Verallgemeinerte Technische Biegetheorie: Lineare Probleme

373 Pages·1989·16.091 MB·German

by  Richard Schardt (auth.)

Richard Schardt
Verallgemeinerte
Technische
Biegetheorie
Lineare Probleme
Vnter Mitarbeit von Christof Schardt
Mit 173 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo Hong Kong 1989
Ridlard Schardt
Institut fUr Statik/FB 14
TH Darmstadt
A1exanderstraBe 7
6100 Darmstadt
ISBN 978-3-642-52331-1 ISBN 978-3-642-52330-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-52330-4
ClP·Kunlilelaufnahme der Deutschen Bibliothd;:
Sdlardt, Richard:
Vemligemeinerte technische Biegelheorie:
lineare Probleme I Richard Schardt. Unter Milarb. von ChristofSdlardt.-
Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo; Hong Kong: Springer. 1989
Dieses Wert iSl urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindelen Rechte. insbesondere die der Ober
selzung, des Nachdrucks,des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen,derFunksendung.
der M ikroverlil mung oderder Vervielfalligung auf anderen Wegen und derSpeicherung in Datenverarbei·
lungsanlagen, bleiben, auch bei nurau$lugsweiser Verwertung. vorbehalten. Eine Vervielr.iltigung dieses
Wertes odervon Teilen dieses Werkes isl Kuch im Einzelfall nur in den Grenlen dergeselzlichen Bestim
mungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deulschland yom 9. September 1965 in der
Fassung YOm 24.1uni 1985 zuliissig. Sic iSI grundsiilzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unter
liegen den Stratbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.
Q Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1989
Softcover reprint of the hardcover I Sl edition 1989
Die Wiedergabe von Gebmuchsnamen, Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigl auch ohne besondere Kennzeichnung nichl zu der Annahme.da13 solche Namen im Sinne der
Warenzeichen-und Markcnschutz· Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und dahervonjedermann
benutzt werden diirften.
Sollie in diesem Werk direkt oderindirekt 3ufGesetze, Vorschriften Oller Richtl inien (z.B. DI N. VOl, VDE)
Bezuggenommen oderaus Ihnen zitiert worden sein,so kann der Verlag kei ne Gewahr rur Rirnligkeil, VolI·
stiindig.keit oder Aktualitiit iibernehmen. Es empliehll sich,gegebenenfalls rur die eigenen Arbeilen die
vol1stiindigen Vorschriften Oller Richtlinien in der jeweils giilligen Fassung hinwwziehen.
2160/3020-543210 Gedruckt auf siiurefreiem Papier
Dem Andenken meiner Eltem
Vorwort
Die ersten Uberlegungen zur Verallgemeinerten Technischen Biegetheorie
(VTB) sind jetzt knapp drei Jahrzehnte alt. Sie entwickelten sich aus der
Frage, auf welche Weise die Theorie dunnwandiger Stabe und die klassische
Faltwerkstheorie in ein gemeinsames Schema gebracht werden konnen. Das
grofite Hindernis bilden dabei Definitionen und Interpretationen, die fur einen
eng begrenzten Bereich gerade ausreichen und dort auch anschaulich sind,
aber den Blick fur gemeinsame Eigenschaften im grofieren Zusammenhang
verdecken. Die durchgehende Grundung auf die Verwolbung, auch fur Langung
und Biegung brachte einen wichtigen Fortschritt, die Entwicklung von solchen
Wolbfunktionen, denen nicht nur orthogonale Wolbwiderstande sondern auch
orthogonale Querbiegewiderstande zugeordnet sind, den eigentlichen Durch
bruch.
Auf diese Weise entstand eine allgemeine Theorie der prismatischen
Flachentragwerke, die sich durch zwei Merkmale auszeichnet: Zum einen gelingt
es, die bislang ohne Zusammenhang betrachteten Teilgebiete unter einem
gemeinsamen Dach zu vereinigen und dabei Ordnung und Durchsichtigkeit in
die Vielfalt der Begriffe zu bringen. Zum anderen bietet sie eine Formulierung,
die sich fur eine direkte Umsetzung in Rechenprogramme eignet.
In der Theorie II. Ordnung und in den Schwingungsvorgangen konnte
eine in der klassischen Bezeichnungs- und Betrachtungsweise nicht mogliche
Durchsichtigkeit in den verkoppelten Biege-, Drill- und Beulvorgangen erreicht
werden.
Ein bevorzugtes Anwendungsgebiet wurde das uberkritische Verhalten von
dunnwandigen Querschnitten. Die Kreiszylinderschale wurde in die VTB
mit einbezogen, sowie ein zweistufiges Differenzenverfahren zur Losung der
Differentialgleichungen 4. Ordnung entwickelt.
Seitdem haben viele Mitarbeiter wert volle Beitrage zur Weiterentwicklung
und Anwendung der VTB geleistet, die im Verzeichnis des Schrifttums zu
finden sind. Die Deutsche Forschungsgemeinschaft hat in dankenswerter Weise
die Entwicklung durch mehrere Sachbeihilfen gefordert.
Bei allem Interesse, auf das die VTB bei ihrer Vorstellung jeweils gestofien
ist, hat sie sich aber bisher noch nicht breit durchsetzen konnen. Zwei Grunde
sind sicher mitverantwortlich dafur:
1. Der Einstieg ist ungewohnt und nicht ganz einfach. Er verlangt ein gewisses
MaB an Durchhaltevermogen, bis Struktur und Leistungsfahigkeit der
Theorie erkennbar werden. Dann aber wird, wie nach einer Bergwanderung,
der Blick frei in ein weites wohlgeordnetes Land, in dem man vorher nur
von Hugel zu Hugel sehen konnte.
VI II
2. Die bisherigen Veroffentlichungen auf dem Gebiet der VTB nutzten sie
im Rahmen von Forschungsarbeiten oder mit dem Ziel einer Weiterent
wicklung zur Behandlung spezieller Fragestellungen und weniger mit der
Blickrichtung auf die Grundlagen. Diese Art der Darstellung ist fiir einen
Einstieg nicht geeignet. Eine geschlossene Abhandlung der Theorie hat
bisher gefehlt.
Mit dem vorliegenden Buch soll dieser Mangel zun8.chst fiir den Bereich der
Theorie I. Ordnung behoben werden. Der nichtlineare Bereich wird in einer
weiteren Darstellung folgen. Die Ausdehnung der Voraussetzungen auf die
vollstandigen Verzerrungsansiitze der Schalentheorie ist soweit fortgeschritten,
daB sie als dritter Teil vorgesehen ist.
Wegen der Neuartigkeit des Stoffes werden dem Leser verschiedene Moglich
keiten des Zugangs geboten. Kap. 1 dient der Vorstellung der Grundidee und
sollte auf jeden Fall am Anfang der Lektiire stehen. Ausgehend von den bekann
ten Begriffen der Technischen Biegetheorie wird durch deren konsequente
Weiterfiihrung eine Vorstellung von der allgemeineren Betrachtungsweise ent
wickelt. Ein Zahlenbeispiel soll mit den neuen Begriffen vertraut machen.
Kap. 2 enthiilt eine anschauliche, an der Struktur des Rechenprogramms
orientierte Herleitung der Grundgleichungen, die dann im folgenden Kapitel
unter verschiedenen Aspekten erweitert werden.
Fiir denjenigen, der mit der Herleitung von Differentialgleichungen aus Ener
gieprinzipien vertraut ist, bietet das 4. Kapitel eine kompakte, mathematisch
formale Herleitung. Bei dieser Art der Formulierung werden nicht alle
Zwischenergebnisse explizit benotigt, so daB teilweise auf Formeln aus Kap. 2
verwiesen werden kann. Dadurch ist eine gestraffte Darstellung moglich, die
den Uberblick erleichtern kann. Fiir die Programmierung ist sie jedoch weniger
geeignet.
Ein weiterer Einstieg, der dem in der Schalentheorie bewanderten Leser
entgegenkommt, wird mit Kap. 6 geboten. Dort werden analog zum Vorgehen
in Kap. 4 die Gleichungen der Kreiszylinderschale hergeleitet. Sie haben die
gleiche Struktur wie Gleichungen der Faltwerke, jedoch geht ihre Formulierung
einfacher von statten, da hier wegen der andersartigen Geometrie auf die
umstandliche Matrizenschreibweise verzichtet werden kann.
Einige Zahlenbeispiele zeigen die Vielfalt der Anwendungsgebiete, die Ein
sicht in das Tragverhalten, den sparsamen Rechenaufwand und die Genauigkeit
der Methode.
Bei der Abfassung des Buches habe ich wertvolle Hilfe erfahren durch
die Herren D. Heinz, J. Mark und U. Staack, die die Ausarbeitung von
Beispielen und redaktionelle Arbeiten iibernahmen. Herr Staack hat au6erdem
die verantwortungsvolle Aufgabe des Korrekturlesens iibernommen und dabei
zahlreiche Verbesserungen eingebracht. Frau H. Borchert danke ich fiir die
sorgf81tige Herstellung der Bildvorlagen.
IX
Ganz besonderen Dank schulde ich aber meinem Sohn Christof. Er hat
zun8.chst die fast unbegrenzten Moglichkeiten des Satzsystems '!EX erschlossen,
wodurch eine druckfertige Vorlage beim Verlag moglich wurde. Dariiber hinaus
hat er sich so intensiv mit dem Inhalt besch8.ftigt, daB er die Kapitel 4 und 6
selbstandig bearbeiten konnte und zu den iibrigen wesentliche Beitrage lieferte.
Darmstadt, Mai 1989 R. Schardt
Inhalt
1 EinfUhrung
1.1 Historische Entwicklung .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Das System der Technischen Biegetheorie ...................... 5
1.2.1 Allgemeine Definitionen ................................. 6
1.2.2 Die einheitliche Darstellung der Technischen Biegetheorie 7
1.2.3 Zusammenhang zwischen Einheitsverwolbung und
Einheitsverschiebungen ................ . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24
1.3 Das System der Verallgemeinerten Technischen Biegetheorie .... 30
1.3.1 Die Wolbfreiheitsgrade als Reihengesetz ................. 31
1.3.2 Einfuhrendes Beispiel mit funf Wolbfreiheitsgraden 35
2 Ableitung der Differentialgleichungen fUr die einfache Stufe
2.1 Bezeichnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50
2.2 Voraussetzungen............................................... 54
2.3 Die Elastizitatsbeziehungen .................................... 55
2.3.1 Elastizitatsgesetz der Membranschnittkrarte ............. 56
2.3.2 Elastizitatsgesetz der Plattenschnittkrarte ............... 57
2.4 Die geometrischen Beziehungen ................................ 57
2.4.1 Wolbordinaten und Scheibenumfangsverschiebungen ..... 58
2.4.2 Wolbordinaten, Scheibenquerverschiebungen und
Scheibenverdrehungen ................................... 60
2.5 Produktansatz fur die Verschiebungen .......................... 66
2.6 Die Gleichgewichtsbedingungen ................................ 69
2.6.1 Die virtuellen Verruckungen ............................. 69
2.6.2 Die virtuelle Arbeit an 'if' = I .......................... 73
rv :;::
2.6.3 Die virtuelle Arbeit an I .......................... 77
2.7 Die Orthogonalisierung ........................................ 84
2.7.1 Die Diagonalisierung der Matrizen C und lJ ............ 84
2.7.2 Entmischung der Starrkorperzustande ................... 87
2.8 Das transformierte System ..................................... 90
2.8.1 Die Einheitsverformungen und -schnittkrarte ............ 91
2.8.2 Die verallgemeinerten Steifigkeiten ...................... 91
2.8.3 Die verallgemeinerten Schnittgrofien ..................... 94
2.8.4 Die verallgemeinerten Lasten ............................ 95
2.8.5 Die verallgemeinerten Randbedingungen ................. 100
XI
2.9 Die Stellung der Technischen Biegetheorie in der VTB .......... 103
2.9.1 Die SchnittgroBen ....................................... 103
2.9.2 Einbindung der Langung in das System der VTB ........ 105
2.9.3 Analogien ............................................... 110
2.9.4 Zur Frage der Bezeichnungen und Dimensionen .......... 112
2.10 Zusammenfassende Darstellung ................................ 113
2.11 Zahlenbeispiel zur einfachen Stufe .............................. 119
2.11.1 Ermittlung der Querschnittswerte ....................... 119
2.11.2 Ermittlung von Spannungen und Verformungen aus dem
Lastfall Eigengewicht ................................... 136
3 Erweiterungen und Erganzungen fUr Sonderfiille
3.1 Der Langsbiegewiderstand ..................................... 142
3.1.1 Genaue Erfassung der Plattenanteile .................... 142
3.1.2 Naherungsweise Erfassung des Langsbiegewiderstandes
nach der Orthogonalisierung ............................ 146
3.1.3 Numerische Auswirkung des Plattenanteils .............. 148
3.2 Nebenknoten .................................................. 150
3.3 Querschnittslagerungen ........................................ 159
3.3.1 Lagerungen an den Randknoten ......................... 160
3.3.2 Lagerung an den Innenknoten ........................... 173
3.3.3 Elastische Lagerungen ................................... 174
3.3.4 Zahlenbeispiel zu Nebenknoten und Symmetriebedingung 176
3.3.5 Zahlenbeispiel zu Knotenlagerung und Drehbettung ..... 189
3.4 Der geschlossene einzellige Querschnitt ......................... 194
3.4.1 Der torsionsfreie Fall .................................... 194
3.4.2 Berucksichtigung der Torsion ............................ 198
3.4.3 Der Bredt'sche Anteil ................................... 201
3.4.4 Das Problem der Orthogonalisierung .................... 204
3.4.5 Zahlenbeispiel zum geschlossenen Querschnitt ........... 205
4 Herleitung der Differentialgleichungen aus dem Variationsprinzip
4.1 Allgemeines .................................................... 212
4.2 Die Arbeit der inneren Krafte .................................. 214
4.3 Transformation auf Diagonalgestalt ............................ 219
4.4 Die Arbeit der auBeren Lasten ................................. 223
4.5 Randbedingungen .............................................. 225
5 Spezielle Querschnitte
5.1 Hut-, C- und Z-Profile ......................................... 228
5.1.1 Formeln fur die Querschnittswerte der C- und Hut-Profile 229
5.1.2 Formeln fur die Querschnittswerte des Z-Profils ......... 235
5.1.3 Einarbeiten von Querschnittslagerungen ................. 238
XII
5.2 Platten ........................................................ 242
5.2.1 An den Langsrandern gelenkig gelagerte Platten ......... 244
5.2.2 Allgemeine Lagerung der Plattenquerschnitte ............ 247
5.2.3 Beispiel ................................................. 249
6 Die Kreiszylinderschale
6.1 Allgemeines .................................................... 260
6.2 Die grundlegenden Beziehungen ................................ 262
6.2.1 Geometrische Beziehungen .............................. 262
6.2.2 Elastizitatsgesetz der Schnittkr8.fte ...................... 264
6.2.3 Produktansatze fur die Verschiebungen .................. 265
6.3 Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen fur den geschlossenen
Zylinder ....................................................... 266
6.3.1 Arbeit der inneren Kr8.fte - Die Ermittlung der orthogo-
nalen Einheitsverwolbungen ............................. 266
6.3.2 Die Arbeit der au13eren Lasten .......................... 269
6.3.3 Ruckrechnung der Schnittkr8.fte aus den Verformungsfunk-
tionen .................................................. 271
6.4 Veranschaulichung - Analogie zur Technischen Biegetheorie ... 273
6.4.1 Die Einheitsverformungszustande ........................ 273
6.4.2 Die Gleichgewichtsaussagen ............................. 275
6.5 Ein Beispiel .................................................... 279
6.6 Annaherung durch Polygonquerschnitt ......................... 283
6.7 Die Teilzylinderschale .......................................... 285
6.8 Zusammenstellung der Formeln ................................ 288
7 Integrationshilfen
7.1 Zerlegung der F\mktionen in symmetrische und antimetrische
Anteile ........................................................ 291
7.2 Die Integrationswerte der Funktionsprodukte ................... 294
7.3 Integration der Schubkr8.fte aus der Wolbfunktion .............. 296
8 Die Losung der gewohnlichen Differentialgleichung 4.0rdnung
8.1 Die geschlossene Losung ....................................... 298
8.2 Das zweistufige Differenzenverfahren ........................... 300
8.2.1 Differenzenausdrucke fur die Innenpunkte eines Feldes ... 301
8.2.2 Differenzenausdrucke fur die Randpunkte eines Feldes ... 310
8.2.3 Zahlenbeispiel zum gelenkig gelagerten Balken ........... 317
8.2.4 Zahlenbeispiel zur Rechteckplatte ....................... 318
8.3 Allgemeine Lagerungsbedingungen ............................. 325
8.3.1 Stahlbetonfaltwerk mit Punktlagerung in Feldmitte ...... 326
8.3.2 Erhohung der Drillsteifigkeit durch Bindebleche .......... 329