Valós analízis I-II. PDF
Preview Valós analízis I-II.
Valós analízis I-II. Laczkovich, Miklós T. Sós, Vera Created by XMLmind XSL-FO Converter. Valós analízis I-II. írta Laczkovich, Miklós és T. Sós, Vera Publication date 2006 Publication date 2012 Szerzői jog © 2014—2021 Laczkovich Miklós, T. Sós Vera, Typotex A kiadvány a Magyar Tudományos Akadémia támogatásával készült. Engedély nélkül semmilyen formában nem másolható! A Nemzeti Tankönyvkiadónál 2006-ban megjelent Analízis I–II. átdolgozott és bővített kiadása. Szakmai bírálók: Elekes György és Kós Géza Gémes Margit (20. fejezet) Számítástechnikai függelék Simonovits Miklós munkája Typotex Elektronikus Kiadó Kft. Created by XMLmind XSL-FO Converter. Tartalom I. Valós analízis I. ............................................................................................................................... 1 Előszó ....................................................................................................................................... vi Rövid történeti bevezetés ....................................................................................................... viii 1. 1. Alapfogalmak .................................................................................................................. 18 1. Néhány szó a matematikáról általában ...................................................................... 18 2. Logikai alapfogalmak ................................................................................................ 18 3. Bizonyítási módszerek ............................................................................................... 20 4. Halmazok, függvények, sorozatok ............................................................................. 25 2. 2. Valós számok .................................................................................................................. 30 1. I. Testaxiómák ........................................................................................................... 31 2. II. Rendezési axiómák ............................................................................................... 31 3. III. Az arkhimédészi axióma ...................................................................................... 32 4. IV. A Cantor-axióma ................................................................................................. 34 5. Tizedestörtek. A számegyenes ................................................................................... 37 6. Korlátos számhalmazok ............................................................................................. 40 7. Hatványozás .............................................................................................................. 44 8. Első függelék: A testaxiómák következményei ......................................................... 46 9. Második függelék: A rendezési axiómák következményei ........................................ 47 3. 3. Végtelen számsorozatok (I.) ............................................................................................ 49 1. Feladatok ................................................................................................................... 50 2. Konvergens és divergens számsorozatok .................................................................. 50 3. Végtelenhez tartó sorozatok ...................................................................................... 53 4. A határérték egyértelműsége ..................................................................................... 55 5. Néhány konkrét sorozat határértéke .......................................................................... 57 4. 4. Végtelen számsorozatok (II.) .......................................................................................... 59 1. A határérték alaptulajdonságai .................................................................................. 59 2. Határérték és egyenlőtlenségek ................................................................................. 61 3. Határérték és műveletek ............................................................................................ 62 4. Alkalmazások ............................................................................................................ 67 5. 5. Végtelen számsorozatok (III.) ......................................................................................... 70 1. Monoton sorozatok .................................................................................................... 70 2. A Bolzano–Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium ................................................. 74 6. 6. Végtelen sorok (I.) .......................................................................................................... 79 7. 7. Megszámlálható halmazok .............................................................................................. 87 8. 8. Valós változós, valós értékű függvények ........................................................................ 92 1. Függvények és grafikonok ......................................................................................... 92 2. Valós függvények globális tulajdonságai .................................................................. 96 3. Függelék: A koordinátageometria alapfogalmai ...................................................... 103 9. 9. Függvények folytonossága és határértéke ..................................................................... 105 1. ................................................................................................................................. 108 2. Függvény határértéke .............................................................................................. 109 3. Az átviteli elv .......................................................................................................... 120 4. Határérték és műveletek .......................................................................................... 125 5. Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények ................................................ 132 6. Egyenletes folytonosság .......................................................................................... 138 7. Monotonitás és folytonosság ................................................................................... 142 8. Konvexitás és folytonosság ..................................................................................... 147 9. A függvénygrafikon ívhossza .................................................................................. 151 10. Függelék: A 9.80. Tétel bizonyítása ...................................................................... 155 10. 10. Néhány fontos függvényosztály (Elemi függvények) .............................................. 157 1. Polinomfüggvények és racionális törtfüggvények ................................................... 157 2. Exponenciális függvények és hatványfüggvények .................................................. 159 3. Logaritmusfüggvények ............................................................................................ 168 4. Trigonometrikus függvények ................................................................................... 173 5. A trigonometrikus függvények inverzei .................................................................. 183 6. A hiperbolikus függvények és inverzeik ................................................................. 187 iii Created by XMLmind XSL-FO Converter. Valós analízis I-II. 7. Első függelék: Az addíciós képletek bizonyítása ..................................................... 194 8. Második függelék: Néhány szó a komplex számokról ............................................ 195 11. 11. Differenciálszámítás .................................................................................................. 197 1. A differenciálhatóság fogalma ................................................................................. 197 2. Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai ................................. 204 3. Magasabb rendű differenciálhányadosok ................................................................ 216 4. A lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata ..................................................... 220 5. Középértéktételek .................................................................................................... 231 6. A differenciálható függvények vizsgálata ............................................................... 235 12. 12. A differenciálszámítás alkalmazásai ........................................................................ 247 1. A L’Hospital-szabály ............................................................................................... 247 2. Polinomapproximáció .............................................................................................. 249 3. A határozatlan integrál ............................................................................................. 260 4. Differenciálegyenletek ............................................................................................. 266 5. A láncgörbe ............................................................................................................. 273 6. A deriváltfüggvények tulajdonságai ........................................................................ 276 7. Első függelék: A 12.20. Tétel bizonyítása ............................................................... 279 8. Második függelék: Még egyszer a trigonometrikus függvények értelmezéséről ..... 281 13. 13. A határozott integrál .................................................................................................. 283 1. A határozott integrál fogalmára vezető problémák .................................................. 283 2. A határozott integrál (Riemann-integrál) értelmezése ............................................. 287 3. Az integrálhatóság szükséges és elégséges feltételei ............................................... 293 4. A folytonos és a monoton függvények integrálhatósága ......................................... 302 5. Integrálhatóság és műveletek ................................................................................... 305 6. Függvények integrálhatóságára és az integrál értékére vonatkozó további tételek .. 307 7. Az integrál értékére vonatkozó egyenlőtlenségek ................................................... 312 14. 14. Integrálszámítás ......................................................................................................... 319 1. Az integrálás és a differenciálás kapcsolata ............................................................. 319 2. A parciális integrálás szabálya ................................................................................. 325 3. A helyettesítéses integrálás ...................................................................................... 330 4. Az elemi függvények integrálása ............................................................................. 333 5. Elemi függvények nem elemi integrállal ................................................................. 341 6. Függelék: A határozott integrálokra vonatkozó integráltranszformációs formula (14.22. Tétel) bizonyítása ............................................................................................ 344 15. 15. Az integrálszámítás alkalmazásai .............................................................................. 348 1. A terület és térfogat általános fogalma .................................................................... 349 2. Területszámítás ........................................................................................................ 352 3. Térfogatszámítás ...................................................................................................... 358 4. Ívhossz-számítás ...................................................................................................... 361 5. Polárkoordináták ...................................................................................................... 371 6. A forgási felületek felszíne ...................................................................................... 375 16. 16. Korlátos változású függvények ................................................................................. 380 17. 17. A Stieltjes-integrál .................................................................................................... 386 18. 18. Az improprius integrál .............................................................................................. 395 1. Az improprius integrál értelmezése és kiszámítása ................................................. 395 2. Az improprius integrálok konvergenciája ................................................................ 405 3. Függelék: A 18.13. Tétel bizonyítása ...................................................................... 411 19. 19. Megoldási ötletek, megoldások ................................................................................. 414 1. Megoldási ötletek .................................................................................................... 414 1.1. 1. Fejezet ..................................................................................................... 414 1.2. 2. Fejezet ..................................................................................................... 414 1.3. 3. Fejezet ..................................................................................................... 414 1.4. 4. Fejezet ..................................................................................................... 415 1.5. 5. Fejezet ..................................................................................................... 415 1.6. 6. Fejezet ..................................................................................................... 415 1.7. 7. Fejezet ..................................................................................................... 415 1.8. 8. Fejezet ..................................................................................................... 416 1.9. 9. Fejezet ..................................................................................................... 416 1.10. 10. Fejezet ................................................................................................. 417 1.11. 11. Fejezet ................................................................................................. 417 iv Created by XMLmind XSL-FO Converter. Valós analízis I-II. 1.12. 12. Fejezet ................................................................................................. 418 1.13. 13. Fejezet ................................................................................................. 418 1.14. 14. Fejezet ................................................................................................. 419 1.15. 15. Fejezet ................................................................................................. 419 1.16. 16. Fejezet ................................................................................................. 420 1.17. 17. Fejezet ................................................................................................. 421 1.18. 18. Fejezet ................................................................................................. 421 2. Megoldások ............................................................................................................. 422 2.1. 1. Fejezet ..................................................................................................... 422 2.2. 2. Fejezet ..................................................................................................... 422 2.3. 3. Fejezet ..................................................................................................... 423 2.4. 4. Fejezet ..................................................................................................... 424 2.5. 5. Fejezet ..................................................................................................... 424 2.6. 6. Fejezet ..................................................................................................... 424 2.7. 8. Fejezet ..................................................................................................... 425 2.8. 9. Fejezet ..................................................................................................... 425 2.9. 10. Fejezet ................................................................................................... 427 2.10. 11. Fejezet ................................................................................................. 428 2.11. 12. Fejezet ................................................................................................. 430 2.12. 13. Fejezet ................................................................................................. 431 2.13. 14. Fejezet ................................................................................................. 432 2.14. 15. Fejezet ................................................................................................. 432 2.15. 16. Fejezet ................................................................................................. 434 2.16. 17. Fejezet ................................................................................................. 435 2.17. 18. Fejezet ................................................................................................. 436 20. 20. Függelék: Számítástechnika és analízis .................................................................... 441 1. 20.1. Bevezetés a Függelékhez ................................................................................ 441 1.1. Angol vagy magyar? ................................................................................... 441 1.2. Milyen matematikai programcsomagokat használjunk? ............................. 443 1.3. A BASIC, illetve a PASCAL beszerzése .................................................... 444 1.4. Melyik programnyelvet használjuk? ........................................................... 444 1.5. Mikor használjunk MAPLE-t, mikor BASIC, mikor PASCAL programot? 444 1.6. A kötelező óvatosság .................................................................................. 445 2. 20.2 BASIC programok: Kezdőlépések ................................................................... 446 2.1. Rövid összefoglaló a BASIC-ről ................................................................. 446 3. 20.3 Kedvcsináló BASIC programokhoz ................................................................ 447 3.1. 20.3.1 Sorozatok szemléltetése, határértéke ................................................ 447 3.2. 20.3.2 Egy rekurzió határértéke .................................................................. 448 3.3. 20.3.3 Függvények ábrázolása .................................................................... 448 4. 20.4 Mit tud a BASIC? ............................................................................................ 450 4.1. határértéke ........................................................................ 450 4.2. 20.4.1 Sorösszegzéssel kapcsolatos programok .......................................... 452 4.3. 20.4.2 Rekurziók: A Newton-algoritmus .................................................... 453 4.4. 20.4.3 Rekurzió közelítésére .................................................................. 454 4.5. 20.4.4 Stirling-formula ................................................................................ 455 4.6. 20.4.5 Függvények ábrázolása II. ................................................................ 456 4.7. 20.4.6 Görbeseregek ábrázolása .................................................................. 458 5. 20.5 Rövid kirándulás a Pascal programnyelvbe. ................................................... 459 6. 20.6 MAPLE: Első lépések ...................................................................................... 461 6.1. A HELP ....................................................................................................... 461 6.2. Input-Output formátum ............................................................................... 461 6.3. 20.6.1 Szimbolikus számolások, algebrai műveletek .................................. 462 6.4. 20.6.2 Határérték, konvergenciasebesség és a MAPLE .............................. 463 6.5. 20.6.3 Függvényábrázolás a MAPLE segítségével I ................................... 463 6.6. 20.6.4 Konvergenciasebesség II. ................................................................. 465 6.7. 20.6.5 Rajzolás, függvényábrázolás MAPLE-lel II ..................................... 466 6.8. 20.6.6 Paraméteres görbe kirajzolása .......................................................... 470 6.9. 20.6.7 Differenciálás ................................................................................... 470 6.10. 20.6.8 Racionális törtfüggvények .............................................................. 471 6.11. 20.6.9 A MAPLE, függvényábrázolás és az egyenlőtlenségek ................. 472 v Created by XMLmind XSL-FO Converter. Valós analízis I-II. 6.12. 20.6.10 Polinomközelítés (lokális) ............................................................ 473 7. 20.7 MAPLE és a „komolyabb” kérdések ............................................................... 474 7.1. Határozatlan integrál, primitív függvény .................................................... 474 7.2. 20.7.2 Még mit érdemes tudnunk a MAPLE-ről? Kiegészítés és ismétlés . 475 7.3. 20.7.3 Implicitplot ....................................................................................... 475 7.4. 20.7.4 Plot3d ............................................................................................... 476 8. 20.8 Mit tud még a MAPLE? .................................................................................. 477 8.1. 20.8.1 Lehet-e MAPLE-ben programokat írni? .......................................... 477 8.2. 20.8.2 Globális polinomközelítés ................................................................ 477 8.3. 20.8.3 A Lagrange interpoláció ................................................................... 479 8.4. 20.8.4 Differenciálegyenletek megoldása ................................................... 480 II. VALÓS ANALÍZIS II. .............................................................................................................. 481 Előszó ............................................................................................................................ cdlxxxiv TÖBBVÁLTOZÓS ANALÍZIS ..................................................................................... cdlxxxv 21. 21. függvények .......................................................................... 486 1. Pontsorozatok konvergenciája ................................................................................. 489 2. A ponthalmazelmélet alapjai ................................................................................... 491 3. Határérték ................................................................................................................ 503 4. Folytonosság ............................................................................................................ 507 5. Parciális deriváltak .................................................................................................. 511 6. Differenciálhatóság .................................................................................................. 516 7. Többszörös differenciálás ........................................................................................ 529 8. A differenciálszámítás alkalmazásai ........................................................................ 534 9. Függelék: Érintő és érintősík ................................................................................... 544 22. 22. függvények ........................................................................ 547 1. Határérték és folytonosság ....................................................................................... 547 2. Differenciálhatóság .................................................................................................. 549 3. Differenciálási szabályok ......................................................................................... 552 4. Implicit és inverz függvények ................................................................................. 556 23. 23. Jordan-mérték ............................................................................................................ 570 1. 23.1 A Jordan-mérték értelmezése és tulajdonságai ................................................ 570 2. Néhány konkrét halmaz mértéke ............................................................................. 579 3. A lineáris transzformációk és a Jordan-mérték ........................................................ 588 4. Függelék: A korlátos konvex halmazok mérhetősége ............................................. 591 24. 24. Többváltozós függvények integrálása I. .................................................................... 593 1. A többváltozós integrál értelmezése ........................................................................ 593 2. A többváltozós integrál Jordan-mérhető halmazokon ............................................. 597 3. A többváltozós integrál kiszámítása ........................................................................ 603 4. Függelék: Az integráltranszformáció tételének bizonyítása .................................... 612 25. 25. Többváltozós függvények integrálása II. .................................................................. 618 1. 25.1 A vonalintegrál ................................................................................................ 618 2. Feltételek a primitív függvény létezésére ................................................................ 624 3. Green tétele .............................................................................................................. 635 4. Felület és felszín ...................................................................................................... 644 5. Integráltételek három dimenzióban ......................................................................... 647 26. 26. Végtelen sorok II. ...................................................................................................... 653 1. Végtelen sorok és műveletek ................................................................................... 653 2. Abszolút és feltételesen konvergens sorok .............................................................. 657 3. További konvergenciakritériumok ........................................................................... 662 4. Végtelen sorok szorzása .......................................................................................... 670 5. Szummábilis sorok .................................................................................................. 674 6. Függelék: A végtelen sorok történetéből ................................................................. 677 27. 27. Függvénysorozatok és függvénysorok ...................................................................... 679 1. Függvénysorozatok konvergenciája ........................................................................ 679 2. Függvénysorok konvergenciája ............................................................................... 687 3. Taylor-sorok és hatványsorok .................................................................................. 696 4. Az Abel-szummáció ................................................................................................ 709 5. Fourier-sorok ........................................................................................................... 712 6. További alkalmazások ............................................................................................. 723 7. Első függelék: A Cauchy–Hadamard-formula ......................................................... 731 vi Created by XMLmind XSL-FO Converter. Valós analízis I-II. 8. Második függelék: Komplex sorok ......................................................................... 734 9. Harmadik függelék: A Fourier-sorok történetéből .................................................. 735 28. 28. Vegyes témák ............................................................................................................ 739 1. Összegek becslése .................................................................................................... 739 2. Közelítő módszerek a határozott integrál kiszámítására .......................................... 746 3. Paraméteres integrálok ............................................................................................ 754 4. Lebesgue szerint nullmértékű halmazok, és az integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma 767 5. A Lebesgue-tétel két alkalmazása ............................................................................ 771 6. Az integrálszámítás néhány számelméleti alkalmazása ........................................... 773 7. A Brouwer-féle fixponttétel ..................................................................................... 777 8. A Peano-görbe ......................................................................................................... 783 29. 29. Megoldási ötletek, megoldások ................................................................................. 786 1. Megoldási ötletek .................................................................................................... 786 1.1. 21. Fejezet ................................................................................................... 786 1.2. 22. Fejezet ................................................................................................... 787 1.3. 23. Fejezet ................................................................................................... 787 1.4. 24. Fejezet ................................................................................................... 787 1.5. 25. Fejezet ................................................................................................... 787 1.6. 26. Fejezet ................................................................................................... 787 1.7. 27. Fejezet ................................................................................................... 788 1.8. 28. Fejezet ................................................................................................... 792 2. Megoldások ............................................................................................................. 793 2.1. 21. Fejezet ................................................................................................... 793 2.2. 22. Fejezet ................................................................................................... 795 2.3. 23. Fejezet ................................................................................................... 795 2.4. 25. Fejezet ................................................................................................... 796 2.5. 26. Fejezet ................................................................................................... 796 2.6. 27. Fejezet ................................................................................................... 797 2.7. 28. Fejezet ................................................................................................... 800 30. Tárgymutató .................................................................................................................... 802 1. A, Á ......................................................................................................................... 802 2. B .............................................................................................................................. 803 3. C, Cs ........................................................................................................................ 804 4. D .............................................................................................................................. 805 5. E, É .......................................................................................................................... 806 6. F ............................................................................................................................... 808 7. G, Gy ....................................................................................................................... 809 8. H .............................................................................................................................. 810 9. I, Í ............................................................................................................................ 811 10. J ............................................................................................................................. 812 11. K ............................................................................................................................ 813 12. L ............................................................................................................................. 815 13. M ........................................................................................................................... 816 14. N, Ny ..................................................................................................................... 817 15. O, Ö ....................................................................................................................... 818 16. P ............................................................................................................................. 819 17. R ............................................................................................................................ 820 18. S, Sz ....................................................................................................................... 821 19. T ............................................................................................................................. 822 20. U, Ü ....................................................................................................................... 824 21. V ............................................................................................................................ 824 22. W ........................................................................................................................... 825 23. X ............................................................................................................................ 825 24. Y ............................................................................................................................ 825 25. Z ............................................................................................................................. 825 31. Jelölések .......................................................................................................................... 826 32. Irodalomjegyzék .............................................................................................................. 834 vii Created by XMLmind XSL-FO Converter. Az egyenletek listája 1. (0.1) ............................................................................................................................................... xi 2. (0.2) .............................................................................................................................................. xv 3. (0.3) .............................................................................................................................................. xv 4. (0.4) ............................................................................................................................................. xvi 5. (0.5) ............................................................................................................................................. xvi 1.1. (1.1) ........................................................................................................................................... 22 1.2. (1.2) ........................................................................................................................................... 27 2.1. (2.1) ........................................................................................................................................... 35 2.2. (2.2) ........................................................................................................................................... 35 2.3. (2.3) ........................................................................................................................................... 36 2.4. (2.4) ........................................................................................................................................... 37 2.5. (2.5) ........................................................................................................................................... 37 2.6. (2.6) ........................................................................................................................................... 37 2.7. (2.7) ........................................................................................................................................... 39 2.8. (2.8) ........................................................................................................................................... 40 2.9. (2.9) ........................................................................................................................................... 44 2.10. (2.10) ....................................................................................................................................... 45 2.11. (2.11) ....................................................................................................................................... 45 3.1. (3.1) ........................................................................................................................................... 51 3.2. (3.2) ........................................................................................................................................... 51 3.3. (3.3) ........................................................................................................................................... 54 3.4. (3.4) ........................................................................................................................................... 57 3.5. (3.5) ........................................................................................................................................... 58 4.1. (4.1) ........................................................................................................................................... 64 4.2. (4.2) ........................................................................................................................................... 68 4.3. (4.3) ........................................................................................................................................... 68 5.1. (5.1) ........................................................................................................................................... 71 5.2. (5.2) ........................................................................................................................................... 71 5.3. (5.3) ........................................................................................................................................... 72 5.4. (5.4) ........................................................................................................................................... 72 5.5. (5.5) ........................................................................................................................................... 73 6.1. (6.1) ........................................................................................................................................... 81 6.2. (6.2) ........................................................................................................................................... 83 6.3. (6.3) ........................................................................................................................................... 84 7.1. (7.1) ........................................................................................................................................... 87 8.1. (8.1) ........................................................................................................................................... 93 8.2. (8.2) ........................................................................................................................................... 97 8.3. (8.3) ........................................................................................................................................... 98 8.4. (8.4) ........................................................................................................................................... 99 8.5. (8.5) ........................................................................................................................................... 99 8.6. (8.6) ......................................................................................................................................... 100 8.7. (8.7) ......................................................................................................................................... 100 8.8. (8.8) ......................................................................................................................................... 100 8.9. (8.9) ......................................................................................................................................... 102 8.10. (8.10) ..................................................................................................................................... 104 8.11. (8.11) ..................................................................................................................................... 104 9.1. (9.1) ......................................................................................................................................... 105 9.2. (9.2) ......................................................................................................................................... 107 9.3. (9.3) ......................................................................................................................................... 108 9.4. (9.4) ......................................................................................................................................... 108 9.5. (9.5) ......................................................................................................................................... 112 9.6. (9.6) ......................................................................................................................................... 114 9.7. (9.7) ......................................................................................................................................... 114 9.8. (9.8) ......................................................................................................................................... 121 9.9. (9.9) ......................................................................................................................................... 123 9.10. (9.10) ..................................................................................................................................... 124 viii Created by XMLmind XSL-FO Converter. Valós analízis I-II. 9.11. (9.11) ..................................................................................................................................... 126 9.12. (9.12) ..................................................................................................................................... 128 9.13. (9.13) ..................................................................................................................................... 129 9.14. (9.14) ..................................................................................................................................... 130 9.15. (9.15) ..................................................................................................................................... 136 9.16. (9.16) ..................................................................................................................................... 136 9.17. (9.17) ..................................................................................................................................... 138 9.18. (9.18) ..................................................................................................................................... 140 9.19. (9.19) ..................................................................................................................................... 140 9.20. (9.20) ..................................................................................................................................... 140 9.21. (9.21) ..................................................................................................................................... 140 9.22. (9.22) ..................................................................................................................................... 147 9.23. (9.23) ..................................................................................................................................... 148 9.24. (9.24) ..................................................................................................................................... 149 9.25. (9.25) ..................................................................................................................................... 152 9.26. (9.26) ..................................................................................................................................... 152 9.27. (9.27) ..................................................................................................................................... 153 9.28. (9.28) ..................................................................................................................................... 155 9.29. (9.29) ..................................................................................................................................... 156 10.1. (10.1) ..................................................................................................................................... 157 10.2. (10.2) ..................................................................................................................................... 157 10.3. (10.3) ..................................................................................................................................... 158 10.4. (10.4) ..................................................................................................................................... 160 10.5. (10.5) ..................................................................................................................................... 160 10.6. (10.6) ..................................................................................................................................... 161 10.7. (10.7) ..................................................................................................................................... 163 10.8. (10.8) ..................................................................................................................................... 163 10.9. (10.9) ..................................................................................................................................... 164 10.10. (10.10) ................................................................................................................................. 164 10.11. (10.11) ................................................................................................................................. 165 10.12. (10.12) ................................................................................................................................. 165 10.13. (10.13) ................................................................................................................................. 166 10.14. (10.14) ................................................................................................................................. 167 10.15. (10.15) ................................................................................................................................. 168 10.16. (10.16) ................................................................................................................................. 169 10.17. (10.17) ................................................................................................................................. 169 10.18. (10.18) ................................................................................................................................. 169 10.19. (10.19) ................................................................................................................................. 171 10.20. (10.20) ................................................................................................................................. 171 10.21. (10.21) ................................................................................................................................. 171 10.22. (10.22) ................................................................................................................................. 172 10.23. (10.23) ................................................................................................................................. 172 10.24. (10.24) ................................................................................................................................. 172 10.25. (10.25) ................................................................................................................................. 175 10.26. (10.26) ................................................................................................................................. 175 10.27. (10.27) ................................................................................................................................. 175 10.28. (10.28) ................................................................................................................................. 175 10.29. (10.29) ................................................................................................................................. 175 10.30. (10.30) ................................................................................................................................. 175 10.31. (10.31) ................................................................................................................................. 175 10.32. (10.32) ................................................................................................................................. 176 10.33. (10.33) ................................................................................................................................. 176 10.34. (10.34) ................................................................................................................................. 176 10.35. (10.35) ................................................................................................................................. 176 10.36. (10.36) ................................................................................................................................. 176 10.37. (10.37) ................................................................................................................................. 176 10.38. (10.38) ................................................................................................................................. 177 10.39. (10.39) ................................................................................................................................. 177 10.40. (10.40) ................................................................................................................................. 178 10.41. (10.41) ................................................................................................................................. 178 ix Created by XMLmind XSL-FO Converter. Valós analízis I-II. 10.42. (10.42) ................................................................................................................................. 178 10.43. (10.43) ................................................................................................................................. 179 10.44. (10.44) ................................................................................................................................. 179 10.45. (10.45) ................................................................................................................................. 180 10.46. (10.46) ................................................................................................................................. 180 10.47. (10.47) ................................................................................................................................. 181 10.48. (10.48) ................................................................................................................................. 182 10.49. (10.49) ................................................................................................................................. 182 10.50. (10.50) ................................................................................................................................. 186 10.51. (10.51) ................................................................................................................................. 186 10.52. (10.52) ................................................................................................................................. 186 10.53. (10.53) ................................................................................................................................. 190 10.54. (10.54) ................................................................................................................................. 190 10.55. (10.55) ................................................................................................................................. 190 10.56. (10.56) ................................................................................................................................. 190 10.57. (10.57) ................................................................................................................................. 191 10.58. (10.58) ................................................................................................................................. 191 10.59. (10.59) ................................................................................................................................. 191 10.60. (10.60) ................................................................................................................................. 192 10.61. (10.61) ................................................................................................................................. 192 10.62. (10.62) ................................................................................................................................. 194 10.63. (10.63) ................................................................................................................................. 195 10.64. (10.64) ................................................................................................................................. 196 10.65. (10.65) ................................................................................................................................. 196 10.66. (10.66) ................................................................................................................................. 196 11.1. (11.1) ..................................................................................................................................... 197 11.2. (11.2) ..................................................................................................................................... 202 11.3. (11.3) ..................................................................................................................................... 206 11.4. (11.4) ..................................................................................................................................... 208 11.5. (11.5) ..................................................................................................................................... 209 11.6. (11.6) ..................................................................................................................................... 209 11.7. (11.7) ..................................................................................................................................... 209 11.8. (11.8) ..................................................................................................................................... 209 11.9. (11.9) ..................................................................................................................................... 211 11.10. (11.10) ................................................................................................................................. 211 11.11. (11.11) ................................................................................................................................. 212 11.12. (11.12) ................................................................................................................................. 212 11.13. (11.13) ................................................................................................................................. 212 11.14. (11.14) ................................................................................................................................. 213 11.15. (11.15) ................................................................................................................................. 213 11.16. (11.16) ................................................................................................................................. 213 11.17. (11.17) ................................................................................................................................. 213 11.18. (11.18) ................................................................................................................................. 213 11.19. (11.19) ................................................................................................................................. 214 11.20. (11.20) ................................................................................................................................. 214 11.21. (11.21) ................................................................................................................................. 215 11.22. (11.22) ................................................................................................................................. 217 11.23. (11.23) ................................................................................................................................. 217 11.24. (11.24) ................................................................................................................................. 218 11.25. (11.25) ................................................................................................................................. 218 11.26. (11.26) ................................................................................................................................. 218 11.27. (11.27) ................................................................................................................................. 218 11.28. (11.28) ................................................................................................................................. 219 11.29. (11.29) ................................................................................................................................. 219 11.30. (11.30) ................................................................................................................................. 219 11.31. (11.31) ................................................................................................................................. 228 11.32. (11.32) ................................................................................................................................. 236 11.33. (11.33) ................................................................................................................................. 237 11.34. (11.34) ................................................................................................................................. 237 11.35. (11.35) ................................................................................................................................. 240 x Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Description:The list of books you might like
