Vettori e geometria analitica in R3

25 Pages·2011·0.07 MB·Italian

Vettori e geometria analitica in R3
1/25
Sistemi di riferimento in R3 e vettori
In fisica, grandezzefondamentalicome forze,velocità, campi
elettrici e magneticivengonoconvenientementedescritte
mediantel’uso deivettori. Dalnostro puntodivista, ivettori e le
loro operazionici consentirannodicapire comedescrivere e
studiare rette,pianie altre figure geometrichemediante
l’utilizzo delle coordinatecartesiane (e dellatrigonometria).
L’ambientegeometricopiùnaturalenelqualeintrodurre il
concetto divettore è lo spazio euclideotridimensionale
(denotatoR3),in cui assumeremoche sia fissato unsistema di
assi cartesiani.
Stabiliamounacorrispondenzabiunivocatra puntidellospazio
R3 eterne ordinatedinumerireali. Scrivendo P =[x ,y ,z ],
0 0 0 0
diremoche x ,y , z sonole coordinate(cartesiane)diP .
0 0 0 0
2/25
Figura
z
z0 b
P0 =[x0,y0,z0]
b
O y0
b y
x0
b b
x
3/25
Prime formule
Sempliciformule,giàviste in R2,consentonodicalcolare
rispettivamente la distanza tra duepuntiP , P e il puntomedio
0 1
M diunsegmentoP P .
0 1
Più precisamente,sianoP =[x ,y ,z ] eP =[x ,y ,z ]: allora
0 0 0 0 1 1 1 1
unadoppiaapplicazionedelTeoremadiPitagorafornisce
P P = (x x )2+(y y )2+(z z )2 . (1)
0 1 1 0 1 0 1 0
− − −
q
Inoltre,
x +x y +y z +z
0 1 0 1 0 1
M= , , . (2)
2 2 2
(cid:20) (cid:21)
4/25
Vettori
Il modopiùintuitivo, anchese matematicamentenon
completamenterigoroso, perintrodurrequesto concetto èil
seguente: diremoche unvettore~v è identificato mediante
l’assegnazionedi
1 unalunghezza;
2 unadirezione;
3 unverso.
La manierapiù semplice perrappresentaresimultaneamente
questetre cose consiste nell’utilizzare un segmentoorientato,
diciamo daunpuntoP ad unpuntoP .
0 1
5/25
Vettori rappresentati da segmenti orientati
P1
b
~v
z b P0
P′
1
b
v~′ =~v
y
x b P0′
6/25
Vettori
La lunghezzadi~v coincide conla distanza fra isuoiestremi. La
direzionedi~vè quelladellaretta che passa perP e P . Ilverso
0 1
è quelloindicatodalla freccia.
Unasimbologiaalternativa per~v è −(−P−−−P−→). P èdetto puntodi
1 0 0
−
applicazionedelvettore.
Osservazione: se consideriamoun segmentoorientato
−(P−−−−−P−→) ottenutoda−(−P−−−P−→) mediantetraslazione rigida,ci
1′ 0′ 1 0
− −
rendiamoconto subito che −(P−−−−−P−→)e −(−P−−−P−→) hannouguale
1′ 0′ 1 0
− −
lunghezza,direzionee verso.
In altre parole,essi costituiscono duediverse rappresentazioni
dellostesso vettore~v.
Allora,perdescrivere nelmodopiùsemplice possibile le
operazionicon ivettori, converrà da orain avantifissare
l’origine O comepuntodiapplicazionedeivettori.
7/25
Vettori
Ne seguechele coordinatedi−(−P−−−P−→) sonodateda
1 0
−
[x x ,y y ,z z ], dove[x,y,z] sonole coordinatedi
1 0 1 0 1 0 i i i
− − −
P,i=0,1. Questospiegaanchela simbologia−(−P−−−P−→)(si
i 1 0
−
leggeP menoP )perilvettore che va daP aP .
1 0 0 1
Pervari motivi dinaturaalgebricae fisica, convieneintrodurre
un vettoreanomalo,che chiameremovettore nulloe
identificheremocon l’origineO=[0,0,0]. Il vettore nullo,anche
denotato~0,ha lunghezzazero, direzionee verso nonprecisati.
8/25
Vettori
Puntodellasituazione: identifichiamodunqueunvettore~v
con le coordinatedelsuo estremo P : disolito, scriveremo
~v=[v ,v ,v ].
1 2 3
La lunghezzadi~v (detta anchemodulo)si indica ~v e,in
| |
funzionedellesue coordinate,è espressa da
~v = v2+v2+v2 . (3)
| | 1 2 3
q
9/25
Vettori applicati in O
z
P =[v1,v2,v3]
b
~v
O
b y
−−−−−→
~v =(P −O)
x
10/25