Validation d'algorithmes de recalage non rigide appliqués aux images médicales

25 Pages·2008·1.44 MB·French

I3S, Équipe Rainbow, Polytech’Nice Sophia
930 route des Colles, BP 145, 06903 Sophia Antipolis
Stage réalisé du 4 juin 2007 au 31 juillet 2007
Maître de stage : Johan Montagnat
Validation d’algorithmes de recalage non rigide
appliqués aux images médicales
Benjamin MONMEGE
Juin-Juillet 2007
Résumé
Les progrès importants qu’a connus l’imagerie médicale ces dernières années ont nécessité de nouveaux
outils de traitement d’image, en particulier pour les images en trois dimensions. Les algorithmes de recalage
font partie de ces outils. Il en existe un grand nombre, que ce soit dans le cadre du recalage rigide (où on se
restreint à utiliser des translations et des rotations) ou du recalage non rigide (où toute sorte de champs de
déformation peut être employée). Mais ces algorithmes sont difficiles à valider étant donnée l’absence d’un
étalon de référence permettant de vérifier les champs obtenus. La méthode du bronze standard permet de
s’abstraire de ce besoin d’étalon de référence grâce à une méthode statistique. Déjà mise en place pour le
recalage rigide, cette technique reste à mettre en œuvre dans le cas du recalage non rigide. Ce stage était
l’occasion de résoudre quelques problèmes en vue de l’implantation de cet algorithme de bronze standard.
Table des matières
1 État de l’art 3
2 Contexte scientifique 4
2.1 Bronze standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Algorithmes de recalage non rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Modèles de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Structures caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 L’algorithme PASHA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.4 L’algorithme RUNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Travail accompli 8
3.1 Distances entre transformations 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.1 Cartes de différences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.2 Distance isotrope statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.3 Distance isotrope non statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.4 Distance anisotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Inversion d’une transformation 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2.2 Définition du critère et premiers calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2.3 Descente de gradient du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.4 Méthode de Gauss-Newton - Descente de gradient du deuxième ordre . . . . . . . . . 11
3.2.5 Méthode de Levenberg-Marquardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.6 Mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.7 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Résultats de distances entre champs de recalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Introduction
L’imagerie médicale a connu depuis quelques décennies un essor important. On distingue deux types
d’images médicales. Les images anatomiques fournissent une vision géométrique à un instant donné de
la structure d’organes : échographie, angiographie, scanner, imagerie par résonance magnétique (IRM).
Par ailleurs, les images fonctionnelles permettent de visualiser la fonctionnalité des organes et leurs in-
teractions:électroencéphalographie(EEG),magnétoencéphalographie(MEG),tomographieparémissionde
mono-photons(TEMP),tomographieparémissiondepositons(TEP)etimagerieparrésonancemagnétique
fonctionnelle (IRMf). Des exemples de ces images médicales1 sont donnés dans la figure 1.
Fig. 1 – De haut en bas et de gauche à droite : échographie de foie, scanner de jambe en coupe axiale, TEP,
TEMP et IRMf de crânes
Du fait de ces multiples outils d’imagerie médicale, de nombreuses techniques de traitement d’image
exploitant souvent leur nature 3D sont utiles : de la visualisation, qui permet d’appréhender les images
multi-dimensionnelles et les résultats (voir figure ), à de nombreux traitements de haut niveau tels que la
segmentation permettant d’isoler des zones particulières des organes observés. Lorsqu’il s’agit de comparer
deux images entre elles, qu’elles soient mono-modales (par exemple toutes deux issues d’une image IRM) ou
multimodales (par exemple une IRM et un scanner), un outil de recalage est souvent nécessaire. Il consiste,
étantdonnéesdeuximages3D,enlarecherched’unetransformationgéométriquequilessuperposeaumieux,
en respectant certaines contraintes prédéfinies, dans le but de compenser les différences géométriques liées à
l’acquisition et au sujet étudié.
D’un point de vue médical, lorsque l’objectif est de compenser uniquement des différences de repères
d’acquisition, on utilise des méthodes de recalage rigide (en anglais, rigid registration) : elles autorisent
des transformations rigides uniquement (translations et rotations). Si l’objectif est de recaler deux images
afin de compenser des différences anatomiques, on fait appel à des algorithmes de recalage non rigide (en
1http://www.info-radiologie.ch/
http://www.utc.fr/~farges/dess_tbh/98-99/Projets/TEP/epilepsy.gif
http://www.biocompresearch.org/images/spect00sm1.jpg
http://www.inria.fr/rapportsactivite/RA2002/odyssee/image_28.png
1
Fig. 2 – Capture d’écran du logiciel MedINRIA développé par Pierre Fillard, Jean-Christophe Souplet et
Nicolas Toussaint de l’équipe INRIA-Asclepios. De haut en bas, de gauche à droite : vues coronale, axiale,
sagittale et 3D d’un crâne
anglais,non-rigidregistration):ilspermettentl’utilisationdetransformationsplusgénérales(transformations
affines et tous types de transformations locales 3D telles que les B-splines, les transformations localement
affines ou des transformations représentées par des champs de vecteurs plus ou moins réguliers). La figure
schématise ces différentes méthodes de recalage.
Fig. 3 – Schéma décrivant les différentes techniques de recalage. Sur la ligne du haut, de gauche à droite :
Image flottante et Image de référence. Sur la ligne du bas, de gauche à droite : Recalage rigide (translation
et rotation), Recalage affine (translation, rotation, facteur d’échelle et cisaillement) et Recalage non rigide
(transformation non uniforme).
Denombreuxalgorithmesderecalagesontconnusmaisilesttrèsdifficiledevaliderlaqualitéd’unrésultat
ainsi calculé, du fait de l’absence d’étalon de référence, appelé gold standard dans le domaine médical : il
n’existe en effet aucune méthode permettant de connaître à coup sûr la transformation de recalage que l’on
cherche. On peut tout au plus la connaître sur des fantômes (éléments artificiels tels que des ballons ou des
objets manufacturés simples, dont les caractéristiques sont connues et qui peuvent être numérisés dans des
imageurs médicaux).
L’objetdustageétaitainsidemettreenœuvreunprocédédevalidationdecesalgorithmes,enparticulier
dans le cas du recalage non rigide.
2
Chapitre 1
État de l’art
De nombreuses méthodes de validation ont été développées dans le cadre du recalage rigide. Dans le but
de générer un étalon de référence, des marqueurs visibles lors de l’acquisition médicale ont été implantés
à l’intérieur du crâne de certains sujets. Une validation manuelle pratiquée par des opérateurs humains a
été pratiquée donnant de bons résultats [FWWa97, FHS+98]. Une autre méthode envisagée est de générer
un champ de déformations artificiel appliqué à une image numérisée est d’appliquer ensuite un algorithme
pourrecalerl’imagedéforméeavecl’imagenondéformée[CE97].Cesdifférentestechniquesreposentsurune
confianceenverslesopérateurshumainsetsurl’utilisationdedéformationsartificiellessansréellesignification
physique.
Dans le cadre du recalage non rigide, les méthodes de validation manuelle [CS04] et de génération de
champsartificiels[RKG02]ontégalementétéutiliséesmaisavecdesrésultatsmoinsprobantsdufaitdugrand
nombre de degrés de liberté des transformations envisagées. Une méthode plus sophistiquée, basée sur une
simulationdesdéformationsphysiquesdestissusconcernésparlerecalageetutilisantlaméthodedeséléments
finis, a également été mise au point [STCS+03]. Cette méthode de validation repose sur des hypothèses
restrictives concernant la signification physiologique des champs de recalage générés par les algorithmes.
Cependant, les algorithmes de recalage non rigide utilisés n’intègrent pas nécessairement ces exigences dans
leur fonctionnement.
Afindes’abstrairedeceshypothèsesetproposeruneméthodeapprouvéeparlespraticiens,uneméthode
de bronze standard a été mise au point : il s’agit d’une méthode statistique basée sur des données réelles
fournissant une référence alternative de recalage grâce à la mise en œuvre d’une procédure de recalage
d’une base de données d’image, coûteuse en calculs. Cette méthode a été appliquée au sein de l’équipe
I3S Rainbow/INRIA Asclepios, qui m’a accueilli lors de mon stage [GPM06]. Actuellement, cette méthode
est restreinte à des algorithmes de recalage rigide. L’objet du stage était donc de mettre en place cette
méthode de bronze standard à des algorithmes de recalage non rigide. La difficulté principale est de pouvoir
comparer de manière efficace deux transformations obtenues par deux algorithmes différents. La recherche
et l’implantation de distances entre transformations 3D fut l’objet de la plus grande partie du stage. Une
phase de mise en œuvre du bronze standard a ensuite été abordée.
Cette méthode est coûteuse car elle demande le calcul de très nombreuses transformations. Pour la
rendre possible, une structure de grilles a été utilisée pour paralléliser au mieux les calculs effectués. Une
des grilles utilisées est Grid’5000, un projet national consistant en la construction d’une grille hautement
reconfigurableetcontrôlable,distribuéesur9sitesgéographiquesenFranceetcomptantaujourd’huienviron
3000 processeurs1. L’autre grille employée, possédant une fonction exclusivement productive, est EGEE, un
projet mondial fondé par l’Union Européenne, regroupant environ 30000 processeurs2.
1http://www.grid5000.org
2http://www.eu-egee.org
3
Chapitre 2
Contexte scientifique
Après avoir étudié l’algorithme du bronze standard et son application aux algorithmes de recalage rigide
[GPM06], de nombreuses références m’ont permis de me familiariser avec le fonctionnement de quelques
algorithmes de recalage non rigide.
2.1 Bronze standard
Soient n images 3D correspondant à autant d’acquisitions d’un même organe et soient m algorithmes de
recalage qu’on cherche à valider. On note Tk la transformation obtenue par l’algorithme d’indice k pour
i,j
recaler l’image de référence d’indice i et l’image flottante d’indice j (k ∈{1,..,m},i,j ∈{1,..,n}).
Les variables du problème sont les n−1 transformations notées T¯ reliant les images successives et
i,i+1
qui expliquent le mieux les mesures Tk . La transformation bronze standard entre n’importe quelle paire
i,j
d’images d’indices i et j est alors obtenue par la formule :
T¯ =T¯ ◦T¯ ◦...◦T¯
i,j i,i+1 i+1,i+2 j−1,j
si i<j ou l’inverse si j <i.
Il faut bien noter que les transformations T¯ sont des variables cachées du problème qu’on cherche à
i,i+1
estimer : elles sont solutions d’un système redondant (n−1 inconnues pour m×n×(n−1) mesures Tk ).
i,j
On les recherche comme arguments minimisant la fonction d’erreur quadratique suivante :
C(T¯ ,..,T¯ )= (cid:88) d(Tk ,T¯ )2 (2.1)
1,2 n−1,n i,j i,j
i,j∈{1,..,n},k∈{1,..,m}
où d est une fonction de distance dans l’espace des transformations.
Dans le cadre du recalage rigide, d utilise la distance de Mahalanobis µ et le test statistique du χ2 :
θ2 ||t||2
d(T ,T )2 =min(µ2(T(−1)◦T ),χ2) avec µ2(R(θ,n),t)= +
1 2 1 2 σ2 σ2
θ t
oùθetnsontrespectivementl’angleetlevecteurunitairedéfinissantl’axedelarotationRettestlevecteur
de translation intervenant dans la transformation rigide. La distance de Mahalanobis est normalisée grâce
4
auxvariancesσ2 etσ2 desobservations,quiinterviennentégalementcommevariables(cachées)del’équation
θ t
2.1. Le test statistique du χ2 permet d’imposer une valeur seuil détectant les erreurs visibles de convergence
des algorithmes (en anglais, outliers). Pour les définitions précises des outils de statistique sur des espaces
tels que les espaces de transformations, qui sont des variétés riemaniennes, on pourra se référer à [Pen06].
Les estimations T¯ sont appelées bronze standard car le résultat n’est qu’une approximation de la
i,i+1
vérité terrain inconnue mais il converge vers le recalage parfait lorsque m et n croissent : l’augmentation
du nombre m d’algorithmes prévient contre les biais systématiques et l’augmentation du nombre n d’images
améliore la précision. L’exactitude d’une méthode est alors sa distance au bronze standard.
Danslecadredurecalagenonrigide,ladifficultémajeureestdecalculerunedistancesignificativedentre
deux transformations 3D non rigides. Ce problème sera traité par la suite.
2.2 Algorithmes de recalage non rigide
On s’intéresse ici plus particulièrement aux algorithmes de recalage non rigide. Une classification très
intéressante est donnée dans [CBD+03]. Elle est reprise dans cette section.
Un algorithme de recalage non rigide se décompose en deux éléments principaux : un modèle de défor-
mationutilisépourrégulariserlestransformationsengendréesetlarecherched’élémentscaractéristiques(en
anglais, features) extraits des images utilisés par l’algorithme pour guider le modèle de déformation vers la
transformation désirée.
Dans cette section, on notera I l’image de référence, J l’image flottante et T une transformation géo-
métrique portant sur des images. La figure 2.1 présente des exemples d’images et de transformation. On
recherche la transformation T(cid:98) telle que I =T(cid:98)(J).
Fig. 2.1 – De gauche à droite : Image flottante (Image IRM de crâne), Image de référence (Image IRM de
crâne) et Champ de déformation (Section des objets 3D avec des plans)
2.2.1 Modèles de déformation
On suppose ici connue une distance de recalage D(I,J) entre deux images I et J. L’objectif réel n’est
pas de trouver la transformation exacte permettant de passer d’une image à l’autre : cette transformation
serait bien trop irrégulière pour être utilisable et n’aurait aucune signification physique. En effet, il est en
réalité impossible de recaler deux images issues de deux patients différents : les structures internes, bien que
ressemblantes, recèlent de nombreuses différences qu’aucune transformation ne pourra corriger et que l’on
ne souhaite pas corriger. Il faut donc régulariser le champ théorique pour le rendre exploitable : plusieurs
approches sont alors envisageables.
Modèles paramétriques
Dans cette première approche, on contraint T à appartenir à un ensemble T donné de transformations
avec peu de degrés de liberté : par exemple les groupes de transformations rigides ou affines, les B-splines,
les bases de Fourier ou les ondelettes. On résout alors le problème de minimisation suivant :
T(cid:98)= minD(I,T(J))
T∈T
5
Régularisation compétitive
T(cid:98) n’ayant pas de raison particulière d’appartenir à un ensemble fixe de transformations dans le cas
d’images médicales, cette contrainte peutapparaître comme trop strictedans beaucoup de cas. Unesolution
consiste alors à remplacer ce critère par une énergie de régularisation R dépendante de T. On peut par
exemple citer l’énergie d’élasticité linéaire [SSTU05] :
λ µ
R(T)= [div(T)]2+µ||∇T||2− ||rot(T)||
2 2
On résout alors le problème de minimisation suivant :
T(cid:98)=min{D(I,T(J))+R(T)}
T
Régularisation incrémentale (ou fluide)
Unetroisièmeapprochefondamentalementincrémentalepeutenfinêtreenvisagée.Connaissantunetrans-
formationTi,oncherchealorsunetransformationTi+1 nousrapprochantdelatransformationT(cid:98)recherchée.
Dans ce contexte, l’énergie de régularisation porte donc sur l’évolution de T et le problème de minimisation
i
devient :
T =min{D(I,T(J))+R(T −T )}
i+1 i
T
Cette méthode dépend fortement de la transformation initiale T . Bien sûr, en pratique, ces trois types
0
de modèles peuvent être associés au sein d’un même algorithme.
2.2.2 Structures caractéristiques
Les modèles de déformation permettent de régulariser les transformations considérées. Dans la suite, on
identifie les différentes manières d’extraire une information des images pertinentes pour définir les distances
de recalage D utilisées précédemment.
Recherche de structures géométriques par segmentation
On commence le recalage par la segmentation de tout ou partie des images dans le but de rechercher des
amers géométriques caractéristiques dans les images (points, lignes, structures anatomiques...). Citons par
exemple la recherche des points à forte courbure. Ceci a pour but de délimiter des paires de structures (qui
correspondent généralement à des invariants anatomiques ou mathématiques) que l’on recale ensuite entre
elles. Ceci fournit un ensemble de correspondances C, qui sont des transformations géométriques ne portant
que sur une zone de l’image. La dernière étape de l’algorithme consiste alors à interpoler ou approximer cet
ensemble de correspondances C pour trouver une transformation T grâce à une distance géométrique D et
l’une des méthodes vues précédemment.
Prototypes iconiques
Lesalgorithmesiconiquesnécessitentl’extractiond’informationsgéométriquesmaisutilisentdirectement
l’intensité pour le calcul de la distance D, correspondant à l’une des mesures de similarité suivantes : la
somme des différences au carré (SSD), le coefficient de corrélation (CC), le rapport de corrélation (CR) et
l’information mutuelle (MI).
La mesure la plus simple est la SSD; en notant N le nombre de voxels (équivalent du pixel en 3D) des
images, et X un paramètre décrivant l’ensemble des voxels de ces images, elle est définie par :
1 (cid:88)
SSD(I,T(J))= (I(X)−T(J)(X))2
N
X
On pourra se reporter à [CHH04] pour une description complète des autres mesures.
Prototypes hybrides
Il s’agit d’un prototype intermédiaire entre les deux précédents. Comme dans la première méthode, on
utiliseunedistancegéométriquepourinterpolerunensembledecorrespondancesettrouverlatransformation
T. Mais, ces correspondances sont calculées à partir de paires trouvées grâce à des méthodes basées sur
l’intensité, comme dans le cas iconique. On peut apparier des points d’intensités semblables (algorithme
6
DEMONS [Thi98]), des hyperplans (flot optique [HBMP01]) ou des volumes (block matching [CE97] et
RUNA [SPA04]).
2.2.3 L’algorithme PASHA
Enpratique,lesalgorithmesderecalagesontdesalgorithmesitératifsquiprogressentgrâceàl’alternance
dedeuxétapes:dansunepremièreétape,ilscherchentunensembledecorrespondancesC,qu’ilsinterpolent
dansunesecondeétapeenunetransformationT.Parexemple,l’algorithmeDEMONScorrespondàunemise
en œuvre intuitive basée sur une analogie physique (démons de Maxwell) dans laquelle chacune des deux
étapes est basée sur la minimisation d’une énergie (par un système d’itérations jusqu’à convergence vers un
résultat) mais il n’y a pas d’énergie globale mise en jeu : ainsi, cet algorithme est difficile à analyser. L’idée
de l’algorithme PASHA, comme on peut le voir dans [CBD+03], est d’expliciter une telle énergie globale
pour ensuite en déduire une succession de cycles :
E(C,T)=D(I,C(J))+σ||C−T||2+λσR(T)
C et T sont tous deux considérés comme des champs de vecteurs, échantillonnés avec un vecteur par
voxel. C représente un ensemble de paires : à chaque point de I, il fait correspondre un point de J qui attire
ce point. T est une estimation de la transformation cherchée : il s’agit d’un champ de vecteurs régularisé
(grâce à l’énergie de régularisation R) qui est attiré par les correspondances de C. D est une mesure de
similarité basée sur les intensités. σ et λ sont deux paramètres de pondération.
L’algorithme PASHA consiste en une succession de 2 étapes. On débute avec T =Id. À l’étape n, où on
0
cherche C et T :
n n
•ontrouveC enminimisantD(I,C (J))+σ||C −T ||2 :ceciestclassiquementfaitparuneméthode
n n n n−1
de descente de gradient.
• on trouve T en minimisant ||C −T ||2+λR(T ) : ceci est fait grâce à une convolution avec C .
n n n n n
On remarque, grâce à l’utilisation des deux paramètres, que λ influence uniquement la régularité de la
transformation T alors que σ n’intervient qu’au niveau du bruit dans les images (ce paramètre pénalise en
effet les paires de points si la mesure de similarité D est de l’ordre du bruit).
Remarquons pour finir, que l’algorithme DEMONS s’avère être un cas limite de PASHA lorsque σ tend
vers 0 : dans ce cas, la contrainte de distance entre C et T disparaît lors de la première étape et consiste
simplement à minimiser la mesure de similarité D.
2.2.4 L’algorithme RUNA
Pourconclurecettedescriptionnonexhaustivedesalgorithmesderecalagenonrigide,citonsplusprécisé-
mentl’undesalgorithmeshybridescitéprécédemment:l’algorithmeRUNA[SPA04].Ils’agitd’unalgorithme
basé sur une segmentation des images, grâce à une étude des intensités. L’intérêt de cet algorithme est qu’il
nécessite une information de base (en anglais, prior information) : l’opérateur doit en effet donner en entrée
de l’algorithme des valeurs moyennes de certains tissus caractéristiques de l’image. Par exemple, pour le
recalage de deux images cérébrales, l’utilisateur devra donner les niveaux d’intensité moyens de zones ana-
tomiques telles que la matière blanche, la matière grise ou la peau recouvrant le crâne, ainsi que l’intensité
moyenne du fond de l’image. Grâce à ces informations, la segmentation peut se faire avec une exactitude
plus importante que lors d’une segmentation sans information de base.
Citons pour finir une approche différente pour expliquer les idées communes des algorithmes de recalage
reposant sur l’usage de forces ayant une signification physique. Les forces internes représentent les critères
de régularisation de la transformation T alors que les forces externes représentent les contraintes d’appa-
riement de structures caractéristiques, contraintes qui étaient, dans le formalisme précédent, représentées
par l’ensemble de correspondances C. On pourra se reporter à la thèse de Johan Montagnat [Mon99] pour
l’explication de ce formalisme et son application à la segmentation.
7
Chapitre 3
Travail accompli
Après cette première étape de bibliographie, deux problèmes majeurs semblent se poser pour étendre la
méthode du bronze standard au cas non rigide : définir une distance entre deux transformations 3D non
rigides et minimiser le critère quadratique (équation 2.1).
3.1 Distances entre transformations 3D
Commelemontrelaformuledéfinissantlebronzestandard(équation2.1),ilfautunedistancepermettant
decomparerdeuxtransformationsnonrigides,quis’apparenteraitàladistancedeMahalanobisutiliséedans
le cas rigide. Dans ce cadre, j’ai poursuivi le travail commencé par Cédric Piovano, lors d’un stage qu’il a
effectué en 2006 dans l’équipe Rainbow [Pio06].
On considère dans la suite deux transformations non rigides T et T . Le formalisme utilisé pour repré-
1 2
sentercestransformationsestlechampdevecteurs.OnnoteN lenombredevoxelsdesimagessurlesquelles
portent les transformations T et T et X décrira l’ensemble de ces voxels. Le calcul d’une distance entre T
1 2 1
et T nécessite d’estimer une différence entre champs de vecteurs et de sommer les résidus obtenus.
2
3.1.1 Cartes de différences
La composition de transformations n’étant pas commutative, on peut utiliser deux cartes de différences
distinctes. Ces cartes consistent en des transformations qu’on note Diff et Diff :
float ref
Diff =T ◦T(−1)−Id et Diff =T ◦T(−1)−Id (3.1)
float 2 1 ref 1 2
En pratique, on pourra utiliser l’une ou l’autre, ou bien mélanger les deux pour en déduire une erreur
globale. Dans tous les cas, on note Diff la carte d’erreur choisie dans la suite.
L’idéegénéraleestdesommer(ouplutôtdemoyennerpourpouvoircomparerdeuxdistancesportantsur
desimagesdetaillesdifférentes)lecarrédesnormesdecettecartededifférenceenchaquevoxelpourobtenir
la distance voulue. Cependant, on peut affiner un peu cette méthode comme on va le voir par la suite.
3.1.2 Distance isotrope statique
La distance isotropique statique correspond à la distance de base :
1 (cid:88)
d (T ,T )2 = ||Diff(X)||2
IsoStat 1 2 N
X
3.1.3 Distance isotrope non statique
Ladistanceisotropestatiqueprésenteunénormeinconvénientpratique:lorsdurecalagededeuximages
médicales,certainespartiesneprésententaucunintérêtdanslecalculdeladistanceentrelestransformations
carchaquealgorithme,selonsesspécificités,aboutitàunrésultattoutaussipertinentqu’unautre,etpourtant
très différent. En particulier, le fond de l’image ne contient pas d’information utile au recalage. Le champ de
vecteurs devrait donc être nul dans cette région mais ce n’est pas le cas en pratique, en raison du bruit. De
manière similaire, certaines structures anatomiques ne présentent pas d’intérêt pour une étude et peuvent
êtreignorées.Pourcetteraison,onintroduitunmasquempondérantleszonesdel’imageconsidéréescomme
8