Université Montpellier II

76 Pages·2012·39.04 MB·French

INSTITUT DE RECHERCHE SUR L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES
Université Montpellier II
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La philosophie est écrite dans ce livre immense perpétuellement ouvert
devant nos yeux (je veux dire l'Univers), mais on ne peut le comprendre si
l'on n'apprend pas d'abord à connaître la langue et les caractères dans
lesquels ilest écrit: il est écrit en langue mathématique et ses caractères sont
des triangles, des cercles et d'autres figures géométriques sans
l'intermédiaire desquelles il est humainement impossible d'en comprendre
un seul mot.
Galiléo Galiléi
L\ESMATHEMATIQUES :
COMPTER
MESURER
DEDUIRE~
RESOUDRE
TRANSF/0RMER<
ALAIN BERNARD
IRE.M. DE MONTPELLIER
HISTOIRE DESMATHS
1997
2
Un enseignement de la science qui n'apprend pas
à penser, n'est pas un enseignement de la science,
ilest un enseignement de la soumission.
Evry Schatzmann
Science et société, 1971
Ce polycopié a pour objet l'initiation à l'histoire des mathématiques. Il a été
écrit pour servir de support lors d'un stage organisé par l'IREM de Montpellier en
liaison avec la MAFPEN(Mission Académique de Formation des Personnels de
l'Education Nationale) : « Une introduction historique pour les chapitres de
mathématiques» .
Il propose une première approche de l'aventure d'êtres humains dénommés
« géomètres» jusqu'au 19è siècle. Il propose ainsi de relier les idées mathématiques
aux civilisations qui les créèrent et de dégager une progression dans la formation des
connaissances mathématiques.
Ce polycopié n'a cependant pas pour objet d'être une brève histoire des maths.
Bien que parcourant la totalité des 5000 ans de cette histoire, il laisse de côté des
parties importantes de cette histoire, les probabilités par exemple. Il est vrai qu'elles
ont l'habitude .
«Je ne fais pas de l'histoire des sciences,
je fais de la science ».
Henri Lebesgue.
3
SOMMAIRE
Avant de compter page: 5
Petite chronologie 9
COMPTER 12
l\1ESURER les terrains, MESURER lesgrandeurs 14
DEDUIRE 16
Euclide: les Eléments d'.... 19
L'école indienne 25
RESOUDRE 26
Les algébristes italiens 29
Chronologie de l'école européenne. 31
Le 17èsiècle 32
Les logarithmes: Neper 33
Fermat 34
Descartes 37
Le calcul infinitésimal: Newton et Leibniz 42
Les infiniment petits: un article de Lltard en 1950 45
Extrait d'un traité de calcul différentiel: Bossut, 1802 49
Le 18è siècle 61
Les nombres négatifs 63
TRANSFORMER, le 19è siècle 64
Résoudre, transformer: Galois, 1830 67
Conclusion :le 20è siècle 70
Annexe: un autre découpage possible de l'histoire 74
Bibliographie 77
ELAM
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ARABIE
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4
Avant de compter
L'histoire connue des mathématiques commence vers -3200 en Elam (Golfe
Persique) et couvre ainsi environ 5000 ans. L'approche utilisée ici découpe cette
histoire en 5 périodes correspondant à 5 concepts classiques en mathématiques.
Approximativement, ces concepts se succèdent dans la CONSTRUCTION des idées
mathématiques. Ce découpage est bien sûr discutable. D'autres approches sont
possibles.
Çependant, en biologie, une loi relie l'ontogenèse (formation de l'individu) et la
phylogenèse (formation de l'espèce). Cette loi dit : « l'ontogenèse résume la
phylogenèse ». Dès lors, si cette loi en est bien une -voir le texte d'Einstein à la page
suivante- l'histoire des maths devient importante. Ilserait en effet contraire à cette loi
biologique d'enseigner les mathématiques aux individus (ontogenèse) d'une manière
trop ditTérente de la chronologie historique de la construction des dites notions
(phylogenèse ).
Le cursus proposé par programmes d'enseignement reprend bien : compter,
L':3
mesurer, déduire, résoudre. Un gros problème subsiste avec les transformations. La
version expérimentée dans les maths dites modernes et fondées sur les structures,
n'ayant pas donné satisfaction, les transformations sont aujourd 'hui, sous une forme
radicalement différente, à partir d'activités, une des bases de l'enseignement des maths
au collège. Notons simplement que les transformations sont historiquement l'un des
« derniers » concepts créés par les cerveaux humains et que les transformations ont
bien du mal à trouver leur place et leur forme dans l'enseignement.
Le propos est ici de donner un aperçu de 5000 ans de créations et de
découvertes mathématiques en essayant d'ouvrir des pistes, laissant à chacun le soin
d'explorer celles qui l'intéressent.
LE PLAN
, 1°) Trois très courts textes d'Einstein, de Kant et du montpelliérain A.Comte
pour mettre en place une conception des maths quelque peu épistémologique puisque
c'est avant tout l'acquisition des connaissances qui nous intéressera.
2°) Une brève chronologie de ces 5000 ans situera le lien entre les mathématiques
et les civilisations créatrices. Rappelons l'importance biologique de l'ordre de ces
créations et donc de la chronologie.
3°) Nous parcourrons ensuite en 5 chapitres les grands concepts mathématiques
retenus: compter, à partir de -3200 ( ,)) civilisation sumérienne ou chaldéenne
mesurer, même époque mêmes civilisations
déduire, vers -600 civilisation grecque
résoudre, vers +800 civilisation arabe
transformer, vers 1800 civilisation européenne
ATTENTION au caractère indicatif de ces dates, lin concept n'apparaissant pas
du jour au lendemain Nos ancêtres comptaient peut-être déjà à Lascaux vers -20 000.
1
Les Chinois résolvaient des « équations » il Ya plus de 2000 ans. Euler, au 18è siècle,
avait étudié et classé certaines transformations.
Le principe en histoire de donner un accès direct aux textes historiques court-
circuite toute la transposition historique menant d'une découverte ou d'une création à
sa version enseignée Il permet de comprendre où. quand, comment et pourquoi les
notions mathématiques. furent créées par les « géomètres ».
5
Donner du sens aux mathématiques: l'espace.
LE PROBLEl\IE DE L'ESPACE,
DE L'ETHER ET DU CHAMP PHYSIQUE
La pensée scientifique perfectionne la pensée préscientifique.
Puisque dans cette dernière, le concept d'espace a déjà une fonction
fondamentale, établissons et étudions ce concept.
Deux façons d'appréhender les concepts sont l'une et l'autre essentielles pour en
saisir les mécanismes.
La première méthode s'appelle l'analytique logique.
Elle veut résoudre le problème: comment les concepts et les jugements
dépendent-ils les uns des autres? Notre réponse nous place d'emblée sur un terrain
relativement assuré ! Cette sécurité, nous la trouvons et la respectons dans la
mathématique.
Mais cette sécurité s'obtient au prix d'un contenant sans contenu.
Car les concepts ne correspondent à un contenu que s'ils sont liés, même le
plus indirectement aux expériences sensibles. Cependant aucune recherche
logique ne peut affirmer cette liaison. Elle ne peut être que vécue. Et c'est
justement cette liaison qui détermine la valeur épistémologique des systèmes de
concepts.
Exemple : un archéologue d'une future civilisation découvre un traité de
géométrie d'Euclide, mais sans figure.
Par la lecture des théorèmes, il reconstituera bien l'emploi des mots point, droite,
plan. Il reconstituera aussi la chaine des théorèmes et même, d'après les règles
connues, il pourra en inventer de nouveaux. Mais cette élaboration de théorèmes
restera pour lui un vraijeu avec des mots, tant qu'il ne pourra pas « se figurer quelque
chose » avec les expressions point, droite, plan, etc .... Mais s'il le peut et seulement
s'il le peut, la géométrie deviendra pour lui un réel contenu.
Le même raisonnement s'applique à la mécanique analytique et en général à
toutes les sciences logico-déductives,
Albert Einstein
Etudes scientifiques.
6
Intuition, espace et temps.
Platon s'était attaché à introduire une plus grande
précision dans la géométrie par des définitions logiques du point,
de la ligne, du plan et des solides. Et s'il Yest parvenu par voie
d'intuition sensorielle, ila eu soin de passer ce moyen sous
silence.
Hoefer, Histoire des mathématiques, 1874
De quelque manière et par quelque moyen qu'une connaissance puisse se
rapporter à des objets, le mode par lequel elle se rapporte immédiatement à eux et que
toute pensée prend comme moyen pour les atteindre est l'intuition. Mais cette
intuition n'a lieu qu'autant que l'objet nous est donné, et, à son tour, l'objet ne peut
nous être donné (du moins à nous autres hommes) qu'à la condition d'affecter l'esprit
d'une certaine manière. La capacité de recevoir (la receptivité) des représentations des
objets grâce à la manière dont ils nous affectent, s'appelle sensibilité. C'est donc au
moyen de la sensibilité que les objets nous sont donnés, et seule elle nous fournit des
intuitions, mais c'est par l'entendement qu'ils sont pensés, et c'est de lui que sortent
les concepts. Toute pensée doit, en dernière analyse, soit tout droit (directe), soit par
des détours (indirecte, au moyen de certains caractères), se rapporter à des
intuitions, et par conséquent, chez nous, à la sensibilité,. puisqu'aucun objet ne
peut nous être donné autrement.
J'appelle esthétique transcendantale la science de tous les principes apriori de
la sensibilité. C'est donc cette science qui doit former la première partie de la théorie
transcendantale des éléments, par opposition à celle qui contient les principes d: la
pensée pure et qui se nommera logique transcendantale.
Dans l'esthétique transcendantale, nous commencerons par isoler la sensibilité,
en faisant abstraction de tout ce que l'entendement [y ajoute et] y pense par ses
concepts, de telle sorte qu'il ne reste rien que l'intuition empirique. Nous écarterons
ensuite tout ce qui appartient à la sensation, afin de n'avoir plus que l'intuition pure et
la simple forme des phénomènes, seule chose que la sensibilité puisse fournir apriori.
Il résultera de cette recherche quil y a deux formes pures de l'intuition sensible,
comme principes de la connaissance apriori, savoir l'espace et le temps.
1724 - 1804 Emmanuel Kant
1781, Lacritique de la raison pure.
Début de la première partie.
ESTHETIQUE TRANSCENDANTALE.
7
Mathématiques et simplicité
L'échelle des sciences selon Auguste Comte
«Si la nature ne suivait pas des lois simples,
alors je cesserai de m'y intéresser ».
Albert Einstein
Le montpelliérain Auguste Comte a proposé au 19è siècle une classification des
sciences selon l'échelle suivante.
En montant l'échelle, on va de la science la plus simple à la science la plus
compliquée.
En descendant l'échelle, on va de la science la plus « particulière» à la science la
plus générale.
Psychologie
Biologie
Biochimie
Chimie
Physique
Astronomie
Mathématiques
Les mathématiques sont la plus générale et la plus simple de toutes les sciences!
Facile d'admettre qu'il s'agit bien de la plus générale des sciences, langue
commune à tous les savoirs.
Plus difficile d'admettre que les mathématiques sont la plus simple des sciences.
Et pourtant.. .....
Peut-être une citation du sétois Paul Valéry, qui a beaucoup réfléchi sur les
mathématiques, nous éclairera-t-elle un peu?
« Tout ce qui est simple est faux,
tout ce qui est compliqué est inutilisable ».
Nous avons là une clé des mathématiques dont le propos est bien de simplifier les
phénomènes naturels pour commencer à les comprendre. Pour cela, on construit des
objets simples dont on étudie les propriétés.
Se pose alors le problème du rapport entre les objets simples des mathématiques
et les objets de la nature beaucoup plus compliqués. Mais c'est une autre histoire....
8
PETITE CHRONOLOGIE
Deux remarques:
1°) il Ya toujours une seule école et une seule langue (le grec, l'arabe, le latin,
l'anglais ...)dominantes.
2°) chaque école récupère et traduit les connaissances antérieures.
Aucune école n'a recréé les mathématiques depuis leurs débuts.
-3200 Nombres entiers: compter les objets.
Figures planes usuelles, solides simples.
Mesure des surfaces et des solides. (Tablettes mésopotamiennes)
-2000 Papyrus de Rhind. Inverses des nombres entiers.
GEOJVIETRIE GRECQUE
-600 Thalès: création de la critique rationnelle.
-500 Pythagore
-400 Eudoxe: théorie des proportions
-350 Aristote: la logique (syllogismes)
-300 Euclide: création de l'école d'Alexandrie
Rédaction des Eléments en 13 livres
Archimède: quadrature de la parabole
-200 Apollonius: les Sections coniques
+100 Ptolémée: le système cosmogonique de ....
ECOLE INDIENNE
+500 Brahmagupta :système de position, zéro, nombres négatifs.
ECOLE ARABE
+850 AI-Khwarizmi: l'algèbre, les équations du second degré.
Al-Khayyam :étude du troisième degré (non résolu)
+1300 Al-Kashi :les nombres décimaux
ECOLE EUROPEENNE
Le XVIè siècle:
1500 Les algébristes italiens: Del Ferro, Tartaglia, Ferrari, Bombelli
Equations des 3è et 4è degrés résolues par radicaux.
1545 Cardan: les nombres complexes
Le XVIIè siècle:
1637 La «Géométrie» de Descartes
Viète et Descartes: création de l'écriture algébrique
Fermat: mise en équations des courbes du 1er et du 2è degré
Pascal et Fermat :création du calcul des Probabilités
1660-1680 Newton: les fluxions
Leibniz: calcul intégral et calcul différentiel
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Le XVIIIè siècle:
1654-1705 Jacques Bernoulli
1667-1748 Jean Bernoulli
1707-1783 Euler
1717-1783 D'Alembert
1739-1783 Bezout
1736-1813 Lagrange
1752-1833 Legendre
1749-1827 Laplace
1743-1794 Condorcet
1746-1818 Monge
Le XIXè siècle :
1802~1829 Abel
1811-1832 Galois
1789-1857 Cauchy: le rédacteur de l'analyse
1793- 1880 Chasles
1781-1848 Bolzano
1838-1922 Jordan
Ecole allemande:
1777-1855 Gauss
1804-1851 Jacobi
1805- 1859 Dirichlet
1826-1866 Riemann: l'intégrale de .....
1815- 1897 Weierstrass
1809-1877 Grassmann
1831-1916 Dedekind et Cantor (1845- 1918) :la théorie des ensembles
1849-1925 Klein
Le XXè siècle :
1900-1950 1862-1943 Hilbert: les fondements de la géométrie
1854-1912 Poincaré
1875-1941 Lebesgue: l'intégrale de ...
1871-1956 Borel: théorie de la mesure
1878- 1973 Fréchet: les espaces métriques
1858-1932 Péano
1892-1945 Banach
1871-1953 Zermelo
1950-2000 1930- Groupe Bourbaki: les Eléments de mathématiques
1905-1989 Dieudonné
1906-1982 Godel
Schwartz. les distributions (1950)
Mandelbrot: géométrie fractale (1970)
Thom: théorie des catastrophes
Wiles :théorème de Fermat (1994)
Et pour une liste plus étendue, consulter l' «Abrégé d'histoire des
mathématiques» de Jean Dieudonné chez Hermann, pages 485 à 512. Environ 300
mathématiciens modernes.
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