vektörel analiz ve tensör analize giriş

133 Pages·2009·14.56 MB·Turkish

A.Ü.F.F. Döner Sermaye
işletmesi Yayınları
No: 67
VEKTÖREL ANALİZ
VE
TENSÖR ANAL İZE G İ RİŞ
CILT - III
Doç. Dr. M. Kemal SAĞEL
Ankara Üniversitesi
Fen Fakültesi Öğretim Üyesi
Ankara 2003
C) Bu kitabın bütün hakları saklıdır.
Yazarın yazılı iznini almaksızın bu kitabın herhangi bir
kısmı veya tamamı herhangi bir şekilde ve herhangi bir
anlamda, elektronik, mekanik, fotoğrafik olarak veya
xerografik, mikrofilm ve hatta teyp veya video yoluyla
çoğaltılıp satılamaz ve kullanılamaz. Bu hallerde yazar
telif haklarını korumak için kanuni yolları takip edebilir.
Doç. Dr. M.Kemal SAĞEL
2003
ÖNSÖZ
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesinin Lisans (cid:9) ve Mühendislik
bölümlerinde öğrenim gören öğrencilerin programında yer alan bir
yarıyıllık Vektörei Analiz dersi için hazırladığım birinci ve ikinci cilt
kitabım da eksik olan tensör analizine giriş bölümü , ayrıca skaler ve
vektör alanları üzerinde diferensiyel işlemler, skaler ve vektör alanları
üzerinde integral işlemleri ve yüzey integrali ile ilgili al ıştırmaların
çözümlerinin bulunduğu bu üçüncü cilt kitabı hazırladım.
Bu kitabı hazırlarken özellikle Eutiquio C. Young' ın Vectör and
Tensör Analysis, Murray R. Spiegel'in Vektörel Analiz ve Tensör Analize
Giriş, B. Demidovich'in Problems in Mathematical Analysis ve Lipman
Bers and Frank Karal' ın Calculus kitaplarından yararlanılmıştır.
Kitabın eksiksiz ve hatasız olmasına gayret sarfettiysem de ilk
baskı olması nedeniyle bazı eksikliklerimin olabileceği
düşüncesindeyim. Bu eksikliklerin tarafıma bildirilmesini bekler ,
yardımlarınız için şimdiden teşekkür ederim.
M.Kemal SAĞEL
2003
Annem ve Rahmetli Babam için
101DEKİLER
IX.BÖLÜM : TENSÖR ANALIZE GIRIŞ
(cid:9)
9.0. Giriş 1
9.1. Koordinat (cid:9) sistemleri, (cid:9) toplama (cid:9) kuralı, (cid:9) Kovaryant (cid:9) ve
Kontravaryant vektörler, karma, simetrik ve ayk ırı simetrik
tensörler (cid:9) 1
9.2. Matrisler ve Matris Cebiri (cid:9) 5
9.3. Yay uzunluğu ve Metrik Tensör (cid:9) 6
9.4. Associated ( eş ) Tensörler (cid:9) 7
9.5. Bir Vektörün Modülü ve İki Vektör Arasındaki Açı (cid:9) 7
9.6. Christoffel Sembolleri (cid:9) 8
9.7. Geodezikler (cid:9) 9
9.8. Kovaryant Türev (cid:9) 9
9.9. Gradient, Divergens ve Rotasyonelin Tensörel Hali ve Mutlak
Türev (cid:9) 11
IX. Bölüm İle İlgili Alıştırmalar (cid:9) 13
X. BÖLÜM : SKALER VE VEKTÖR ALANLAR! ÜZERINDE
DİFERENSİYEL IŞLEMLER
10.1. Bölüm Ile Ilgili Alıştırmalar (cid:9) 15
10.2. Bölüm İle İlgili Alıştırmaların Çözümleri (cid:9) 22
V
Xl. BÖLÜM : SKALER VE VEKTÖR ALANLARI ÜZERINDE
İNTEGRAL IŞLEMLERI
(cid:9)
11.1. Bölüm İle İlgili Alıştırmalar 56
(cid:9)
11.2. Bölüm İle ilgili Alıştırmaların Çözümleri 62
XII. BÖLÜM : YÜZEY İNTEGRALLERİ
(cid:9)
12.1. Bölüm İle ilgili Alıştırmalar 88
(cid:9)
12.2. Bölüm İle Ilgili Alıştırmaların Çözümleri 92
Bazı Sabitler (cid:9) 119
Trigonometrik Bilgiler (cid:9) 120
Trigonometrik Formüller (cid:9) 121
İntegral Alma Formülleri (cid:9) 123
Bazı Metrik Sistem Değerleri (cid:9) 125
Grek Alfabesi (cid:9) 126
indeks (cid:9) 127
VI
IX. BÖLÜM
TENSÖR ANALIZE GİRİŞ
9.0. GİRİŞ
Tensör analizinin doğuşu ve bununla beraber koordinat sistemleri,
toplama kuralı, kovaryant ve kontravaryant vektörler, karma tensörler,
kroniker deltası, rankı 2 den büyük olan tensörler, skalerler, invaryantlar,
tensör alanları, simetrik ve aykırı simetrik tensörler, tensörlere ait temel
işlemler, matrisler, matris cebiri, metrik tensör, eş, eşlenik ve karşıt
tensörler, bir vektörün modülü , vektörler aras ındaki açı, christoffel
sembolleri ve dönüşüm kuralları, geodezikler, kovaryant ve mutlak türev,
gradient, divergens ve rotasyonelin tensör şekli anlatılacaktır.
Fizik kurallarının geçerli olması, kullanılan koordinat sistemlerine
bağlı olmaması demektir. Bunun sonucu olarak diferensiyel geometri,
relative teorisi, mekanik, hidrodinamik, elektromagnetik, elastisite
teorileri, bilimin ve mühendisliğin kullanıldığı yerlerde tensör analizinin
doğuşunu meydana getirmiştir.
9.1. KOORDİNAT SISTEMLERI, TOPLAMA KURAL!, KOVARYANT VE
KONTRAVARYANT VEKTÖRLER, KARMA, SİMETRİK VE AYKIRI
SİMETRİK TENSÖRLER
Üç boyutlu uzayda dik, küresel ve silindirik koordinat sistemlerinin
koordinatları sırasıyla (x,y,z), (r,0,0) ve (p,O,z) ile ve n-boyutlu uzayda ise
şeklinde gösterilir. Eğer farklı iki koordinat sistemi ifade
(X, , X2 ,...,X„ )
edilecekse n-tane birbirinden bağımsız bağıntı elde edilir. Bu bağıntıdaki
fonksiyonların tek değerli, sürekli ve sürekli türevlerinin olduğu kabul
edilirse bunun denklemlerini kısa olarak
(x, , x2 , (cid:9) xn (cid:9) i = 1,2, ... , n
(cid:9)
(cid:9)
şeklinde ifade edildiği gibi tersine de
= X, (cid:9) , X2 (cid:9) , X„ (cid:9) , (cid:9) İ = 1,2,...,n
dir.
Toplama kuralıda
aıxı +a,x2+...+a,x „=
şeklinde ifade edilir.
(x„x2,...,x„) koordinat sisteminde Al , ,..., A" gibi n-eleman ve diğer
koordinat sistemini de (x„x2,...,x„) ve A1,712,...,A" şeklinde gösterelim.
(3
A (cid:9)'A' (cid:9) i=1,2,...,n
veya kısaca
A' Al
— (â2c7j
dönüşüm denklemleri şeklinde ise buna bir KONTRAVARYANT vektör
veya rankı (mertebesi) bir olan KONTRAVARYANT TENSÖRÜN
bileşenleri denir.
koordinat sisteminde A,,A2,...,A,, gibi n-eleman ve
koordinat sisteminde A, (cid:9)A2,..., (cid:9) olsun.
âc.
E
A. (cid:9) , (cid:9) i= 1,2,...,n
j=i <9Xi
veya kısaca
A— --j- A
<2,c,
şeklinde ise buna bir KOVARYANT vektör veya rank ı (mertebesi) bir
olan KOVARYANT TENSÖRÜN bileşenleri denir.
2
(cid:9)
(cid:9)
koordinat sisteminde .4"il` gibi n2 tane elemana
koordinat sistemindeki A" gibi n2 tane eleman
s , (cid:9) s, t = 1,2, ,rı
...
veya
(2x (2x
A't — (cid:9) Am/t
a„, (3x,
gibi dönüşüm denklemleri ile bağlantılı ise bunlara rankı 2 olan bir
tensörün KONTRAVARYANT bileşenleri denir.
A — (cid:9) A
"il`(cid:9) c9xu,.?x, (cid:9) "
ise buna rankı 2 olan tensörün KOVARYANT bileşenleri denir.
Benzer şekilde
—c2x (3c
A L A'
k tn — (cid:9)asm ( 9(cid:9) xk
ise sayıları olan elemanlarına rankı 2 olan KARMA TENSÖRÜN
n' A;
bileşenleri denir.
{i j , 0
i = j , 1
ise buna kronecker deltası denir ve rankı 2 olan bir karma tensördür
denir ve (5i şeklinde gösterilir.
(3x (37 dx 63c a
—0,k,
— (cid:9) Lt (cid:9) AP9'
a, (3x, (cid:9) N
şeklinde ifade ediliyorsa üçüncü mertebeden KONTRAVARYANT,
Af,,q` ,
ikinci mertebeden KOVARYANT ve rankı 5 olan karma tensörün
bileşenleridir.
3
xi koordınatlarinın fonksiyonu (cid:9) , x, koordinatlarının fonksiyonu
ve q)=0 ise 4 için bu koordınat dönüşümüne göre invaryanttır veya
skalerdir denir. Buna rankı sıfır olan tensör denir.
n-boyutlu uzayda bir bölgenin her noktas ına bir tensör karşılık
gelirse bir TENSÖR ALANI tanımlanmış olur. Bu tensörün rankı sıfır
veya bir ise bu durumda bir skaler veya vektör alan ıdır. Bir tensörün
veya tensör alanının herhangi bir koordinat sistemi veya dönü şümüne
göre bütün cümlelerden ibarettir.
2-kovaryant veya kontravaryant tensörlerin indisleri kendi
aralarında değiştirildiğinde tensörün bileşenleri değişmiyorsa buna
SİMETRİK TENSÖR denir. Eğer işaret değişirse AYKIRI SİMETRİK
TENSÖR denir. (Ar = 4'°)
Tensörlerle İlgili işlemler
(cid:9) + Bmk
1)Toplama işlemi : Anik = Cs'"
(cid:9)
2) Çıkarma işlemi : A: —Bk . =
(cid:9)
3) Dış çarpım işlemi : =
Eğer k = 1 alınırsa (A'Bok,) ise iç çarpım işlemi elde edilir.
Tensörlerde iç ve dış çarpımları assosiyatif ve komutatiftir.
4) Bölme Işlemi : Eğer x ile bir tensörün iç çarpımı bir tensör ise x de
bir tensördür. Buna bölme işlemi denir.
5) Daraltma (Kontroksiyon) işlemi : (cid:9) Ak =
4