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VARIÉTÉS ABÉLIENNES ET INVARIANTS ARITHMÉTIQUES 6 0 JEAN GILLIBERT 0 2 n a J 1. Introdu tion R K S = Spec(R) 0 Soient un anneau de Dedekind ex ellent, de orps de fra tions , et . 3 S G S GD On onsidère un -s héma en groupes ommutatif , (cid:28)ni et plat sur , et l'on note G ] le dual de Cartier de . Nous disposons d'un homomorphisme T π : H1(S,GD) −−−→ Pic(G) N . h expli itéen premierparWaterhouse (voir[W℄,Theorem 5). Sil'on onsidère que lanotion t a de torseur (sous un s héma en groupes (cid:28)ni) généralise elle d'extension galoisienne, alors m π GD Pic(G) on peut dire que mesure la stru ture galoisienne des -torseurs, le groupe [ étant identi(cid:28)é à un groupe de lasses (voir [CN-T℄). GD 5 Plusieurs auteurs se sont intéressés à la onstru tion de -torseurs dont l'image par v π est triviale, 'est-à-dire de torseurs dont la stru ture galoisienne est triviale. Plus pré- 5 G S A B := A/G 4 isément, supposons que soit un sous-groupe d'un -s héma abélien . Soit At Bt A B 4 le s héma abélien quotient, et soit (resp. ) le s héma abélien dual de (resp. ). 1 0 Alors (par dualité) nous avons une suite exa te (de fais eaux abéliens pour la topologie S 4 fppf sur ) 0 0 −−−→ GD −−−→ Bt −−−→ At −−−→ 0 / h at q∂u:iAdto(nSn)e→lieHu,1p(Sar,GapDp)li ation du fon teur des se tions globales, àψu:n=mπo◦r∂phisme obord m . Nous obtenons ainsi un homomorphisme , introduit en G = A[n] R premier (dans le as où et où est l'anneau des entiers d'un orps de nombres) : v par M. J. Taylor [T88℄, et que l'on appelle usuellement lass-invariant homomorphism. i A X Srivastav et Taylor [S-T℄, puis Agboola [A2℄, et en(cid:28)n Pappas [P℄ ont montré que, si G 6 r est une ourbe elliptique et si l'ordre de est premier à , alors les points de torsion de a At(S) ψ appartiennent au noyau de . ψ G Dans [G℄, l'auteur a généralisé la onstru tion de dans le as où est un sous-groupe S (cid:28)ni et plat d'un -s héma en groupes semi-stable, ainsi que le résultat d'annulation sur les points de torsion (dans le as d'une ourbe elliptique semi-stable, en supposant l'ordre G 6 de premier à ). A Notre but est Kd'étendre ette onstru tion dansAle◦ adre suivant : soient leAmoΓdèle de Néron d'une -variété abélienne semi-stable, la oΦm:p=osAan/tAe ◦neutre de , un sous-groupe (i.e. un sous-s héma en groupes ouvert) de (quotient pour la S G AΓ AΓ topologie fppf sur ) et un sous-groupe fermé, quasi-(cid:28)ni et plat de (où désigne Γ A l'image ré iproque de dans ). Nous dé(cid:28)nissons (paragraphe 3.2) un homomorphisme ψ G ⊆ AΓ (asso ié à l'in lusion ) qui se fa torise de la façon suivante At,Γ′(S) −−−→ H1(S,Hom (G,G )) −−−π→ Pic(G), S m Date: 31 Août 2005. 1 2 JEAN GILLIBERT ′ Γ Γ où est l'orthogonal de sous l'a ouplement de monodromie dé(cid:28)ni par Grothendie k π (voirleparagraphe2.2),etoù estun homomorphismequigénéralise eluideWaterhouse (voir le paragraphe 3.1). Γ 7→ AΓ Signalons i i que l'appli ation réalise une bije tion entre l'ensemble des sous- Φ A K groupes ouverts de et l'ensemble des modèles semi-stables de . Du point de vue te hnique, la prin ipale di(cid:27)éren e ave la situation onsidérée dans G [G℄ est l'absen e de dual de Cartier naturel pour le s héma en groupes . Cependant, on Ext1(G,G ) S m donne i i une preuve de la nullité du fais eau pour la topologie fppf (voir le lemme 2.3). Ce résultat, qui nous a été ommuniqué par L. Moret-Bailly, nous permet de généraliser de façon naturelle les onstru tions pré édentes. Travailler ave des groupes quasi-(cid:28)nis permet de reformuler le résultat d'annulation de ψ démontré dans [G℄. Ainsi on peut énon er, omme orollaire du théorème 4.1 de [G℄, le résultat suivant (voir le paragraphe 5.1) : E Théorème 1.1. Soit le modèle de Néron d'une ourbe elliptique à rédu tion semi-stable K m > 0 6 sur , et soit un entier naturel premier à . Alors les homomorphismes Et(S) −−−→ H1(S,Hom (E◦[m],G )) −−−π→ Pic(E◦[m]) S m ◦ ◦ E [m] ⊆ E (asso ié à ), et Et,◦(S) −−−→ H1(S,Hom (E[m],G )) −−π−→ Pic(E[m]) S m E[m] ⊆ E (asso ié à ) s'annulent sur les points de torsion. E◦[m] E[m] Remarque 1.2. On onstate que les groupes et sont a(cid:30)nes (paragraphe 2.3). m E K E[m] η D'autre part, si les points de -torsion de sont tous -rationnels, alors le groupe S Hom (E[m],G ) = E[m]D S m estE(cid:28)[nmi]etplatsur ([G℄E, prop.3.6),don E◦[m] est ledualdeCartier de . Par ontre, si n'a pas partout bonne rédu tion, n'est jamais un groupe m = 1 (cid:28)ni, sauf pour , valeur pour laquelle il est nul (voir la remarque 3.10). ψ L'un des obje tifs de e travail est de (cid:19) passer à la limite (cid:20) dans l'étude de . Sup- K R K posons que soit un orps de nombres, et que soit l'anneau des entiers dˆe . Sous ψ es hypothèses, nous introduisons ( f. se tion 4) une version arakélovienne de notre ℓ homomorphisme (généralisant elle introduite par Agboola et Pappas dans [A-P℄) : soit un nombre premier, on note alors Ψˆℓ = ←lim− ψˆℓn : At(S)⊗Zℓ −→ l←im− Pcic(A◦[ℓn]) ˆ ψ ℓn la (cid:29)è he obAte◦n[ℓune] ⊆paAr ◦passage à la limite proje tiveddisec(l'Kho/mQ)omorphisme assoK i/éQà l'in lusion ( f. paragraphe 5.2). Soient le dis riminant de , U ⊆ S A et l'ouvert de bonne rédu tion de . Les résultats de [A-P℄ impliquent alors le résultat qui suit : Ψˆ ℓ Théorème 1.3. L'homomorphisme est inje tif modulo les points de torsion. En outre, S ℓ U ℓ s6i·tdoiuscs(Kles/Qpo)ints deΨˆ de ara téristique sont ontenus dans , et si ne divise pas ℓ , alors est inje tif. v A ℓ Remarque 1.4. SuppoΦsons que, pour toute pAla◦ [ℓen] =deAm[ℓanu]vaise rédu tion den , ne v divise pas l'ordre de . Alors nous avons pour tout entier , e qui Ψˆ ℓ permet d'exprimer plus simplement l'ensemble d'arrivée de . VARIÉTÉS ABÉLIENNES ET INVARIANTS ARITHMÉTIQUES 3 Remarque 1.5. Philippe Cassou-Noguès et Martin Taylor ont remarqué une analogieentre ψ l'annulation de sur les points de torsion et la onje ture de Bir h et Swinnerton-Dyer (voir la remarque 5.8 de [T91℄ ainsi que les ommentaires qui suivent le théorème 4 de Ψ : At(S)⊗Z → lim Pic(A◦[ℓn]) Ψˆ [CN-T℄). Soit à présent ℓ ℓ ←− le morphisme déduit de ℓ par Ψ ℓ oubli des métriques. Les remarques pré édentes suggèrent un lien entre l'inje tivité de ℓ sur les points d'ordre in(cid:28)ni et la onje ture de Bir h et Swinerton-Dyer -adique. A Remarquonsque,si estune ourbeelliptiqueàmultipli ation omplexe,ayantpartout K ℓ Ψ ℓ bonne rédu tion sur et rédu tion ordinaire en , alors l'inje tivité de modulo les points de torsion a été démontrée (sous ertaines hypothèses) par Agboola et Taylor (voir [A-T℄ ou le théorème 6 de [CN-T℄). Remer iements. Je remer ie Laurent Moret-Bailly pour m'avoir ommuniqué la preuve du lemme 2.3, à la lumière duquel et arti le a été largement remanié, ainsi que pour sa rele ture de l'ensemble du texte. Je tiens également à exprimer ma re onnaissan e envers John Boxall pour l'en adrement de ma thèse, dont e travail est issu. 2. Problèmes d'exa titude R Rappelons les notations qui seront en vigueur tout au long de et arti le : est un K S = Spec(R) η anneau de Dedekind ex ellent, de orps de fra tions . Soit et soit le S G S m point générique de . Nous noterons le groupe multipli atif sur . S On dit qu'un -s héma en groupes est semi-stable s'ilest ommutatif,lisse, séparé, et si les omposantes neutres de ses (cid:28)bres sont extensions de variétés abéliennes par des tores. S A On (cid:28)xe une fois pour toutes un -s héma en groupes semi-stable dont la (cid:28)bre A U ⊆ S η générique est une variété abélienne. On notera l'ouvert de bonne rédu tion A A U U de , de sorte que est un -s héma abélien. 2.1. Isogénies duales sur le petit site fppf. Supposons que l'on se donne un épimor- f : A → B S f : A → B η η η phisme (fppf) entre -s hémas en groupes semi-stables, tel que kerf S soit une isogénie. Alors est un -s héma en groupes plat et quasi-(cid:28)ni (voir [BLR℄, Ÿ7.3, lemma 1). De plus, nous avons un arré artésien kerf −−−→ A     f y y e S −−−→ B e : S → B B où désigne la se tion unité, qui est une immersion fermée ar est séparé. Par kerf → A suite, est une immersion fermée. G S A Ré iproquement, soit un sous- -s héma en groupes fermé, quasi-(cid:28)ni et plat de . Le G lemme suivant montre que s'ins rit dans une suite exa te. A/G S Lemme 2.1. Le fais eau quotient , pour la topologie fppf sur , est représentable par S un -s héma en groupes semi-stable. A/G Démonstration. Lefais eauquotient estreprésentable([An℄, hap.IV,théorème4.C) S B A par un -s héma en groupes, que nous noterons (on se sert du faitque est de type (cid:28)ni S S ≤ 1 ϕ : A → B sur , et régulier de dimension ). La proje tion anonique est (cid:28)dèlement A S B S B S plate, et est un -s héma plat, don est un -s héma plat. De plus est lisse sur 4 JEANGILLIBERT grâ e au ritèBre de lissité par (cid:28)bres ([BLR℄, Ÿ2.4, prop. 8). En(cid:28)n, les omposantes neutre(cid:3)s des (cid:28)bres de sont extensions de variétés abéliennes par des tores. Ainsi nous avons une suite exa te ϕ 0 −−−→ G −−−→ A −−−→ B −−−→ 0 S ϕ : A → B U U U defais eauxabélienspourlatopologiefppfsur .Deplus,larestri tion est U ϕt : Bt → At U U U une isogénie entre -s hémas abéliens. Il existe alors une isogénie duale , GD G At Bt U U U U U dont le noyau est le dual de Cartier de . I i, et désignent les -s hémas A B U U abéliens duaux de et respe tivement. ϕt S U Nous voulons prolonger l'isogénie duale en un morphisme de fais eaux sur , pour Hom(−,G ) m elanous allonsnous servirdu fon teur etdeses dérivés. Dans etteoptique, Hom(A,G ) m le gros site fppf ne nous onvient pas, ar le fais eau n'est pas nul. Nous allons don utiliser un autre site, qui nous permettra d'énon er le lemme 2.2. S U Plus pré isément, nous onsidérons le (cid:19) petit site fppf (cid:20) sur (resp. sur ), 'est-à-dire S U la atégorie des s hémas plats sur (resp. sur ) munie d'une stru ture de site pour la S U topologie fppf. Nous appellerons fais eau (pour la topologie fppf) sur (resp. sur ) un fais eau sur e site. Hom Hom S U Nousnoterons (resp. )lefais eaudeshomomorphismesdefais eauxabéliens, S U restreint au petit site fppf sur (resp.∗sur ). j : U → S j Soit l'ijn :luUsi→on,Set soit le fon teur (cid:19) image inverse (cid:20)Sde fais eaux jo∗rre- spondant. La (cid:29)è he étant un objet du petit site fppf sur , le fon teur est un (cid:19) fon teur de lo alisation (cid:20) (voir [SGA 4℄, ejx∗posé IV, paragraphes 5.1 à 5.4). En parti ulier, il en résulte que l'image par d'un fais eau représentable (disons par S Y U Y := Y × U F U S 1 un -s héma plat ) est représenté par le -s héma . D'autre part, si F S 2 et sont deux fais eaux abéliens sur , la (cid:29)è he anonique ∗ ∗ ∗ j (Hom (F ,F )) → Hom (j F ,j F ) S 1 2 U 1 2 j∗ est un isomorphisme(voir[SGAj4℄, exposé IV, prop.j∗12.3,b), p.502).De plus, est exa t ! et admet un adjoint à gau he exa t. Par suite, envoie les inje tifs sur des inje tifs (voir [SGA 4℄, exposé V, paragjr∗a(Ephxet12(.F2).,FNo)u)s≃dEérxivt1on(js∗aFlo,rjs∗dFes)deux tés de la (cid:29)è hYe S 1 2 U 1 2 et obtenons un isomorphisme . En parti ulier, soit S Y U U un -s héma en groupes plat tel que soit un -s héma abélien, alors nous obtenons un isomorphisme j∗(Ext1(Y,G )) ≃ Yt S m U (1) Yt Y Ext1(Y ,G ) U U U U m où est le s héma abélien dual de . On se sert i i du fait que est Yt U isomorphe à (voir [SGA 7℄, exposé VII, 2.9.5 et 2.9.6). Nous avons le résultat suivant (voir [G℄, lemme 2.2) : Y S Y η Lemme 2.2. Soit un -s héma en groupes plat, dont la (cid:28)bre générique est une Hom (Y,G ) S m variété abélienne. Alors est nul. D'autre part,nous devons à L. Moret-Baillyladémonstrationdu lemmequi suit (laque- S ≤ 1 lle dépend du fait que est régulier de dimension ). G Lemme 2.3 (L. Moret-Bailly). Soit un s héma en groupes ( ommutatif) plat, séparé S Ext1(G,G ) S m et quasi-(cid:28)ni sur . Alors est nul. VARIÉTÉS ABÉLIENNES ET INVARIANTS ARITHMÉTIQUES 5 S G Démonstration. Onpeutsupposer lo alhensélien.Legroupe étantquasi-(cid:28)nietséparé S H S sur , il admet un plus grand sous-groupe ouvert et fermé (cid:28)ni sur (voir [SGA 7℄, G H G/H exposé IX, 2.2.3). De plus, la platitude de entraîne elle de . Le quotient est S alors étale sur (sa se tion unité est ouverte), de (cid:28)bre spé iale nulle. Sa (cid:28)bre générique K est don un -s héma en groupes (automatiquement séparé) (cid:28)ni étale. On en déduit que G/H S H S est lui-même plat, quasi-(cid:28)ni et séparé sur . Le groupe étant (cid:28)ni et plat sur , Ext1(H,G ) = 0 S m nous avons (voir [SGA 7℄, exposé VIII, 3.3.1). Ainsi on se ramène au G as où est étale, à (cid:28)bre spé iale nulle. Ω G G G G m K Soit uneextensionde par .Onremarqueque etlase tionunitéde forment G Ω un re ouvrement ouvert de . Don trivialiser l'extension équivaut à trivialiser sa (cid:28)bre G G K m,K génKérique (extension de par ). Une Stelletrivialisationexiste après extension (cid:28)n(cid:3)ie de , don après revêtement (cid:28)ni et plat de , d'où le résultat. A présent, nous onsidérons la suite ϕ 0 −−−→ G −−−→ A −−−→ B −−−→ 0 S omme étant une suite exa te de fais eaux sur le petit site fppf de . Hom (−,G ) S m Nous obtenons,enappliquantlefon teur à ettesuite, une(longue)suite exa te de ohomologie Hom (A,G ) → Hom (G,G ) → Ext1(B,G ) → Ext1(A,G ) → Ext1(G,G ) S m S m S m S m S m S dont les termes sont des fais eaux abéliens sur . Le premier terme est nul, d'après le lemme 2.2, ainsi que le dernier terme, d'après le lemme 2.3. Ainsi nous obtenons une suite exa te 0 −→ Hom (G,G ) −→ Ext1(B,G ) −−ϕ−∗→ Ext1(A,G ) −→ 0. (2) S m S m S m j∗ D'après e qui pré ède (voir (1)), son image par le fon teur est la suite ϕt 0 −−−→ GD −−−→ Bt −−−U→ At −−−→ 0. U U U S Cette dernière admet don un (cid:19) prolongement (cid:20) sur . Par appli ation du fon teur des se tions globales, nous pouvons déduire de la suite (2) un morphisme obord δ : Ext1(A,G ) → H1(S,Hom (G,G )). S m S m Nous allons voir à présent omment la théorie des biextensions permet d'é lair ir les Ext1(A,G ) S m hoses en onstruisant expli itement des se tions du fais eau . A A A η 2.2. Biextensions et fais eau image. Soit le modèle de Néron de . Alors, A → A A → A η η étant semi-stable, la (cid:29)è he prolongeant l'appli ation identique est une immersion ouverte, et induit un isomorphisme entre les omposantes neutres (voir A A [BLR℄, Ÿ7.4◦, prop. 3). Par suite, nous identi(cid:28)erons à un sous-groupe ouvert de . Soit Φ := A/A A Γ Φ le groupe des omposantes de . Alors il existe un sous-fais eau de tel A Γ A → Φ que soit l'image ré iproque de par la surje tion anonique . Nous adopterons A = AΓ don la notation usuelle . At A At η η Soit à présent lavariété abélienne duale de , et soit son modèle de Néron, alors (At) = At A U U U est le s héma abélien dual de , e qui est onsistant ave les notations 6 JEANGILLIBERT pré édentes. Nous allEoxnts1v(Aoi,rG om) ment la théorAiet des biextensions permet d'établir un S m lien entre le fais eau et le s héma . A At P η η η On sait que la dualité entre et dé oule de l'existen e d'un (cid:28)bré en droites sur A × At η K η , que l'on appelle (cid:28)bré de Poin aré. Cependant nous envisageons i i la dualité dans un adre plus général à l'aide de la notion de biextension, introduite par Mumford dans [Mu℄. Pour une dé(cid:28)nition pré ise de ette notion nous renvoyons le le teur aux exposés de Grothendie k ([SGA 7℄, exposé VII) et de Milne ([Mi℄, Appendix C). P η Grâ e au théorème du arré, on peut munir le (cid:28)bré de Poin aré d'une unique stru - (A ,At) G η η m,K ture de biextension de par , que l'on appelle la biextension de Weil, et que W W η η l'on note . Une question naturelle se pose : se prolonge-t-elle en une biextension sur les modèles de Néron? L'a ouplement(dit(cid:19)demonodromie(cid:20))introduitparGrothendie kdans[SGA 7℄nous donne la réponse. Φ′ At Plus pré isément, soit le groupe des omposantes de . On déduit de la le ture de W η ([SGA 7℄, exposé VIII, théorème 7.1, b)) un a ouplement (asso ié à ) Φ× Φ′ −→ (Q/Z) . S S A Signalons i i que, étant semi-stable, et a ouplement est non dégénéré (voir [SGA 7℄, exposé IX, théorème 11.5; on pourra également onsulter [We℄ pour la propriété de om- patibilité laissée au le teur par Grothendie k). Le problème de prolongement est alors résumé par la proposition qui suit. M M′ Φ Φ′ Proposition 2.4. SoWit ((reAsMp.,At,)Mu′)n sousG-groupe de (resp. ). Alors il existe uWne m η (uni(qAue),Abtie)xtension de M M′ par prolongeant la biextension de Weil η η sur si et seulement si et sont orthogonaux sous l'a ouplement. Démonstration. Le résultat dé oule de ([SGA 7℄, exposé VIII, théorème 7.1, b)) dans le as parti ulier où la base est un trait. En outre, après le ture de ([SGA 7℄, exposé VIII, remarque 7.2), on voit que e résultat s'étend au spe tre d'un anneau de Dedekind, e qu(cid:3)i est bien le as i i. X (AM,At,M′) G t(X) m Notations 2.5. Soit une biextension de par . Nous noterons le G X m -torseur sous-ja ent à la biextension . Γ′ Γ W Nous noteron(sAΓ,lA'otr,tΓh′)ogonalGde sous l'a ouWplement deWmonodromie, et l'unique m η biextension de par prolongeant . Alors dé(cid:28)nit un morphisme de fais eaux α : At,Γ′ −→ Ext1(AΓ,G ). S m γ α S Nous noterons le morphisme induit par sur les -se tions. B B Ψ η Onnote lemodèledeNérondelavariétéabélienne ,et legroupedes omposantes B B B de . Alors (voir [BLR℄, Ÿ7.4, prop. 3) s'identi(cid:28)e à un sous-groupe ouvert de . Nous B = BΛ Λ B noterons don , où est le groupe des omposantes de , identi(cid:28)é à un sous- Ψ Bt B Bt η η fais eau de . Soit la variété abélienne duale de , soit son modèle de Néron, et ϕt : Bt → At ϕ η soit W′ l'unique morphisme(pBro,lBontg)eant l'isogénie duale de(ϕ .×id )∗(W′) Soit η la biextension de Weil sur η η . Alors les biextensions η Bηt η et (id ×ϕt)∗(W ) (A ,Bt) Aη η η sont isomorphes sur η η . VARIÉTÉS ABÉLIENNES ET INVARIANTS ARITHMÉTIQUES 7 ϕ : Φ → Ψ ϕt : Ψ′ → Φ′ ϕ ϕt Notons à présent (resp. ) le morphisme induit par (resp. ) Λ Γ/G G sur les groupes de omposantes respe tifs. On onstate que n'est autre que , où G Φ Λ = ϕ(Γ) est l'image de dans . Par suite, nous avons . Soit le diagramme : Φ× Φ′ −−−→ (Q/Z) S S  x (cid:13)   (cid:13) ϕy ϕt (cid:13) Ψ× Ψ′ −−−→ (Q/Z) S S <,> W <,> A η B danslequelon noteW′ l'a ouplementdu haut(asso ié à ),et l'a ouplement η (dϕu b×asid(as)s∗o( Wié′)à= (i)d. Il×réϕsut)lt∗e(Walo)rs de ([SGA 7℄, exposé VIII, 7.3.1) et de l'identité η Bηt η Aη η x ∈η Φque le diaygr∈amΨm′ e pré édent est ommutatif, 'est- à-dire que nous avons, pour tout et tout , l'égalité < ϕ(x),y > =< x,ϕt(y) > . B A Γ′ Γ <,> A On rappelle que est l'orthogonalde sous l'a ouplement . L'identité pré édente ϕ(Γ) <,> B pe(rϕmte)t−1a(lΓo′r)s de montrer que l'orΛth′ogonΛal de sous l'aΛ ′ o=up(lϕemt)e−n1t(Γ′) est égal à . Ainsi, l'orthogonal de est donné par : . Il est alors ommode d'introduire les notations suivantes : ϕΓ′ Φ′ Notations 2.6. On note le sous-groupe de dé(cid:28)ni par ϕΓ′ = ϕt((ϕt)−1(Γ′)) = ϕt(Λ′) At,ϕΓ′ Bt,Λ′ ϕt de sorte que est l'image de par . ϕΓ′ Γ′ Γ ϕΓ′ Remarque 2.7. Ilest lairqkueer(ϕt)estunsous-groupede A,td,◦on et sonϕtΓor′t=hoΓg′onaux. Dans le aΓs′ parti ulier où eϕsΓt′un sous-groupe de , on a l'égalité ϕΓ′ 6= Γ′. Dans le as où est nul, il est lair que l'est également. Pour un exemple où , nous renvoyons à la remarque 3.7. W′ (BΛ,Bt,Λ′) W′ η Soit la biextension βsu:rBt,Λ′ → Ext1p(rBolΛo,nGgea)nt dont l'existen e est assurée par S m la proposition 2.4, et soit le morphisme de fais eaux orrespon- dant. Pour résumer la situation, nous avons un diagramme ommutatif à lignes exa tes 0 −−−→ kerϕt −−−→ Bt,Λ′ −−ϕ−t→ At,ϕΓ′ −−−→ 0       β α (3) y y y 0 −−−→ Hom (G,G ) −−−→ Ext1(BΛ,G ) −−ϕ−∗→ Ext1(AΓ,G ) −−−→ 0 S m S m S m kerϕt dϕatn:sBlte→queAltla suite du bas n'est autre que la suite (2ϕ)t, etBto,Λù′ est le noyau de , en plusΛd′'ê=tr(eϕlet)−no1(yΓa′u) de la restri tion de à . Ce dernier fait dé oule aisément de l'égalité ombinée au lemme du serpent. G 2.3. Sur les groupes quasi-(cid:28)nis. En fait, notre groupe est a(cid:30)ne. De façon plus générale,nouspouvons énon er lapropositionsuivante, annon ée enpremierparRaynaud (voir [An℄, hap. II, prop. 2.3.1). La démonstration dépend ru ialement du fait que la S ≤ 1 base est un s héma n÷thérien de dimension . 8 JEANGILLIBERT G S S Proposition 2.8. Soit un -s héma en groupes, de type (cid:28)ni, plat, séparé sur , à (cid:28)bre G générique a(cid:30)ne. Alors est a(cid:30)ne. G = Spec(H) H Sous les hypothèses pré édentes, nous pouvons don é rire , où est R H une -algèbre de Hopf (cid:28)dèlement plate. Il est lair que est de type (cid:28)ni en tant que R H R -algèbre. Par ontre, il est faux en général que soit de type (cid:28)ni en tant que -module. G S En e(cid:27)et, ette propriété équivaut au fait que soit (cid:28)ni sur . 3. Invariant de Pi ard et homomorphisme de lasses Nous ommençons par généraliser une onstru tion due à W. Waterhouse (voir [W℄, ψ se tion 2). Puis nous dé(cid:28)nissons un homomorphisme de lasses qui généralise les onstru tions pré édentes ([T88℄, [P℄, [G℄). Nous suivons i i une démar he semblable à elle de [G℄, en abrégeant ertains détails. G S 3.1. L'invariant de Pi ard. Soit un -s héma en groupes ommutatif. Nous disposons d'une suite exa te de groupes abéliens (déduite de la suite spe trale lo ale-globale pour les Ext (voir [SGA 4℄, exposé V, proposition 6.3, 3)) H1(S,Hom (G,G )) −−−ν→ Ext1(G,G ) −−−→ Ext1(G,G )(S) (4) S m m S m ν G où leSmorphisEmxet1(Ges,tGinj)e =tif.0Si l'on suppose en outre que νest quasi-(cid:28)ni, plat et séparé S m sur , alors d'après le lemme 2.3, don est bije tif. Nous donnons alors la onstru tion expli ite d'une (cid:29)è he ρ : Ext1(G,G ) → H1(S,Hom (G,G )) m S m ρ◦ ν = id telle que . Nous obtiendrons ainsi (voir le théorème 3.1) un analogue, dans le as quasi-(cid:28)ni, du Theorem 2' de [W℄. G S ρ On suppose à présent que est quasi-(cid:28)ni, plat et séparé sur . Dé(cid:28)nissons : soit une Ω ∈ Ext1(G,G ) m extension . Considérons la suite exa te g 0 −−−→ G −−−→ Ω −−−→ G −−−→ 0. m Hom (G,−) S Elle donne lieu, par appli ation du fon teur , à une suite exa te g◦− 0 −−−→ Hom (G,G ) −−−→ Hom (G,Ω) −−−→ Hom (G,G) −−−→ 0. S m S S On obtient ainsi un morphisme δ : Hom(G,G) → H1(S,Hom (G,G )). S m ρ(Ω) Hom (G,G ) δ(id ) ρ(Ω) S m G On note alors le -torseur . Autrement dit, est le fais eau s : G → Ω des se tions , au sens de la théorie des extensions. On véri(cid:28)e qu'on dé(cid:28)nit ainsi ρ un morphisme de groupes . En résumé, nous avons : G S Théorème 3.1. On suppose que est quasi-(cid:28)ni, plat et séparé sur . Alors l'appli ation ρ dé(cid:28)nie i-dessus induit un isomorphisme Ext1(G,G ) ≃ H1(S,Hom (G,G )). m S m ρ−1 ν ( ) L'isomorphisme inverse est égal à la (cid:29)è he de la suite 4 . VARIÉTÉS ABÉLIENNES ET INVARIANTS ARITHMÉTIQUES 9 ν l : Ext1(G,G ) → Pic(G) m En omposant ave le morphisme naturel , on obtient un homomorphisme π : H1(S,Hom (G,G )) −→ Pic(G). S m G π Dans le as où est (cid:28)ni et plat, notre oïn ide ave l'homomorphisme dé(cid:28)ni par Hom (G,G ) S m Waterhouse (voir [W℄, Theorem 5). En e(cid:27)et, dans e adre, est le dual de GD G GD Cartier de . D'autre part, étant (cid:28)ni et plat, un argument de des ente montre H1(S,GD) que le groupe reste in hangé, qu'il soit al ulé dans le petit site fppf, le gros site fppf, ou le gros site fpq . 3.2. Dé(cid:28)nition et propriétés de l'homomorphisme. Le résultat qui suit est démon- tré dans [G℄ omme appli ation du lemme 2.2. Y S Y η Lemme 3.2. Soit un -s héma en groupes plat, dont la (cid:28)bre générique est une Ext1(Y,G ) T 7→ Ext1(Y ,G ) S m T m,T variété abélienne. Alors est isomorphe au fais eau . E AΓ G m Reprenons les notations du paragraphe 2.2. Soit une extension de par . On E Hom (G,G ) δ(E) δ(E) S m asso ie à le -torΘseur BΛ . LeGlemme 3.2 peϕrm∗Θet=deEdé rire omme m étant le fais eau des extensions de par telles que . i : G → AΓ E D'autrei∗pEart, eGn onGsidérant le mHoormph(isGm,eG ) ρ(i,∗Eon) peut asso ier à ρ(i∗uEne) m S m extension de par , puis un i∗E -torseur .Onpeut dé rire omme étant le fais eau des se tioi∗nEs de . Θ AΓ GOr la donnéϕe∗Θd'u=neEse tion de équivaut à la donnée d'une extension de par m telle que . On en déduit le résultat suivant : Lemme 3.3. Le diagramme suivant : Pic(AΓ) ←−l1−− Ext1(AΓ,G ) −−−δ→ H1(S,Hom (G,G )) m S m   (cid:13) y i∗y (cid:13)(cid:13) Pic(G) ←−l−− Ext1(G,G ) −−−ρ→ H1(S,Hom (G,G )) m S m l1 Ext1(AΓ,G ) → Pic(AΓ) m est ommutatif, où est le morphisme naturel . On déduit du lemme 3.3 le diagramme ommutatif : At,Γ′(S) −−−γ→ Ext1(AΓ,G ) −−−δ→ H1(S,Hom (G,G )) m S m     (5) l1y yπ Pic(AΓ) −−−→ Pic(G) ψ : At,Γ′(S) → Pic(G) G ⊆ AΓ et on dé(cid:28)nit l'homomorphisme (asso ié à l'in lusion ) omme étant le omposé de es morphismes. D Remarque 3.4. Soit l'appli ation obtenue en omposant les (cid:29)è hes suivantes D : At,Γ′(S) −−−γ→ Ext1(AΓ,G ) −−l−1→ Pic(AΓ). m p ψ(p) D(p) G Le diagramme (5) montre que, pour tout , est la restri tion de à , que nous D(p)| ψ G noterons . Ce i généralise la des ription géométrique de (obtenue par Agboola A [A1℄ dans le as où est un s héma abélien). 10 JEANGILLIBERT p ∈ At,Γ′(S) D'autre part, soit , nous avons alors D(p) = l1((id ×p)∗(W)) = (id ×p)∗(t(W)), AΓ AΓ i : G → AΓ d'où, en notant l'in lusion, ∗ D(p)| = (i×p) (t(W)). G G S Remarque 3.5. Supposons que soit un -s héma en groupes (cid:28)ni et plat. Alors l'ho- ψ G ⊆ A momorphisme asso ié à l'in lusion oïn ide ave l'homomorphisme de lasses dAe=[GA℄, enA ′o=nsAidté,◦rant (ave leGs notations de [G℄)Ale◦s s hémas en groupes semψi-stables et G ⊆ A.◦Si de plus est ontenu dans , Aalo=rsAl'◦homAom′ =orpAhtisme asso ié à l'in lusion est l'homomorphisme de [G℄ pour et . p ∈ At,Γ′(S) N G η Proposition 3.6. Soit et soit un entier premier à l'ordre de . Alors D(p)| = 0 D(Np)| = 0 D(p)| = 0 p G G G si et seulement si . En parti ulier, si est un point N de -torsion. m G G m G η η Démonstration. Soit l'ordrede ,alors esttuépar .Demêmelegroupe ,quiest G AΓ m m η l'adhéren e s hématique de dans , est tué par . Par suite, la multipli ationpar Ext1(G,G ) m G m dans le groupe , induite par la multipli ationpar dans , est l'appli ation m N N nulle. Les entiers et éEtaxntt1(pGr,eGmie)rs entre eux, la multipli ation par est don un m automorphisme du groupe . Or nous pouvons é rire ∗ D(p)| = l((i×p) (W)). G p 7→ D(p)| Ext1(G,G ) G m Autrementdit,l'homomorphisme sefa toriseàtraverslegroupe (cid:3). On en déduit aisément le résultat. 3.3. Cas parti ulier : suite de Kummer. Un premier avantage de notre onstru tion est de pouvoir traiter le as kummérien, qui était l'appro he originale dans [T88℄. n > 0 nΓ On (cid:28)xe à présent un entier naturel , et on note l'image de la multipli ation n Γ A par dans [lne]g:roAu◦pe→.AA◦lors (voir [SGA 7℄, exposé IX, 2.2.1), étant semi-stable, le morphisme est plat, surje tif, et quasi-(cid:28)ni. En appliquant le lemme du serpent nous en déduisons une suite exa te [n] 0 −−−→ AΓ[n] −−−→ AΓ −−−→ AnΓ −−−→ 0 S de fais eaux abéliens pour la topologie fppf sur . Il s'ensuit, d'après les onsidérations AΓ[n] S faites au début du paragraphe 2.1, que est un sous- -s héma en groupes fermé, AΓ quasi-(cid:28)ni et plat de . nΓ D'autre part,nl−'a1 Γ ′ouplement de monodromie étant non dégénéré, l'orthogonnal de n'est auΓtr′e quΦe′ , 'est-à-dire l'image ré iproque par la multipli ation par du sous- groupe de . On peut résumer la situation par le diagramme (à lignes exa tes) : 0 −−−→ At[n] −−−→ At,n−1Γ′ −−[−n]→ At,nΓ′ −−−→ 0       hy y y 0 −−−→ Hom (AΓ[n],G ) −−−→ Ext1(AnΓ,G ) −−[−n]→ Ext1(AΓ,G ) −−−→ 0 S m S m S m