Untitled - Maths R&T St Malo

265 Pages·2010·7.95 MB·French

ourŊ de ath«ematiqueŊ.
M
C
Claude PETIT
Département Réseaux & Télécommunications
IUT de Saint Malo
27 mai 2010
c 2009-2010R&T Saint-Malo 2
(cid:13)
Table des matières
I Semestre 1 11
1 Les nombres complexes 13
1.1 Structure de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Forme algébrique d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3 Conjugaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Forme trigonométrique et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Module d’un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Argument d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 Forme exponentielle d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Equation dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Racine nième d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Equations du second degré dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 Quelques résultats sur les équations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Complexes et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2 Transformations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3 Inversions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Applications des complexes à l’électronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1 Forme complexe d’un signal sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2 Impédance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.3 Fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.4 Fonctions de variables complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Rappels et compléments sur les limites 31
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Limite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Quelques limites usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Limites de polynômes et fractions en 0 et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
∞
2.2.2 Limite d’une fraction en un pôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.3 Fonctions avec radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.4 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.5 La règle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Comparaisonde fonctions au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Branches infinies de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.1 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.2 Branches paraboliques et directions asymptotiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Polynômes et fractions rationnelles 43
3.1 Polynôme à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1 Structure de K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.2 Opérations dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.3 Division dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.4 Factorisationet racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Structure de K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3
3.3 Applications aux télécommunications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 Codes correcteurs d’erreurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.2 Registres linéaires et cryptographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Etude des fonctions numériques 53
4.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.1 rappels des définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.2 Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.4 Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.5 Fonctions trigonométriques et réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.1 Rappels et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.2 Théorème de Rolle et des accroissements finis - Applications. . . . . . . . . . . . . 60
4.2.3 Dérivée seconde et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.1 Exponentielle et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.2 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.3 Remarques sur l’étude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Calcul intégral 69
5.1 Intégrale de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.1 Rappels et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.2 Construction de l’intégrale de Riemann (en option) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.3 Propriétés principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.4 Propriétés de la fonction primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.3 Intégration d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Applications du calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.1 Calculs de volumes, d’aires et de longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.2 Calculs de masse et moments d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.3 Valeur moyenne et valeur efficace, puissance et énergie . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Calcul approché d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4.1 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4.2 Méthode des rectangles, des trapèzes, de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Développements limités 83
6.1 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.3 Exemples usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2.1 Somme, produit, quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2.2 Intégration et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 Applications des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.1 Calculs de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.2 Tangentes et branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7 Intégrales généralisées 89
7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8 Equations différentielles 93
8.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2 Equation d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2.1 Equation à variables séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2.2 Equation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.2.3 Exemples d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.3 Equation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . 96
c 2009-2010R&T Saint-Malo 4
(cid:13)
8.3.1 Forme des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.3.2 Exemples d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
II Semestre 2 101
9 Séries numériques 103
9.1 Définition et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.1.1 Somme partielle d’une série numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.1.2 Convergence d’une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.1.3 Opérations sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.2 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2.1 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2.2 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.2.3 Séries dont le terme général est de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10 Séries de Fourier 109
10.1 Série de Fourier d’une fonction périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.1.1 Polynôme et série trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.1.2 Coefficient de Fourier d’une fonction périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10.2 Convergence des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.2.1 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.2.2 Convergence en moyenne de Césaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.2.3 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11 Transformation de Fourier 115
11.1 Transformée de Fourier d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.1.2 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.1.3 Propriétés de la transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.2 Transformation inverse de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.2.1 Dérivation et décroissance en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.2.2 L’espace de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
S
11.2.3 Formule d’inversion de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
11.2.4 Transformationde Fourier des fonctions de carré intégrable . . . . . . . . . . . . . 121
11.3 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11.3.3 Convolution et série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.4.1 Système physique et fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.4.2 Equations différentielles et transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
12 Théorie du signal 127
12.1 Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
12.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
12.1.2 Définition d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12.1.3 Opérations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12.1.4 Transformationde Fourier d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.1.5 La formule de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.2 Echantillonnage et reconstitution d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.2.1 Formule de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
13 Calcul matriciel 135
13.1 Matrice: définition et notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13.2.1 addition, multiplication par un scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13.2.2 Multiplication et puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
13.2.3 Inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
13.2.4 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
c 2009-2010R&T Saint-Malo 5
(cid:13)
14 Déterminants 139
14.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
14.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
14.1.2 Déterminant d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
14.2 Méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
14.2.1 Méthode des cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
14.2.2 Règle de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
14.2.3 Opérations sur les lignes et les colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
14.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
14.3.1 Calcul de l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
14.3.2 Indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
14.3.3 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
15 Transformation de Laplace 143
15.1 Transformée de Laplace d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
15.1.1 Introduction et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
15.1.2 Propriétés des exponentielles complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
15.1.3 Propriétés de la transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
15.1.4 Produit de convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
15.1.5 Les théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
15.1.6 Transformationinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
15.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
15.2.1 Résolution d’équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
15.2.2 Fonctions de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
15.2.3 Stabilité d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
III Semestres 3 & 4 155
16 Espaces vectoriels 157
16.1 Espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
16.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
16.1.2 Base et dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
16.1.3 Application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
16.2 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
16.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
16.2.2 Sous espaces vectoriels et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
16.2.3 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
16.3 Application à la mécanique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
17 Systèmes linéaires - Résumé de cours 167
17.1 Aspect matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
17.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
17.2.1 Système de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
17.2.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
17.2.3 Systèmes pour lesquels det(A)=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
18 Diagonalisation 169
18.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
18.2 Valeurs et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
18.3 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
18.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
18.4.1 Calcul de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
18.4.2 Systèmes différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
19 Suites numériques 175
19.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
19.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
19.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
19.2 Convergence et limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
19.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
19.3 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
c 2009-2010R&T Saint-Malo 6
(cid:13)
19.3.1 Suites arithmético géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
19.3.2 Suites homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
19.3.3 Récurrence générale du type u =f(u ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
n+1 n
19.3.4 Récurrences linéaires doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
20 Notions sur les séries entières et transformées en z 179
20.1 Rayon de convergence d’une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
20.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
20.2 Fonction définie par une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
20.2.1 Propriétés de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
20.2.2 Fonction développable en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
20.3 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
20.4 Transformées en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
20.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
20.4.2 Echantillonnage et transformée en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
20.4.3 Propriétés usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
20.4.4 Transformée en z inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
20.4.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
21 Dénombrement 191
21.1 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
21.1.1 réunion, intersection, produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
21.1.2 Cardinal d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
21.2 Listes, arrangements,combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
21.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
21.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
21.2.3 Exemples d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
22 Probabilité sur un ensemble fini 201
22.1 Expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
22.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
22.1.2 Quelques exemples d’expériences aléatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
22.1.3 Lien avec la théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
22.2 Probabilité sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
22.2.1 Mesure de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
22.2.2 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
22.2.3 Indépendance stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
23 Variables aléatoires discrètes 209
23.1 Loi d’une variable discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
23.1.1 Introduction et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
23.1.2 Caractéristique d’une loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
23.2 Loi binomiale et loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
23.2.1 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
23.2.2 La loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
23.2.3 Approximation entre lois discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
23.3 Lois conjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
23.3.1 Vecteur aléatoire, loi conjointe et loi marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
23.3.2 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
24 Variables aléatoires continues 219
24.1 Densité d’une loi continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
24.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
24.1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
24.1.3 Sommes de deux variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
24.2 Caractéristiques d’une loi continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
24.2.1 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
24.2.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
24.3 Loi normale et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
24.3.1 Densité d’une loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
24.3.2 Caractéristique d’une loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
24.3.3 Opérations sur les variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
c 2009-2010R&T Saint-Malo 7
(cid:13)
24.4 Théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
24.4.1 Deux inégalités importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
24.4.2 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
24.4.3 Théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
25 Calcul différentiel 229
25.1 Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
25.1.1 Introduction et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
25.1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
25.1.3 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
25.1.4 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
25.1.5 Dérivée partielle d’une fonction vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
25.1.6 Différentielle et matrice jacobienne d’une fonction vectorielle . . . . . . . . . . . . 236
25.1.7 Changement de variables et composition de fonctions vectorielles . . . . . . . . . . 237
25.2 Opérateurs et équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
25.2.1 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
26 Intégrales multiples 243
26.1 Intégrales doubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
26.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
26.1.2 Méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
26.1.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
26.2 Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
26.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
26.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
IV Annexes 249
27 Structures algébriques 251
27.1 Elements de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
27.2 Théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
27.2.1 Appartenance, inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
28 Théorie de l’information 253
28.1 Canal de communication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
28.2 Entropie et information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
29 Introduction aux codes linéaires 255
30 Introduction aux codes cycliques 257
31 Introduction aux codes convolutifs 259
32 Introduction à la cryptographie 261
c 2009-2010R&T Saint-Malo 8
(cid:13)
Avant propos
Ce cours de Mathématiques se décompose en quatre semestres de six mois chacun. Il couvre le
programme des deux premières années de Licence. Les cours du quatrième semestre sont optionnels et
sont destinés aux étudiants envisageantdes poursuites d’études longues.
Le cours a deux ambitions: D’une part donner aux étudiants les outils mathématiques nécessaires pour
suivre les cours de télécommunications, de physique et d’électronique et d’autre part donner à ceux qui
le souhaitent un niveau suffisant pour envisager des poursuites d’études en école d’ingénieur ou pour
préparer des concours d’entrées dans différentes écoles.
Le polycopié présente les résumés du cours qui sera dispensé tout au long des deux années. Il ne le
remplace pas: beaucoup d’exemples donnés en cours n’apparaissent pas dans ce document et à l’inverse
beaucoup de démonstrations ou de paragraphessupplémentaires qui s’y trouvent ne seront pas traités
en cours. Il est donc nécessaire de prendre le cours, ne serait-ce que parce que la prise de notes vous
permet d’apprendre et de comprendre la leçon. On l’aura compris, polycopié et cours sont
complémentaires. On trouvera aussi, dans les annexes, des leçons qui traitent de sujets connexes
(cryptographie,codes correcteurs, files d’attente, théorie des graphes) ou encore des leçons qui
introduisent des notions de troisième année de Licence ou de première année de Master (espaces de
Hilbert, structures algébriques, ...).
Les parties non traitées ou les démonstrations ne sont pas exigibles en examen, mais elles pourront
intéresser ceux d’entre vous qui veulent aller plus loin. Le niveau requis est celui de terminale STI.
Toutes les notions sont reprises à la base avec de nombreux rappels.
Il est indispensable de connaitre son cours avant d’aborder les TD. Pour le travailler, vous pourrez par
exemple le relire et vérifier que vous connaissez (par cœur) les théorèmes, puis refaire les exemples.
C’est seulement après cette phase que les séances de TD vous seront utiles. Il est également important
de préparer les exercices d’un TD sur l’autre, l’idéal étant de retravailler la séance le soir même. En tout
état de cause, une séance non préparée ne sert à rien et un travail régulier est la façon la plus efficace de
progresser.
Le site web du cours de maths contient par ailleurs de nombreux exercices supplémentaires avec des
indications de solutions. Reportez-vous également à la bibliographie qui contient des adresses de sites
intéressants. Enfin, un CD est à votre disposition. Il contient des cours et des exercices de tous niveaux
(révisions de première ou de terminale, cours de premier cycle, ...) pour vous permettre de travailler sur
plusieurs supports. N’oubliez pas non plus la bibliothèque de l’IUT qui contient un nombre important
de livres de cours et d’exercices corrigés.
Le cours de mathématique en R&T est également découpé en modules dont voici la liste. Un module
représente environ 30 heures de cours sur un thème du programme:
Première année:
M1. Fondamentaux d’algèbre: chapitres 0,1,3
M2. Fondamentaux d’analyse: chapitres 2,4,6
M3. Calcul intégral et différentiel: chapitres 5,7,8
M4. Mathématiques appliquées aux réseaux et télécoms: chapitres 13,14,15
M5. Analyse de Fourier: chapitres 9,10,11,12
Seconde année:
M6. Théorie du signal discret: chapitres 19,20
MC1. Algèbre linéaire: chapitres 16,17,18
MC2. Probabilités: chapitres 21,22,23,24
MC3. Statistiques: 27,28,29
MC4. Mathématiques pour l’ingénieur: chapitres 25,26,Annexes.
9