Viskoelastizität und Plastizität: Thermomechanisch konsistente Materialgleichungen

218 Pages·1977·5.355 MB·German

by  Dr.-Ing. Peter Haupt (auth.)

Ingenieurwissen scha ftliche Bibliothek
Engineering Science Library
Herausgeber/Editors: Istvan Szabo, Wolfgang Zander, Berlin
Peter Haupt
Visl{oelastizitiit und
Plastizitiit
Thermomechanisch
konsistente Materialgleichungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Dr.-Ing. PETER HAUPT
Privatdozent am 1. Institut fiir Mechanik
der Technischen Universităt Berlin
Mit 9 Abbildungen
ISBN 978-3-540-07730-5 ISBN 978-3-662-13379-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-13379-8
Library 01 Congress Cataloging in Publication Data
Hanpt, Peter, 1938· Viskoelastizităt nnd Plastizităt. (Ingenieurwlssenschaftliche Bibliothek) Bibliography: p.
Includes index. 1. Viscoelasticity. 2. Plasticity. 1. Title. TA418.2.H38 620.1'123 76·18679.
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1977
Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1977
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im Sinne der Warenzeichen· und Markenschutz·Ge8etzgebung alo Irei zu beachten wăren und daher
von jedermann benutzt werden diirften.
VORWORT
Jede Berechnung eines mechanischen oder thermomechanischen Systems setzt eine Ent
scheidung voraus, die die mathematische Struktur der resultierenden Gleichungen nach
haltig beeinflullt: Man mull dem System individuelle Eigenschaften zuordnen, das heillt,
man mull Materialgleichungen aufstellen. Durch Einsetzen der Materialgleichungen in die
allgemeinen Bilanzrelationen entstehen Gleichungssysteme ( mathematische Modelle ), aus
denen man qualitative und quantitative Foigerungen ziehen kann. Diese Foigerungen kon
nen mit dem experimentell beobachtbaren Verhalten eines vorgestellten realen Systems
mehr oder weniger gut Ubereinstimmen. Der Grad der Ubereinstimmung hangt im Einzel-
fa II davon ab, welche individuellen Systemeigenschaften der Konstruktion des mathemati
schen Modells zugrundegelegt wurden.
Die einfachsten Materialgleichungen ergeben sich aus der Definition des elastischen Kor
pers, das heiBt, aus der Annahme, daB der gegenwartige Deformationszustand die Span
nungen eindeutig bestimmt. FUr hinreichend kleine Deformationen lauft diese Annahme
auf das Hooke sche Gesetz hinaus: Die Spannungen hangen I inear von den Verzerrungen
abo Bei groBen Deformationen ist jede Materialgleichung nichtlinear: Man hat geometri
sche und physikalische Nichtlinearitaten zu berUcksichtigen. Die Materialgleichungen der
Elastizitatstheorie erweisen sich in vielen fUr die Praxis wichtigen Fallen als unrealistisch,
und man kennt eine Reihe unterschiedlicher Konzepte, die eine Beschreibung nichtelasti
scher Materialeigenschaften ermoglichen.
Dieses Buch befallt sich mit einem allgemeinen Ansatz, der den materiellen Korpern ein
Erinnerungsvermogen an ihre thermomechanische Vorgeschichte zuordnet. Aus der mathema
tischen Formulierung und Ausarbeitung eines derartigen Ansatzes ergeben sich systemati
sche Verfahren zur Darstellung viskoelastischer und plastischer Materialeigenschaften.
iv
Die Theorie der Stoffe mit Gedachtnis wird in diesem Buch unter dem folgenden Gesichts
punkt dargestellt: Das Ziel ist die Bereitstellung systematischer Methoden zur Formulierung
von Materialgleichungen, die sowohl physikalisch konsistent als auch praktisch anwend
bar sind. Zur physikal ischen Konsistenz ist s icherzustellen, daB die Stoffgleichungen mit
den allgemeinen Prinzipien der Kontinuumsmechanik und -thermodynamik vertraglich sind.
Um eine Materialgleiehung bei der Bearbeitung konkreter Ingenieuraufgaben anwenden zu
konnen, ist es vor allem notwendig, daB die Parameter, die diese Gleichung enthalt und
die die Materialeigenschaften im engeren Sinne reprasentieren, durch technisch real isier
bare Versuche experimente II bestimmt werden konnen.
Das bedeutet, daB eine Materialgleichung genUgend speziell sein muB, so daB die Stoff
eigenschaften durch moglichst wenige Parameter dargestellt werden. Auf der anderen Seite
sollen die Materialgleichungen jedoch mindestens so allgemein sein, daB sie aile Effekte
wiedergeben, die von der Theorie beschrieben werden sollen. Dies sind zwei kontrare
Gesichtspunkte, und es zeigt sieh, daB eine allgemeine Theorie der Materialeigenschaften
auch von praktischem Nutzen sein kann: Die Theorie liefert zunachst allgemeine Aussagen
darUber, wie eine Materia Ig lei chung formal Uberhaupt aussehen kann, wenn sie physika
lisch konsistent sein soil; daruberhinaus enthalt die Theorie konkrete Richtlinien, aus der
allgemeinsten Form der Materialgleichung systematisch diejenige Materialgleichung heraus
zuspezialisieren, die im Hinblick auf einen vorgestellten praktischen Anwendungszweck
optimal ist.
Die vorliegende Arbeit wurde von der Deutschen Forschungsgemeinschaft ( DFG ) unter
stUtzt: Das Buch entstand wahrend eines Habilitandenstipendiums, fUr das ich der DFG
hiermit danken mochte. Der EntstehungsprozeB dieser Arbeit wurde durch Herrn
Prof. H.J. Weinitschke,Ph.D., gefOrdert. Wertvolle Verbesserungsvorschlage verdanke ich
fernerHerrnProf. Dr. rer. nat. W. Muschik.
AbschlieBend danke ieh dem Herausgeber der "Ingenieurwissenschaftlichen Bibliothek"
und dem Springer-Verlag fUr den EntschluB, die Arbeit zu veroffentlichen.
Berlin, im Oktober 1976 Peter Haupt
INHALT
Bezeichnungen . • . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . ix
Einleitung ......•.......................................
Materialien mit nachlassendem Gedachtnis: Viskoelastizitat. . . . . . . . . . . . . . 4
Materialien mit perfektem Gedachtnis: Plastizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . 10
Inha It sangabe 13
1. Allgemeine Prinzipien der Mechanik und Thermodynamik ............. 19
1 . 1 Bewegung ..................•.......•..... 20
1 .2 Te mperatur .......................••...... 26
1.3 Masse, Energie, Entropie ........•..................... 27
1.4 Impuls, Drehimpuls, kinetische Energie ..... . . . . . . . . . • .. 29
1.5 Kraft, Moment, Warme ..... . 29
1.6 Bilanzgleichungen .... . 33
1.7 Foigerungen ...... . 34
1 .8 Di ssipationspostu lat .. 36
2. Thermodynamisch einfache Stoffe ............................ 38
2.1 Mathematische Beschreibung von Materialeigenschaften . . • . . . . . . .. 38
2.2 Allgemeine Definition des thermodynamisch einfachen Materials ..... 40
2.3 Fading memory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . • . . . . . .. 42
2.31 Mathematische Formulierung einer fading memory - Annahme ... 43
2.32 Physikalische Interpretation. . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . •. 48
2.4 Auswertung der Clausius - Duhem - Ungleichung .....•......... 50
vi
2.41 Der Satz von Coleman .•.•••••.••.•.••..•.•.•.•.•• 50
2.42 Foigerungen aus dem Satz von Coleman 53
2.5 Materiel Ie Symmetrieeigenschaften (Isotropie) (:IJ
2.6 Innere Zwangsbedingungen •....•.••.•..•••...•..••••••• 64
2.61 Allgemeine Theorie der thermomechanischen Inneren Zwangs-
bedingungen • . . • . • . . . • • • . . • . . . . . . . . . . . . • . . . • • .. 64
2.62 Beispiele . . • . . . . . . . . . . • . • . . . . . • . . . . . . . . • . . • . • . 67
3. Thermorheologisch einfache Stoffe 71
3.1 Transformation des Zeitmaf3stabes •...•.....•...•.•.......• 71
3.2 Physikalische Bedeutung der Zeittransformation ...••..•..•..•.• 73
3.21 Geschwindigkeitsproportionale Dampfungskraft
(Stokes sche Reibung) . . . • • • . • . • • • . . . • . . • . • . . . . . . .. 73
3.22 Relaxation.................................... 74
3.23 Isotherme komplexe Federsteifigkeit. . • . • . . . • • . . • • • . • . •• 76
3.3 Allgemeine Definition des thermorheologisch einfachen Materials. . • . • 77
3.4 Auswertung der Clausius - Duhem - Ungleichung •.•......•..•.• 78
3.5 Langsame Prozesse. . . . . . . . • . . • . . • • • • • • • . . • . • • . . . . • . .• 80
4. Asymptotische Approximation der allgemeinen Materialgleichungen .•.•.. 85
4.1 Physikalische Notwendigkeit asymptotischer Approximationen . . . . • • • 85
4.2 Approximation des Energiefunktionals. • • • . • • • . . . . . . . . • • . • . • • 86
4.3 Physika Ii sche Bedeutung und Foigerungen •• . • • . • . . . . . . . . . • • .• 92
4.4 Finite Lineare Thermoviskoelastizitat • • . • . . . . . • . . . . . . . . • • . . . 94
5. Einschrankende Bedingungen fUr die Materialfunktionen •. . . . . . • • . . • •. 97
5. 1 Physika Ii sche Motivation. • . . • . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . 97
5.2 Positiv definite Quadratische Formen . . • • • • . • . . . . . . . . . . . • . •• 98
5.21 Darstellungssatz fUr definite Quadratische Formen. . . . . . . . . •. 98
5.22 Positive Quadratische Formen mit positivem Differential. • • • • .• 101
5.3 Thermodynamisch konsistente Materialfunktionen .••.••.•.•..••. 104
5.31 Einschrankende Bedingungen fUr die Materialfunktionen . . . . • •. 104
5.32 Approximation der Materia Ifunktionen durch Naherungssummen .• 112
vii
5.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . .. 114
5.41 Thermodynamisch einfache Stoffe .•................... 114
5.42 Thermorheologisch einfache Stoffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 118
5.5 Isotrope Stoffe ................................. 120
5.6 Beispiel zur Auswertung der einschrankenden Bedingungen 128
6. Spezielle asymptotische Approximationen ..•.••.•............... 130
6. 1 Theorie N - ter Ordnung .. . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 130
6.2 Elastischer Anteil .............•.•.•................. 132
6.3 Gedachtnisanteil .. 135
6.4 Vereinfachung der Materialbeschreibung durch Innere lwangsbedingungen 136
7. Homogene Deformat ionen ..............................•.. 138
7.1 Die praktische Bedeutung von exakten Losungen . . . • . . . . . . . . . . .. 138
7.2 Thermorheologisch einfache Stoffe ohne thermoelastische Kopplung . . .. 140
8. Einfache Stoffe mit perfektem Gedachtnis (endochrone Plastizitat) ....... 145
8.1 Physika I ische Motivation ................ . 145
8.2 Transformation des leitmaf3stabes .......... . 147
8.21 Bogenlangen - Parametrisierung ..•................... 148
8.22 Transformation des leitmaf3stabes nach Valanis ............ . 150
8.3 Allgemeine Definition eines endochron - plastischen Materials ... . 153
8.4 Physikalische Bedeutung der endochronen Plastizitat .......... . 154
8.41 Einachsiger lug ............................... . 156
8.42 lug und Torsion 166
8.5 Finite Lineare Plastizitat . . . . . . . . . . . • . . • . . . . . . . . . . . . . . .. 170
8.51 Definition . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 170
8.52 Relation zur Elastizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 171
8.53 Isotrope Stoffe 172
8.6 In kompressib Ie Stoffe 172
8.61 Endochron - plastisches Mooney - Rivlin Material. . . . . . . • . .. 173
8.62 Torsion und lug eines kreiszylindrischen Stabes . . . . . . . . . . .. 175
8.63 Einachsiger lug ................................ 179
viii
9. Endochrone Thermoplastizitat 184
9.1 Physikalische Motivation. . • • • . • • • • • . • • • • • • • • . • • • . • . . . .. 184
9.2 Temperaturabhangige fading memory - Eigenschaften . . • . . • . . . • . •• 185
9.3 Allgemeine Definition eines endochron - thermoplastischen Materia Is .. 192
9.4 Auswertung der Clausius - Duhem - Ungleichung .....•......... 194
9.5 Thermomechanisch konsistente Materialgleichungen der endochronen
Plastizitat ..........•...•..•••.•..•..••.••• _ • . • . •• 196
Literatur ..••••.•..••.....•......•••.•••.. 198
Sachverzeichnis ........•............... . . . . . . . . . . . . . . . . .. 206
BEZEICHNUNGEN
IR Menge der ree lien Zah len
{ala> o}
IR+ := Menge der positiven reel len Zahlen
(11,0) Vektorraum mit Skalarprodukt
1Jn
n - dimensiona ler Vektorraum
( de,<»
unendlichdimensionaler (vollstandiger) Vektorraum
mit Skalarprodukt (Hilbertraum)
Menge der linearen Abbildungen von 'lY nach 1);
1
(Vi,1i2 beliebige Vektorraume)
Lin('Zr) Menge der linearen Abbi Idungen von 17 nach 1./
Tensoren zweiter Stufe:
Menge der linearen Abbildungen von ?73 nach V3
Bezeichnungen fUr Vektoren der Dimension 3
Lin ~ {A, B, C, ... }
v~Av Bezeichnungen fUr Tensoren zweiter Stufe
( Lin Einheitstensor zweiter Stufe
A~AT Transposition
A~SpA Spur
(A,B)~A-B := Sp(ABT) Skalarprodukt zweier Tensoren
A...--.- IA I : = VAoA Betrag eines Tensors
x
L·I n+ • = { T I det T > o} Menge der Tensoren zweiter 5tufe mit positiver
Determ i nante
I
5ym : = {5 5 5T } Menge der symmetrischen Tensoren
I
1}
Unim : = {H det H = ± Menge der unimodularen Tensoren
o I 2}
rth • = {Q Q Q T = Menge der orthogona len Te nsoren
Li n (Li n), Li n (5ym) ~ {hA., IB, (, ... }
5""'-'hA.[5] Bezeichnungen fUr Tensoren vierter Stufe
IE ( Lin (Lin) Einheitstensor vierter Stufe
(A,B)~A®B Te nsorprodukt
v
n ~{t\,f, ... } Bezeichnungen fUr Vektoren der Dimension n
Lin (trn) ~ {A, 8, (, ... }
r~Ar Bezeichnungen fUr lineare Abbildungen von
Un nach Vn
{a,S&, ... }
Lin(dr') ~
f(·).---- OJ,r(.) Bezeichnungen fUr lineare Abbildungen von
';fenach de