univerzita komenského v bratislave fakulta matematiky, fyziky a informatiky prečo aj hudobník ...

63 Pages·2014·2.45 MB·Slovak

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY

PREČO AJ HUDOBNÍK POTREBUJE MATEMATIKU

Diplomová práca

Študijný program: Učiteľstvo predmetov geografia a matematika
Študijný odbor: 7809 učiteľstvo akademických predmetov – učiteľstvo geografie
a matematiky
Školiace pracovisko: Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky
Školiteľ: PaedDr. Mária Slavíčková, PhD.

Bratislava 2014 Bc. Matej Machurek

Prehlásenie
Čestne prehlasujem, že som predloženú prácu vypracoval samostatne s použitím
uvedenej literatúry.
V Bratislave, .......................................... .................................
Poďakovanie
Chcem sa poďakovať mojej školiteľke PaedDr. Márii Slavíčkovej, PhD., za odborné
vedenie, pripomienky a čas, ktorý mi venovala pri písaní tejto práce.
ABSTRAKT
Matej Machurek: Prečo aj hudobník potrebuje matematiku
Univerzita Komenského v Bratislave, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, Katedra
algebry, geometrie a didaktiky matematiky
Diplomová práca, 63 strán, 4 prílohy, 2014

Táto práca sa venuje skúmaniu prepojení medzi matematikou a hudbou. Cieľom je
predstaviť matematické témy, ktoré možno nájsť v hudbe a ich význam pre hudobníka, resp.
skladateľa. Udávame aj prehľad školských učebníc, v ktorých sa vyskytujú tieto témy. Ďalej
sa v tejto práci venujeme možnosti využitia medzipredmetových prepojení vo vyučovacom
procese. Popisujeme prípravu, priebeh a taktiež aj výsledky uskutočneného výskumu na
danú tému.

Kľúčové slová: matematický prístup k hudbe, zhodnostné rovinné zobrazenia,
posunutie, osová súmernosť, stredová súmernosť, vyučovanie
matematiky, kvalitatívna metodológia, implikatívna analýza
ABSTRACT
Matej Machurek: Why also musician needs mathematics
Comenius University in Bratislava, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics,
Department of Algebra, Geometry and Didactics of Mathematics
Diploma thesis, 63 pages, 4 supplements, 2014

This thesis is focused on relations between mathematics and music. The aim is to
introduce mathematical topics which can be found in music and to show their importance
for musician or composer. We give a short overview of schoolbooks with this topic. In this
thesis we also examine application of interdisciplinary connections in teaching of
mathematics. We describe preparations, process and outcomes from realised research on this
topic.

Key words: mathematical approach to music, plane isometry, translation,
reflection symmetry, point symmetry, teaching of mathematics,
qualitative methodology, implicational analysis
Obsah

Úvod ...................................................................................................................................... 8
1 Matematický prístup k hudobnému dielu ................................................................ 10
1.1 Intervaly ................................................................................................................ 11
1.2 Rytmus .................................................................................................................. 12
1.3 Melódia ................................................................................................................. 14
1.4 Farba tónu.............................................................................................................. 14
2 Vyučovanie zhodnostných zobrazení na rôznych stupňoch vzdelávania .............. 17
2.1 Nižšie sekundárne vzdelávanie (základná škola) .................................................. 18
2.2 Vyššie sekundárne vzdelávanie (stredná škola) .................................................... 20
2.3 Terciárne vzdelávanie (vysoká škola) ................................................................... 21
3 Zhodnostné zobrazenia v hudbe ................................................................................ 25
3.1 Posunutie ............................................................................................................... 25
3.2 Osová súmernosť .................................................................................................. 26
3.3 Stredová súmernosť .............................................................................................. 30
3.4 Vlys ....................................................................................................................... 33
4 Príprava, priebeh a vyhodnotenie výskumu ............................................................ 37
4.1 Výskumná vzorka .................................................................................................. 37
4.2 Príprava výskumu.................................................................................................. 37
4.3 Priebeh vyučovacej sekvencie a zber údajov ........................................................ 39
4.3 Vyhodnotenie údajov ............................................................................................ 44
4.3.1 Roztriedenie odpovedí podľa pochopenia rovinných zobrazení.................... 46
4.3.2 Iný prínos vyučovacej sekvencie ................................................................... 47
4.3.3 Netradičný typ vyučovania ............................................................................ 49
4.3.4 Pripomienky, návrhy ...................................................................................... 51
Záver ................................................................................................................................... 53
Zoznam použitej literatúry ............................................................................................... 55
Prílohy ................................................................................................................................. 59
Úvod

Matematika predstavuje pre niektorých ľudí problém. Spomienky na matematiku zo
školy sú často sprevádzané pocitmi nezáujmu a odmietania, a pokladajú ju za príliš
abstraktnú, logickú a nezaujímavú. Hudba, na druhej strane, vyjadruje niečo, čo sa týka
emócií. Je prítomná v každodennom živote. Snáď každý z nás si už niekedy zaspieval nejakú
pesničku, stlačil klávesu na klavíri, či zabrnkal na gitare. Je to niečo, s čím ľudia bežne
prichádzajú do kontaktu a hudba tak môže byť spôsob, ako vyjadriť svoju jedinečnosť
a individualitu.
Matematických prvkov je v hudbe mnoho. Bez základných počtových schopností by
sme zrejme nepochopili ani to, akú funkciu má v hudobnom diele rytmus. Interpretácia
akéhokoľvek diela vyžaduje schopnosť vnímať časové vzťahy a súvislosti, ktoré síce môžu
byť veľmi zložité, ale dajú sa vyjadriť elementárnou matematikou.
Ak chceme pochopiť základné hudobné štruktúry, možnosti ich opakovania, transformácie,
vsadenia do architektúry hudobného diela a ich vzájomné vzťahy, musíme postúpiť na
vyššiu úroveň matematického myslenia.
Kľúč k pochopeniu významu matematiky v hudbe spočíva v tom, že o hudobnej
skladbe dokážeme uvažovať v logických pojmoch a schémach, ktorými si ju interpretujeme.
Problém vzťahu medzi matematikou a hudbou sa tak premení na skúmanie prítomnosti
logiky v našej interpretácii štruktúrnych vlastností hudobného diela.
Tieto spojitosti spoznal už napr. staroveký grécky matematik Pytagoras, ktorý si všimol
vzťahy medzi frekvenciami tónov v súzvučných intervaloch. Taktiež aj hudobný skladateľ
J. S. Bach, ktorý v 18. storočí skúmal problém, ako nájsť vhodný spôsob jednotného ladenia
klávesových nástrojov. Ani v dnešných časoch nie je výnimočné stretnúť ľudí, ktorých
záujem pokrýva obe tieto oblasti, či už ide o hudobníkov, alebo matematikov.
Cieľom tejto práce je predstaviť niektoré oblasti elementárnej matematiky, ktoré sa
nachádzajú v hudbe. Zamerali sme sa na zhodnostné zobrazenia v rovine. Okrem spísania
týchto prepojení ponúkneme aj aplikáciu týchto poznatkov do vyučovacieho procesu.
Navrhneme a otestujeme vyučovaciu sekvenciu, v ktorej sa daná téma bude prezentovať
žiakom. Domnievame sa, že objavenie a porozumenie prepojenia tém zdanlivo spolu
nesúvisiacich, môže prispieť k hlbšiemu záujmu žiaka o jednu či druhú oblasť.
8
Predložená práca sa člení do štyroch kapitol. Prvá z nich sa zameriava na
predstavenie matematického prístupu k hudbe. Načrtneme niektoré najdôležitejšie pojmy
z hudobnej teórie, ktoré sú nutné k pochopeniu prítomnosti matematiky v hudbe. Ďalšia časť
práce sa venuje vyučovaniu zhodnostných zobrazení na rôznych stupňoch vzdelávania
a taktiež prehľadu školských učebníc k tejto téme.
Tretia kapitola je teoretickým základom pre uskutočnený výskum. Kapitola je zameraná na
opísanie výskytu a významu geometrických rovinných zobrazení v hudobných dielach,
pričom ide najmä o posunutie, osovú a stredovú súmernosť.
Posledná, štvrtá kapitola, opisuje výskum, ktorý zahŕňa proces návrhu, realizácie a zberu dát
z uskutočnenej vyučovacej sekvencie, počas ktorej sa zužitkovali poznatky zistené
v predchádzajúcich kapitolách. Nasleduje kvalitatívna analýza zozbieraných dát, z ktorých
sa vyvodia závery a odporúčania.

9
1 Matematický prístup k hudobnému dielu

Pravdepodobne prvý človek, ktorý skúmal vzťahy medzi matematikou a hudbou, bol
Pytagoras zo Sámu (asi 580-500 p. n. l.). V meste Krotón založil asi v r. 530 p.n.l
nábožensko-mravnú spoločnosť, v ktorej zaviedol svojský spôsob života. Je po ňom
pomenovaný aj filozofický smer pytagoreizmus, ktorý sa stal svetovým názorom uzavretej
skupiny strednej aristokracie v južnom Taliansku, kam Pytagoras odišiel z vlasti pred
tyranom Polykratom. Učenie založené Pytagorom nezaniklo ani po jeho smrti. Postupne
prenikalo do učenia iných škôl, najmä do učenia Platóna (427-347 p.n.l.), a tiež sa samo
vyvíjalo v celok vyznávajúci tajomnosť a mystiku čísiel.
Pytagoras aj pytagorejci vychádzali zo štúdia matematiky. Veľký vplyv na nich mala
egyptská matematika, ale zatiaľ čo Egypťania používali matematiku a geometriu
predovšetkým na praktické účely, Gréci sa zaoberali teóriou. Pytagoras síce študoval
aritmetické a geometrické postupnosti, ale zaoberal sa predovšetkým geometriou. Dokázal
sám, alebo jeho vplyvom niektorý z jeho žiakov Pytagorovu vetu, ktorá vo svojej konštrukcií
bola známa už Egypťanom; objavil, že súčet uhlov v trojuholníku sa rovná dvom pravým
uhlom a iné. Pri zaoberaní sa hudbou prišiel na to, že výška tónu zodpovedá dĺžke napnutej
struny a že medzi dvoma tónmi sú určité (harmonické) pomery. A pretože pohybujúce sa
nebeské telesá taktiež vytvárajú tóny (harmónia sfér), ktorých výška zodpovedá vzdialenosti
hviezd a zároveň rozdielu tónov v oktáve, vyvodil z toho záver, že čísla sú podstatou vecí
a princípy čísel sú zároveň princípy vecí. Tak sa od látky dostal k forme, od kvality ku
kvantite. (Piknerová, 2009)
Za obzvlášť významnú bola u pytagorejcov považovaná štvorica prvých čísel, tetraktys,
pretože ich súčet sa rovná číslu desať (1+2+3+4=10). Číslo desať má zase tú vlastnosť, že
obsahuje taký istý počet prvočísel spolu s 1 (1,2,3,5,7), ako čísel zložených (4,6,8,9,10).
Tetraktys zahŕňa aj harmonické pomery – 2:1 oktávu, 3:2 kvintu, 4:3 kvartu, 4:1 dvojoktávu.

10