Untersuchungen über elastische Schwingungen in periodischen Getrieben

66 Pages·1964·1.408 MB·German

by  Prof. Dr.-Ing. Walther Meyer zur Capellen, Dipl.-Ing. Heinz Houben (auth.)

FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.1394
Herausgegeben
im Auftrage des Ministerprasidenten Dr. Franz Meyers
von Staatssekretar Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 534.1 :621.837.7
Prof. Dr.-Ing. Walther Meyer zur Capel/en
Dipl.-Ing. Heinz Houben
Institut fur Getriebelehre der Rhein.-Westf. Techn. Hochschule Aachen
Untersuchungen tiber e1astische Schwingungen
in periodischen Getrieben
WESTDEUTSCHER VERLAG· KdLN UND OPLADEN 1964
ISBN 978-3-322-98369-5 ISBN 978-3-322-99110-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-99110-2
Verlags-Nr. 011394
© 1964 by Westdeutscher Verlag, Koln und Opladen
Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag
Vorwort
Hohe Drehzahlen in periodischen Getrieben von Verarbeitungsmaschinen zwin
gen dazu, den dynamischen Kraften besondere Aufmerksamkeit zu schenken, aber
auch den Schwingungen, die durch ~inwirkung dieser Krafte auf die nicht mehr
starr anzusehenden Getriebeglieder hervorgerufen werden.
Bei dem hier vorliegenden Beitrag werden einerseits die elastischen Schwingungen
der Koppel eines Kurbeltriebes und andererseits die Auswirkung einer verander
lichen Antriebsdrehzahl beim Durchfahren der Resonanzstellen, letzteres zunachst
beschrankt auf gleichfOrmig ubersetzende Getriebe, untersucht, urn die Grundla
gen fUr die erheblich weitergehende Losung bei periodischen Getrieben zu
erarbeiten.
Eine wesentliche Unterstutzung bot hierbei ein yom Landesamt fUr Forschung
zur Verfugung gestellter Analogrechner, und es sei dem Herrn Ministerprasident
fur dieses Gerat und die Forderung der vorliegenden Untersuchungen besonders
gedankt.
Die Verfasser
5
Inhalt
A. Die elastischen Schwingungen der Koppel eines Kurbeltriebes ........ 9
I. Schwingungen mit kleinen Auslenkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1. Die geschrankte Schubkurbel ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Die Kurbelschwinge ... . . ........ .......... ............... 18
3. Der Doppelschieber ...................................... 25
II. GroBe Schwingungen ....................................... 26
1. Das allgemeine Gelenkviereck ............................. 26
2. Die Schubkurbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
3. Weitere Naherungen ..... . ....... . . ........ . . . ........ .... 28
III. Losungen.................................................. 30
1. Exakte Losung mit Hilfe eines elektronischen Analogrechners .. 31
2. NaherungslOsungen ...................................... 36
Literaturverzeichnis zu A 41
B. Schwingungen von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden beim Durch-
fahren der Resonanzen wahrend Anlauf und Bremsung .............. 43
1. Behandlung der Aufgabe am elektronischen Analogrechner .... 43
2. Ermittlung der MaBstabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48
3. Beispiel ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50
4. Anfahrvorgange bei rheolinearen Schwingungssystemen . . . . . .. 61
Literaturverzeichnis zu B .................................... 63
7
A. Die elastischen Schwingungen cler Koppel eines Kurbeltriebes
In den vierziger Jahren wurden bereits Schwingungen an Kurbeltrieben mit elasti
schen Gliedern in Zusammenhang mit Untersuchungen uber »Getriebependel«
[1]I behandelt und darauf hingewiesen, daB hierbei die Kennlinie nicht linear ist
und sich entsprechende Folgerungen fur die Resonanz1agen usw. ergeben. Auch
wurden auf die Biegungsschwingungen der Koppel unter Einwirkung von Mas
senkraften bei Annahme eines Kontinuums hingewiesen [2] und nach Hinweis auf
die Belastungen der Koppel unter Massenkraften sowohl in der Langs-wie in der
Querrichtung [3] spater diesen Biegungsschwingungen unter Annahme eines Kon
tinuums erneute Aufmerksamkeit gewidmet [4]. Ebenso wurden die Langsschwin
gungen der Koppel unter Ersatz durch eine Druck-Zugfeder in verschiedenen
Arbeiten unter Annahme gewisser Naherungen behandelt [5-11].
1m f01genden sollen ebenfalls diese letzten Schwingungen behandelt werden, und
zwar zunachst unter Annahme kleiner Amplituden, wobei sich zeigt, daB die Be
wegungsg1eichungen fur Schubkurbel, Kurbelschwinge, Doppelkurbel und Dop
pelschieber grundsatzlich die gleiche Form haben. AnschlieBend solI von dieser
Vereinfachung abgesehen werden. Zur Lasung werden gewisse rechnerische Me
thoden, vor allem aber ein Ana10grechner herangezogen.
I. Schwingungen mit kleinen Auslenkungen
1. Die geschrankte Schubkurbel
1.1 Bezeichnungen
Bei dem in Abb. 1 abgebildeten Getriebe habe die Feder die spezifische Ruckstell
konstante c, die Kurbellange sei a, ihre (konstante) Winke1geschwindigkeit die
00,
Exzentrizitat Ao F = e, der Koppe1winke1 FBA = <:p und der Abstand des gerad
gefuhrten Punktes B yom Punkt F g1eich x gesetzt. Fur die Entfernung A B, d. h.
fur die veranderliche Koppellange sei 1 eingefuhrt (nicht c wie ublich, urn eine
Verwechs1ung mit der Federkonstanten zu vermeiden), und fur die Abweichung
+
von einer Nullange 10 sei die Verschiebung 'I) eingefuhrt, so daB 1 = 10 'I) wird.
Die Lange 10 kann a1s Koppellange des starren, nicht gefederten Getriebes ange
sehen werden, und die zugeharigen Werte fur <:p und x seien mit <:po bzw. Xo be
zeichnet.
1 Literaturverzeichnis s. S. 41.
9
Es werden noch die dimensionslosen GroBen A = ajlo und E = ejlo eingefiihrt,
wobei A + E < 1 sein muB.
Die Verschiebung des Gliedes 3 gegeniiber Xo sei ferner mit ~ bezeichnet, so daB
+
x = Xo ~ wird.
Diese Verschiebung sei klein, so daB auch z. B. 1) als klein anzusehen ist.
Das so definierte System hat die beiden Freiheitsgrade ~ und IX, wobei die Bedin
gung w = dexjdt = const noch auf eine bestimmte weitere Forderung fiihrt.
3
x -------I
x
Abb. 1 Bezeichnungen an der Schubkurbel
1.2 Kinematik
Der Antriebswinkel 5011, vgl. Abb. 1, nicht wie in der spater herangezogenen
IX
Veroffentlichung von der Waagerechten durch Ao, sondern, urn Dbereinstimmung
mit den anderen Getrieben zu bekommen, vom »Steg«, d. h. von der durch Ao
zur Fiihrung von Glied 3 gezogenen Senkrechten gerechnet werden. Dann gilt
zunachst
+
1 sin tp = e a cos IX (1)
und
+
x = a sin IX 1 cos tp, (2)
ebenso fiir starre Koppel;
+ +
10 sin tpo = e a cos IX oder sin tpo = E A cos IX (3)
und
+
Xo = a sin IX 10 cos tpo. (4)
10
Nun wurde doch gesetzt 1 = 10 + 1), x = Xo +~, und kann entsprechend
cp = cpo + a geschrieben werden, wobei die Anderungen klein sind, so daB
~2 I'>:; 0, 1)2 I'>:; 0 und a2 I'>:; 0 wird. Dann k6nnen fur die Differentiale dl, d~ und
da die Differenzen AI = 1), Llx = ~ und Llcp = a geschrieben werden, und bildet
man die Differentiale fur die Gin. (1) und (2) fUr I = 1 so erhiilt man, da ja oc
0,
sich dabei nicht andern solI, AI sin cp + I cos cp . Llcp = 0 oder
1)
a = - - tg cpo, (5)
10
ferner Llx = AI cos cp - I sin cp . Ll cp oder unter Beachtung des Wertes fur
Llcp = a auch
~ = 1)/cos cpo bzw. 1) = ~ cos cpo, (6)
wie sich auch unmittelbar hiitte herleiten lassen.
1.3 Dynamik
1st 01 das Massentragheitsmoment der Kurbel 1 bezogen auf den Drehpunkt
Ao, m3 die Masse des Gliedes 3 und V3 des sen Geschwindigkeit, also, wenn Punkte
Ableitungen nach der Zeit bedeuten,
V3 = X = xo + t
so folgt unter Vernachlassigung der Koppelmasse fur die kinetische Energie des
Systems die Form
(7)
Fur die in die Lagrangeschen Gleichungen einzusetzenden Ausdrucke hat man
dann
-BE. = m3(x.O +. ~) , -d (B-E.) = m3(x.O. +" ~ ), -BE = O. (8)
B~ dt B~ B~
Die in beliebiger StelIung wirkende Federkraft ist P = - C'Il, und die bei der
Varation 8~ von ~ geleistete Arbeit betragt 8A = P 8'Il oder verm6ge der kine
matischen Bezeichnungen zwischen ~ und 1) auch 8A = - C1J • 8~ . cos cpo.
Danach folgt fur die Lagrangesche Kraft KI; = 8A/8~ die Form
KI; = - c ~ cos 2 cpo, (9)
wie auch unmittelbar hatte hergeleitet werden k6nnen.
Hierbei ist aber gemaB Gl. (3)
cos2 cpo = 1 - sin2 cpo = 1-(e: + A cos oc)2
oder (lOa)
cos2 cpo = ao + al cos oc + a2 cos 2 oc = H(oc)
mit
(lOb)
11
1.4 Die Differentiaigieichung der Bewegung
Biidet man die Lagrangesche Gieichung fiir die Veranderliche ~ unter Beachtung
der GIn. (8), (9) und (10), so folgt zunachst
.. c ..
~ + - ~H(tX) = -Xo. (11)
m3
B eac h tet man wel. ter, d au() -d2-~ = w2 -d2-~ 0 der" ~ = w2~" 1. st, wenn S tn.c h e Ab -
dt2 dtX2
Ieitungen nach tX bedeuten, und daB ebenso Xo = w2X~ gilt, so hat man schlieB
lich mit - x~ = F(tX) die folgende Differentiaigieichung mit tX ais unabhangig
Veranderlicher :
(12)
Hierbei wurden noch We = yc/m3 ais Kreisfrequenz einer gewissen Eigenschwin
gung und das Verhaltnis We/W = Xl eingefiihrt, ferner gilt, wie zweimaliges
Differentiieren zeigt (vgl. a. [12]),
- ,,_. aCOStX(E+ACOStX) aAsin2tX
F()
tX - - Xo - a sm tX - + . (13)
cos cpo cos 3 cpo
Da die Fourierreihe fiir Xo bekannt ist [12], kann auch die fiir - x~ angegeben
werden. Es gilt
(A: cos ntX + B: sin ntX), (14)
n= 1, 2, ...
wobei A: = n2An, B: = n2Bn ist und die An bzw. die Bn der zitierten Arbeit
entnommen werden konnen. Es ist jedoch folgendes zu beachten:
a) Hier wird der Winkel tX anders gerechnet, wie oben erwahnt, d. h., es ist
tXF = 7t/2 - tX, wenn der Index F auf den Forschungsbericht hinweisen soll. Fiir
die Umrechnung sind dann die Beziehungen
cos ntX = (- l)k-l sin ntXF fiir n = 2 k - 1, k = 1, 2,
= (-l)k cos ntXF fiir n = 2 k, k = 1,2,
ferner
sin ntX = (_l)k-l cos ntXF fiir n = 2 k - 1, k = 1, 2,
= (- l)k-l sin ntXF fiir n = 2 k, k = 1, 2,
zu benutzen.
b) In der zitiertenArbeit wird die Entwickiung fiir ~ = xo(O) - xo(tX) angegeben,
a a
so daB x~' /a = - s" /a wird.
12
t
£=
1,5 0,9
A 1,4
OF
1,3
1,2
1,1
1,0.......::=----+---+--t--t----l
°
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
).~
Abb.2a Koeffizient Ao der Bewegung des Schubgliedes
t
BlF
1,0 -f--~-+--\fo
0,8 +---::J,.-L--+-\-
0,6 -I=. .....- t-"=--t----7k
0,4 +---I---+--:::;.I£--"t-+-::-,:-----1
0,2 -F==F==F=:::::+--+~ 0,1
\
°° °
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
).--..
Abb.2b Koeffizienten der Bewegung des Schubgliedes fur n = 1
13