Untersuchung von Optimierungsverfahren für rechenzeitaufwändige technische Anwendungen in ...

80 Pages·2007·4.94 MB·German

FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK
Untersuchung von Optimierungsverfahren für
rechenzeitaufwändige technische Anwendungen
in der Motorenentwicklung
An der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz eingereichte
Diplomarbeit
zur Erlangung des akademischen Grades
Diplom-Mathematiker
(Dipl.-Math.)
Vorgelegt von
Martin Stöcker
geboren am 5. Dezember 1981 in Schleiz
Betreuer: Prof. Luderer
Dipl.-Math.(FH) Ste(cid:27)en Kux
Chemnitz, den 14. Mai 2007
Aufgabenstellung
Untersuchung von Optimierungsverfahren f(cid:252)r rechenzeitaufw(cid:228)ndige technische An-
wendungen in der Motorenentwicklung
Das Ziel der Diplomarbeit besteht darin, nichtlineare Verfahren der ein- und multikriteriellen
Optimierung zu untersuchen, die unter Einhaltung nichtlinearer Nebenbedingungen mit relativ
wenigen Funktionswertberechnungen in der Lage sind, globale Extrema zu (cid:28)nden. Dabei ist zu
beachten, dass keine Gradienteninformationen zur Verf(cid:252)gung stehen, sehr viele lokale Extrem-
punkte existieren und eine Vielzahl an unzul(cid:228)ssigen Punkten die Optimierung erschweren.
Um diesen Schwierigkeiten zu begegnen, kommen im Besonderen Genetische Algorithmen sowie
Ersatzmodell-gest(cid:252)tzte Suchverfahren zur Anwendungen.
Die ausgew(cid:228)hlten Verfahren sollen implementiert und in die IAV-Optimierungssoftware (IAV-
EngineeringToolbox)integriertwerden;ihreTauglichkeitsollantechnischenBeispielen(1D-Str(cid:246)-
mungssimulation, Kettentriebsoptimierung) sowie an geeigneten Testfunktionen gepr(cid:252)ft werden.
Weiterhin soll die M(cid:246)glichkeit der Parallelisierung der Verfahren untersucht und die Verfahren
ggf. dahingehend erweitert bzw. angepasst werden.
1
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort 5
2 Einf(cid:252)hrung in die nichtlineare ein- und multikriterielle Optimierung 6
2.1 Grundlagen der nichtlinearen Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Einkriterielle Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Multikriterielle Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3 Eigenschaften von Paretomengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Umwandlung multikriterieller Optimierungsprobleme in einkriterielle Aufgaben . 10
2.2.1 Das Verfahren der gewichteten Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Die ε-Constraint-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 (cid:220)berblick (cid:252)ber Optimierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Aufw(cid:228)ndige, restringierte Blackbox-Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . 16
3 Genetische Algorithmen 18
3.1 Einf(cid:252)hrung in die Optimierung mit Genetischen Algorithmen . . . . . . . . . . . 18
3.1.1 Das Populationskonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2 Schematischer Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.3 Dekomposition von Optimierungproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.4 Weitere Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Multiobjective real-coded Bayesian Optimization Algorithm (MrBOA) . . . . . . 21
3.2.1 Ablauf der Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2 Initialisierung und Zielfunktionswertbestimmung . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.3 Selektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.4 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.5 Erzeugen einer neuen Population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.6 Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Ersatzmodell-gest(cid:252)tzte Algorithmen 38
4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Approximation nach Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Model-Assisted Evolutionary Strategy (MAES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3.1 Ablauf der Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3.2 Initialisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.3 Zielfunktions- und Fitnesswertbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.4 Training des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.5 Ermittlung eines neuen Punktes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Enhanced Modelbased Multiobjective Optimization Algorithm (EMMA) . . . . . 48
4.4.1 Ablauf der Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.2 Training der Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.3 Ermittlung neuer Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2
Inhaltsverzeichnis
5 Vergleiche von Optimierungsalgorithmen 53
5.1 Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Analytische Testfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3 Technische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Vergleichskriterien f(cid:252)r Optimierungsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4.1 Einkriterielle Optimierungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4.2 Multikriterielle Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Ergebnisse und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5.1 Einkriterielle Testprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5.2 Multikriterielle Testprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.6 Empfehlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 Zusammenfassung und Ausblick 75
3
Abbildungsverzeichnis
2.1 Zul(cid:228)ssige Menge, Paretomenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Beschleunigung und Preis (cid:21) zwei konkurrierende Ziele . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Anwendung der gewichteten Summenmethode bei konvexer und nichtkonvexer
Paretomenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Die ε-Constraint-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 (cid:220)bersicht (cid:252)ber Optimierungsverfahren der nichtlinearen Optimierung . . . . . . . 14
3.1 Einteilung der Individuen einer Population in R(cid:228)nge . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Bewertung von Punkten hinsichtlich der Sharing Intensity . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Crowding Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Fitnesswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Behandlung von Nebenbedingungen im MrBOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6 Graphisches Modell zur Darstellung von Abh(cid:228)ngigkeiten zwischen mehreren Er-
eignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7 Zerlegung eines Graphen in seine zwei Zusammenhangskomponenten . . . . . . . 33
4.1 Beispiel eines Kriging-Modells mit Bewertung der Sicherheit der Approximation . 47
4.2 Verlauf des Parameters w w(cid:228)hrend einer Optimierung mit 300 Zielfunktionsaus-
wertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1 Testfunktion Rosenbrock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Testfunktion Griewank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Testfunktion Himmelblau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 Testfunktion Rastrigin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5 Testfunktion Deb 2 mit zul(cid:228)ssigem Bereich (gr(cid:252)n) . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.6 Festlegen einer Optimierungsaufgabe in der EngineeringToolbox . . . . . . . . . . 60
5.7 Die EngineeringToolbox w(cid:228)hrend der Bearbeitung eines Optimierungsproblems . 60
5.8 Simulation von Steuerketten durch V-CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.9 Darstellung eines Modells mit GT-Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.10 Verlauf der Optimierung von Testproblemen in Abh(cid:228)ngigkeit der Anzahl berech-
neter Zielfunktionswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4
1 Vorwort
Optimierung spielt in Entwicklung und Technik eine immer gr(cid:246)(cid:255)ere Rolle. Um Rohsto(cid:27)e und
Kapazit(cid:228)ten voll auszusch(cid:246)pfen, Bauteile zu optimieren und komplexe Abl(cid:228)ufe e(cid:30)zient zu ver-
walten, werden verst(cid:228)rkt M(cid:246)glichkeiten mathematischer Optimierung genutzt. Dabei treten in
der Technik Probleme auf, die mit klassischen Optimierungsverfahren nicht zufriedenstellend ge-
l(cid:246)st werden k(cid:246)nnen.
Herk(cid:246)mmliche Optimierer nutzen beispielsweise Gradienten oder vertrauen auf die Konvexit(cid:228)t
des Zielraumes. Doch bei technischen Anwendungen sind Gradienteninformationen meist nicht
verf(cid:252)gbar, die Zielfunktionen sind hochgradig nichtlinear. Nichtlineare Nebenbedingungen und
(cid:18)L(cid:246)cher(cid:16) in der zul(cid:228)ssigen Menge erschweren die Optimierung. Dar(cid:252)ber hinaus wird in vielen
F(cid:228)llen nicht nur ein Ziel verfolgt, sondern mehrere, sich teilweise widersprechende Kriterien sol-
len verbessert werden.
Um unter diesen schwierigen Bedingungen eine Verbesserung der Zielfunktionen m(cid:246)glich zu ma-
chen, ist es n(cid:246)tig, alle verf(cid:252)gbaren Informationen aus bekannten Punkten zu verwerten um den
Zielraum zu analysieren.
Diese Diplomarbeit stellt Optimierungsmethoden zur L(cid:246)sung der oben beschriebenen Optimie-
rungsaufgaben vor, die mit einem Minimum an Funktionsauswertungen auskommen.
Die vorliegende Arbeit ist wie folgt gegliedert: Kapitel 2 stellt eine kurze Einf(cid:252)hrung in die ein-
und multikriterielle Optimierung dar. Dabei wird zun(cid:228)chst auf grundlegende Begri(cid:27)e und die
R(cid:252)ckf(cid:252)hrung von multikriteriellen Optimierungsproblemen auf einkriterielle eingegangen. Der
zweite Teil enth(cid:228)lt einen (cid:220)berblick (cid:252)ber g(cid:228)ngige Optimierungsverfahren und stellt die Klasse
der aufw(cid:228)ndigen Blackbox-Optimierungsprobleme vor.
Die Kapitel 3 und 4 beschreiben jeweils ein Verfahren zur L(cid:246)sung von aufw(cid:228)ndigen Blackbox-
Optimierungsproblemen: Kapitel 3 umrei(cid:255)t zuerst grundlegende Eigenschaften Genetischer Al-
gorithmen und beschreibt dann einen modernen Genetischen Algorithmus am Beispiel des Ver-
fahrens MrBOA. Der Algorithmus MAES, der in Kapitel 4 vorgestellt wird, z(cid:228)hlt zur Klasse der
Ersatzmodell-gest(cid:252)tzten Optimierungsverfahren. Seine Funktionsweise wird im ersten Teil des
Kapitels beschrieben. Zur Beseitigung von Schwachstellen des MAES wird im zweiten Teil das
Verfahren EMMA eingef(cid:252)hrt.
Die Bewertung der betrachteten Optimierungsalgorithmen erfolgt im Kapitel 5. Die Leistungsf(cid:228)-
higkeit der einzelnen Methoden wird an analytischen Testproblemen und einigen Problemen aus
der Technik bestimmt. Kapitel 6 fasst die gewonnen Erkenntnisse zusammen.
5
2 Einf(cid:252)hrung in die nichtlineare ein- und
multikriterielle Optimierung
DasfolgendeKapitelsolleinenEinblickindieein-undmultikriterielleOptimierungnichtlinearer
Funktionen geben. Grundlegende De(cid:28)nitionen und Konventionen werden im ersten Teil bereit-
gestellt; der zweite Abschnitt erl(cid:228)utert die Umwandlung multikriterieller Optimierungsprobleme
in einkriterielle. Nach einem (cid:220)berblick (cid:252)ber bekannte Verfahren der nichtlinearen Optimierung
wird im letzten Teil die besondere Klasse der aufw(cid:228)ndigen Blackbox-Optimierung vorgestellt,
mit der sich diese Diplomarbeit haupts(cid:228)chlich befasst.
WennnachstehendAufgabenderein-undmultikriteriellenOptimierungangegebenwerden,han-
delt es sich stets um Minimierungsaufgaben. Da die Maximierung einer Funktion f (cid:228)quivalent
zur Minimierung von f ist, stellt dies keine Einschr(cid:228)nkung dar.
−
2.1 Grundlagen der nichtlinearen Optimierung
Ein allgemeines nichtlineares Mehrziel-Optimierungsproblem besteht aus einer Anzahl von Ziel-
funktionendieunterBeachtungvonNebenbedingungenminimiertbzw.maximiertwerdensollen.
Die Argumente x = (x ,x ,...,x )τ der Zielfunktionen werden als Variablen, in der Technik
1 2 N
h(cid:228)u(cid:28)g auch als Parameter, Parameterwerte oder Entscheidungsvariablen bezeichnet.
Gegeben sind M Zielfunktionen f ,f ,...,f mit f : RN R, m = 1,2,... M. Eine nichtli-
1 2 M m
→
neare Minimierungsaufgabe kann wie folgt beschrieben werden:
Minimiere fm(x) m = 1,2,...,M
u.d.N. gj(x) 0 j = 1,2,...,J (2.1)
≥
hk(x) = 0 k = 1,2,...,K
x(L) x x(U) i = 1,2,...,N
i ≤ i ≤ i
x RN.
∈
Die Minimierung der Zielfunktion(en) erfolgt unter Einhaltung von Nebenbedingungen. Die
Funktionen g : RN R, j = 1,2,...,J, stehen dabei f(cid:252)r Ungleichheitsnebenbedingungen;
j
→
die Gleichheitsnebenbedingungen werden durch die Funktionen h : RN R, k = 1,2,...,K,
k
→
beschrieben.Zus(cid:228)tzlichwerdenf(cid:252)rdieParameterwertexmeistIntervallgrenzenvorgegeben:x(L)
i
(U)
gibt die untere Grenze, x die obere Grenze der Variablen x an.
i i
Die Menge aller x RN, die in den gegebenen Intervallgrenzen liegen und sowohl die Ungleich-
∈
heits- als auch die Gleichheitsnebenbedingungen erf(cid:252)llen, bezeichnet man als zul(cid:228)ssige Menge:
S = x RN g (x) 0, j = 1,2,...,J h (x) = 0, k = 1,2,...,K
j k
{ ∈ | ≥ ∧ ∧ (2.2)
(L) (U)
x x x ,i = 1,2,...,N
i ≤ i ≤ i }
6
Kapitel 2. Einf(cid:252)hrung in die nichtlineare ein- und multikriterielle Optimierung
Fasst man die Zielfunktionen zur Funktion F : RN RM, F = (f ,f ,...,f )τ zusammen,
1 2 M
→
lassen sich nichtlineare Optimierungsaufgaben kurz als
Minimiere F(x) (2.3)
u.d.N. x S RN
∈ ⊆
darstellen.
Das Bild F(S) der zul(cid:228)ssigen Menge S wird als Zielraum von F bezeichnet.
Abbildung 2.1: Zul(cid:228)ssige Menge, Paretomenge
Abbildung 2.1 visualisiert eine spezielle Optimierungsaufgabe mit zwei Parametern und zwei
Zielfunktionen: Die linke Gra(cid:28)k zeigt die zul(cid:228)ssige Menge; auf der rechten Darstellung ist die
Bildmenge der berechneten Variablen und die Paretomenge bei Minimierung der Zielfunktionen
f und f zu sehen.
1 2
2.1.1 Einkriterielle Optimierung
Falls in (2.1) nur eine Zielfunktion vorhanden ist (M=1), spricht man von einer einkriteriellen
Optimierungsaufgabe.
Ist die zul(cid:228)ssige Menge S nichtleer und kompakt und f eine stetige Funktion, dann existiert ein
1
x∗ S RN, das die Zielfunktion f minimiert.
1
∈ ⊆
Ein Punkt x∗ S wird als lokales Minimum der Funktion f : RN R bezeichnet, wenn es eine
1
∈ →
solche Umgebung U von x∗ gibt, dass
f (x∗) f (x) x U S.
1 1
≤ ∀ ∈ ⊆
Die Funktion f : RN R besitzt an der Stelle x∗ ein globales Minimum, falls gilt
1
→
f (x∗) f (x) x S.
1 1
≤ ∀ ∈
7
Kapitel 2. Einf(cid:252)hrung in die nichtlineare ein- und multikriterielle Optimierung
2.1.2 Multikriterielle Optimierung
DieseArtvonOptimierungsaufgabenwirdauchalsMehrziel-oderVektoroptimierung bezeichnet.
Im Gegensatz zur einkriteriellen Optimierung wird nicht nur eine Funktion minimiert, sondern
mehrereZieleverfolgt.DieseKriterienk(cid:246)nnensichgegenseitigbedingen,sichwidersprechenoder
auch v(cid:246)llig unabh(cid:228)ngig sein.
Die L(cid:246)sungsmenge einer multikriteriellen Optimierungsaufgabe ist dementsprechend kein ein-
zelner Punkt, sondern eine Menge an Kompromissl(cid:246)sungen, die Paretomenge oder Paretofront
genannt wird. Alle Elemente dieser Menge sind optimal (cid:21) ein Vergleich ist nicht ohne Weiteres
m(cid:246)glich(sieheAbschnitt2.1.3).DasZieleinermultikriteriellenOptimierungistsomitdieBestim-
mung einer Approximation der Paretomenge, aus der der Anwender dann geeignete L(cid:246)sungen
ausw(cid:228)hlenkann.EingeeigneterAlgorithmuszurMehrzieloptimierungmussalsoeinerseitsschnell
zur Paretomenge konvergieren und andererseits die Menge m(cid:246)glichst gleichm(cid:228)(cid:255)ig approximieren.
2.1.3 Eigenschaften von Paretomengen
Abbildung 2.2: Beschleunigung und Preis (cid:21) zwei konkurrierende Ziele
DieL(cid:246)sungsmengeeinerMehrzieloptimierung,dieApproximationderParetomenge,kannalseine
Menge von Kompromissen beschrieben werden. Diese Eigenschaft soll am Beispiel eines Auto-
kaufs beschrieben werden: Kunde M w(cid:228)gt bei seiner Kaufentscheidung ausschlie(cid:255)lich die Gr(cid:246)(cid:255)en
Preis und Beschleunigung von 0 auf 100 in Sekunden gegeneinander ab. Verwendet er ein Opti-
mierungsverfahren, das ihm bei der Entscheidungs(cid:28)ndung behil(cid:29)ich ist, zeigt Abbildung 2.2 eine
m(cid:246)gliche L(cid:246)sung.
Die L(cid:246)sungsmenge besteht nicht nur aus einem einzelnen Punkt (ein bestimmtes Fahrzeug),
sondern aus den Autos, die in ihrem Preis-Beschleunigungs-Verh(cid:228)ltnis von keinem anderen ge-
schlagen werden. Fahrzeug B geh(cid:246)rt nicht zur Paretomenge, da Automobil A zum gleichen Preis
mit einer besseren Beschleunigungszeit angeboten wird. Diese Relation bezeichnet man als Do-
minanz. Auto A dominiert Wagen B, da es in einem Kriterium zumindest nicht schlechter und
im zweiten besser ist.
8
Kapitel 2. Einf(cid:252)hrung in die nichtlineare ein- und multikriterielle Optimierung
Mathematisch wird die Relation Dominanz wie folgt beschrieben:
De(cid:28)nition 1:
GegebenseieinmultikriteriellesOptimierungsproblemwiein(2.1)beschrieben.EinPunktx S
∈
dominiert y S, kurz: x y, falls gilt:
∈ ≺
m 1,2,...,M : f (x) f (y) und
m m
∀ ∈ { } ≤
j 1,2,...,M : f (x) < f (y).
j j
∃ ∈ { }
Betrachtet man nun zwei L(cid:246)sungen x und y, so gibt es drei m(cid:246)gliche Beziehungen zwischen
ihnen:
1. x dominiert y
2. x wird durch y dominiert
3. x und y dominieren sich nicht.
Es ergeben sich weitere Eigenschaften der Dominanzrelation aus obiger De(cid:28)nition:
Re(cid:29)exivit(cid:228)t Die Dominanzrelation ist nicht re(cid:29)exiv, da sich ein Element x nach De(cid:28)nition 1
nicht selbst dominiert.
Symmetrie Die Relation ist nicht symmetrisch, da aus x y nicht y x folgt (gerade das
≺ ≺
Gegenteil ist der Fall: y wird durch x dominiert).
Transitivit(cid:228)t Die Dominanzrelation ist transitiv: Gilt x y und y z, dann folgt x z.
≺ ≺ ≺
Mit Hilfe der Dominanzrelation k(cid:246)nnen nun die Begri(cid:27)e nichtdominiert, paretooptimal und Pa-
retomenge erkl(cid:228)rt werden.
De(cid:28)nition 2:
1. Ein Punkt x S hei(cid:255)t nichtdominiert bez(cid:252)glich einer Menge T S genau dann, wenn kein
∈ ⊆
Element in T existiert, das x dominiert: ∄ x T : x x.
∈ ≺
2. Ein Punkt x ist paretooptimal genau danbn, wennbx nichtdominiert bez(cid:252)glich S ist.
3.Eine Menge X S hei(cid:255)t Paretomenge oder Paretofront genau dann, wenn sie nur aus nicht-
⊆
dominierten Punkten besteht.
DasL(cid:246)seneinermultikriteriellenOptimierungsaufgabeentsprichtderSuchenachderParetomen-
ge. Ein Optimierungsverfahren kann stets nur eine diskrete Approximation dieser Menge liefern.
Zu jeder nichtleeren Paretomenge einer Vektoroptimierungsaufgabe werden der Idealpunkt und
der Nadirpunkt wie folgt de(cid:28)niert:
BeieinerOptimierungsaufgabemitM Zielfunktionenexistiertf(cid:252)rjedeZielfunktioneinOptimal-
wert, der unabh(cid:228)ngig von den anderen Zielfunktionen ist. Der Vektor, der aus diesen optimalen
Zielfunktionswerten gebildet wird, hei(cid:255)t Idealpunkt. Der Nadirpunkt ist der Vektor, dessen m-te
Komponente dem schlechtesten Wert der m-ten Zielfunktion in der Paretomenge entspricht.
9