univerza v ljubljani pedago狸a fakulteta diplomsko delo anita mandelj

69 Pages·2016·1.73 MB·Slovenian

UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGO(cid:146)KA FAKULTETA
DIPLOMSKO DELO
ANITA MANDELJ
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGO(cid:146)KA FAKULTETA
(cid:146)tudijski program: Matematika in ra£unalni†tvo
Ravninske mre”e in posplo†itve Pickovega izreka
DIPLOMSKO DELO
Mentor: prof. dr. Matija Cencelj Kandidatka: Anita Mandelj
Somentor: asist. dr. Bo†tjan Gabrov†ek
Ljubljana, junij, 2016

Zahvala
Zahvaljujem se mentorju dr. Matiji Cenclju za potrpe”jivost, strokovno vodenje in
vso pomo£ pri nastajanju diploskega dela. Tudi somentorju dr. Bo†tjanu Gabrov†ku
hvala za nasvete, predloge in pomo£ pri programiranju.
Zahvaljujemsestar†emaSilviinIvanu, sestriTini, inMihuzarazumevanje, podporo
ter spodbudo. Hvala tudi vsem ostalim, ki so verjeli vame.

Povzetek
Obravnavamo enakomerno porazdeljene diskretne mno”ice to£k v ravnini, ki jim
pravimo mre”e. Najbolj znane in preu£evane so kvadratne mre”e, poseben
predstavnik takih mre” je mre”a vseh to£k s celo†tevilskimi koordinatami v ravnini
R×R. Obravnavamo tudi pravokotne mre”e, paralelogramske mre”e in trikotni†ke
mre”e. Z raziskovanjem kro”nic, postavljenih na razli£nih mre”ah, ugotavljamo
povezavo med †tevilom mre”nih to£k znotraj in na kro”nici ter †tevilom π.
Ugotavljanje zgornje in spodnje meje za napako, ki pri tem nastane, imenujemo
Gau(cid:255)ov problem s kro”nicami, saj je prav on prvi raziskoval mre”e in kro”nice na
njej. Poka”emo tudi zgornjo mejo za najkraj†o razdaljo med dvema mre”nima
to£kama. S pomo£jo izreka iz teorije †tevil pove”emo †tevilo mre”nih to£k v in na
kro”nici z Leibnizevo vrsto. Obravnavamo vpra†anje posplo†itve Pickovega izreka
na splo†nej†e mre”e v ravnini in s protiprimerom poka”emo, da izrek ne velja za
heksagonalne mre”e. Posebej predstavimo dva programa: program za ra£unanje
†tevila mre”nih to£k znotraj in na robu kro”nice, ki obenem izra£una tudi pribli”ek
za †tevilo π ter napako, ki pri tem nastane ter program za izra£un plo†£ine
ve£kotnika po Pickovem izreku.
Klju£ne besede: mre”e v ravnini, enotske kvadratne mre”e, Gau(cid:255)ov problem s
kro”nicami, Leibnizeva vrsta, Pickov izrek, kot vidljivosti
Klasi(cid:28)kacija
AMS MSC(2010): 52C05
I
II
Abstract
Plane Lattices and Generalizations of Pick’s Theorem
A uniformly distributed discrete set of points in the plane called lattices are
considered. The most well-known and studied are square lattices, a special
representative of such lattices is the lattice of all points with integer coe(cid:30)cients in
the plane R × R. We are dealing with rectangular lattices, parallelogram lattices
and triangle lattices. By exploring the circles, positioned on di(cid:27)erent lattices, we
establish a link between the number of lattice points inside and on the edge of a
circle and the number π. Determining the upper and lower bound of the error
occurring, is called Gauss circle problem, since it was him who (cid:28)rst explored
lattices and circles on it. We also show the upper bound of the shortest distance
between two lattice points. With the help of a theorem of number theory, we
connect the number of lattice points inside and on the edge of a circle with Leibniz
series. Generalizations of Pick’s theorem on general lattices in the plane are
considered and with a counterexample it is shown that the theorem does not apply
to the hexagonal lattices. Separately we introduce two programs: a program for
calculating the number of lattice points inside and on the edge of a circle, which
also calculates an approximation for the number π and the error occurring, and a
program for calculating the area of a polygon with Pick’s theorem.
Keywords: plane lattices, unit square lattices, Gau(cid:255)’s circle problem, Leibniz
series, Pick’s theorem, visibility angle
Classi(cid:28)cation
AMS MSC(2010): 52C05
III
IV
Kazalo
1 Uvod 1
2 Mre”e v ravnini 2
2.1 Enotska kvadratna mre”a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Enotska pravokotna mre”a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Enotska paralelogramska mre”a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Enotska rombna mre”a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Leibnizeva vrsta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Pickov izrek 26
3.1 Dokaz Pickovega izreka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Prilagojen Pickov izrek za ve£kotnike s k luknjami . . . . . . . . . . . 32
4 Vidljivost in Pickov izrek 34
4.1 Splo†nej†e mre”e in Pickov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Ra£unalni†ka programa 42
5.1 Opis programa Gau(cid:255)ov problem s kro”nicami . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Koda programa Gau(cid:255)ov problem s kro”nicami . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 Opis programa Pickov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4 Koda programa Pickov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6 Zaklju£ek 54
7 Viri in literatura 55
V