Université Paris-Sud Thèse de doctorat Anthony Perret Statistique d'extrêmes de variables ...

291 Pages·2015·9.7 MB·French

Université Paris-Sud
Ecole Doctorale 564 :
Physique en Île-de-France
Laboratoire de Physique Théorique et Modèles Statistiques
Discipline : Physique
Thèse de doctorat
Soutenue le 22 juin 2015 par
Anthony Perret
Statistique d’extrêmes
de variables aléatoires fortement corrélées
Directeur de thèse : M. Grégory Schehr Chargé de recherche (Paris-Sud)
Composition du jury :
Rapporteurs : M. Gernot Akemann Professeur (Bielefeld)
M. Malte Henkel Professeur (Nancy)
Examinateurs : M. Tom Claeys Chargé de cours (Louvain la Neuve)
M. Henk Hilhorst Professeur (Paris-Sud)
M. Henri Orland Chercheur CEA (Saclay)
M. Clément Sire Directeur de recherche (Toulouse)
Thèse préparée à la
Faculté des sciences d’Orsay
Laboratoire de Physique Théorique et Modèles Statistiques
Université Paris-Sud 11, Bât. 100
91 405 Orsay CEDEX

Table des matières
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Extrêmes de marches aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Valeurs propres maximales de matrices aléatoires . . . . . . . . . . 11
Densité à partir du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Organisation et résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Notations et formulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1 Statistique d’extrêmes de variables aléatoires indépendantes 19
1.1 Statistique du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1 la classe de Gumbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.2 la classe de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.3 la classe de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2 Densité moyenne à partir du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Premier gap et statistiques d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I Mouvement brownien 27
2 Introduction 29
2.1 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Les browniens contraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Statistique d’extrême du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 La densité à partir du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 La méthode des propagateurs 35
3.1 Propagateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Illustration de la méthode : calcul de ρ (r,t) dans le cas du brownien
max
� �
libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Calcul des différents moments ρk (r,t) pour le pont et l’excursion . . . 39
� max,B �
3.4 Résultats pour les autres browniens contraints . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Extensions : étude temporelle et cas de plusieurs browniens 45
4.1 Étude temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1 Cas du brownien libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.2 Cas du pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.3 Comportements et résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Cas de plusieurs browniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.1 Plusieurs browniens indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5
4.2.2 Ponts répulsifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 La méthode de l’intégrale de chemin 59
5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.1 Brownien libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.2 Pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Applications à l’étude de certaines fonctionnelles du maximum . . . . . . . 63
5.2.1 Statistique complète de la densité à partir du maximum . . . . . . 63
5.2.2 Applications aux cas où V(x) = xα . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.3 Cas exactement soluble du potentiel V(x) = 1/x . . . . . . . . . . . 79
5.2.4 Cas du brownien libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Appendices 83
A La famille de fonctions Φ(j) 85
B Divers calculs dans le cas de plusieurs ponts indépendants 87
B.1 Calcul de la densité à partir du maximum pour n ponts indépendants . . . 87
B.2 Calcul de r dans la limite d’un grand nombre de ponts indépendants . . . 88
� �
B.3 Limite thermodynamique d’un grand nombre de ponts indépendants . . . . 88
C Cas de plusieurs ponts répulsifs 91
C.1 Génération de ponts répulsifs : mouvement brownien de Dyson . . . . . . . 91
C.2 Temps local des ponts répulsifs dans la limite thermodynamique de grand n 91
D Moments de la densité à partir du maximum du pont 93
E Recherche en environnement inconnu : Algorithme d’Odlyzko 95
II Matrices Aléatoires 99
6 Introduction 101
6.1 Les matrices aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 Les ensembles gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3 Densité des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4 Loi de Tracy-Widom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.5 Transition de phase associée à λ : le modèle de May . . . . . . . . . . . 108
max
7 Statistique à partir de la valeur propre maximale pour l’ensemble gaus-
sien unitaire 111
7.1 Densité à partir de la valeur propre maximale et gap entre les deux plus
grandes valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2 Formule à N fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3 Limite à grand N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.3.1 Régime r √N : régime de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
∝
7.3.2 Régime r = (N 1/6) : régime de bord . . . . . . . . . . . . . . . . 117
−
O
7.4 Simulations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.4.1 Simulation rapide des matrices gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . 121
7.4.2 Évaluation numérique des fonctions d’échelle . . . . . . . . . . . . . 122
8 Généralisations et Applications 125
8.1 Ouvertures aux ensembles gaussiens β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.2 Application à la minimisation d’une forme quadratique . . . . . . . . . . . 128
8.3 Applications à un modèle de verre de spin en champ moyen . . . . . . . . . 129
8.4 Densité à partir du maximum et premier gap à λ fixée . . . . . . . . . . 130
max
9 Statistique d’extrêmes pour les matrices de Wishart 133
9.1 Modèle des matrices de Wishart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3 Équation de Painlevé V à N fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.4 Étude du hard edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.5 Étude du soft edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Appendices 143
F Analyse du régime de bord pour des matrices gaussiennes unitaires 145
G Densité à partir du maximum et premier gap pour des matrices de
Wishart a = 0 149
G.1 Modèle de Wishart pour a = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
G.2 Densité de valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
G.3 Densité à partir de la valeur propre minimale . . . . . . . . . . . . . . . . 151
G.4 Statistique du gap entre les deux plus petites valeurs propres . . . . . . . . 152
Conclusion et perspectives 155
Remerciements 159
Bibliographie 170
Publications 171
Near-extreme statistics of brownian motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Near-extreme eigenvalues and the first gap of hermitian random matrices. . . . 177
The density of eigenvalues seen from the soft edge of random matrices in the
Gaussian β-ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
On certain functionals of the maximum of Brownian motion and their applica-
tions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Finite N corrections to the limiting distribution of the smallest eigenvalue of
Wishart complex matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8
Introduction
Dans de nombreuses situations, les événements extrêmes, peuvent avoir des consé-
quences dramatiques et il est donc nécessaire de les étudier précisément. On peut don-
ner une multitude d’exemples comme l’étude des grandes catastrophes naturelles : crues
[43, 95], tempêtes [9], incendies [3], tremblements de terre [55, 120, 160]..., des records
[48, 49], mais aussi en finance avec les crises financières dues aux fluctuations du marché
boursier [11, 15, 53, 104, 129] ou encore en résistance des matériaux [7, 33]... C’est dans
ce contexte qu’intervient l’étude des valeurs extrêmes [77] c’est-à-dire l’étude des événe-
ments proches des événements maximum ou minimum. Si on se donne une collection de N
variables aléatoires x i = 1,...,N de loi quelconque, il est alors intéressant d’étudier
i
{ | }
la densité de probabilité du maximum x = max x i = 1,...,N
max i
{ | }
p (x,N) = Pr.[x < x], (1)
max max
et en particulier son comportement lorsque l’on s’intéresse à un grandnombre de variables
aléatoires c’est-à-dire dans la limite thermodynamique de grand N. De façon analogue,
il est intéressant d’étudier la distribution de la variable minimale x = min x i =
min i
{ |
1,...,N .Récemment,plusieurstravauxontmontréquelesstatistiquesd’extrêmesjouent
}
également un rôle important en physique statistique [14, 40, 99]. En effet, si on suppose la
collection x i = 1,...,N comme étant celle des énergies possibles - des états - pour
i
{− | }
un système physique, l’état du système à très basses températures est gouverné par l’état
fondamental c’est-à-dire l’état d’énergie minimale E = x [58, 59, 116]. L’étude
min max
−
des extrêmes est donc également importante dans les problèmes d’optimisation où l’on
recherche cet état de plus basse énergie. Par ailleurs, la dynamique de tels systèmes est
gouvernée, aux temps longs et à basse température, par les plus grandes barrières de
potentiel, le temps de relaxation de ces systèmes physiques tels que les verres de spin est
donc directement relié à l’étude des valeurs extrêmes [14]. Le cas des variables aléatoires
indépendantes et identiquement distribuées est désormais bien compris grâce aux travaux
[61, 71, 76, 77, 78, 139] dont je discuterai les principaux résultats dans le chapitre suivant.
Il a été prouvé que la distribution du maximum p dans la limite de grand N, après
max
renormalisation et centrage, ne peut tendre que vers trois différentes lois, trois classes
d’universalités, que sont les lois de Gumbel, de Fréchet et de Weibull. Dans la plupart
des systèmes, on est néanmoins contraint d’étudier des collections de variables aléatoires
corrélées. Dans le cas où celles-ci sont faiblement corrélées - la longueur de corrélation
ξ étant très petite devant le nombre N de variables aléatoires - on peut se ramener aux
cas des variables aléatoires indépendantes. En effet, en décomposant les N variables en
paquetsdeξ variables(quisontdoncessentiellement indépendantsentreeux),lemaximum
global peut alors être vu comme le maximum des maxima locaux de chaque paquet qui
sont alorsdes variablesindépendantes. Lecasdifficile àtraiter est donclecas desvariables
fortement corrélées - c’est-à-dire quandla longueur de corrélationest del’ordre dunombre
de variables aléatoires - mais c’est aussi le cas qui arrive dans la plupart des systèmes
physiques comme ceux cités au début de cette introduction. Un exemple de modèle pour
9
Figure 1: Deux exemples de chemins de 12 pas pour un polymère dirigé en milieu aléa-
toire. Le coût énergétique de chaque chemin est la somme des énergies associées aux
sites visités. À cause du recouvrement possible entre les chemins, les différentes énergies
possibles sont fortement corrélées.
lequel il est nécessaire d’étudier des variables aléatoires fortement corrélées est celui du
polymère dirigé en milieu aléatoire [86]. Ce modèle est un archétype simple de système
désordonné qui a plusieurs applications comme le piégeage d’interface élastique [83], des
modèles decroissance d’interface danslaclasse d’universalité deKardar-Parisi-Zhang[94],
la turbulence de Burgers [69], les verres de spins [114] et des problèmes d’alignement de
séquences d’ADN [23, 84]. Le polymère dirigé est une marche aléatoire de N pas sur un
réseau carré N2 avec des sauts (+1,0) et (0,+1) comme le montre la figure 1. On associe
à chaque site (i,j) N2 un coût énergétique ǫ distribué indépendamment de site à
i,j
∈
site. Cette variable gelée introduit ainsi du désordre. L’énergie d’un chemin est donnée
par la somme des énergies associées aux sites visités et l’on s’intéresse au chemin de plus
basse énergie. À cause du recouvrement possible entre les différents chemins, comme le
montre la figure 1, les niveaux d’énergie des différents chemins sont fortement corrélés.
Ainsi, les fluctuations du chemin de plus basse énergie ne sont pas décrites par le cas
des variables indépendantes [6, 19, 20, 90, 130, 131]. Pour le cas des variables fortement
corrélées, il n’existe pasde théorie générale. Danslebut demieux comprendre ce cas, ilest
nécessaire d’étudierenpremierlieudesexemplesàlafoissimples,pourpouvoirtrouverdes
résultats analytiques, mais aussi suffisamment riches. Deux pistes de modèles physiques
de variables fortement corrélées pouvant être étudiés analytiquement se démarquent : les
positions d’une marche aléatoire et les valeurs propres de matrice aléatoire. Ce sont
les deux modèles que nous allons étudier dans cette thèse. Dans les deux paragraphes qui
suivent, nous introduisons brièvement ces deux modèles.
Extrêmes de marches aléatoires
Une première façon de créer un ensemble de variables fortement corrélées est de consi-
dérer une marche aléatoire de N pas
x = 0
0 (2)
x = x +η , i [1,N],
i i 1 i
− ∈
où les longueurs de pas η sont identiquement distribuées suivant une loi de second mo-
i
ment σ2 que l’on supposera fini, par exemple une loi gaussienne. Cet ensemble de va-
riable est alors fortement corrélé x x = min(i,j)σ2. Un exemple de marche de N = 20
i j
� �
10
�