Vector Space Measures and Applications II: Proceedings, Dublin 1977

225 Pages·1978·3.864 MB·English-French

by  D. Bucchioni, A. Goldman (auth.), Richard M. Aron, Seán Dineen (eds.)

Lecture Notes ni
Mathematics
y bdetidE .A Dold dna .B nnamkcE
645
Vector Space Measures
and Applications !I
Proceedings, Dublin 1977
detidE yb
.R .M Aron and S. Dineen
I I
galreV-regnirpS
nilreB grebledieH weN kroY 8791
Editors
Richard M. Aron
School of Mathematics
39 Trinity College
Dublin 2, Ireland
Se&n Dineen
Department of Mathematics
University College Dublin
Belfield
Dublin 4, Ireland
AMS Subject Classifications (1970): 28-XX, 35-XX, 46-XX, 58-XX, 60-XX,
81-XX
ISBN 3-540-08669-2 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
ISBN 0-387-08669-2 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole
or part of the material is concerned, specifically those of translation, -er
printing, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction yb photocopying
machine or similar and storage means, ni data banks. Under § 54 of the
German Copyright Law where copies are made for other than private use,
a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by
agreement with the publisher.
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1978
Printed ni Germany
Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr.
2141/3140-543210
ECAFERP
A conference no Vector Space Measures dna Applications saw held at Trinity
College, University of Dublin, during the week June 62 to Jul~ 2, 1977. Over
eno hundred dna twenty mathematicians from eighteen countries participated. More
than seventy five lectures were given, the texts of many of these appearing in
the Proceedings.
ehT original intention of the Conference organisers saw to arrange a fairly
narrow range of featured topics. However, sa the Conference planning progressed,
it emaceb clear that there saw a great deal of interest in vector space measure
theory by mathematicians, working in a much broader spectrum of fields ohw was
connections between current research in vector space measures dna their nwo
fields of research. Consequently, there were sessions no probability theory,
distribution theory, quantum field theory, vector measures, functional analysis
dna real dna complex analysis in infinite dimensions.
With the exception of twenty papers no real dna complex analysis in infinite
dimensions, which will eb published separately, these Proceedings (in two volumes)
contain the written dna expanded texts of most of the papers given at the
Conference.
ehT organising Committee consisted of Richard .M Aron (Trinity College
Dublin), Paul Berner (Trinity College Dublin), Philip Boland (University College
Dublin), Sean Dineen (University College Dublin), John Lewis (The Dublin Institute
for Advanced Studies) dna Paul McGill (The weN University of Ulster, Coleraine).
ehT Conference saw made possible through the interest, cooperation dna financial
support of the European Research Office as well as Trinity College Dublin,
University College Dublin, ehT Royal Irish Academy, ehT Dublin Institute for
Advanced Studies, ehT Bank of Ireland dna Borg Failte.
Richard .M Aron, naeS Dineen,
School of Mathematics, Department of Mathematics,
Trinity College Dublin, University College Dublin,
Dublin 2, Ireland. Belfield, Dublin 4, Ireland.
CONTENTS
.D INOIHCCUB et .A NAMDLOG Convergence presque partout sed suites
ed fonctions mesurables et applications 1
ROVAD ClVOKTUB nO the completion of vector serusaem 8
S.D. IJRETTAHC Stochastic processes dna commutation relationships 61
SNEJ RETEP SUER NESNETSIRHC emoS results with relation to the
control erusaem melborp 72
.R EHGNALED d.nCa AIDNOLB nO measurable dna partitionable vector
valued multifunctions 53
SAMOHT A.W. ,REYWD Ill Analytic evolution equations in hcanaB
secaps 84
G.A. RAGDE nO the ytreporPomydokiN-nodaR dna martingale ecnegrevnoc 26
L. EHGGE nO the Radon-Nikodym-Property, dna related topics in
locally convex secaps 77
ERDNA NAMDLOG Relations entre les proprietes ed mesurabilite
universelle pour nu espace topologique T et la propriete ed
mydokiN-nodaR pour le cone positif sed serusem ed nodaR (resp.
ed Baire) sur T 19
P.J. ARREUG Stability of tensor products of nodaR serusaem of
type (~) 79
R.L. NOSDUH ehT strong Markov property for canonical reneiW
sessecorp 901
KERAM RETNAK modnaR linear functionals dna yhw ew study meht 114
WALSYMEZRP ZNARK Control erusaem problem in emos classes of
secaps-F 124
.P GNOLEL Applications sed proprietes sed fonctions plurisous-
seuqinomrah a nu emelborp ed erusem dans les secapse vectoriels
sexelpmoc 131
LUO~JR EGAPEL A lamixam equality dna its application in vector
secaps 631
EGROJ ACIJUM Representation of analytic functionals yb vector
serusaem 741
ZREIMIZAK LAISUM & WALSEZC IKSWEZDRAN-LLYR Liftings of vector
serusaem dna their applications to PNR dna PNRW 162
KIRE SAMOHT Integral representations in conuclear secaps 271
EPILLIHP NIPRUT ssendednuoB problems for finitely additive
serusaem 180
lV
NHOJ .B HSLAW Vector serusaem dna the Ito integral 881
YERBUA NHOSFLUW Infinitely divisible stochastic differential
equatlons in emit-ecaps 891
HCIRNIEH NOV REK]X~SZIEW Strong measurability, liftings dna the
ragdE-teuqohC meroeht 902
STNETNOC FO EMULOV ENO
TREBLA NAiKIRDAB seL fonctions semi-continues inferieurement et
la theorie sed mesures cylindriques
SELRAHC .R BAKER Absolute continuity for a class of probability
serusaem
ELOTANA KCEB nO the covariance tensor
ARDNAXELA WOLLEB emoS aspects of the theory of vector-valued amarts
RETSIRHC LLEROB A note on conditional probabilities of a convex
erusaem
IRNEH RETLAWHCUB eL role sed partitions continues ed l'unite dans
la theorie sed mesures scalaires uo vectorielles
ENER ANOMRAC Tensor product of Gaussian measures
ENOMIS TEVEHC Quelques nouveaux resultats sur les mesures
cylindriques
.D.K YHTROWLE Differential invariants of serusaem no hcanaB secaps
ROTCIV NAMDOOG Transition probabilities for vector-valued Brownian
motion with boundaries
DRANOEL SSORG Logarithmic Sobolev inequalities - A survey
DRANREB HEINKEL Quelques remarques relatives au theoreme central-
limite dans C(S)
LUAP KREE Methodes holomorphes et methodes nucleaires ne analyse
ed dimension infinie et ne theorie quantique sed spmahc
J. SBLEUK emoS exponential stnemom with applications to density
estimation, the empirical distribution function, dna
lacunary series
GNUISH-IUH OUK Differential calculusfor measures no Banach spaces
DRANREB RACSAL Equations aux derivees partielles ne dimension infinie
R.V~/KERDNAM Characterization of hcanaB space through validity of
renhcoB meroeht
LEAHCIM .B SUCRAM & ROBJOW A. .iKSNYZCYUW A necessary condition for
the central limit theorem no spaces of stable type
B.J. SITTEP nO the mydok~N-nodaR meroe~t
ERREIP NIOBAR Application ed la theorie ed la erusem ne noisnemid
infihie a la resolution.de l'equation T sur nu ecapse ed
iH I bert
NAEJ STEMHCS Spaces of vector-valued continuous functions
" Volume I appeared as volume 644 in Lecture Notes in
Mathematics
1IIV
HIROAKI SHIMOMURA Quasi-invariant measures on ~ R dna their
ergodic decomposition
.W IKSWOKIWOLS Commutative Wick algebras I. ehT Bargmann,
Wiener dna Fock algebras
R.L. ROLYAT dna P.Z. REFFAD emoS weak laws of large numbers for
probability measures no vector spaces
YERBUA NAMURT emoS applications of vector space measures to
non-relativistic quantum mechanics
J.J. UHL, .RJ ehT Radon-Nikodym property: a point of view
CONVERGENCE PRESQUE PARTOUT DES SUITES
DE FONCTIONS MESURABLES ET APPLICATIONS
par D. BUCCHIONI et A. GOLDMAN
Dept. de ,seuqitamehtaM
Univ. Claude Bernard (Lyon I),
96 Villeurbanne, Lyon, France.
INTRODUCTION.
Nous avons annoncE dans (1) et (2) des r~sultats concernant la structure des suites
de fonctions num~riques mesurables dont aucune sous-suite ne converge presque par-
tout. Dans le present papier, nous redonnons de faqon succinte les points essen-
tiels de )2( compl~tEs par diverses applications issues d'un travail de (4). On
Etudie nota~mlent la mesurabilitE des fonctions vectorielles g valeurs dans l'es-
pace Cs(K ) des fonctions continues sur un compact K, cet espace ~tant muni de la
topologie de la convergence simple sur K ; on en dEduit aussi quelques propriEtEs
des mesures de Baire sur un tel espace. Dans route la suite, on dEsignera par
(~,E,p) un espace mesurE abstrait, la mesure ~ Etant toujours supposEe positive
et born~e.
1. UN CRITERE DE NON-MESURABILITE.
Nous donnons ici un critgre pour qu'une application f : (S,~,~) + R soit non-mesu-
rable ; ce critgre, dont l'~nonc~ est un peu technique, est en fair essentiel pour
la comprehension de ce qui suit.
(I.I) THEOREME.
Soit (~,~,~) un espace mesurd complet et soit f ~ + : Rune fonetion num~rique non
mesurable relativement d la tribu ~ et d la tribu bor6lienne ~de .R Alors la pro-
pridt~ suivante est r~alis@e :
i Il existe Y E E, ~(Y) >0 et deux nombres E r ,R ~ >0 tels que pour
)P( tout A C Y, AE ~, p(A) >0, on puisse trouver x et E y A vdrifiant
f(x) > r+6 et f(y) < .r
PREUVE.
Nous avons donne dans (2) une preuve basEe sur l'axiome du choix. Notons ~ ce sujet
qu'il est possible de donner une demonstration classique, mais plus longue, par
recurrence dEnombrable.
Que la tribu ~ soit compl~te ou non le critgre (P) est une condition suffisante
pour qu'une fonction num~rique f dEfinie sur l'espace mesurE (~,E,~) soit non mesu-
rable.
On a donc
(1.2) THEOREME.
Pour qu'une fonetion num~rique f d~finie sur un espace mesur~ queleonque (~,~,,~)
soit non mesurable (relativement ~ la tribu bor~lienne ~de ,)R il suffit qu'elle
v@rifie con~'~ion la )P( du th@or¢me (1.1).
Dans le cas o~ ~ est une mesure de Radon sur un espace topologique T, on ale r~-
sultat plus particulier suivant :
(1.3) COROLLAIRE.
Soit ~ une mesure de Radon sur un espace topologique .T Pour qu'une application
f T ~ : R ne 8oit pa8 ~-mesurable il faut et il suffit qu'elle v~rifie el crit~re
suivant :
I I~ existe un compact Ko de ,T v(Ko) > O, et deux nombres E r ,R
(PR) > 6 O tels que, pour tout compact K C Ko, u(K) > O, on puisse trouVer x
et y E K v~rifiant f(x) >r+& et f(y) <r.
Nous allons maintenant montrer que si une suite (fn) de fonctions num~riques mesu-
rables n'a aucune sous-suite qui converge presque partout, alors elle "se comporte
globalement" comme une fonction non mesurable ; cecl constituera l'essentiel du
paragraphe .2
.2 SUITES DE FONCTIONS NUMERIQUES MESURABLES DONT AUCUNE SOUS-SUITE NE CONVERGE
PRESQUE PARTOUT.
Le r~sultat principal est r~sum~ par le th~or~me suivant :
(2.1) THEOREME.
Soit (fn) une suite de fonction8 mesurables. Alors :
)a Pour toute partie infinie M de Net pour E r tous notnbres ,R > ~ 'ensemble O, l
~ des point8 x E ~ pour lesquels il existe deux parties infinies Pet 'P de M
telles que fn(X) > r+6 pour tout n E P et fn(X) < r pour tout n E P', appartient
la tribu compl~t@e .~
b) Si de plus aucune 8ous-suite de (fn) ne converge presque partout, il existe une
partie infinie M de N et deux hombres E r ,R > 6 0 tels que, pour toute pattie
infinie L C M L (i.e. \ M est fini) on ait:
p.s.
)~(~
= ~'~(~) >o.
P RE ECYI .
Le point a) est ~tabli dans (2) ; pour obtenir le point b), on commence par d~mon-
trer l'existence d'une partie infinie M' de Net de deux nombres r @ R, 6 > 0 tels
~( )
que pour toute pattie L C M', l'ensemble L K soit de mesure ext~rieure ~ L K non
p.s.
nulle. Le couple (r,6) ~tant maintenant fix~, on construit alors, par une r~curren-
ce transfinie, la partie infinie M de N souhait~e.
Le th~or~me (2.|) permet alors d'obtenir :
(2.2) COROLLAIRE.
Soit (fn) une suite de fonctions mesurables dont aucune sous-suite ne converge pres-
que partout. I1 existe Y E E, ~(Y) > O, deux nombres E r ,R ~ ~ 0 et une partie
infinie M de N tels que, pour toute partie infinie L C Met pour tout A E ,~
p.s.
A C Y, ~(A) > ,O on puisse trouver x et y E A v~rifiant fn(X) ~ r+6 et fn(y) < r
pour une infinit@ d'indices n E .L
×o
Supposons maintenant que la tribu ~ v~rifie la condition card ~ <~ 2 o7 ~ d~sl-
gne l'ensemble des parties A E E de mesure non nulle (c'est par exemple le cas lors-
que la tribu ~ est d~nombrablement engendr~e). Du th~or~me (2.2) on peut aussi
d~duire :
(2.4) THEOREME.
Soit (fn) une suite simplement born@e de fonctions mesurables dont aucune sous-suite
ne converge presque partout. Alors, avec l'hypothCse du continu, il existe une
fonction non mesurable f qui est valeur d'adh@rence de la suite (fn) pour la
topologie de la convergence simple.
PREUVE.
Elle s'obtient par un proc~d~ de construction ordinale ; pour plus de d~tails on
pourra se r~f~rer g (2).
REMARQUE.
D.H. FREMLIN a d~montr~ dans (3), et par une m~thode totalement diff~rente, le
r~sultat suivant :
THEOREME (FREMLIN).
Soit (~,E,V) un espace mesur~ parfait et soit (fn) une suite de fonctions mesurables.
Alors l'une des deux assertions suivantes est r~alis~e :
)a Il existe une sous-suite (fnk) qui converge presque partout.
b) I1 existe une sous-suite (fnk) n'ayant aucune valeur d'adh@rence (pour la topo-
logic de la convergence simple) mesurable.
On peut ~tablir (voir par exemple (2)), que supposer l'espace mesur~ (~,~,V) par-