VETORES E GEOMETRIA ANAL ITICA Lenimar Nunes de Andrade

197 Pages·2017·25.51 MB·Portuguese

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA(cid:19)IBA
CENTRO DE CIE^NCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE MATEMA(cid:19)TICA
(cid:19)
VETORES E GEOMETRIA ANALITICA
Lenimar Nunes de Andrade
[email protected]
vers~ao 1.5 { 20/janeiro/2014
Dedicado a Lu(cid:19)(cid:16)za Am(cid:19)elia
e (cid:18)as crian(cid:24)cas
Diana, Euler, Marina e D(cid:19)ebora.
Pref(cid:19)acio
Estetextocorresponde(cid:18)asnotasdeauladadisciplina\C(cid:19)alculoVetorialeGeometriaAnal(cid:19)(cid:16)tica"
que vem sendo ministrada na Universidade Federal da Para(cid:19)(cid:16)ba h(cid:19)a 5 d(cid:19)ecadas. Essa disciplina
faz parte do curr(cid:19)(cid:16)culo m(cid:19)(cid:16)nimo obrigato(cid:19)rio das engenharias e cursos de Matem(cid:19)atica, F(cid:19)(cid:16)sica.
Estat(cid:19)(cid:16)stica e Computa(cid:24)c~ao, sendo fundamental em aplica(cid:24)co~es da Matem(cid:19)atica.
No cap(cid:19)(cid:16)tulo 1, fazemos uma r(cid:19)apida revis~ao de matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Esse (cid:19)e um assunto bastante explorado no Ensino M(cid:19)edio e, por isso, n~ao entraremos em muitos
detalhes aqui. Limitamo-nos apenas (cid:18)aquilo que (cid:19)e essencial para o entendimento dos cap(cid:19)(cid:16)tulos
posteriores.
No cap(cid:19)(cid:16)tulo 2, introduzimos o estudo geom(cid:19)etrico e anal(cid:19)(cid:16)tico dos vetores, de(cid:12)nimos as ope-
ra(cid:24)co~es b(cid:19)asicas de produto por escalar e adi(cid:24)c~ao de vetores e introduzimos os conceitos de de-
pend^encia e independ^encia linear.
No cap(cid:19)(cid:16)tulo 3, apresentamos os produtos interno, vetorial e misto de vetores, bem como suas
principais propriedades. Usamos esses conceitos para dar novas demonstra(cid:24)co~es de f(cid:19)ormulas e
resultados de Geometria e Trigonometria, que j(cid:19)a devem ser bem conhecidos do Ensino M(cid:19)edio.
O cap(cid:19)(cid:16)tulo 4 (cid:19)e uma continua(cid:24)c~ao natural dos assuntos introduzidos no cap(cid:19)(cid:16)tulo anterior.
Trata-se do estudo das retas e planos, o in(cid:19)(cid:16)cio da Geometria Anal(cid:19)(cid:16)tica tridimensional.
O cap(cid:19)(cid:16)tulo 5 (cid:19)e sobre Geometria Anal(cid:19)(cid:16)tica plana e apresenta as curvas conhecidas como
co^nicas: a par(cid:19)abola, a elipse e a hip(cid:19)erbole. O estudo dessas curvas (cid:19)e important(cid:19)(cid:16)ssimo, tendo
em vista que elas ocorrem em muitos fen^omenos naturais e situa(cid:24)co~es do dia-a-dia.
O cap(cid:19)(cid:16)tulo 6 encerra o texto e trata do estudo das qu(cid:19)adricas. E(cid:19) a vers~ao tridimensional
do estudo das c^onicas do cap(cid:19)(cid:16)tulo anterior. S~ao apresentados o cilindro, o cone, a esfera, o
elipso(cid:19)ide, dois tipos de hiperbol(cid:19)oides e dois tipos de parabolo(cid:19)ides.
Al(cid:19)em disso, tamb(cid:19)em no fechamento de cada parte, inclu(cid:19)(cid:16)mos uma se(cid:24)c~ao de \Apoio compu-
tacional". O objetivo dessa se(cid:24)c~ao (cid:19)e apresentar algum programa que possa ser utilizado como
auxiliar nos c(cid:19)alculos, uma esp(cid:19)ecie de assistente matem(cid:19)atico.
No (cid:12)nal, apresentamos um breve ap^endice com os resumos de todos os cap(cid:19)(cid:16)tulos anteriores.
Essa compila(cid:24)c~ao (cid:19)e (cid:19)util para se fazer uma revis~ao r(cid:19)apida de todas as f(cid:19)ormulas apresentadas ao
longo do texto.
Ap(cid:19)os cada cap(cid:19)(cid:16)tulo, s~ao propostos v(cid:19)arios exerc(cid:19)(cid:16)cios, quase todos com resposta. Eles podem
ser classi(cid:12)cados em tr^es n(cid:19)(cid:16)veis: f(cid:19)acil (tipo A), m(cid:19)edio (tipo B) e dif(cid:19)(cid:16)cil (tipo C). Sobre sua
resolu(cid:24)c~ao, recomendamos que sejam solucionados todos os exerc(cid:19)(cid:16)cios classi(cid:12)cados como f(cid:19)aceis
oum(cid:19)edios(apesardessaclassi(cid:12)ca(cid:24)c~aoserbastantesubjetiva), equesejamconsideradosopcionais
os tidos por dif(cid:19)(cid:16)ceis.
Este texto foi elaborado usando-se exclusivamente programas livres e gratuitos, que podem
i
ii
serfacilmenteencontrados(cid:18)adisposi(cid:24)c~aonaInternet: Latex(umprogramaqueproduztextoscom
fo(cid:19)rmulas matem(cid:19)aticas de alt(cid:19)(cid:16)ssima qualidade gr(cid:19)a(cid:12)ca), Maxima (um programa de Computa(cid:24)c~ao
Alg(cid:19)ebrica usado em todos os c(cid:19)alculos) e GeoGebra (um programa de Geometria Din^amica que
produziu uma boa parte dos os gr(cid:19)a(cid:12)cos).
Por (cid:12)m, registramos nosso agradecimento sincero a todos os que nos incentivam ao longo
dos anos e que nos ajudam com ideias, sugest~oes e cr(cid:19)(cid:16)ticas construtivas.
Jo~ao Pessoa, 30 de dezembro de 2013
Lenimar Nunes de Andrade
Sum(cid:19)ario
1 Matrizes, determinantes e sistemas lineares 3
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 M(cid:19)etodo de Elimina(cid:24)c~ao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Apoio computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Exerc(cid:19)(cid:16)cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Vetores 17
2.1 Introdu(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Segmentos orientados e vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 De(cid:12)ni(cid:24)c~ao de segmento orientado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 M(cid:19)odulo, dire(cid:24)c~ao e sentido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Equival^encia de segmentos orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Opera(cid:24)co~es com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Produto de um escalar por um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Adi(cid:24)c~ao e subtra(cid:24)c~ao de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 Coordenadas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2 Coordenadas no espa(cid:24)co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.3 Vetores unit(cid:19)arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.4 De(cid:12)ni(cid:24)c~ao anal(cid:19)(cid:16)tica das opera(cid:24)co~es com vetores . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Comprimento de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Ponto m(cid:19)edio de um segmento de reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Depend^encia e independ^encia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8 Exerc(cid:19)(cid:16)cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9 Apoio computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.10 Exerc(cid:19)(cid:16)cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Produtos de vetores 39
3.1 Introdu(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
iii
iv SUMA(cid:19)RIO
3.2.1 Proje(cid:24)co~es ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2 Propriedades do produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3 Produto interno em coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.4 Bases ortogonais e ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.1 Propriedades do produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2 Interpretac(cid:24)~ao geom(cid:19)etrica do m(cid:19)odulo do produto vetorial . . . . . . . . 47
3.4 Produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.1 Interpretac(cid:24)~ao geom(cid:19)etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.2 Propriedades do produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Exerc(cid:19)(cid:16)cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Apoio computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7 Exerc(cid:19)(cid:16)cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Retas e Planos 63
4.1 Introdu(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Equa(cid:24)c~ao do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1 Plano que passa por tr^es pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.2 Plano que passa por um ponto e vetor normal dado . . . . . . . . . . . 65
4.2.3 A utilidade do vetor normal a um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Equa(cid:24)c~ao da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.1 Reta como interse(cid:24)c~ao de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 A^ngulos e dist^ancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.1 A^ngulo entre dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.2 A^ngulo entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.3 A^ngulo entre uma reta e um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4.4 Dist^ancia entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4.5 Dist^ancia de um ponto a um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4.6 Dist^ancia de um ponto a uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.7 Dist^ancia entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 Interse(cid:24)co~es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.6 Exerc(cid:19)(cid:16)cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.7 Apoio computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.8 Exerc(cid:19)(cid:16)cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 C^onicas 93
5.1 Circunfer^encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Hip(cid:19)erbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Par(cid:19)abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5 Equa(cid:24)co~es param(cid:19)etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.6 Exerc(cid:19)(cid:16)cios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.7 Apoio computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
SUMA(cid:19)RIO 1
5.8 Exerc(cid:19)(cid:16)cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6 Qu(cid:19)adricas 133
6.1 Introdu(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.3 Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.4 Cone Qu(cid:19)adrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.5 Elips(cid:19)oide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.6 Hiperbol(cid:19)oide de Uma Folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.7 Hiperbol(cid:19)oide de Duas Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.8 Parabolo(cid:19)ide El(cid:19)(cid:16)ptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.9 Parabolo(cid:19)ide Hiperb(cid:19)olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.10 Superf(cid:19)(cid:16)cies de revolu(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.11 Cone assint(cid:19)otico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.12 Rota(cid:24)co~es de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.13 Reconhecendo uma qu(cid:19)adrica a partir de sua equa(cid:24)c~ao . . . . . . . . . . . . . . 150
6.14 Exerc(cid:19)(cid:16)cios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.15 Apoio computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.16 Exerc(cid:19)(cid:16)cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A Esferas de Dandelin 163
A.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.2 Hip(cid:19)erbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.3 Par(cid:19)abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
B Programas recomendados 167
B.1 Geometria din^amica com o GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
B.2 Gr(cid:19)a(cid:12)cos de superf(cid:19)(cid:16)cies com o K3DSurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
B.3 Computa(cid:24)c~ao Alg(cid:19)ebrica com o Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.4 De onde copiar esses programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
C Resumos 177
C.1 Principais de(cid:12)ni(cid:24)co~es e f(cid:19)ormulas sobre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
C.2 Retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
C.3 C^onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
C.4 Qu(cid:19)adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Refer^encias Bibliogr(cid:19)a(cid:12)cas 187
2 SUMA(cid:19)RIO
Cap(cid:19)(cid:16)tulo 1
Matrizes, determinantes e sistemas
lineares
1.1 Matrizes
Chamamos matriz de ordem m n (l^e-se: \m por n") a toda tabela com elementos dispostos
(cid:2)
em m linhas e n colunas. Normalmente, esse tipo de tabela(cid:19)e envolvida por um par de par^enteses
ou colchetes. 2 3
4 8 0 2
4 (cid:0) 5
Por exemplo, M = 1 1 2 3 (cid:19)e uma matriz de ordem 3 4 de n(cid:19)umeros inteiros,
(cid:2)
4 0 9 11
[ ]
(cid:0)
3 2 p2 (cid:25)
enquanto que A = (cid:0) (cid:19)e uma matriz de ordem 2 4 de n(cid:19)umeros reais.
1 3 3 2p7 (cid:2)
3 (cid:0)11
Os elementos de uma matriz s~ao denotados por uma vari(cid:19)avel com um duplo(cid:19)(cid:16)ndice ij: o i
corresponde (cid:18)a linha onde o elemento aparece na matriz e o j (cid:18)a coluna. Por exemplo, m denota
23
o elemento de uma matriz que est(cid:19)a na segunda linha e terceira coluna.
A diagonal principal de uma matriz A = (a ) (cid:19)e formada por todos os elementos a
ij m n 2 3 ij
(cid:2)
4 8 0
4 5
com i = j. Por exemplo, a diagonal principal de A = 1 5 2 s~ao os elementos
10 9 11
a = 4;a = 5 e a = 11.
11 22 33
Tipos especiais de matrizes
(cid:136)
Matriz quadrad2a (cid:19)e uma ma3triz que tem o mesmo n(cid:19)umero de linhas e colunas. Por
1 0 3
4 (cid:0) 5
exemplo, M = 1 2 3 (cid:19)e uma matriz quadrada de ordem 3 3. Neste caso,
(cid:0) (cid:2)
0 9 12
tamb(cid:19)em pode ser denominada simplesmente como matriz quadrada de ordem 3.
(cid:136)
Matriz identidade (cid:19)e uma matriz quadrada em que a diagonal principal (cid:19)e formada apenas
3
4 CAP(cid:19)ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
2 3
1 0 0
4 5
por 1 e os demais elementos da matriz s~ao iguais a 0. Por exemplo, I = 0 1 0 (cid:19)e
0 0 1
uma matriz identidade de ordem 3 3
(cid:2)
(cid:136)
2Matriz 3nula (cid:19)e aquela em que todos os elementos s~ao iguais a 0. Por exemplo, O =
0 0
4 5
0 0 (cid:19)e uma matriz nula 3 2.
(cid:2)
0 0
(cid:136)
Matriz triangular superior (cid:19)e aquela em qu2e todos os3elementos abaixo da diagonal prin-
3 1 5
4 5
cipal s~ao iguais a 0. Por exemplo, T = 0 4 7 (cid:19)e uma matriz triangular superior
0 0 9
3 3.
(cid:2)
(cid:136)
Matriz triangular inferior(cid:19)e aquela2em que to3dos os elementos acima da diagonal principal
9 0 0
4 5
s~ao iguais a 0. Por exemplo, R = 5 2 0 (cid:19)e uma matriz triangular inferior 3 3.
(cid:2)
1 3 8
Opera(cid:24)c~oes com matrizes
(cid:136)
Se A = (aij)m n e B = (bij)m n s~ao matrizes[de mesm]a o[rdem, en]t~ao[a adi(cid:24)c~ao d]e A e B
(cid:2) (cid:2)
1 2 5 20 6 22
(cid:19)e a matriz A+B = (a +b ) . Exemplo: + =
ij ij m n 3 4 9 7 12 11
(cid:2)
(cid:136) Se A = (aij)m n e k R, ent~ao a [adi(cid:24)c~ao d]e A[pelo esca]lar k (cid:19)e de(cid:12)nida como sendo a
(cid:2) 2
1 2 5 10
matriz kA = (ka ) . Exemplo: 5 =
ij m n 3 4 15 20
(cid:2)
(cid:136)
Se A = (a ) e B = (b ) s~ao matrizes tais que o n(cid:19)umero de colunas da primeira
ij m p ij p n
(cid:2) (cid:2)
(cid:19)e igual ao n(cid:19)umero de linhas da segunda, ent~ao a multiplica(cid:24)c~ao de A por B (cid:19)e a matriz
AB = (cij)[m n, on]d[e cij = ai]1b1j [+ai2b2j +ai3b3j + +aipbp]j: [ ]
(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)
1 2 5 20 1 5+2 9 1 20+2 7 23 34
Exemplo: = (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) =
3 4 9 7 3 5+4 9 3 20+4 7 51 88
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
(cid:136)
Se A for uma matriz quadrada de ordem n, a inversa de A, quando existir, (cid:19)e a matriz
A(cid:0)1 [tal que A]A(cid:0)1 = A(cid:0)1A = I, onde I (cid:19)e a ma[triz identidade d]e ordem n. Exemplo: Se
a b d b
A = com ad bc = 0, ent~ao A 1 = ad bc ad(cid:0)bc .
c d (cid:0) 6 (cid:0) ad(cid:0)(cid:0)cbc ad(cid:0)abc
(cid:0) (cid:0)
1.2 Determinantes
A toda matriz quadrada M, podemos associar um valor obtido atrav(cid:19)es de opera(cid:24)co~es de
multiplica(cid:24)c~ao e adi(cid:24)c~ao dos seus elementos, satisfazendo certas regras. Esse valor associado (cid:18)a