach n’est pas suffi-
sante pour toutes les applications. Nous renvoyons dans le cas fondamentales de mesure
où E n’est pas un espace de Banach à [3] [2].
et d’intégration
(cid:2) Dual fort ou topologie forte sur le dual d’un espace de Banach
Espace E’, muni de la norme duale :
Soit E un ensemble.
f =xsu∈pE < f, x > (cid:2) Tribu ou (cid:4) - algèbre
x (cid:2) 1 Ensemble de parties de E, stable par les opérations du passage
au complémentaire et union dénombrable ; si (cid:5) est une tribu de
c’est un espace de Banach pour cette norme.
parties de E, alors :
(cid:2)noCrBm’iedesut : alle E d’’ udael Ede E’. Cξ’est= asuuspsi < uξn, fe > s p ace de Banach pour la AA i∈∈(cid:5)(cid:5),⇔ ∀ R i A ∈ = (cid:4) E ⇒ \ A i ∈∪ ∈ (cid:4) A (cid:5) i ∈ (cid:5)( e t a i n s i i ∩∈ (cid:4)A i ∈ (cid:5) )
ff∈ E (cid:2)′ 1 ∅∈(cid:5), et E ∈(cid:5).
On peut identifier E à un sous-espace de E’’ par l’injection cano- (cid:2) Tribu engendrée par une famille (cid:3) de parties de E
nique J : E → E’’ définie par : La plus petite tribu (au sens de l’inclusion des tribus) contenant
<J x, f> = <f, x> , ∀ x ∈ E, ∀ f ∈ E’ la famille (cid:3).
E’’, E’ E’, E
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(cid:2) Tribu de Borel d’un espace topologique E (cid:2) Intégrale d’une fonction (cid:5)- étagée
La tribu engendrée par les parties ouvertes de E. Pour toute fonction f µ - étagée de (E, (cid:6) , µ ) dans F, on définit
(cid:4) (cid:4)
(cid:2) Espace mesurable
l’intégrale de f (relativement à µ), notée fdµ ou f ( x )dµ(x),
C’est un couple (E, (cid:6) ) avec E ensemble (non vide) et (cid:6) tribu de
parties de E ; les éléments de (cid:6) sont appelés parties mesurables par :
de E. (cid:4)
(cid:2) Application mesurable f d’un espace mesurable (E, (cid:6) ) fdµ= ∑ µ(Aj)yj [yj, Aj définis dans la relation (1)]
dans un autre espace mesurable (F, (cid:3) ) j=1 à m
Pour tout B∈(cid:3), –f 1 ( B)∈(cid:6). L’ensemble des fonctions µ - étagées de (E, (cid:6) , µ ) dans F étant
noté Stµ(E, F), on définit une semi-norme sur Stµ(E, F) par :
(cid:2) Mesure (abstraite) sur un espace mesurable (E, (cid:6) ), (à valeurs (cid:4)
dans un espace F, F = (cid:2)∪{+ ∞ }, F = (cid:2)+∪{+ ∞} ou F = (cid:2), (cid:7) , N (f) = f dµ
espace de Banach). 1
C’est une application µ de (cid:6) dans F, dite (cid:4) - additive, ie telle que (cid:2) Application (cid:5)- intégrable f de (E, (cid:6) , (cid:5) ) dans F
pdeouuxr tdoiusjtoei nfatsm, illale f adménilolem (bµra(Xble)) (Xi)i e∈s(cid:4)t sdo’mélémmaebnlets e dt e: (cid:6) deux à Il existe une suite de Cauchy (fn)n∈(cid:4) d’applications µ - étagées
i i∈(cid:4) de E dans F, convergeant µ - presque partout vers f.
(cid:4)
µ( ∪X) = ∑ µ(X)
i∈(cid:4)i i∈(cid:4) i L’intégrale de f (pour la mesure (cid:5)) notée fd(cid:5) est définie par :
(cid:4) (cid:4)
veLctao mrieelsleu rer eesspt edcittiev erméeelnlet, rséie lleF fi=ni(cid:2)e,∪ p{o+s i t∞ iv}e, (cid:2) ((cid:3), (cid:2) 0 +),∪ c{o+m ∞ p}le, x (cid:7) e ,, fdµ= nli→m∞ f n d µ
espace de Banach. (cid:2) Application f de (E, (cid:6) , (cid:5) ) dans F, (cid:5)- intégrable dans A∈(cid:6)
La mesure µ est dite (cid:4) - finie si E est réunion dénombrable
d’éléments X de (cid:6) tels que µ(X) est fini pour tout i. Application telle que f · 1A est µ - intégrable.
i i
(avec 1 fonction caractéristique de A).
(cid:2) Espace mesuré (E, (cid:6) , (cid:5) ) A (cid:4)
vaCle’uersst duann ess p(cid:2)a+c∪e {m+e ∞su}r)a µb,l ed é(fiEn, i e(cid:6) )s uarv elac turinbeu m(cid:6)e.sure positive (à L’intégrale de f dans A, notée fd(cid:5), est définie par :
A
(cid:2) Application étagée f d’un espace mesurable (E, (cid:6) ) (cid:4) (cid:4)
dans un ensemble F (F quelconque non vide) fdµ= f⋅1 dµ
A
Il existe une famille finie (A) d’éléments de (cid:6) deux à deux A
i i = 1 à n
disjoints tels que ∪Ai = E, et la restriction de f à Ai est constante (cid:2) L’espace des fonctions (cid:5)- intégrables de E dans F est noté
∀ i = 1 à n. i=1àn (cid:7)(cid:5)1(E, F ).
(cid:2) Application (cid:5)-étagée f, d’un espace mesuré (E, (cid:6) , (cid:5) ) (cid:2) L’espace quotient de l’espace vectoriel (cid:7)(cid:5)1(E, F ) par le
dans un espace de Banach F sous-espace (cid:8) des fonctions (cid:5)- presque partout nulles est noté
f est une application étagée de (E, (cid:6) ) dans F, telle que : L(cid:5)1(E, F ).
–1
µ(f (F\{0})) est fini C’est un espace de Banach pour la norme :
Ou encore : il existe yj ∈ F, Aj∈(cid:6), j = 1 à m (fini) tel que : f = (cid:4)f dµ
µ(A) < + ∞ 1
j
où || · || désigne la norme dans F, et |f| l’application
f = j=∑1 à m yj, 1 Aj, 1 Aj f o nction caractéristique de Aj (1) x∈E→ f(x) ∈(cid:2)+.
(cid:2) Ensemble négligeable M dans un espace mesuré (E, (cid:6) , (cid:5) ) L’espace quotient considéré est l’espace des classes de fonc-
tions obtenues en identifiant deux fonctions dont la différence
Une partie M de E est dite négligeable (relativement à la
mesure µ, ou µ - négligeable) s’il existe A∈(cid:6) tel que : appartient à (cid:8).
M⊂A et µ(A) = 0 (cid:2) Variation totale d’une mesure (cid:5) sur un ensemble mesurable
Une propriété P dans E est dite vraie (cid:5) - presque partout (E, (cid:6) ) à valeurs dans F avec F = (cid:2)∪{+ ∞ } ou un espace de Banach.
(µ - pp), si l’ensemble des points x de E, qui ne possèdent pas cette C’est la mesure positive, notée |µ|, définie pour tout A∈(cid:6), par :
propriété, est négligeable.
∞
(cid:2) Application (cid:5) - mesurable f de (E, (cid:6) , (cid:5) ) dans un espace µ (A) = sup ∑ µ (Xi) (2)
de Banach F i=0
Eµ dI-l a nneésxg Fils ictgeoen auvbnelreeg esNau nidtt eeµ -E (pf rntee)nsllq∈eu (cid:4)eq pudae’r atpopouputl virc eatrostiu fo t(n iexs i l∈ µe xE-i s\éteNt au, gnléae epssau ridttieee lfaa mbiollrense dséunpoémrieburareb le(ds a(nXs i )(cid:2) i ∈+∪(cid:4) { d+ ’ é ∞l é} m) eé nt a t ns t d p e r u is x e à p do eu u r x t o d u i st ej os i nl e t ss
(fnO(ux )e)nnc∈o(cid:4)re c: oiln evxeirsgtee uvneres a fp(pxl)i)c.ation g mesurable de E dans F, µ - de (cid:6) tels que : i∈∪(cid:4)Xi = A [la notation |µ(Xi)| désigne la norme
dans F de µ(X)].
presque partout égale à f. i
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(cid:2) Mesure (abstraite) bornée En tant que mesure de Radon, on peut la définir à l’aide de la
Mesure µ telle que : notion de primitive d’une fonction f∈(cid:10)c((cid:2)), par :
(cid:4)
µ = sup µ (A) < + ∞
A∈(cid:6) (cid:12)(f) = f(x)dx
(cid:2)
L’ensemble (cid:9)(E, (cid:6) ; F ) des mesures bornées à valeurs dans un (cid:2) Mesure (cid:6) absolument continue par rapport à une mesure (cid:5),
espace de Banach F est un espace de Banach pour la norme ||µ||. définies sur (E, (cid:6)) (on note (cid:6) (cid:4) (cid:5))
(cid:2) Mesure de Borel sur un espace localement compact E ∀ A∈(cid:6) tel q ue µ (A) = 0 vérifie ν (A) = 0
Mesure abstraite µ définie sur la tribu de Borel (cid:3) de E, à valeurs
dans (cid:2)∪{+ ∞}, ou dans un espace de Banach F telle que : Si µ et |ν| sont des mesures finies, il existe une fonction f µ - inté-
grable telle que :
|µ|(K) < + ∞, ∀ K compact de E [avec la notation de la relation (2)] (cid:4)
Une mesure de Borel positive sur E est dite σ - régulière si elle ν(A) = fdµ, ∀ A∈(cid:6)
A
vérifie :
• µ(A) = inf[µ(V), V ouvert ⊃ A], ∀ A ∈ (cid:3) , f est appelée dérivée de Radon-Nikodym (ou simplement densité)
• µ(M) = sup[µ(K), K c o m pact⊂M], de ν par rapport à µ, et on note f = d-d----µν-- (Ceci se généralise aux
∀ M o uvert de E et ∀ M∈(cid:3) v é rifiant µ(M) < + ∞ . mesures σ - finies) et on écrit dν = fdµ (ou encore ν = f · µ).
(cid:2) Mesures étrangères (cid:5) et (cid:6) définies sur (E, (cid:6)) (on note (cid:5)⊥(cid:6))
(cid:2) Mesure de Radon (scalaire) (cid:5) sur un espace
localement compact E A ∩Il Be x=i s∅te, tedlse uqxu ee pnosuemr tboluets X A∈ (cid:6)et, XB∩ dAa nets X E ∩, Bav∈ec(cid:6) , Aet ∪: B = E,
C’est une forme linéaire continue sur l’espace (cid:10) (E) des
c
fonctions scalaires continues à support compact, ou encore : µ(X∩A) = 0, ν ( X∩B) = 0
µ est une mesure de Radon si, ∀ K compact de E, On dit que µ est concentrée sur A et ν est concentrée sur B.
gµnaKn=t l’seunpse(mµb(fle) ,d fe s∈ fo(cid:10)nKc(tEio)n,s fde (cid:2)(cid:10) 1 () E e)s tn ufilnlei s( aevne dce h(cid:10)oKr(sE d)e dKé, sei-t (cid:2) Décomposition de Lebesgue d’une mesure (cid:6) sur (E, (cid:6), (cid:5) ),
c (cid:5)- mesure positive (cid:4)- finie, avec (cid:6) (cid:4)- finie
f = xsu∈pK f ( x)). ν νe ts eν d,écompose de manière unique en une somme de mesures
On peut définir des mesures de Radon réelles ou complexes, ou 1 2
plus généralement à valeurs dans un espace de Banach F. ν= ν1+ν2, avec ν 1 (cid:4) µ et ν2⊥µ
Une mesure de Radon est dite positive si : (cid:2) Fonction f numérique absolument continue sur un intervalle
µ(ϕ) (cid:3) 0 , ∀ ϕ (cid:3) 0 , ϕ ∈(cid:10)c(E) boPrnoéu rI t=o u]at, ε b >[ 0, il existe δ > 0, tel que pour toute suite d’intervalles
Une mesure de Radon est dite bornée si : ]a , b [ ⊂ I, deux à deux disjoints :
n n
µE = sup(µ(ϕ), ϕ∈(cid:10)c(E), ϕ (cid:2) 1 ) e st finie ∑(bn–an) < δ ⇒ ∑ f(bn)–f(an) < ε
n n
L’ensemble des mesures de Radon bornées sur un espace loca-
lement compact E muni de la norme ||µ|| est un espace de Ce sont aussi les fonctions f sur I dont la dérivée (au sens des
Banach. Cet espace noté (cid:11)1(E) s’identifie auE dual de l’espace de distributions) est une mesure ν absolument continue par rapport à
Banach (cid:10) (E) des fonctions continues sur E et tendant vers zéro la mesure de Lebesgue (cid:12) = dx sur I, on écrit f ∈ W1,1(I).
0
à l’infini, muni de la norme :
(cid:2) Fonction f numérique à variation bornée sur I
ϕ = sup ϕ ( x) Il existe C > 0 tel que :
x∈E
k–1
abLsetrsa itmese spuarretisc udlieè reRsa :d noont apmemuveennt,t pso’uidre tnotuifitee rm àe sudrees dme eRsaudroens ∑ f(ti+1)–f(ti) (cid:2) C
positive sur E, il existe une mesure de Borel unique µˆ (appelée i=0
prolongement principal de µ), σ - régulière, telle que : pour toute suite t0 < t1 < ... < tk de I.
 t(cid:4)oute fonction r éelle ϕ ∈ (cid:10)c(E) e st µˆ - intégrable, e t disCtrei bsuotniot nasu s(§s i9 l.e4s) ]f oenstc tuionne sm f e∈su Lr1e( Ib)o drnoénet .l aC edléar piveérem [eatu d see ndsé fidneisr
 ϕ d µˆ = µ(f) des intégrales dites de Stieltjes.
(cid:2) Mesure induite sur une partie mesurable E d’un espace mesuré
1
(cid:2) Espace de probabilité (E, (cid:6) , P ) (E, (cid:6), (cid:5) ) par la mesure (cid:5)
C’est un espace mesuré, avec une mesure (positive) µ = P telle Si (cid:6)1 est la tribu induite par (cid:6) sur E1 (ie la famille des éléments
de (cid:6) qui sont contenus dans E ), la restriction de µ à (cid:6) est dite
que : 1 1
µ(E) = 1 mesure induite.
(cid:2) Mesure de Lebesgue sur (cid:2), (cid:2) n, e tc (cid:2) Mesure image
En tant que mesure abstraite, on peut définir la mesure de On désigne par (E1, (cid:6) 1 ), ( E2, (cid:6) 2) deux espaces mesurables.
Ltoeubte isngtueerv a(cid:12)l l seu [ra (cid:2), b c[ o(ma emt e b l’∈un(cid:2)iq, u ae (cid:2)m eb s ) u:re positive telle que pour dSméoefiistn uπire eu nsµue2 r a spu(pEr l1i(c,E a (cid:6)2 t 1i,o ) (cid:6). n 2 O)m nde és a fiu pn r pa i eeb l lpl ee a dr m e : eE s 1 u dr e a n i sm E a 2g ,e e td e µ 1 µ u 1 n e p a m r e π s ,u r l ea
(cid:12)([a, b [ ) = b–a
µ (A ) = µ (–π1(A )) ∀ A ∈(cid:6)
2 2 1 2 2 2
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VOCABULAIRE DES MATHÉMATIQUES _____________________________________________________________________________________________________
Une fonction f sur E est µ - intégrable (resp. µ - mesurable) si Si f est une distribution, on définit la dérivée de f (au sens des
2 2 2
et seulement si f (cid:3) π est µ1 - intégrable (resp. µ1 - mesurable), et distributions) par dualité de la dérivée usuelle dans l’espace
on a la formule de changement de variable : (cid:13)((cid:2)) o u (cid:13) (I), ie par :
(cid:4) (cid:4) (f′, ϕ ) = – ( f, ϕ ′ ) , ∀ ϕ∈(cid:13)((cid:2)) ou (cid:13) ( I)
f (cid:3) π dµ 1 = f d µ2
E1 E2 et aussi pour la dérivée n-ième :
(cid:3) Cas particulier : π = Φ est une bijection d’un ouvert U de (cid:2)n sur (f(n), ϕ ) = (– 1 ) n (f, ϕ ( n ) ) , ∀ ϕ∈(cid:13)((cid:2)) o u (cid:13) ( I)
un ouvert Φ(U) de (cid:2)n, de classe (cid:10)1 ainsi que son inverse ; alors :
Si f est une fonction régulière, les deux définitions de dérivées
(cid:4) (cid:4) coïncident ; si f n’est pas suffisamment régulière pour que la
Φ(U) f(y) d y = U f(Φ(x)) det(DΦ(x))dx dsaé rdivééreiv fé’e( aa)u e xseisntes edne sto duits ptroibinutt iao dnes Is, io fn ∈peLu1t to(uI)t .de même définir
où det(D Φ(x)) désigne le jacobien de Φ (§ 6). loc
(cid:2) Soit f une fonction définie sur un ouvert Ω de (cid:2)n, à valeurs réelles
(cid:2) Mesure produit
ou complexes, ou dans un espace de Banach Y. On note :
µ1S eot ieµn2 tm (eEs1u,r e(cid:6) s1 ,σ µ -1 )fi, n ( i Ee2s,. (cid:6)O 2n, aµ p2)p edllee u:x espaces mesurés, avec • Dkf(a) ou -∂-∂--x--f--- ( a) ou ∂ k f(a) la dérivée partielle de f par rapport
k
(cid:6)1⊗(cid:6)2 la tribu produit de (cid:6)1 et (cid:6) 2 sur E1 × E2, ie la tribu à la variable xk au point a, c’est-à-dire la limite (si elle existe) de
enµge n⊗d µré el ap amr elessu rpea rptireosd Aui1t ×d Aes2 , maveescu rAes1 ∈µ (cid:6)e1t, A µ 2 ,∈ ca(cid:6)r2a.ctérisée h-1--- [ f (a1, ..., a k +h, a k +1, ..., a n ) –f(a1, ..., a k, a k +1, ..., a n )] pour
1 2 1 2
par : h → 0 ;
µ1 ⊗ µ2(A1 × A2) = µ1(A1) · µ2(A2), ∀ A1∈(cid:6)1, A 2 ∈(cid:6)2. • Dαf(a) ou ∂- -----α--∂--- x- -f- -α --( - -a----)- o u ∂ α f(a), a vec D α f = (D1)α1⋅(D2)α2 ...
forSmi uf lee sdt ’iunnteer vfoenrscitoionn d µe1s ⊗in tµé2g irnatléegs r(aobul et hséuorr èEm1 ×e Ed2e, Founb ian i)la : (Dn)αnf, α = (α1, ..., αn), αi∈(cid:4), i = 1 à n, la dérivée partielle
d’ordre |α| de f en a.
(cid:4) (cid:4)
E1×E2fd(µ1⊗µ2) == (cid:4)E1×(cid:5)(cid:4)E2ff(x(x11, , x x 2 2) d) d µ µ12(x(x12) ) d(cid:6) µ d 2 µ ( 1 x ( 2x ) 1 ) DkLfe s (cid:5)foonuc -∂t- ∂-i -xo- -f- -k -n so ua ∂→ k f D(cid:6) k eft( a D )α e f t (cid:5) ao →u ∂-D∂- - -- xαα- -- α- f--f (,a o)u, . ∂. .α, n f o(cid:6)t,é ess onnatt uraepllpeemléeenst
(cid:4)E1 (cid:4)E2 dérivées partielles de f par rapport à xk et dérivée partielle d’ordre
(cid:5) (cid:6) |α| de f au sens classique.
= E2 E1f(x1, x 2 ) d µ1(x1) d µ 2 (x2) Si f est une distribution, on définit de même les dérivées partielles
de f par rapport à x et d’ordre |α| de f par dualité, par :
k
<Dkf, ϕ > = – < f, D k ϕ > , ∀ ϕ∈(cid:13)(Ω)
6. Calcul différentiel <Dαf, ϕ > = (– 1 ) α <f, D α ϕ > , ∀ ϕ∈(cid:13)(Ω)
et opérateurs différentiels Si f est une fonction régulière, les deux définitions de dérivées
coïncident ; si f n’est pas suffisamment régulière, mais telle que
linéaires
f∈L1 (Ω), on peut tout de même définir ses dérivées partielles,
loc
et d’ordre |α|, au sens des distributions.
Nota : le lecteur pourra se reporter à l’article Calcul différentiel [AF 55] du traité Sciences
fondamentales. (cid:2) Dérivée de Fréchet
v(cid:2) alSeouirts fr éuenllee sf oonuc tcioomn psluerx e(cid:2)s, o(ouu d uann si nutne revsapllaec eo udvee Brta nI adceh Y(cid:2). )O, nà l’a(cid:3)ppfli’c(aat)i o=n D lifn(éaa) irlae cdoénritvinéuee d (es i Ferlélec hexeits tdee) hf a∈u (cid:2)pnoi→nt Daf, (ca’e)s⋅th-à∈-diYre,
note : (0) telle que :
f(a+h) = f(a)+Df(a)⋅h+ h o(h), ∀ h ∈ (cid:2)n,
f′(a) = d-d----xf-- ( a) lliam ditéer i(vséi ee lldee e xfi satue) pdoe in-f--t-(-- a---a--+-,-- --h-c---’)--e--–-s---tf-----(à--a----d-)-i rpeo ular La fonction f esta vaelocr s o d (ihte) d→iff0érenptoiuabr l h e →en0 a. On note indiff(é3-)
h
h → 0 ; f est alors dite dérivable en a. remment Df(a) · h ou Df(a) h (ie avec ou sans point).
f(n)(a) = d-d----xn---n-f- ( a ) fla fodnécritvioéne dn’o –r d1r ef oni sd ed éf raivua bploei ntd aan, sp ouunr niqPuoeu rd he =(cid:2) ηn ,e ko,n e ak é:tant le k-ième vecteur unitaire de la base cano-
voisinage de a, dont la (n – 1)-ième dérivée Df(a) · ek = Dkf(a)
f(n – 1) est dérivable en a ; ainsi La fonction f est dite différentiable (ou dérivable) dans Ω si elle
f(n)(a) = -d----f----(--n---–----1---)(a). est différentiable en tout point a ∈ Ω. Elle est dite continûment dif-
dx férentiable si l’application a∈Ω→Df(a)∈(cid:7)((cid:2)n, Y ) est continue.
La fonction a ∈ I → f’(a) (resp. f(n)(a)) (si f’(a) et f(n)(a)
existent ∀ a ∈ I) est dite dérivée (resp. dérivée n-ième) au sens
classique de f. La fonction f est alors dite dérivable (resp. n fois
dérivable) dans I.
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