University of Amsterdam

125 Pages·2014·2.94 MB·English

University of Amsterdam
MSc Physics
Track: Theoretical Physics
Master Thesis
The Emergence of Space and Gravity from
Entanglement in AdS /CFT
3 2
by
Manus Visser, MA BSc
5794722
August 2014
60 ECTS
Supervisor: Examiner:
Prof. dr. Erik Verlinde dr. Diego Hofman
Delta-Institute for Theoretical Physics
“I would not call [entanglement] one but rather the characteristic trait of
quantum mechanics, the one that enforces its entire departure from classical
lines of thought.”
— E. Schrödinger, Discussion of probability relations between separated sys-
tems, Proc. Cam. Philos. Soc., 31 (1935), pp. 555-563.
Abstract
The Ryu-Takayanagi formula S = A/(4G) relates entanglement entropy in a CFT to the
area of a minimal surface in AdS space. This formula tells us that the connectedness of
AdS space emerges from entanglement in the CFT. In this thesis we check the validity
of this formula in a particular example of the AdS /CFT correspondence. We show
3 2
that the geodesic length in AdS with a conical defect agrees asymptotically with the
3
entanglement entropy of a low-energy excited state in a 2D CFT. Furthermore, recently
the Ryu-Takayanagi formula has been used to understand the emergence of gravity from
CFT physics. It has been argued that the linearised vacuum Einstein equations are
dual to a first law of entanglement in a holographic CFT. We apply this argument to
AdS /CFT , and show that the metric perturbation giving rise to a conical defect in
3 2
pure AdS can be derived from a first law of entanglement. Lastly, possible extensions
of the argument to the non-linear level and to Einstein’s equations with stress-energy
tensor are discussed.
Populairwetenschappelijke samenvatting
Over de oorsprong van ruimte en zwaartekracht
Heb je je wel eens afgevraagd waarom water bij kamertemperatuur een vloeistof is, en
geen gas? Het is welbekend dat water uit H O-moleculen bestaat. Bij kamertemper-
2
atuur zijn deze watermoleculen met elkaar verbonden door zogeheten waterstofbruggen.
Deze verbinding is zo sterk dat de watermoleculen samen een vloeistof vormen. Bij een
temperatuur hoger dan 100 graden, daarentegen, breken de waterstofbruggen, en zwer-
ven de moleculen los in de ruimte. In dat geval vormen de moleculen een gas, namelijk
waterdamp.
We zien dus dat op kleine schaal “water” er anders uitziet dan op grote schaal. Op
kleineschaalbestaatwateruitmoleculenmetlegeruimteertussen,terwijlopgroteschaal
water vloeibaar, of beter gezegd, “continu verbonden” is. Hiermee bedoelen we dat er in
principe geen lege ruimtes aanwezig zijn in een bad met water – op een paar luchtbellen
na dan. Dit lijkt wellicht een triviale observatie – we kunnen immers zwemmen in water
zonder grote obstakels tegen te komen waar “geen water” is – maar als je je bedenkt
waar water uit bestaat (moleculen met veel lege ruimte ertussen), dan is dit juist heel
wonderlijk.
Deze continue verbondenheid van water is een voorbeeld van emergentie. Emergentie
is simpel gezegd het fenomeen dat op grote schaal er nieuwe eigenschappen optreden die
op kleine schaal niet aanwezig zijn. Een ander voorbeeld van emergentie is temperatuur.
Temperatuur is een maat voor de gemiddelde snelheid van een heleboel moleculen. We
kunnen dus niet zeggen dat één molecuul een temperatuur heeft. We kunnen pas een
temperatuur meten als we heel veel moleculen samennemen – grofweg 1023 moleculen of
meer. Kortom, temperatuur emergeert uit de gezamenlijke interactie van moleculen, die
op zichzelf genomen geen temperatuur hebben. De natuurkundige en Nobelprijs winnaar
Phil Anderson heeft het fenomeen emergentie daarom samengevat met de slogan “More
is different”. Een heleboel moleculen samen geven aanleiding tot andere eigenschappen,
zoals temperatuur – en zelfs andere natuurwetten, zoals we straks zullen zien.
In deze scriptie stel ik een soortgelijke vraag over ruimte: waarom is de ruimte om
ons heen continu verbonden? De analogie tussen ruimte en water is zeer treffend: net als
je in water kunt zwemmen, kun je door de ruimte heenlopen, of zweven, zonder plekken
tegen te komen waar “geen ruimte” is. Bij water kun je je nog iets voorstellen bij een
plek “waar geen water is”, omdat er ook luchtbellen in water voorkomen. Maar ruimte is
zoiets vanzelfsprekends dat we ons niet kunnen voorstellen dat het er niet is.
Recentelijk zijn er in de natuurkunde aanwijzingen gevonden dat de verbondenheid
van ruimte, net als de verbondenheid van water, emergent is. Dat wil zeggen dat op een
fundamenteel niveau ruimte niet verbonden is. En een ruimte die niet verbonden is, kun
je haast geen ruimte noemen. Maar als er op kleine schaal geen ruimte is, wat is dan de
oorsprong van ruimte? Net zoals water uit H O-moleculen bestaat, verwachten we dat
2
ruimte ook uit kleinere bouwstenen is opgebouwd.
In mijn scriptie heb ik een bepaald voorstel onderzocht voor deze bouwstenen van
de ruimte. Om dit voorstel te begrijpen moet ik eerst een ander begrip introduceren:
A B A B
Figure 1: Gedachte-experiment.
verstrengeling. Verstrengeling is een belangrijk fenomeen uit de kwantummechanica – de
theorie van de fundamentele deeltjes – waarbij twee of meer deeltjes zodanig zijn verbon-
den, dat het ene deeltje niet meer volledige beschreven kan worden zonder het andere
deeltje te noemen. Twee deeltjes kunnen in d e kwantumwereld (d.w.z. op een schaal van
ongeveer 10 10 m of kleiner) zo sterk met elkaar verstrengeld zijn dat een meting aan het
�
enedeeltjeinvloedheeftopdetoestandvanhetanderedeeltje. Daarbijhoevenzichdeelt-
jes niet per se naast elkaar te bevinden; ze kunnen ook ruimtelijk van elkaar gescheiden
zijn. Verstrengeling wordt daarom ook wel een “niet-lokale kwantumcorrelatie” genoemd.
De Canadees Mark van Raamsdonk was de eerste natuurkundige die de verbonden-
heid van ruimte aan het begrip verstrengeling koppelde. Zijn hypothese is dat de verbon-
denheid van ruimte emergeert uit de verstrengeling van microscopische toestanden. Je
kunt je de verstrengeling als een soort lijm voorstellen die alle microtoestanden bij elkaar
houdt. De lijm (vergelijkbaar met de waterstofbruggen tussen H O-moleculen) zorgt er
2
uiteindelijk voor dat ruimte op macroniveau verbonden is.
Van Raamsdonks hypothese is een zeer kwalitatieve uitspraak, maar we kunnen haar
ook kwantitatief maken. Van Raamsdonk baseerde zijn hypothese oorspronkelijk op een
eenvoudige formule, die van toepassing is op de volgende situatie. Stel je voor dat we de
ruimte (we nemen voor het gemak een vierkant) in twee gebieden opdelen A en B, zoals
weergegeven in het linkerdeel van figuur 1. Dan geldt de volgende formule
S = A , (0.1)
4G
N
waarbij S een maat is voor de hoeveelheid verstrengeling tussen de twee gebieden A en
B (de zogeheten “verstrengelingsentropie”) , is de oppervlakte (“area”) die de twee
A
gebieden scheidt, en G is de zwaartekrachtsconstante van Newton. Deze formule stelt
N
duseenmaatvoorverstrengeling(deverstrengelingsentropie’)gelijkaaneengeometrische
grootheid (de oppervlakte). In mijn scriptie heb ik deze formule gecheckt voor een
specifiek soort ruimte.
Laten we nu het volgende gedachte-experiment uitvoeren. Stel dat we de verstren-
gelingsentropie S naar nul sturen, dan zegt deze formule dat de oppervlakte ook nul
A
wordt. Oftewel het grensgebied dat A en B scheidt wordt een punt (aangezien een punt
geen oppervlakte heeft). Deze situatie hebben we weergegeven in het rechterdeel van
figuur 1. Het is duidelijk te zien dat de gebieden A en B van elkaar gescheiden zijn. Met
andere woorden, als er geen verstrengeling is tussen de ruimtes A en B, dan zijn ze niet
met elkaar verbonden. We kunnen dit ook omdraaien: als A en B wel verstrengeld zijn
(en de verstrengelingsentropie S niet nul is), dan resulteert dat in de verbondenheid van
de gebieden A en B. We concluderen dus dat de formule ons vertelt dat de verbonden-
heid van ruimte emergeert uit verstrengeling! Dit komt overeen met Van Raamsdonks
hypothese.
Tonutoehebbenwehetalleenoverruimtegehad. Einsteinsalgemenerelativiteitstheorie
vertelt ons echter dat ruimte en zwaartekracht nauw met elkaar verbonden zijn. Kort
gezegd, geeft de kromming van ruimte(tijd) aanleiding tot zwaartekracht. We hoeven dit
hier niet precies te begrijpen. Het gaat er vooral om dat niet alleen ruimte, maar ook
zwaartekracht emergent blijkt te zijn. Hiermee bedoelen we dat zwaartekracht, net als
temperatuur, op fundamenteel niveau niet bestaat, en alleen verschijnt als een “thermo-
dynamisch fenomeen” op grotere schaal. De belangrijkste aanwijzing voor de emergentie
van zwaartekracht is dat de natuurwetten die zwaartekracht beschrijven (genaamd de
“Einstein vergelijkingen”) equivalent zijn aan de wetten van de thermodynamica (die
temperatuur, druk, warmte, et cetera beschrijven). Aangezien temperatuur en druk
emergente grootheden zijn, wordt aangenomen dat zwaartekracht ook emergent is. In
het tweede deel van mijn scriptie bestudeer ik waaruit zwaartekracht emergeert, oftewel
wat de oorsprong van zwaartekracht is.
In een aantal zeer recente artikelen (van onder andere Van Raamsdonk) wordt de
oorsprong van zwaartekracht gerelateerd aan de fysica van verstrengeling. Het blijkt
dat Einsteins vergelijkingen ook equivalent zijn aan een bepaalde wet die verstrengeling
beschrijft. Deze wet van verstrengeling stelt de verandering in verstrengelingsentropie
gelijk aan de verandering in energie van een toestand. Het is interessant dat niet alleen
deze verstrengelingswet nodig is om de Einstein vergelijkingen af te leiden, maar ook
formule (0.1) die verstrengelingsentropie aan oppervlakte relateert. Formule (0.1) en
de verstrengelingswet vormen samen de belangrijkste aannames voor de afleiding van
de Einstein vergelijkingen. In hoofdstuk 5 van deze scriptie kan deze afleiding worden
teruggevonden.
We concluderen dat de fysica van verstrengeling essentieel is voor de emergentie
van ruimte en zwaartekracht. Ruimte, of beter gezegd oppervlakte, wordt gedefinieerd
door de verstrengelingsentropie (formule 0.1). En zwaartekracht is grofweg het resultaat
van het feit dat formule (0.1) altijd moet blijven gelden. Dat wil zeggen: als er een
massa wordt geplaatst in de ruimte, dan wordt de ruimte zodanig gekromd dat formule
(0.1) weer geldt. Deze afgemeten kromming van de ruimte resulteert in zwaartekracht.
Kortom, de onveranderlijkheid van formule (0.1) geeft aanleiding tot zwaartekracht.
Daarmee neemt ons begrip van ruimte en zwaartekracht een andere wending dan
Einstein ooit had kunnen vermoeden. Einstein noemde verstrengeling een spukhafte
Fernwirkung (“spooky action at a distance"), omdat het de snelheidslimiet van infor-
matieoverdracht leek te schenden. Het is ironisch te noemen dat nu juist dit fenomeen
zo’n belangrijke rol speelt in de oorsprong van Einsteins theorie van zwaartekracht.
Contents
Introduction 5
1 The AdS /CFT correspondence 7
3 2
1.1 The holographic principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Gravity in 2+1 dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Metrics and global symmetries of 3D AdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Sates and local conformal symmetries in 2D CFT . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Thermal entropy: a derivation of the Cardy formula . . . . . . . . . . . . 22
2 Holographic Entanglement Entropy 27
2.1 Definition and properties of entanglement entropy . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Thermodynamic entropy vs. entanglement entropy . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Entanglement entropy in QFTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 The Ryu-Takayanagi proposal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Emergence of the connectedness of space from entanglement . . . . . . . . 42
3 Entanglement Entropy in 2D CFT 44
3.1 Entanglement entropy on the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Entanglement entropy on the cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Entanglement entropy at finite temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Holographic Entanglement Entropy for 3D AdS 53
4.1 Holographic entanglement entropy for pure AdS . . . . . . . . . . . . . . 53
3
4.2 Holographic entanglement entropy for AdS with a conical defect . . . . . 57
3
4.3 Holographic entanglement entropy for BTZ black holes . . . . . . . . . . . 59
4.4 Black hole entropy vs. entanglement entropy . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Emergence of Gravity from Entanglement in AdS/CFT 62
5.1 The first law of entanglement in vacuum CFT . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 The holographic first law in AdS-Rindler space . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Deriving the metric perturbation for AdS with a conical defect . . . . . . 81
3
5.4 Linearised gravity from the holographic first law . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5 Discussion of the derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Conclusion and Outlook 95
A The Iyer-Wald formalism 97
B Taking quotients of pure AdS 107
3
C Comparing modular parameters and partition functions 112
Introduction
In the study of gravity, the ideas of holography and emergence have played a crucial role.
On the one hand, holography posits that theories with gravity are equivalent to lower
dimensional quantum theories without gravity [67, 64]. On the other hand, gravity is
believed to be emergent, since the basic equations that govern gravity closely resemble
the laws of thermodynamics [10, 47, 68]. Emergence here means that on a fundamental
levelgravitydoesnotexist; itratherarisesasathermodynamicphenomenoninacourse-
graineddescription. Bycombiningtheideaofemergencewiththatofholography,itseems
natural to assume that the microscopic theory from which gravity emerges is precisely
given by the holographic dual of the (classical) gravitational theory. This means that
the degrees of freedom in the theory without gravity can be viewed as more fundamental
than those in the gravity theory.
Furthermore, since gravity is intimately connected with spacetime geometry, it is
believed that space is also emergent. In holographic settings the gravity theory is defined
on a higher dimensional space than its dual quantum theory, so the holographic (radial)
direction can be interpreted as an emergent space direction. It is not (yet) clear whether
time is also emergent in holographic settings. Thus, gravity and space are supposed to
be emergent in a holographic scenario.
A central question in the study of gravity is to understand how it emerges from mi-
croscopicphysics. Inotherwords,wewouldliketoknowwhattheoriginofgravityandof
space is. Recently, it has been suggested that the physics of quantum entanglement plays
a crucial role in the emergence of space [60, 69, 65]. The universal quantity of interest
here is the entanglement entropy, which measures the quantum correlations between two
subsets of degrees of freedom in general quantum systems. The relationship between
entanglement entropy and the dual spacetime geometry has been made precise in the
AdS/CFT correspondence, which is a holographic duality between certain d-dimensional
conformal field theories (CFT) and (d+1)-dimensional gravity theories in anti-de Sitter
space (AdS) [53]. Ryu and Takayanagi (RT) have proposed that entanglement entropy
in the CFT is proportional to the area of extremal surfaces in AdS [60, 59, 56]
k c3Area
B
S = .
A
~ 4GN
In this thesis we use natural units c = ~ = kB = 1, in which case the area law reduces to
S = A/4G . It has been argued that the RT formula implies that (the connectedness
A N
of) AdS space is emergent from quantum entanglement in the CFT [69, 70].
5
InthepresentthesiswestudytheRyu-TakayanagiformulainAdS /CFT , whichisa
3 2
well understood example of holography. We specialise to three different (asymptotically)
AdS spacetimes: pure AdS, AdS with a conical defect, and the BTZ black hole. The
3
latter two are quotients of the isometry group of pure AdS. We will confirm that the RT
formula holds for these three cases by comparing holographic calculations with known
2D CFT results. Special attention should be paid to the check of the RT formula for the
conical defect geometry, since these are new results (see section 4.2).
In recent work [50, 39], the holographic formula for entanglement entropy has also
been used to understand the emergence of gravity from CFT physics. It has been argued
that linearised gravity emerges from a ‘first law’ of entanglement and from the holo-
graphic formula for entanglement entropy. The first law of entanglement �S = � H
A A
h i
is an exact quantum generalisation of the ordinary first law of thermodynamics. In a
holographic context, this first law can be interpreted as a constraint on the metric per-
turbation around pure AdS, that is dual to a small variation of the CFT vacuum state.
It will be shown that that an infinite set of such constraints is exactly equivalent to the
requirement that the metric perturbation satisfies the gravitational equations of motion,
linearised about pure AdS. For theories in which the entanglement entropy is computed
by the Ryu-Takayanagi formula, the linearised Einstein equations are derived from the
firstlaw. Inthisthesis,weconsideragaintheconicaldefectgeometryasatoymodel,and
show that the metric perturbation that establishes a conical defect in pure AdS follows
from the first law of entanglement together with the RT formula (see section 5.3).
This thesis is organised as follows. Chapters 2 4 cover the emergence of AdS space
�
in three bulk dimensions; and chapter 5 is about the emergence of linearised gravity in
general dimensions. To begin with, in chapter 1 we review the basics of the AdS /CFT
3 2
correspondence. In chapter 2 we define entanglement entropy and explain the Ryu-
Takayanagi formula. In chapter 3 we will calculate the entanglement entropy in two-
dimensional conformal field theory for different configurations. And in chapter 4 we
verify that these 2D CFT results are consistent with the spatial geodesic lengths in
the three (asymptotically) AdS spacetimes under consideration. Moreover, we discuss
3
the relation between entanglement entropy and black hole entropy in this chapter. The
last chapter 5 reviews [39], in which the authors argue that the linearised gravitational
equationsofmotioninpureAdSareequivalenttoafirstlawofentanglementintheCFT.
Finally, in section 5.5 we discuss possible extensions of this argument to the non-linear
level and to Einstein’s equations with stress-energy tensor.
Chapter 1
The AdS /CFT correspondence
3 2
AdS/CFTisthebestknownsettinginwhichentanglemententropycanbedirectlyrelated
to geometry. In this chapter we review some basics of the AdS/CFT correspondence in
2+1 dimensions. We will address the following questions: What is AdS/CFT (section
1.1)? Why is 2+1-dimensional gravity interesting (section 1.2)? What are the metrics
andglobalsymmetriesof3DAdS(section1.3)? Whatarethedualstatesandsymmetries
in 2D CFT (section 1.4)? How can thermodynamic entropy be computed in 2D CFT
(section 1.5)?
1.1 The holographic principle
The holographic principle states that a (quantum) theory of gravity in d+1 dimensions
is equivalent to a quantum theory without gravity in one space dimension less. The idea
of holography was first developed by ’t Hooft and Susskind [67, 64], and was inspired
by the study of black holes. An important result about black holes is namely that their
entropy is proportional to the area of the event horizon. This result is known as the
Bekenstein-Hawking formula [10, 42]
Area
S = . (1.1)
BH
4G
N
The area law contrasts with the usual entropy of thermodynamic systems, which is
proportional to the volume. Since entropy measures the number of possible microscopic
degrees of freedom associated to a given macroscopic state, the area law entails that the
number of microscopic degrees of freedom in a black hole system is the same as that of a
quantum theory on the horizon. More generally, it is expected that in a theory of gravity
the degrees of freedom contained in any spatial volume can be described by a quantum
theory on the boundary surface of this volume.
The first concrete example of the holographic principle was the AdS/CFT correspon-
dence. This correspondence relates a gravitational theory in (d+1)-dimensional anti-de
Sitter spacetime (AdS) to a conformally invariant field theory (CFT) without gravity in
d dimensions. The AdS spacetime is referred to as the ‘bulk’, an the degrees of freedom
7