Valós analízis II. PDF
Preview Valós analízis II.
© Typotex Kiadó VALÓS ANALÍZIS II. www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera © Typotex Kiadó www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera © Typotex Kiadó Laczkovich Miklós–T. Sós Vera Valós analízis II. www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera © Typotex Kiadó AkiadványaMagyarTudományosAkadémiatámogatásávalkészült. ©LaczkovichMiklós,T.SósVera,Typotex,2013 Engedélynélkülsemmilyenformábannemmásolható! ANemzetiTankönyvkiadónál2006-banmegjelentAnalízisI–II.átdolgozott ésbővítettkiadása. Szakmaibírálók: ElekesGyörgy ésKósGéza ISBN9789632797311ö ISBN9789632797335 ISSN1788-1811 Témakör:elméletimatematika KedvesOlvasó! Köszönjük,hogykínálatunkbólválasztottolvasnivalót! Újabbkiadványainkról,akcióinkról awww.typotex.huésafacebook.com/typotexkiadooldalakonértesülhet. KiadjaaTypotexElektronikusKiadóKft. Felelősvezető:VotiskyZsuzsa Műszakiszerkesztő:FriedKatalin Borítóterv:TóthNorbert KészültaKódexKönyvgyártóKft.nyomdájában Felelősvezető:MarosiAttila www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera © Typotex Kiadó Tartalomjegyzék Előszó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 TÖBBVÁLTOZÓSANALÍZIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 21.Rp R függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ! Pontsorozatokkonvergenciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Aponthalmazelméletalapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Határérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Folytonosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Parciálisderiváltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Differenciálhatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Többszörösdifferenciálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Adifferenciálszámításalkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Függelék:Érintőésérintősík . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 22.Rp Rq függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 ! Határértékésfolytonosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Differenciálhatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Differenciálásiszabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Implicitésinverzfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 23.Jordan-mérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 AJordan-mértékértelmezéseéstulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . 116 Néhánykonkréthalmazmértéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 AlineáristranszformációkésaJordan-mérték . . . . . . . . . . . . . . . 136 Függelék:Akorlátoskonvexhalmazokmérhetősége . . . . . . . . . . . 140 24.TöbbváltozósfüggvényekintegrálásaI. . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Atöbbváltozósintegrálértelmezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 AtöbbváltozósintegrálJordan-mérhetőhalmazokon . . . . . . . . . . . 148 5 www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera © Typotex Kiadó 6 TARTALOMJEGYZÉK Atöbbváltozósintegrálkiszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Függelék:Azintegráltranszformációtételénekbizonyítása . . . . . . . . 169 25.TöbbváltozósfüggvényekintegrálásaII. . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Avonalintegrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Feltételekaprimitívfüggvénylétezésére . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Greentétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Felületésfelszín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Integráltételekháromdimenzióban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 26.VégtelensorokII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Végtelensorokésműveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Abszolútésfeltételesenkonvergenssorok . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Továbbikonvergenciakritériumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Végtelensorokszorzása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Szummábilissorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Függelék:Avégtelensoroktörténetéből . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 27.Függvénysorozatokésfüggvénysorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Függvénysorozatokkonvergenciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Függvénysorokkonvergenciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Taylor-sorokéshatványsorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 AzAbel-szummáció. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Fourier-sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Továbbialkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Elsőfüggelék:ACauchy–Hadamard-formula . . . . . . . . . . . . . . . 324 Másodikfüggelék:Komplexsorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Harmadikfüggelék:AFourier-soroktörténetéből . . . . . . . . . . . . . 329 28.Vegyestémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Összegekbecslése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Közelítőmódszerekahatározottintegrálkiszámítására . . . . . . . . . . 343 Paraméteresintegrálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Lebesgue szerint nullmértékű halmazok, és az integrálhatóság Lebesgue- félekritériuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 ALebesgue-tételkétalkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Azintegrálszámításnéhányszámelméletialkalmazása . . . . . . . . . . . 381 ABrouwer-félefixponttétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 APeano-görbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera © Typotex Kiadó TARTALOMJEGYZÉK 7 29.Megoldásiötletek,megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Megoldásiötletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 Tárgymutató . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 Jelölések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 Irodalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 AzI.kötettartalomjegyzéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera © Typotex Kiadó Előszó Könyvünk második kötetében rátérünk a többváltozós analízis felépítésére. Számos fizikai alkalmazást és interpretációt is bemutatunk, részben a fogalmak kialakításá- nakmotivációjacéljából.Folytatjukavégtelensoroktárgyalását,majdismertetjüka függvénysorozatokésfüggvénysorokelméletét.Azutolsófejezetillusztráljaazana- lízisnek a matematika más és látszólag távoli fejezeteiben való alkalmazhatóságát. Akönyvünkbentárgyalteredmények–bárjórészüktöbbmint100éveismert–nél- külözhetetlenekajelenkorimatematikábanésazalkalmazásokban. Továbbra is szem előtt tartottuk a fokozatos, lehetőség szerint a szemléletre is támaszkodó felépítést. Az egyváltozós analízis számos fogalma, állítása és gondo- latmenete minden további nélkül, kézenfekvő módon általánosítható többváltozós függvényekre; helyenként nem is részletezzük azoknak a többváltozós tételeknek a bizonyítását,amelyamegfelelőegyváltozóstételbizonyításánakszószerintiátvéte- lévelkapható.Hangsúlyozzukugyanakkor,hogyatöbbváltozósfüggvényekanalízi- se a legkevésbé sem merül ki az egyváltozós elmélet mechanikus általánosításában. A többváltozós analízisben számos új jelenség és probléma merül fel, és a vizsgá- latok nemegyszer átvezetnek a matematika egyéb területeire, mint amilyenek a dif- ferenciálgeometria,topológiaésmértékelmélet.Ezbizonyosesetekben(nevezetesen a 25. fejezetben, az integráltételek tárgyalása során) azzal a következménnyel járt, hogyegyesszemléletesennyilvánvalónaktűnőfogalmakatésállításokatnemmindig tudtunkamagukrészletességébentárgyalni.Mivelezekatételekkülönösenfontosak az alkalmazások szempontjából, ezért az ismertetésük elengedhetetlenül szükséges mégakkoris,haamegfelelőfogalmiháttérprecízfelépítéséről,abizonyításokegyes részleteirőlésazalkalmazásokteljeskörűbemutatásátóllekellettmondani. Azelsőkötethezhasonlóanigyekeztünkazanyagmélyebbmegértésétéselsajátí- tásátminéltöbb(mintegy600)feladattalelősegíteni.Mostsemtekintettükcélunknak nagy számú gyakorlófeladat kitűzését, mert ilyenek számos példatárban találhatók 8 www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera © Typotex Kiadó Előszó 9 (lásdpéldául[6]).Ugyanakkoratárgyalttémakörökmégtöbbgondolkodtató,inven- ciótigénylőfeladatszerepeltetéséttettéklehetővé,mintkorábban. A nehezebb feladatokat . / jelöli. A feladatok egy részéhez megoldási ötlete- (cid:3) ket, illetve teljes megoldásokat is adunk a kötet végén; ezt (Ö), illetve (M) jelekkel jelöljük. Megismételve az első kötet előszavában mondottakat, megemlékezünk a 2008-ban elhunytElekesGyörgyről,akiakönyvünkelőzményétképezőkétkötetlektoravolt, és akinek lelkes, odaadó és hozzáértő munkája felbecsülhetetlen segítséget nyújtott számunkra. KöszönetetmondunkKósGézánakakötetlelkiismeretesésgondoslektorálásáért. Ugyancsak köszönetet mondunk Fried Katalinnak, a könyv tipográfusának és az ábrák készítőjének azért az áldozatos és nagyszerű munkáért, amellyel a könyv elkészítéséhezhozzájárult. Aszerzők 2013.április2. www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera © Typotex Kiadó TÖBBVÁLTOZÓS ANALÍZIS A többváltozós függvények használatát nem utolsósorban a valóságban zajló folya- matokleírásatesziszükségessé.Egyrészleteshőmérsékletitérképelkészítése(amely a domborzatot és az idő múlását is tekintetbe veszi) négy változó: a három térkoor- dináta és az idő használatát igényli. A bonyolultabb fizikai rendszerek (pl. a gázok mozgásának)matematikaileírásáhozakártöbbmillióváltozóraisszükségünklehet. Ha egy folyamat p számú paramétertől függ, akkor a vizsgált mennyiség le- írása annyit jelent, hogy bizonyos p-tagú sorozatokhoz (amelyek a folyamat adott állapotát jellemzik) hozzárendeljük a vizsgált mennyiség értékét. Az f függvényt p-változósfüggvényneknevezzük,haazértelmezésitartományánakmindeneleme egy p-tagú sorozat. Így, ha minden dátumhoz (év, hónap, nap) hozzárendeljük a hét megfelelő napját, akkor egy háromváltozós f függvényt kapunk, amelyre például f.2007;június;2/ =szombat. Akövetkezőkbenolyanfüggvényekkelfoglalkozunk,amelyeknekazértelmezé- sitartományarészevalamelyikRp euklidészitérnek,ésazértékkészleterészevala- melyik Rq térnek, méghozzá nem is feltétlenül ugyanannak. (Emlékeztetünk, hogy Rp-vel jelöljük a valós számokból álló p-tagú sorozatok halmazát (l. az I. kötetben a15.1.Definíciót).)Általánosítjukahatárértékésfolytonosságfogalmait,valaminta differenciálásésintegrálásműveleteitazilyenfüggvényekre,ésbemutatunknéhány alkalmazást. 10 www.interkonyv.hu © Laczkovich Miklós, T. Sós Vera
The list of books you might like
