Untersuchungen auf dem Gebiete der praktischen Mathematik: Herstellung konformer Abbildungen mit Hilfe des Analogrechners. Praktische Behandlung der Umströmung zweifach zusammenhängender Gebiete

60 Pages·1968·2.31 MB·German

by  Prof. Dr. rer. techn. Fritz Reutter

FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr. 1930
Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 681.14.06:517.54
517.54
Prof Dr. rer. techno Fritz Reutter
Dr. rer. nato Hermann Josef Neukirchen
Dr. rer. nato Dietmar Sommer
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
der Rhein.-WestJ. Technischen Hochschule Aachen
Untersuchungen auf dem Gebiete der praktischen Mathematik:
Herstellung konformer Abbildungen
mit Hilfe des Analogrechners
Praktische Behandlung der Umströmung
zweifach zusammenhängender Gebiete
WESTDEUTSCHER VERLAG KÖLN UND OPLADEN 1968
ISBN 978-3-663-06343-8 ISBN 978-3-663-07256-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07256-0
Verlags-Nr.011930
© 1968 by Westdeutscher Verlag Gm bH, Köln und Opladen
Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag'
Inhalt
Einleitung ............................................................. 5
1. Anwendungsmöglichkeiten des Analogrechners bei der Herstellung konformer
Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Kurze Zusammenstellung der in diesem Bericht verwendeten Operations-
und Schaltsymbole. Stabilitätsbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Anwendungen des Analogrechners bei der Herstellung konformer Ab-
bildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.21 Allgemeines..................................................... 9
1.22 Konforme Abbildung mittels bekannter Funktionen .................. 9
1.23 Anwendungen. . . ..... . . . . . . ...... . ...... . . . . ......... . ...... .. .. 16
1.24 Abbildung bei Vorgabe einer komplexen Differentialgleichung ......... 26
2. Die Umströmung von zwei Kreisen mit Zirkulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33
2.1 Die Entwicklung der Potentialfunktion ............................. 33
2.2 Umkehrung der Potentialfunktion und Herstellung des Strömungsbildes
mittels Netztafelinterpolation ...................................... 35
2.3 Die Staupunkte der Strömung ..................................... 37
2.4 Ausgeführte Strömungsb ilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38
3. Die Umströmung allgemeiner zweifach zusammenhängender Gebiete.. . . .. .. 48
3.1 Verfahren zur Abbildung der Profile auf zwei Kreise ................. 48
3.2 Ausführung der Abbildung mittels Integralgleichungsverfahren ........ 48
3.3 Bestimmung der Größen c, woo, rl und r2 für das äquivalente Kreisprofil 49
3.4 Praktische Lösung der Integralgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51
3.5 Numerische Ergebnisse ........................................... 54
4. Anhang ............................................................. 56
Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58
Literaturverzeichnis ..................................................... 59
3
Einleitung
Der vorliegende Bericht knüpft an zwei frühere Berichte ([8] und [9] *) an. Während
[9] der Anwendung des Digitalrechners zur Herstellung konformer Abbildungen ge
widmet war, wird hier (Abschnitt 1) zunächst die Anwendung des Analogrechners zur
Herstellung konformer Abbildungen behandelt. Die dafür geeigneten Schaltungen und
die Frage nach deren Stabilität werden eingehend untersucht und auf eine größere
Zahl von Beispielen angewandt; die Grenzen der Anwendungsmöglichkeit werden auf
gezeigt. Sodann wird (Abschnitt 2) in teilweiser Anknüpfung an ein schon in [8] auf
gegriffenes Problem - die (e bene) U mströmung zweifach zusammenhängender Bereiche
behandelt, und zwar zunächst an Hand der schon von LAGALLY [7] angegebenen kom
plexen Potentialfunktion für die Umströmung zweier Kreise. Das im vorliegenden
Bericht angewandte Verfahren gestattet es, die Abhängigkeit dieser Strömung von der
relativen Lage und dem Radienverhältnis der beiden Kreise sowie der Zirkulation um
diese durch Herstellung einer größeren Anzahl von Strömungsbildern mit erträglichem
Aufwand zu untersuchen.
Schließlich wird durch Anwendung eines in [9] behandelten numerischen Verfahrens
mittels konformer Abbildung die Umströmung zweier Profile auf die Umströmung
zweier Kreise zurückgeführt (Abschnitt 3). Einige Hilfsmittel zur Behandlung der in
Abschnitt 2 benötigten höheren transzendenten Funktionen sind in Abschnitt 4 zu
sammengestellt.
1. Anwendungsmöglichkeiten des Analogrechners
bei der Herstellung konformer Abbildungen
1.1 Kurze Zusammenstellung der in diesem Bericht verwendeten Operations
und Schaltsymbole. Stabilitätsbetrachtungen
Beim elektronischen Analogrechner werden die Rechengrößen durch mit der Zeit t
veränderliche elektrische Spannungen U = u(t) dargestellt. Aus der Eingangsspannung
ue(t) wird in einem geeigneten RechenelementF die Ausgangsspannung ua(t) = F(ue(t»
gebildet.
Für die linearen Rechenoperationen (Addition, Integration, Differentiation) besteht das
Rechenelement im wesentlichen aus einem Gleichstromverstärker mit hohem Verstär
kungsgrad V (V r::::; 104 im Falle des Telefunkenrechners RA 463/2, der bei der Berech
nung der späteren Beispiele benutzt wurde).
Das Symbol für einen derartigen (summierenden) Verstärker ist in Abb. 1 angegeben.
Das Symbol für einen Summierer zeigt Abb. 2, für einen summierenden Integrator
Abb. 3. Spannungsteiler (Potentiometer) sind durch einen Kreis symbolisiert, an dem
der Teilungsfaktor ( < 1) vermerkt ist. Das Rechenelement für die nichtlineare Operation
des Multiplizierens wird durch ein Rechteck angedeutet, wobei an jedem Eingang
* Die Klammern [] beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am Ende des Berichts.
5
+ +
durch» « oder »-« angegeben wird, ob die Variable mit dem Gewichtsfaktor 1
oder -1 eingespeist wird (Abb. 4a; dabei ist E die Spannung, welche bei Aufschaltung
auf die beiden Eingänge des Multiplikators, eine Ausgangsspannung derselben Größe
liefert; E ist also der Zahl 1 äquivalent).
Richtet man den Multiplikator so ein, daß die Spannung E die Aussteuerungsgrenze
darstellt, so kann man nur Zahlen x = Ul und y = U2 miteinander multiplizieren,
E E
die ihrem Betrag nach kleiner als 1 sind (Abb. 4b).
n
>----<>ua(fJ=-V·i: KjUj(f)
j= ,
Abb.l
n Jt
>----<> Ua= uo-i: kj Uj(T.)dT.
i='
UnG----i' 0
in sec, K in sec-'
j
Abb.3
lXI<
Iyl<
Abb.4b
Durch Kombination eines Multiplikators mit einem Verstärker werden auch die Divi
sion und die Wurzelberechnung möglich. Die Divisionsschaltung nach Abb. 5 kann
U,=x·E
Izr:; - .!!.
. y
Abb.5
6
nur für lyl > lxi arbeiten. Die gleiche Schaltung liefert für Ul = (-x) . E und
U3 = U4 (d. h.y = z) die Quadratwurzel aus x (Abb. 6).
Diese beiden Schaltungen sind Spezialfälle der allgemeineren Schaltung von Abb. 7.
-x
Iz =+VX
-x -e:V=y"" F -I (x)
Abb.7
Bei dieser kann unter gewissen Einschränkungen mit Hilfe des Funktionsgenerators
x = P(y) die Umkehrfunktiony = P-l(x) erhalten werden, indem man den betrefFen
den Funktionsgenerator in den Rückkopplungszweig schaltet. Dann gilt nämlich
+
- x P(y) = e R:! 0,
also näherungs weise
y = P-l(x).
Wie bei allen Rückkopplungsschaltungen so ist auch hier die Frage nach der Stabilität
wesentlich. Eine diesbezügliche Untersuchung wurde von MANNSHARDTI geführt,
wobei unter Annahme idealisierter Rechenelemente die Stabilitätstheo:rie nichtlinearer
Differentialgleichungen benutzt wird. Für die Praxis der Rückkopplungsschaltungen
mit einem offenen Verstärker, welche keine Integrierer (mit nennenswerter Zeitkon
stante) sondern lediglich funktionsartige Rechenelemente enthalten, empfiehlt sich
folgende vereinfachte Betrachtung:
-x
y=- e:V
Abb.8
Schneidet man die Schaltschleife gemäß Abb. 8 am Eingang des rückwirkungsfreien
Verstärkers auf, so erhält man einmal für die Spannung e* am Summenpunkt S
+ +
e* = -x P(- eV) =-x fee). (1.1)
Zum zweiten muß für den geschlossenen Kreis die Schließungsbedingung
e* = e (1.2)
erfüllt sein.
Mannshardt, R., Theorie und Anwendungen von Analogrechenschaltungen mit einem aus
1
gezeichneten Verstärker. Elektron. Rechenanl. 6 (1964), S. 238-246.
7
Die Gleichungen (1.1) und (1.2) stellen im allgemeinen ein nichtlineares Gleichungs
system mit eventuell mehreren Lösungen ei = - Yi dar; dabei ist :x als fester Parameter
V
zu verstehen. Von den danach möglichen Gleichgewichtszuständen ei sind jedoch aus
Stabilitätsgründen nicht alle in der Praxis herzustellen.
Eine notwendige Stabilitätsbedingung der Schaltung nach Abb. 8 für eine der Lösungen
ei ist
o{- x + f(e)}1 = df(e) I < 0
(1.3)
oe E ~ Ei de E ~ Ei
oder für die Funktion F())
dFI 0 (1.3a)
4Y Y~ > .
Yj
Diese Bedingung wird durch die Forderung geliefert, daß einer Vergrößerung von e
*
eine entgegengesetzte Korrektur (d. h. eine Verkleinerung) von e entspricht. Für
Sicherheit gegen Selbsterregung würde bereits oe* < 1 genügen; da der Unterschied
oe
zu (1.3) jedoch unbedeutend ist (Null- und Eins-Stellen von oe* fallen wegen V ~ 104
oe
praktisch zusammen), wird im folgenden mit der leichter zu handhabenden Bedingung
(1.3a) gearbeitet. Daraus folgt für die Divisionsschaltung nach Abb. 5, daß sie nur für
Y > 0 stabil arbeiten kann, und für die Wurzelschaltung nach Abb. 6, daß die Ausgangs
größe Z den positiven Wert der Wurzel haben muß.
dF
Will man auch die LösungenYi der Gleichungy = F-l(x) darstellen, für die - (Yi) < 0
dy
ist, so muß man im Rückkopplungszweig einen Inverter (Vorzeichenumkehrer) ein
schalten. Dann muß jedoch gleichzeitig am Eingang (- x) durch (+ x) ersetzt werden,
damit wieder Gleichung (1.1), (1.2) - jetzt in der Form x - fee) = e ~ 0 - erfüllt ist.
Beide Umschaltungen können gleichzeitig durch Vorschalten eines (vorzeichenumkeh
renden) Summierers vor den Verstärker bewirkt werden.
Damit wird es möglich, eine Divisionsschaltung auch für y < 0 anzugeben und bei der
Wurzelschaltung den negativen Wert der Wurzel zu erhalten.
Als allgemeine Merkregel für eine stabile Divisions- bzw. Wurzelschaltung gilt also:
Im Gegenkopplungszweig darf das Vorzeichen nicht verändert werden.
Bisher war nur von stabilen bzw. instabilen Zuständen der Schaltungsschleifen die Rede.
Eine andere Frage ist: Konvergiert die Ausgangsgrößey überhaupt von einem bestimm
ten Anfangswert.yo aus gegen die gesuchte Wurzel der Gleichung
F(y)-x = 0, (1.4)
und falls mehrere Wurzeln vorhanden sind, gegen welche?
In der Praxis muß sich ja ein solches Rückkopplungssystem von Yo beim Einschalten
des Rechners auf einen solchen WertYi einregeln, daß die Gleichung (1.4) erfüllt wird.
Nach [6] verläuft dieser Ausgleichsvorgang nach Differentialgleichungen, nämlich den
Arbeitsgleichungen der am Rechenvorgang beteiligten Verstärker und Netzwerke. Sind
diese richtig bemessen, so geht die Differentialgleichung für Y asymptotisch in die
Gleichung (1.4) über, wobei y gegen eine Wurzel dieser Gleichung konvergiert.
8
In der Praxis hat es sich für die Divisions-und Wurzelschaltung gezeigt, daß, wenn das
Stabilitätskriterium (1.3) für den stationären Zustand erfüllt ist, dies auch hinreichend
dafür ist, daß dieser Zustand ausgehend von Yo = 0 in kürzester Zeit nach dem Ein
schalten angenommen wird.
1.2 Anwendungen des Analogrechners
bei der Herstellung konformer Abbildungen
1.21 Allgemeines
Die Stärke des Analogrechners liegt weniger in seiner Genauigkeit als vielmehr in seiner
Fähigkeit, Integrationen auszuführen (also z. B. Differentialgleichungen zu lösen), und in
seiner kontinuierlichen Arbeitsweise, die eine elegante Anwendung des Rückführprinzips
gestattet.
Diese Eigenschaften erlauben unter Umständen eine gute Verwendbarkeit des Analog
rechners für die Herstellung konformer Abbildungen, wenn diese mittels bekannter
Funktionen durchgeführt werden. Dabei müssen die Funktionen jedoch hinreichend
einfach sein, da erstens die Anzahl der zur Verfügung stehenden Rechenelemente be
schränkt ist und zweitens bei einer umfangreichen Schaltung die Ungenauigkeit der
Rechenelemente zu einem erheblichen Abbildungsfehler führt.
Für welche Arten von Funktionen der Analogrechner brauchbar ist, hängt davon ab,
welche Möglichkeiten zur Funktionsbildung beim jeweiligen Gerät gegeben sind.
Von großem Nutzen ist hier die Fähigkeit des Analogrechners, in gewissem Umfang
Differentialgleichungen zu lösen; denn einerseits läßt sich eine große Zahl elementarer
Abbildungsfunktionen durch Lösung einer Differentialgleichung gewinnen, und anderer
seits kann man auch solche Funktionen zur Abbildung heranziehen, für die zunächst
nur eine Differentialgleichung bekannt ist.
Für die Durchführung eines Näherungsverfahrens ist der Analogrechner nicht gut ge
eignet, da die hierbei benötigten Funktionen im allgemeinen nicht im Rechner selbst
hergestellt werden können und auch nur sehr schwierig von außen einzugeben sind.
Integralgleichungen, die bei gewissen Typen von Näherungsverfahren auftreten - vgl.
[2], [9] -, scheiden zwar nicht prinzipiell für eine Behandlung auf dem Analogrechner
aus [10], jedoch ist die Erzeugung der in diesem Fall auftretenden Kernfunktion mit
großen technischen Schwierigkeiten verbunden.
Wegen der geringen Eignung des Analogrechners für Näherungsverfahren soll im fol
genden nur die konforme Abbildung mittels bekannter Funktionen behandelt werden.
Darunter sind auch solche Funktionen zu verstehen, die durch eine komplexe Diffe
rentialgleichung implizit bekannt sind.
1.22 Konforme Abbildung mittels bekannter Funktionen
Da auf dem elektronischen Analogrechner nur eine reelle unabhängige Veränderliche,
nämlich die Maschinenzeit t *, zur Verfügung steht, ist es nötig, alle komplexwertigen
Rechnungen durch Zerlegung in kartesische Koordinaten oder Polarkoordinaten im
Reellen durchzuführen.
HEINHOLD [4], [5] schlägt für die Abbildungsfunktion w = w(Z) eine Zerlegung in
Real- und Imaginärteil vor: u = u(x,y); v = v(x,y) - was in den meisten Fällen auch
am zweckmäßigsten ist. In dieses Funktionensystem wird dann eine geeignete Para
meterdarstellung
x = x(t)
(1.5)
y = y(t)
9
für die Kurve Cz in der z-Ebene eingesetzt, so daß am Ausgang der Schaltung die
beiden Funktionen u = u(t) und v = v(t) zur Verfügung stehen, die man auf die Hori
zontal- bzw. Vertikalablenkung eines Anzeigegerätes schalten kann, so daß dann die
Bildkurve Cw in der w-Ebene erscheint. Daneben wird in dieser Arbeit eine zweite -
in dieser Weise nur auf dem Analogrechner durchführbare - Abbildungsmethode auf
gezeigt, die nicht von der Abbildungsfunktion selbst, sondern von deren Umkehrfunk
tion ausgeht. Ist diese leichter in Real- und Imaginärteil zu zerlegen als die eigent
liche Abbildungsfunktion, so lassen sich oft beträchtliche Einsparungen bezüglich der
benötigten Rechenelemente erzielen, was nicht zuletzt der Genauigkeit zugute kommt.
Drittens ist es in vielen Fällen möglich, dur°ch algebraische Umformung eine Gleichung
für die Bildkurve Cw in der Form/(u, v) = zu finden, die für eine Behandlung auf dem
Analogrechner recht geeignet ist.
Diese Möglichkeiten sollen jetzt am Beispiel der für die Praxis wichtigen Abbildung
Vz
w = ± näher erläutert werden. Die Zerlegung in Real- und Imaginärteil ergibt
± VO,S(+Vx2+y2 +x),
1(=
(1.6)
v ± VO,S (+Vx2+ y2 - x).
=
Abb.9
Die zugehörige Schaltung ist in Abb. 9 dargestellt. Eine optimale Dimensionierung der
Schaltung im Hinblick auf eine gute Aussteuerung der Rechenelemente (besonders der
Multiplikatoren, wenn deren Genauigkeit nicht in der Größenordnung derjenigen der
anderen Elemente liegt) kann unter Umständen erhebliche zusätzliche Rechen- und
Schaltarbeit erfordern, die naturgemäß mit der Anzahl der Multiplikatoren an
wächst.
Aus diesem Grunde - abgesehen davon, daß für größere Schaltungen die zur Verfügung
stehende Anzahl der Multiplikatoren oft sehr knapp ist - wird hier versucht, eine zweite
Methode zu entwickeln, die mit möglichst wenigen Multiplikatoren auskommt. Dabei
bietet sich der Gedanke an, eine entsprechende Übertragung der Wurzel schaltung vom
Reellen ins Komplexe zu versuchen. Genau wie in 1.1 im Reellen von der gesuchten
Größe ausgehend die Schaltung für die Umkehrfunktion aufgebaut und deren Ausgangs
größe in den Eingang des Verstärkers rückgeführt wurde, werden jetzt im Komplexen
Vz)
zwei Verstärker vorgesehen, an deren Ausgang die gesuchten Größen u = Re (
Vz)
und v = Im ( erscheinen sollen. Diese Größen werden in die Schaltung für die
Umkehrfunktion Z = w2, d. h. x = u2- v2 und y = uv eingegeben, und jeder Aus-
2
gang dieser Schaltung wird jeweils zu einem der Verstärker zurückgeführt, wie aus
Abb. 10 zu ersehen ist.
10
-x
v
Abb.10
Diese Berechnungsweise ist äquivalent mit der iterativen Auflösung eines nichtlinearen
Gleichungssystems.
Eine derartige »implizite« Berechnung mittels der Umkehrfunktion ist auf dem Analog
rechner wegen dessen kontinuierlicher Arbeitsweise möglich. Eine Nachahmung dieses
Rückführprozesses bei digitaler Berechnung stellen die Iterationsverfahren dar, die
jedoch niemals momentan das Ergebnis liefern, wie es praktisch beim Analogrechner
der Fall ist.
Es ist klar, daß die Stabilitätsuntersuchung einer Auflöserschaltung für ein System
von Gleichungen, bei der ja jetzt die Regelkreise für die einzelnen Variablen miteinander
gekoppelt sind, im allgemeinen schwieriger ist als bei der Auflöserschaltung für die ein
zelne Gleichungf(y) = x.
Da bisher allgemeine Untersuchungen über diese Frage mit Ausnahme der linearen
Systeme noch ausstehen, soll hierauf etwas näher eingegangen werden, indem die
Methode der Auflösung impliziter Gleichungen auf ein System von Gleichungen er
weitert wird. Da für die konforme Abbildung nur Systeme mit zwei Unbekannten in
Frage kommen, wird die folgende Darstellung hierauf beschränkt, obwohl sich die
Überlegungen leicht auf Systeme mit mehr Unbekannten erweitern lassen.
Gegeben sei das algebraische Gleichungssystem
!I (Ul , U2) = al
.h(Ul, U2) = a2,
dessen Auflöserschaltung in Abb. 11 angegeben ist (vgl. auch [1], S. 333).
U =-E V
>::--"?-----o 1 1
Abb. 11 Die gestrichelt gezeichneten Inverter sind je nach den Erfordernissen der Stabilität
den Verstärkern vorzuschalten
Damit die Schaltung stabil ist, muß die Größe e7 bei einer Änderung von ei (i = 1,2)
aus der Gleichgewichtslage eine Änderung in entgegengesetzter Richtung erfahren;
d. h. es muß
(1.7)
gelten.
11