Variétés Analytiques Compactes: Colloque, Nice, 19–23 Septembre 1977

252 Pages·1978·3.063 MB·French-English

by  W. Barth, G. Elencwajg (auth.), Y. Hervier, A. Hirschowitz (eds.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited by .A Dold and .B Eckmann
683
s6teiraV seuqitylanA Compactes
Colloque, Nice, 19-23 Septembre 1977
Edite par .Y Hervier et .A Hirschowitz
galreV-regnirpS
Berlin Heidelberg New York 1978
Editeurs
.Y Hervier
A. Hirschowitz
tutitsnI de Mathematiques
et Sciences Physiques
Universite de Nice
Parc Valrose
F-06034 Nice Cedex
AMS Subject Classifications (1970): 32G05, 32G99, 32L99, 14H99
ISBN 3-540-08949-? Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork
ISBN 0-38?-08949-? Springer-Verlag NewYork Heidelberg Berlin
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1978
Printed in Germany
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2141/3140-543210
AVANT - PROPOS
Le Colloque sur les VariEt@s Analytiques Compactes dont le present volume
rend compte, s'est tenu ~ Nice du 19 au 23 Septembre 1977 grace & la clairvoyance
• du ComitE LEpine qui r@partit la subvention scientifique du Conseil Municipal
de Nice,
• du Conseil GEnEral des Alpes-Maritimes,
• de la SociEtE MathEmatique de France
• de la Commission des Finances de l'UniversitE de Nice .
Leur contribution financi~re a assure le suoc~s materiel de l'entreprise et
les organisateurs les remercient au nom des soixante-dix participants.
La plupart des te×tes reproduits darts ce volume sent des dEveloppements des
exposes fairs au Colloque par les auteurs; les exceptions sont les suivantes :
• l'article de .W BARTH-G.ELENCWAJG (p.1) rEsulte d'une collaboration entreprise
l'oocasion du Colloque.
• la note de .E REE~ (p.25) dEtaille une remarque faite par son auteur ~ l'issue
des exposes de H.GRAUERT et M.SCHNEIDER concernant les fibres instables sur ~n(~
• enfin V.PALAMODOV, invite trop tardivement, n'ayant pu participer au Colloque,
a fair parvenir une communication Ecrite (p.74.
TABLE SED MATIERES
I. BARTH W. et ELENDWAJG G. : Concernant la cohomologie des fibres
alg~briques stables sur Fn(~
2. BEES E. : Some rank two bundles on Pn(Z) , whose Chern Classes
vanish, .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. TRAUTMANN G. : Deformations of sheaves and bundles , ..... 29
4. HERVIER Y. : D4formations & un param~tre de vari@t@s simples , 42
5. pETERS D. : On the local Torelli theorem, a review of known
results , . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
S. PALAMODOV V.P. : Moduli in versal deformations of complex spaces 74
?. LE 8ARZ P. : G~om4trie 4num~rative pour les multis@cantes , . . 116
8. REES E. and THOMAS E. : Complex oobordism and intersections of
projective varieties~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
£. OLOUSSKY G. : Analycit@ s@par@e et prolongements analytiques
(d'apr~s le dernier manuscrit de Rothstein) , . . . . . . . . 179
IB. STEIN K. : Topological properties of holomorphic and meromor-
phic mappings , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11. HOLMANN H. : On the stability of holomorphic foliations with
all leaves compact , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
TNANRECNOC AL EIGOLOMOHOC SED FIBRES SEUQIRBEGLA SELBATS
RUS ~n(~)
.W HTRAB et G. .GJAWCNELE
Les fibr@s ~sur ~ admettant des modules sont les fibr@s stables. Oans le cas du
n
rang 2 cela signifie End~ = .6 On salt que la stabilit@ de ces fibr6s se conserve
par restrictions ~ des hyperplans g6n~riques ( si n ~ 3 et si le fibr6 ~n'est pas
le fibr@ de "corr@lation nulle" sur ~3" Voir les d6tails dans E3 . Ici nous 6tu-
dions un fibr@ ~stable sur ~ par une m6thode g@om@trique simple : on 6clate une
n
droite ~de ~n et on fibre l'6clat6 en plans projectifs sur ~n-2 espace des plans
par ~. Dans la suite on suppose cI~ pair.
Si ~ est g6n6rale, la restriction de ~& tous ces plans est seml-stable et stable
pour au moins un de ces plans Csi~n'est pas le fibr6 de "correlation nulls"). On
peut donc appliquer les r6sultats de E4 . L'6nonc@ suivant est essentiel pour inter-
pr6ter la stabilit~ de ~en termes d'alg@bre fin@airs :
Oeux op~rateurs lin6aires d'un ~-espace vsctoriel de dimension finis dont le commu-
tateur est de rang un ont un vecteur propre commun.
Par incapacit6 de trouver cet @nonc6 dans la litt@rature, nous le d6montrons en
appendice du § .I
Nous supposons -~1c = 0 et d@finlssons une sorts de filtration sur UI~(-1)) par les
espaces Hl(~-i)) (pour un ~nonc~ pr6cis~ voir 2.2.1)).
L'6nonc@ 6voqu~ plus haut permet de prouver que cette filtration est "bonne" Pro-
position 2.5)),
Nous esp6rons que cette filtration puisse ~tre utile ~ la classification des ~ibr@s.
Cependant nous n'en donnons que les applications suivantes :
1) - nU th@or~me d'annulation de cohomologie "Vanishing Theorem") d6montr@ en 13.6):
Soit ,~un fibr~ alg~brique stable de rang 2 sur ~ In > 3) v6ri~iant c ~= O.
n -- " 1
Alors, si on pose d = co C~,
Hl~n' ~(-i = 0 si i>~
Hn-l~ n, ~i = 0 si i >~ - n - 1
2) - Soit ~stable de rang 2 sur ~3 avec c1~ : 0
Si c2~ = 1 ou 2 alors ~ ~-2 = 0
@
• Si c2~ = 3 ou 4 et a(~ = 0 (invariant d'Atiyah-Rees alors
I
h ~(-2)) = 0 (une des proprigt6s des fibr@s associ6s aux instantons :
of. l'article de M.F. Atiyah et R.S. Ward aux Commun. Math. Phys. 55,
.
117-124, 1877). Pour ce r6sultat, voir 3.6.I.).
3) - Ii n'existe pas de fibr6 alg@brique de rang 2 sur ~q ayant comme classes de
Chern 01 = O, c 2 = 3. C'est oB qua nous d@montrons au ~ q.
CONVENTIONS ET NOTATIONS :
• La notation a: = b ou b =:a signifie que a est d6fini par l'@galit@ a=b•
• Le mot £ibr6 signifie £ibr@ vectoriel alg6briqus ou ~aisceau alg6brique locale
ment libre.
• Toutes les vari6t~s sont d6~inies sur $.
On pose hi(X~ := dim@ Hix,~ si ~est un faisceau coh@rent sur la vari~t~ X.
B
* of• aussi l'article de M.P• Atiyahj V.G. Orinfsld, N•J• Hitchin et Yu.I.Manin
"Construction of instantons" &paraStre.
3
§ 1 UNE PROPRIETE DES 2-FIBRES STABLES RUB ~2
Ce §, essentiellement technique, est une g@n6ralisation de la propri6t6 (~2) de
4, que nous utiliserons aux ~§2 et 3. Nous aurons besoin d'un r@sultat d'al-
g@bre lin@aire, que nous d@montrons dens un Appendice.
Soit doric .~-un fibr6 alg~brique STABLE de rang 2 sur W2 = ~2 vI V espace vectoriel
sur ~ de dimension 3 et v~rifiant c 1~ = O. Cette derni@re condition implique
l'exLstence d'une section globale sans z~ro (unique & une constante pros du fais-
ceau A2~et fournit ainsi un isomorphisme
1.1 -o : ~ --+ ~*
v6rifiant t = _ ~.
Posons V* = rl~2,dr~2(1)
H = H I ~2" .~-2
H* = H lie 2, ~-1
V* s'identifie canoniquement au dual, de V (espace dent ~2 est le projectif) et
H* au dual de H par duelit6 de Serre, Soit ~ la multiplication cup-produit
et pour une base Zo,Zq,Z 2 de V* posons
~. : ~z. ~ . : H ~ H*
1 l
D'apr~s le th@or&me de Riemann-Roch et le ~ait que
h°~-2 = h2~-2) : 0 par stabilit@ de ~-(et dualit~ de Serre on a, si l'on
pose d: = c2.~,
1.2 dim H -- dim H ~ = o2C~ = d.
Rappelons les propri~t6s suivantes, d6montr~es dens 4~
sOl Pour zEV* l'epplicetion ~z = ~z~. : H --~ H e est autoedjointe
{i.e. t ~z : ~z.
)lsC
Pour zEV* g@n@rale i.e. ~l@ment d'un ouvert de Zariski non vide de V*,
sz~. : H ---~ H* est bijective.
Is2) Pour 0 # ~@ H, les vecteurs So ~s1~,~ 2~ EH* engendrent un sous-espace de
dimension > 2.
Is3) Si s est bijectlve, alors l'applieation
o
~1~S21 : = S 1 S; 1 S 2 -S 2 s;ls 1 : H ~ H* est de rang 2.
-I
C1.3 REMAR@UES : (i Le commutateur des ° 1 et s o -I s 2 est s ° -1 Sl,S 2 ca qui
explique la notation dans Is3, si on consid~re que a identifie H g H .
o
ii) s est un r6seau stable au sens de Mumford-Wall cf. Wall
D2' Thm. 0.1 : c'est ce que montre la g@n~ralisation suivante de s2 :
1.4) PROPOSITION : Seit OCm K~H un sous-espace strict de H ~ on a alors
~2" dim sV* ~ K) > dim K
Avant de commencer la d6monstration, @non~ons un lemme d'alg@bre lin6aire
dont nous donnons une d@monstration en Appendice et qui sera cit6 ALG. LIN.
1.4.1. LEMME ALG. LIN.) : Soit ~ un ~-espace vectoriel de dimension finie
et A,B deux endomorphismes de ~. Si leur eommutateur v@rifie rang EA,~ ~ I,
alors A et B ant un vecteur propre en commun.
O@monstration de 1.4) :
Posons ~:=sCV * ~ K ; d'apr@s Ca1) on volt que dim L ~ dim &. On va supposer
dim L = dim K et arriver ~ une contradiction. Choisissons une base Zo,Zl,Z 2
de V telle que s ° : H --~ H* soit bijective. Alors s I R : R ~ ~ est bijeotive
o
et on a Sl,S21K) E ~ ~ comae d'apr~s (s3) le raog de ~1,~ est 2 o~ distingue
deux cas. Premier cas : rang (~1~s21 I K < 1.
-I -I
Alors s ° s Iet s ° s 2 sont deux endomorphismes de K dont le commutateur a un
rang ~ I : d'apr~s ALG. LIN), ils ont un vecteur propre ~EH commun.
2. THE SYMMETRIC GROUP
The proofs of the results stated in this section can be found in
any elementary book on group theory.
A function from {l,2,...,n} onto itself is called a permutation
of n numbers, and the set of all permutations of n numbers, together
with the usual composition of functions, is the sm/netric group of
degree n, whibh will be denoted by ~n" Note that ~n is defined for
n ~ O, and ~n has ~n elements (where O~ = i). If X is a subset of
{l,2,...,n}, we shall write ~X for the subgroup of ~n which fixes every
number outside X.
It is common practice to write a permutation ~ as follows:
i~ 2~ 3~ n~
By considering the orbits of the group generated by z , it is
simple to see that ~ can be written as a product of disjoint cycles,
as in the example :
( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )
3 5 1 9 6 8 7 2 4 = (2568)(13) (49) )7(
We usually suppress the 1-cycles when writing a permutation. For
example, if ~ interchanges the different numbers a,b and leaves the other
numbers fixed, then ~ is called a transposition and is written as ~ =
(a b).
All our maps will be written on the right; in this way, we have
(i 2) (23) = (i 32). This point must be noted carefully, as some
mathematicians would interpret the product as (i 23).
Since i( I i2...i k) = i( I i2) (i I i3)... i( I ik), any cycle, and hence
any permutation, can be written as a product of transpositions. Better
still,
2.1 The transpositions (x-l~x) with 1 < x ~n 9enerate ~n"
This is because, when a < b, we can conjugate (b-l,b) by (b-2,b-l)
(b-3,b-2)... (a,a+l) to obtain (a b).
If n = ~i s2"''~j = T1 T2"''Tk are two ways of writing ~ as a
product of transpositions, then it can be proved that j - k is even.
Hence there is a well-defined function
sgn: ~n + {±i}
such that sgn ~ = (-1) 3 if ~ is a product of j transpositions.
2.2 DEFINITION I = (Ii,12,13,...) is a partition of ~ n if 11,12,13,...
are non-negative integers, with Ii ~ 12 ~13 "'" and i ~ ~lli = n.
L'hypoth~se D = K ~r L l= 0 implique s Kr~ L z = L ~F K ± = O.
o o
suite, et
BI,S2 <a~l,S2-H =~I,s2~KCL Cl'~galit~ provient de (***),
-1 -'1
On conclut qua B1,s2 ~ C KZF~L = 0 et en consequence s ° s Iet s ° s 2 ontun
vecteur propre commun dens ~ (d'apr~s ALG. LIN.)) ce qui contredit encore
(s3) . c,q.f~d,
1.5) APPENDICE
Nous d~montrons ici le lemme 1.4,1.)
ALG. LIN,) : Soit ST un @-espace vectoriel de dimension finie et A, B deux
endomorphismes de iJ-, Si leur commutateur v~rifie rang A,B < 1, alers A et B ont
un vecteur propre commun.
DEMONSTRATION : Si A,B = 0 l'assertion est classique et facile.
Supposons doric rang A,~ = 1 et soit W: = Ker ~A,B~ C .TI
Consid~rons les deux assertions d~finies pour nEIN :
(n) EA,B P ~A,B = 0 pour tout polyn6me P = P(A,B) de degr~ < n.
In') tr P.A,B) = 0 pour tout polynBme P = PA,B) de degr6 _< n.
(n') implique In) ". Comme P EA,B est de rang _< 1, on a
P EA,B~ = a ~ x ~J* ~qJ-= End U et P.~A,B~ )2 = sx) sQx)
Comme per hypoth6se triP A,B ) = 0 =a Ix), on a (P.A,B_)2 = 0
Donc, ou bien P.B~B = O, ou bien rang P.A,B) = 1 et, dens ce dernier cas,
KerP.~,B) = Ker ~,B~ . De routes fagons )n( est v~rifi6.
(n) implique (n+2)' .. Comma tr P.B,B ) est lin~aire en P, on peut
a I b I b a
supposer que Pest un monSme P = A B .,. ou P = B 1 A 1.,.
D6finissons alors
e(P): = ~ ~a b(P): = Z b~