Vektorautokorrelationen stochastischer Prozesse und die Spezifikation von ARMA-Modellen

180 Pages·1990·2.4 MB·German

by  Efstathios Paparoditis (auth.)

Arbeiten zur Angewandten Statistik
Band 34
Herausgegeben von
K.-A. Schaffer, Koln· P. Schonfeld, Bonn· W. Wetzel, Kiel
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Band 21: D. Fitzner Band 28: B. F. Arnold
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Stichprobenplline ffir die Gut-Schlecht- 1987. VI, 264 Seiten. Broschiert DM 59,-
Priifung ISBN 3-7908-0363-4
1979.309 Seiten. Broschiert DM 58,-
ISBN 3-7908-0219-0 Band 29: L. Bauer
Inspektionsfehler in der attributiven
Band 22: W. Kuhlmann QuaIititskontroUe
Parameterschiitzung von Eingleichungs 1987. VIII, 105 Seiten. Broschiert DM 45,
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mittels des Levenberg-Marquardt-Verfahrens
1980. VIII, 124 Seiten. Broschiert DM 38, Band 30: C. Weihs
ISBN 3-7908-0224-7 Auswirkungen von Fehlern in den Daten
auf Parameterschiitzungen und
Band 23: G. Tosstorff Prognosen
Methoden der geometrischen DatenanaIyse 1987. XII, 391 Seiten. Broschiert DM 79,
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des Entwickiungsprozesses
1983.183 Seiten. Broschiert DM 46, Band 31: U. Ktisters
ISBN 3-7908-0302-2 Hierarchische Mittelwert-und
Kovarianzstrulrturmodelle mit
Band 24: W. Stangier nichtmetrischen endogenen Variablen
Effiziente Schiitzung der Wahrscheintich 1987. XII, 112 Seiten. Broschiert DM 49,
keitsdichte durch Kerne ISBN 3-7908-0388-X
1984. 117 Seiten. Broschiert DM 39,
ISBN 3-7908-0315-4 Band 32: A. Rafi
Statistische Analyse iikonometrischer
Band 25: I. Klein Ungleichgewichtsmodelle
Das Problem der Auswahl geeigneter 1989. IX, 275 Seiten. Broschiert DM 79,
MaBnahmen in der deskriptiven Statistik ISBN 3-7908-0425-8
Eine meBtheoretische Untersuchung
1985. IX, 204 Seiten. Broschiert DM 69, Band 33: U. Rendtell H.-J. Lenz
ISBN 3-7908-0324-3 Adaptive Bayes'sche Stichprobensysteme
ffir die Gut-Schlecht-Priifung
Band 26: A. Reimann 1990. IX, 231 Seiten. Broschiert DM 69,
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den FaIl zweier stochastisch abhlingiger Los
schlechtanteile
1984. VI, 164 Seiten. Broschiert DM 58,
ISBN 3-7908-0320-0
Band 27: W. Schneider
Der Kalmanfilter a1s Instrument zur
Diagnose und Schiitzung variabler Parameter
in iikonometrischen Modellen
1986. XIV, 490 Seiten. Broschiert DM 98,
ISBN 3-7908-0359-6
Efstathios Paparoditis
Vektorautokorrelationen
stochastischer Prozesse
und die Speziftkation von
ARMA-Modellen
Mit 19 Abbildungen
Physica-Verlag Heidelberg
Efstathios Paparoditis
Institut fUr Statistik und Okonometrie
Freie Universitiit Berlin
GarystraBe 21
D-lOOO Berlin 33
ISBN-13:978-3-7908-0517-8 e-ISBN-13:978-3-642-99758-7
DOl: 10.1007/978-3-642-99758-7
ISSN 0066-5673
D 188
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© Physica-Verlag Heidelberg 1990
Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1990
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daher von jedermann benutzt werden diirften.
712017130-543210
Vorwort
Die Schwierigkeiten bei der Identifikation der Ordnung von autoregressiven moving ave
rage (ARMA) Modellen mit Hilfe der von Box/Jenkins(1970) vorgeschlagenen Methode der
bloBen Inspektion der Autokorrelations- und partiellen Autokorrelationsfunktion fiihrten in
den letzten Jahren zu der Entwicklung einer Reihe alternativer Spezifikationsverfahren un i
variater ARMA-Prozesse.
Abgesehen von den auf informationstheoretischen Uberlegungen aufbauenden Modellse
lektionsverfahren (wie beispielsweise die AIC-, BIC- oder HQ-Verfahren) beruht eine groBe
Anzahl der neueren Ansiitze auf der effizienteren Ausnutzung der Eigenschaften und der
Struktur der zweiten Momente solcher Prozesse. Der Unterschied zu den erwiihnten Infor
mationskriterien besteht u. a. darin, daB die Modellspezifikation nicht tiber die sukzessive
Anpassung von Modellen unterschiedlicher Ordnung und die Minimierung einer vorgegebe
nen, die zunehmende Parametrisierung bestrafenden Selektionsfunktion erfolgt. Durch eine
Analyse der Korrelationsstruktur des zu modellierenden Prozesses wird vielmehr bei diesen
Ansiitzen von vornherein versucht, ein bestimmtes Modell als geeignet auszuwiihlen bzw.
die Anzahl der in Frage kommenden Modelle erheblich einzuschriinken.
Zu diesen Ansiitzen ziihlen u.a. die R- und S-KenngroBen von Gray, Kelley und McInti
re(1978), die sogenannte 'Ecken-Methode' von Beguin, Gourieroux und Monfort(1980), die
generalisierten partiellen Autokorrelationen von Woodward und Gray (1981), die Analyse
der kleinsten kanonischen Korrelation von Tsay und Tiao(1985), die generalisierten Auto
korrelationen von Takemura(1984) und Glasbey(1982) und die erweiterten Autokorrelatio
nen von Tsay und Tiao(1984).
1m Mittelpunkt dieser Arbeit steht das von Hotelling(1936) unter dem Begriff Vektorkor
relationen eingefiihrte Konzept der Korrelationen hoherer Ordnung und dessen Ubertragung
auf stochastische Prozesse zur Identifikation von ARMA-Modellen (Streitberg(l982)). In
diesem Kontext sind Vektorautokorrelationen lineare AbhiingigkeitsmaBe zwischen Segmen
ten eines stochastischen Prozesses und lassen sich als direkte multivariate Verallgemeinerung
der in der Zeitreihenanalyse sehr verbreiteten KorrelationsmaBe, wie die Autokorrelation
und die partielle Autokorrelation, auffassen. Sie haben dariiber hinaus eine Reihe von
wtinschenswerten Eigenschaften und weisen, falls der betrachtete ProzeB eine ARMA Dar
stellung besitzt, ein einfaches und fiir die Identifikation seiner Ordnung aufschluBreiches
Muster auf.
Ein wesentliches Problem bei der Anwendung dieses Ansatzes besteht in der I-Ierlei
tung von praktisch verwertbaren Aussagen iiber die Verteilung der korrespondierenden
StichprobenkenngroBen. Dieses Problem tritt auch bei den anderen auf der Analyse der
Korrelationsstruktur eines stochastischen Prozesses aufbauenden Identifikationsverfahren
auf. Abgesehen von einigen wenigen Fiillen, in denen Aussagen iiber die Grenzverteilungen
der involvierten StichprobenkenngroBen auf der Basis der asymptotischen Normalapproxi-
mation moglich sind, ist in der Regel bei diesen Ansatzen tiber die Verteilung der fUr die
Identifikation relevanten StichprobengroBen wenig bekannt. Hier wird im wesentlichen mit
nicht zufriedenstellenden Approximationsformeln gearbeitet.
Dem eben angesprochenen Aspekt der Ermittlung der Stichprobenverteilung wird in
dieser Arbeit besondere Aufmerksamkeit geschenkt. fIber das Problem der Herleitung der
asymptotischen Verteilung der Stichprobenvektorautokorrelationen hinaus wird in dieser
Arbeit ein alternatives, auf dem Bootstrap-Prinzip (siehe Efron(1979)) aufbauendes Ver
fahren vorgeschlagen, mit dem man zu Aussagen tiber die exakte Verteilung der Stichpro
benvektorautokorrelationen gelangen kann.
Die Idee dieses Vorgehens besteht darin, unter Ausnutzung der aquivalenten Darstel
lung eines invertierbaren ARMA-Prozesses als autoregressivem ProzeB unendlicher Ordnung
die Korrelationsstruktur dieses Prozesses zunachst und unter Preisgabe des parsimonischen
Prinzips durch einen endlichen autoregressiven ProzeB hoher Ordnung 'moglichst gut' nach
zubilden. Darauf aufbauend wird dann das Bootstrap-Verfahren benutzt, urn zu Aussagen
tiber die Verteilung der Stichprobenvektorkorrelationen zu kommen. Letztere konnen dann
zur Hervorhebung der Struktur in der Korrelationstafel und damit zur Spezifikation eines
parameter-sparsamen ARMA-Modells benutzt werden.
Die eben angedeutete Vorgehensweise mit Hilfe des Bootstrap-Prinzips weist nicht nur
den Vorteil auf, daB sie -wie unsere Simulationsunutersuchungen zeigen- das exakte Ver
halt en der Verteilung der Stichprobenvektorautokorrelationen besser erfaBt als die auf der
Normalitiit beruhende asymptotische Verteilung, sondern ist dartiber hinaus auch auf das
Problem der Schiitzung der Stichprobenverteilung der anderen Verfahren anwendbar.
Die Arbeit gliedert sich wie folgt:
Ausgehend von einer Darstellung des Begriffs der Vektorautokorrelationen, deren Ei
genschaften und deren theoretisches Verhalten im Fall eines ARMA-Prozesses im ersten
Kapitel wird im zweiten Kapitei das Problem der praktischen Berechnung der Stich pro
benvektorautokorrelationen kurz betrachtet. Diese gestaltet sich mit Hilfe eines effizienten
Rekursionsalgorithmus besonders einfach.
Das asymptotische Verhalten der Stichprobenvektorautokorrelationen wird dann im
dritten Kapitel diskutiert. Dabei wird zuniichst unter recht allgemeinen Bedingungen die
asymptotische Normalitiit der Verteilung der Stichprobenvektorautokorrelationen gezeigt
und anschlieBend ein Algorithmus entwickelt, der eine konsistente Schiitzung der asympto
tischen Varianz ermoglicht. 1m AnschluB daran wird im vierten Kapitel der Algorithmus
zur Bootstrap-Schiitzung der Verteilung der Stichprobenvektorautokorrelationen dargestellt
und die Frage nach der asymptotischen Validitiit des Bootstrap-Verfahrens untersucht.
Ergiinzend zu der asymptotischen Betrachtungsweise des dritten und vierten Kapitels
wird dann im fiinften Kapitel an hand von Simulationsbeispielen versucht, das finite Verhal
ten der vorgeschlagenen Schiitzverfahren zu untersuchen und miteinander zu vergleichen.
Dies gilt sowohl beziiglich der Frage nach der Schiitzung der Verteilung der Stich proben-
VI
vektorautokorrelationen als auch bezuglich der Frage nach der richtigen Identifikation der
Ordnung des Prozesses. AbschlieBend wird die Spezifikation von ARMA-Modellen mit Hilfe
der Bootstrap-Vorgehensweise anhand von zwei Beispielsreihen demonstriert.
1m sechsten Kapitel werden einige Erweiterungsmoglichkeiten des Konzepts der Vek
torautokorrelationen zur Behandlung und Identifikation grenzstationarer Prozesse thema
tisiert. Abschlief3end wird dann die Beziehung zwischen dem Ansatz der Vektorautokor
relationen und einigen in der Literatur neueren Verfahren der Identifikation von ARMA
Modellen behandelt.
Die Arbeit schlieBt dann mit einigen zusammenfassenden Bemerkumgen zu dem Ansatz
der Vektorautokorrelationen und der Spezifikation von ARMA-ModeHen abo
An dieser Stelle mochte ich denjenigen meinen herzlichen Dank aussprechen, ohne deren
Unterstutzung diese Arbeit nicht zustande gekommen ware. Neben meinen Betreuern Prof.
Dr. Peter Kuhbier und Prof. Dr. Bernd Streitberg mOchte ich vor aHem Prof. Dr. Jurgen
Franke und Prof. Dr. Jens-Peter KreiB meinen herzlichen Dank aussprechen. Mein Dank
gilt auch Herrn Dr. Andreas Handl fur eine Reihe wertvoller Hinweise sowie Prof. Dr.
Rainer Schlittgen, Prof. Dr. Herbert Buning und Prof. Dr. Jurgen Wolters fur zahlreiche
Diskussionen. Ganz besonders mochte ich meiner Frau Christiane fiir ihre kontinuierliche
und liebevolle Unterstiitzung danken.
VII
Inhaltsverzeichnis
1 Vektorautokorrelationen stochastischer Prozesse 1
1.1 Der Begriff cler Vektorautokorrelationen. . . . . . 1
1.1.1 Eigenschaften der Vektorautokorrelationen 3
1.1.2 Kovarianz- und Korrelationstafel stochastischer Prozesse 8
1.2 Vektorautokorrelationen und ARMA-Prozesse ......... . 12
1.2.1 Eigenschaften von ARMA-Prozessen .......... . 12
1.2.2 Charakterisierung von ARMA-Prozessen mit Hilfe der Vektorauto-
korrelationen . . . . . . . . . 16
2 Stichprobenvektorautokorrelationen 25
2.1 Schatzung der Vektorautokorrelationen ..................... 25
2.2 Rekursionsformeln zur Berechnung der empirischen Vektorautokorrelationen 27
3 Asymptotische Verteilung der Stichprobenvektorautokorrelationen 30
3.1 Vorbemerkung................................ 30
3.2 Herleitung der asymptotischen Verteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Ein Algorithmus zur konsistenten Schatzung der asymptotischen Standard-
abweichung der Stichprobenvektorautokorrelationen . . . . . . . . . . . . .. 34
3.3.1 Die Schatzung der asymptotischen Kovarianzmatrix der Stichproben-
autokorrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.2 Die Schatzung der partiellen Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.3 Ubersichtliche Darstellung des Algorithmus. . . . . . . . . . . . . .. 39
3.4 Einige abschliessende Anmerkungen zur asymptotischen Verteilung der Stich
probenvektorkorrelationen im FaIle eines ARMA(p,q)-Prozesses . . . . . .. 41
4 Bootstrap-Schatzung der Verteilung der Stichprobenvektorautokorrela-
tionen 44
4.1 Einfiihrende Bemerkungen zum Bootstrap-Prinzip und zur Bootstrap-Inferenz 44
4.2 Schatzung der unbekannten Verteilungsfunktion der ZufaIlsschocks . . . . . . 46
4.3 Ubersichtliche Darstellung des Bootstrap-Algorithmus zur Approximation
der Verteilung der Stichprobenvektorautokorrelationen . . . . . . . . . . .. 51
4.4 Die Konsistenz der Bootstrap-Schatzung . 54
4.5 Die asymptotische Validitat des Verfahrens 58
5 Simulationen und Anwendungsbeispiele 72
5.1 Simulationen ............................... 72
5.1.1 Schatzung der Verteilung der Stichprobenvektorkorrelationen . 72
5.1.2 Schatzung der Standardabweichung der Stichprobenvektorautokorre
lationen und Modellidentifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80
5.1.2.1 Vorbemerkung - Fragestellung und Design einer kleinen Si- '
mulationsuntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80
5.1.2.2 Die Schatzung der Standardabweichung der Stichproben-
vektorautokorrelationen ... . . . . . . . . . . . . . 84
5.1.2.3 Hervorhebung der Struktur in der Korrelationstafel 99
5.1.3 Zusammenfassung. · 103
5.2 Anwendungsbeispiele ... · 104
6 Erweiterungsmoglichkeiten des Ansatzes der Vektorautokorrelationen und
seine Beziehung zu einigen neueren Ansatzen der Identifikation von
ARMA Modellen 115
6.1 Einige Anmerkungen zu grenzstationaren Prozesse ............ . .115
6.1.1 Vorbemerkung - Grenzstationare Prozesse ., .......... . · 115
6.1.2 Grenzautokorrelationen und Grenzautokorrelationsdeterminanten · 117
6.1.3 Erweiterte Vektorautokorrelationen und grenzstationare Prozesse . 120
6.1.4 Beispiele................................ 125
6.2 KenngroBen einiger neuerer Verfahren zur Identifikation von ARMA Model-
len und ihr Zusammenhang mit den Vektorautokorrelationen ......... 130
6.2.1 Einige Vorbemerkungen zu den theoretischen Grundlagen . . . 130
6.2.1.1 Die Ecken-Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2.1.2 Die Analyse der kleinsten kanonischen Korrelation . 132
6.2.1.3 Die R- und S-Kenngrof3en ........... . · 134
6.2.1.4 Die generalisierten partiellen Autokorrelationen · 141
6.2.1.5 Die verallgemeinerten Autokorrelationen · 144
6.2.1.6 Die erweiterten Autokorrelationen ...... . · 151
Zusammenfassung 157
Anhang 159
Literaturverzeichnis 165
x
1 Vektorautokorrelationen stochastischer Prozesse
1.1 Der Begriff der Vektorautokorrelationen
Betrachten wir einen reellwertigen, diskreten stochastischen Prozefi (Xt; tfZ), das ist
eine indizierte Folge von Zufallsvariablen, die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum
(0, A, P) definiert sind. Wir nehmen an, dafi fur tfZ die Zufallsvariable Xt quadratisch
integrierbar ist, d.h. die Bedingung E[Xll = In xl (w)dP(w) < 00 erfullt ist.
1m folgenden werden wir fUr solche Prozesse KorrealationsmaBe haherer Ordnung
betrachten, die den ublichen skalaren Korrelationsbegriff in dem Sinne verallgemeinern,
da.f3 sie ein Ma.f3 des multivariaten linearen Zusammenhangs zwischen geeignet definier
ten Segmenten des stochastischen Prozesses darstellen.
Dazu betrachten wir Zusammenfassungen aus gleich vielen Werten des Prozesses
Sl
(Xt; tfZ) in Form von i-dimensionalen stochastischen Vektoren, die mit bezeichnet
werden, wobei
lI ...
=
S~ (XII, XII+ ,Xh+i_dT
mit ifN und hfZ ist. Fur festes ifN stellt die Sequenz (S;; tfZ) einen stochastischen
Vektorprozefi dar, d.i. eine indizierte Folge von i-dimensionalen Zufallsvektoren
... ,S~2' S~lI S~, S~, S;, ... ,
Xh+lI
deren Komponenten fur jedes hfZ sich aus den i aufeinanderfolgenden Werten XII,
... ,Xh+i-l
des betrachteten Prozesses ergeben.
Definition 1.1 Wir bezeichnen die Folge (Sf; tfZ) als stochastische Folge der Ordnung
i, ifN, des Prozesses (Xt;tfZ).
o
So ergibt sich beispielsweise fiir i = 1 die Folge der einkomponentigen Vektoren, das
ist der stochastische Prozess (Xt; tfZ) selbst
=
fUr i 2 die Folge der zweikomponentigen Vektoren (S;jtfZ),
X-l ) , ( Xo ) , ( Xl ) , ( X
... , ( XX--l2 ) , ( Xo Xl X X32 ) , •••
2
=
fur i 3 die Folge der dreikomponentigen Vektoren (S:j tfZ),
(xo)
X-2) (X_l) (Xl) (X2)
(
~l ~: ~: ~: ~:
••• , , ' ' ' , ••• ,
1