Verallgemeinerte Isomorphie von Gruppenerweiterungen und kanonische Isomorphie Galoisscher Erweiterungskörper

49 Pages·1966·5.882 MB·German

by  Leonhard Gerhards

Der vorliegende Bericht wurde angeregt von
Prof. Dr. W. Krull, dessen ,Untersuchungen über
bizyklische Gruppen und reelle Radikalkörper
den Ausgangspunkt bildeten.
Herrn Prof. Dr. W. Krull danke ich an dieser
Stelle für die Förderung dieser Arbeit und für
wertvolle Ratschläge.
FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.1690
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerpräsidenten Dr. Franz Meyers
vom Landesamt für Forschung, Düsseldorf
DK 512.4 519.42 519.44
Dr. rer. nato Leonhard Gerhards
Rheinisch-Westfälisches !tlstitut für Instrumente//e Mathematik Bonn (UM)
Verallgemeinerte Isomorphie von
Gruppenerweiterungen und kanonische Isomorphie
Galoisscher Erweiterungskörper
(Nr. 10 der Schriften des UM . Serie A)
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1966
Diese Veröffentlichung ist zugleich Nr. 10 der »Schriften des Rheinisch-West
fälischen Institutes für Instrumentelle Mathematik an der Universität Bonn
(Serie A)«
ISBN 978-3-663-19612-9 ISBN 978-3-663-19658-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-19658-7
Verlags-Nr. 011690
© 1966 b Y Springer Fachmedien Wiesbaden
Ursprünglich erschienen bei Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen 1966.
Inhalt
Einleitung und Problemstellung 7
KAPITEL I
Invariantentheorie der Gruppenerweiterungen
§ 1 Verallgemeinerte Äquivalenz von Gruppenerweiterungen ........... 11
§ 2 Kohomologiegruppen .......................................... 13
§ 3 Kennzeichnung der Gruppenerweiterungen ....................... 15
§ 4 Kennzeichnung der Strukturen .................................. 18
§ 5 Kennzeichnung der Gattungen und Arten ........................ 20
§ 6 (1jJ - J)-Isomorphie bei Erweiterungen mit abelschem Normalteiler A 26
KAPITEL II
Kanonische Isomorphie galoisscher Erweiterungskörper
§ 1 Hauptsätze der Galois-Theorie .................................. 35
§ 2 Kummersche Charaktere relativ zyklischer Körper ................. 37
~ 3 Kanonische Isomorphie relativ zyklischer Körper .................. 40
§ 4 Galois-Gattungen und Galois-Arten (m, n)-bizyklischer Körper ...... 43
§ 5 Galois-Gattungen und Galois-Arten relativabelseher Normalober-
körper 91 über dem Kummer-Körper E mit vorgegebener Galois
Gruppe G(91: .R) über einem Teilkörper .R von E . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
Literaturverzeichnis ................................................ 49
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Einleitung und Problemstellung
Die in Kapitel I bzw. Kapitel H der vorliegenden Arbeit untersuchten gruppen
bzw. körpertheoretischen Fragestellungen entstammen - historisch gesehen -
dem Problemkreis der Galois-Theorie, überschreiten jedoch in gewisser Rich
tung den Rahmen derjenigen klassischen Untersuchungen, mit denen sie enger
verbunden sind.
Unmittelbar an die Hauptsätze der Galois-Theorie schließt sich das Problem an,
diejenigen galoisschen - d. h. separablen, normalen - Körper 91 über einem
festen Grundkörper E zu kennzeichnen, deren Galois-Gruppen zu einer gege
benen abstrakten Gruppe C isomorph sind. Ist C abelsch, so können die Körper 91
durch die algebraische Methode der Kummer-Erzeugung der abelschen Körper
durch reine Gleichungen oder - falls E ein algebraischer Zahlkörper ist - durch
die arithmetische Theorie der Klassenkörper beschrieben werden. In [11] ent
wickelt P. WOLF eine Kennzeichnungstheorie, die als Verallgemeinerung der
Kummer-Erzeugung abelscher Körper auf beliebige endliche Galois-Gruppen C
angesehen werden kann.
Hieran anschließend ergibt sich die folgende körpertheoretische Problem
stellung: Gegeben sei ein Körper 91 über E mit der Galois-Gruppe C, und der
r.
Grundkörper E sei über einem Teilkörper .R galoissch mit der Galois-Gruppe
Wann ist dann auch 91 über .R galoissch mit einer Galois-Gruppe, die zu einer
r
vorgegebenen Gruppenerweiterung G von C durch (im Schreierschen
Sinne [9]) isomorph ist? Diese Frage wurde für den Spezialfall einer abelschen
Gruppe C durch H. HASSE in [6] beantwortet. Für den allgemeinen Fall ver
gleiche man die Theorie bei P. WOLF [11], Teil H. Als notwendige und hinrei
chende Bedingung erhält man die Existenz eines »Verkettungssystems« in .2,
das die Bestimmungsstücke des Körpers E mit den Invarianten der Gruppen
erweiterung G durch zwei Systeme von Verkettungsgleichungen - den körper
und den gruppentheoretischen Verkettungsgleichungen - verknüpft.
Die Kenntnis dieser Gesetze ist von grundlegender Bedeutung für die Aufgabe,
alle Körper 91 über .2 mit der Galois-Gruppe C, für die 91 über .R galoissch ist,
zu konstruieren. Hier kommt nun ein wesentliches Moment herein: Während
man· bei der bloßen Kennzeichnung der Körper 91 über E von dem Körper 91
als gegeben ausgeht und dementsprechend die Gruppe C als Automorphismen
gruppe von 91 über E vorliegt, ist C bei der Konstruktion nur als abstrakte
Gruppe gegeben, so daß bei der Realisierung von C als Galois-Gruppe von
91 über E ein willkürlicher Automorphismus 1p von C freibleibt.
Bei der Konstruktionsaufgabe ist somit der Begriff des Erweiterungstypus
weiter zu fassen. In der üblichen Theorie der Gruppenerweiterungen rechnet
r
man die Gruppen G und G' von C durch zum gleichen Erweiterungstypus,
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wenn ein Isomorphismus I: G -+ G' existiert, der die beiden folgenden Eigen
schaften besitzt: 1) I induziert in C den identischen Automorphismus. 2) In den
J:
Faktorgruppen GIC und G'IC induziert I einen Isomorphismus GIC -+ G'IC
r
derart, daß die Klassen von GIC und G'IC auf das gleiche Element von
bezogen werden. Im Gegensatz dazu ist hier nur zu verlangen, daß I in C einen
beliebigen Automorphismus "P induziert.
Losgelöst von der oben beschriebenen körpertheoretischen Konstruktions
aufgabe läßt sich allgemein vom abstrakt gruppentheoretischen Standpunkt der
Begriff des Erweiterungstypus noch allgemeiner fassen: Zwei Erweiterungen
G und G' sollen genau dann zum gleichen Erweiterungstypus gehören, wenn
ein Isomorphismus I: G -+ G' existiert, der die beiden folgenden Eigenschaften
besitzt: 1) I induziert in C einen Automorphismus "P' 2) In den Faktorgruppen
J:
GIC und G'I C induziert I einen Isomorphismus GIC -+ G'I C derart, daß
r
die Klassen von GIC und G' IC Elementen von zugeordnet werden, die durch
r
einen frei wählbaren Automorphismus rp von auseinander hervorgehen.
Diese verallgemeinerten Begriffe der Erweiterungstypen der Gruppenerwei
terungen führen in der Menge (f(C, r) aller Erweiterungen von C durch r zu
Äquivalenzklasseneinteilungen der Menge (f(C, r) in »Arten« bzw. »Gattungen«,
die »gröber« sind als die Klasseneinteilung in »Strukturen«, die durch den - sehr
eng gefaßten - Äquivalenzbegriff der üblichen Erweiterungstheorie bedingt ist.
Um die Hauptergebnisse von Kapitel I (§ 5 und § 6) sowie von Kapitel II (§ 4
und § 5) exakt und verständlich beschreiben zu können, müssen wir in Kapitel I,
§ 1-§ 4, eine Reihe von Sätzen und Begriffsbildungen behandeln, die an sich
inhaltlich bekannt sind, die aber hier in einer Form benutzt werden, wie sie für
unseren Fall zweckmäßig aber nicht allgemein üblich ist. In Kapitel I, § 1,
werden die oben erörterten Äquivalenzbegriffe präzisiert. Kapitel I, § 2, enthält
die Begriffe der Kohomologietheorie der Gruppen, die für die in Kapitel I,
§ 3 und § 4 entwickelte Kennzeichnungstheorie der Gruppenerweiterungen und
ihrer Strukturen benötigt werden.
Eines der Hauptergebnisse von Kapitel I ist die in § 5 entwickelte Kennzeich
nung der Gattungen und Arten (Satz 5.3 und Satz 5.4) durch die Definition
einer auf der Menge 'aller Erweiterungssysteme operierenden Transformations
gruppe T, deren Elemente aus den Tripeln [rp, "P, I(x)] bestehen, wobei rp bzw. "P
r r
ein Automorphismus von bzw. C und I: -+ C eine normierte Funktion
von r in C mit der Eigenschaft I(er) = ee bedeuten. Die Gattungen von (f(C, r)
zerfallen im allgemeinen in mehrere Arten. Satz 5.5 von Kapitel I, § 5, zeigt,
daß jede Art einer festen Gattung aus (f (C, r) die gleiche Anzahl von Gruppen
enthält, und der wichtige Satz 5.7 von Kapitel I, § 5, liefert ein notwendiges
und hinreichendes Kriterium dafür, wann zwei Erweiterungsgruppen Gi und Gk
einer festen Gattung zur gleichen Art gehören. Abschließend wird in Kapitel I,
§ 5, noch eine obere Schranke für die Anzahl der Arten in einer festen Gattung
gewonnen, und es werden hinreichende Kriterien dafür abgeleitet, wann alle
Gruppen einer Gattung eine Art bilden.
Kapitel I, § 6 stellt das Bindeglied zwischen den gruppentheoretischen Problemen
von Kapitel I und den körpertheoretischen Problemen von Kapitel II dar, in
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denen abelsehe und Zyklische Körper eine besondere Rolle spielen. In Kapitel I, § 6
wird eine systematische Theorie der (1jJ - J)-Isomorphie der Gruppenerweite
rungen mit abelschem Normalteiler A entwickelt.
r,
Es sei G bzw. G' eine Erweiterung von A (A abelsch) durch definiert durch
das Erweiterungssystem (0, h E H'6(r, A)) bzw. (0', h' E HfJ'(r, A)), wobei
D bzw. 0' ein der Erweiterung G bzw. G' zugeordneter Homomorphismus
von r in die Automorphismengruppe AutA von A und h bzw. h' eine Klasse
aus der der Erweiterung G bzw. G' invariant zugeordneten 2-ten Kohomologie
r
gruppe bezüglich D bzw. 0' bedeuten. Das homomorphe Bild von in AutA
sei mit m(G, A) bezeichnet. Ist 1jJ E AutA und]: G = G/A ~ G'/A = G' ein
Isomorphismus von G auf G', so heißen die Automorphismengruppen m(G, A)
und m' (G', A) genau dann (1jJ-j)-isomorph, wenn ag = aJ g für alle a E A und
alle gE G gilt (ag = gag-l).
Die Theorie der (1jJ-j)-Isomorphie der Erweiterungen mit abelschem N ormal
teiler A besteht in der Untersuchung der Beziehungen der Automorphismen
gruppen m( G, A) und m' (G', A), die sich ergeben, wenn verschiedene Auto
morphismen- bzw. Isomorphismenpaare 1jJI,1jJ2 bzw. ft,12 zugrunde gelegt
werden (Kapitel I, § 6, Satz 6.1 bis Satz 6.4). Die Sätze 6.1-6.4 zeigen die Sonder
stellung eines zyklischen Normalteilers A, die noch ausgeprägter in dem fun
damentalen Satz 6.5 von Kapitel I, § 6 ist, der eine Antwort auf die folgende
Problemstellung gibt:
Gegeben sei ein Isomorphismus h von G auf G', der in A einen Automorphis
mus 1jJI induziert. 1jJ2 bzw.12 sei ein Automorphismus von A bzw. ein Iso
morphismus von G auf G' derart, daß m(G,A) und m'(G',A) (1jJ2-12)-isomorph
sind. Existiert dann stets ein ausgezeichneter Isomorphismus 1*: G ~ G'
derart, daß der induzierte Isomorphismus J* : G ~ G' bei der Kopplung mit 12
zu einem Automorphismus ii = J*-I12 von G führt, der}! = Z(A: G)/A
(Z(A: G) = Zentralisator von A in G) auf sich abbildet und in G/}! den
identischen Automorphismus induziert?
Den Untersuchungen von Kapitel II liegt folgende körpertheoretische Problem
stellung zugrunde:
r
Es sei i!, ein galoisscher Körper über 5\ mit der Galois-Gruppe = G(i!, : 5\).
9h und 912 seien i!, enthaltende galoissche Körper über 5\ mit den Galois-Gruppen
Gi = G(91i : 5\) bzw. Ci = G(91i : i!,) (i = 1,2). Gi ist dann eine Gruppen
r.
erweiterung von Ci durch Hauptsatz 2 der Galois-Theorie definiert je einen
kanonischen Isomorphismus Ki von Gi/Ci auf r (i = 1,2), und es definiert
K12 = Ki.1 K1 einen kanonischen Isomorphismus von GI/Cl auf G2/C2• 911 und
912 sollen genau dann zur gleichen »Ga/ois-Gattung« über i!" 5\ gehören, wenn
ein Isomorphismus h2 von GI auf G2 existiert, der Cl in C2 überführt und
infolgedessen einen Isomorphismus ft2 von GI/Cl auf G2/C2 induziert. Läßt
sich der Isomorphismus h2 speziell so wählen, daß ft2 = Kl2 wird, so sollen
911 und 912 zur gleichen »Ga/ois-Art« über i!,,5\ gehören. Diese Definitionen
bestimmen Äquivalenzrelationen in der Menge M aller dieser Körper 91, und
offenbar zerfällt jede Galois-Gattung in eine oder mehrere Galois-Arten. Das
Problem besteht in der Charakterisierung der Galois-Gattungen und im beson-
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deren der Galois-Arten durch Bestimmungsstücke des Grundkörpers E und
durch die Invarianten der Gruppenerweiterungen Gi (i = 1, 2).
In einem allereinfachsten Spezialfall wird diese Problemstellung bei W. KRULL
[7], § 31, formuliert und gelöst. In der vorliegenden Arbeit zeigt es sich, daß es
äußerst schwierig ist, das Problem in voller Allgemeinheit anzufassen; es werden
deshalb in Kapitel II weitere Spezialfälle behandelt, die über die Untersuchungen
von W. KRULL wesentlich hinausgehen, aber noch befriedigende Lösungen
gestatten.
Der allgemeine (m - n)-bizyklische Fall, d. h. G(E:.R) bzw. G(in: E) zyklisch
von der Ordnung m bzw. n, ist in Kapitel II, § 4 vollständig gelöst. Die
Gleichheit der in Kapitel II, § 2 hergeleiteten Kummerschen Charaktere X91".2, .1\
= X91.,.2,.I\ der Körpertripel in!, E,.R bzw. in2, E,.R erweist sich als die not
wendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die von vornherein derselben
Gattung entnommenen Körper zur gleichen Art gehören. In Kapitel II, § 5
werden abschließend die Fälle behandelt: G(in: E) zyklisch, G(E:.R) abelsch,
nicht zyklisch und der allgemeinste abelsche Fall G(in: E), G(E:.R) beide
abelsch, nicht zyklisch.
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