Université de Montréal Représentations et fusion des algèbres de Temperley-Lieb originale et ...

305 Pages·2016·2.81 MB·French

Université de Montréal
Représentations et fusion
des algèbres de Temperley-Lieb
originale et diluée
par
Jonathan Belletête
Département de physique
Faculté des arts et des sciences
Thèse présentée à la Faculté des études supérieures et postdoctorales
en vue de l’obtention du grade de Philosophiae Doctor (Ph. D.)
en physique
18 avril 2016
c JonathanBelletête
(cid:13)

Université de Montréal
Faculté des études supérieures et postdoctorales
Cette thèse intitulée
Représentations et fusion des algèbres
de Temperley-Lieb originale et diluée
présentée par
Jonathan Belletête
a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes
Richard MacKenzie
(Président-rapporteur)
Yvan Saint-Aubin
(directeurderecherche)
Luc Vinet
(membredujury)
Ingo Runkel
(examinateurexterne)
Patrice Marcotte
(représentantdudoyendelaFAS)
thèseacceptéele
13mai2016

i
Résumé
Les algèbres de Temperley-Lieb originales, aussi dites régulières, apparaissent dans de nom-
breux modèles statistiques sur réseau en deux dimensions : les modèles d’Ising, de Potts, des di-
mères, celui de Fortuin-Kasteleyn, etc. L’espace d’Hilbert de l’hamiltonien quantique correspon-
dant à chacun de ces modèles est un module pour cette algèbre et la théorie de ses représentations
peutêtreutiliséeafindefaciliterladécompositiondel’espaceenblocs;ladiagonalisationdel’ha-
miltoniens’entrouvealorsgrandementsimplifiée.L’algèbredeTemperley-Liebdiluéejoueunrôle
similaire pour des modèles statistiques dilués, par exemple un modèle sur réseau où certains sites
peuventêtrevides;sesreprésentationspeuventalorsêtreutiliséespoursimplifierl’analysedumo-
dèlecommepourlecasoriginal.Orcecirequiertuneconnaissancedesmodulesdecettealgèbreet
de leur structure; un premier article donne une liste complète des modules projectifs indécompo-
sables de l’algèbre diluée et un second les utilise afin de construire une liste complète de tous les
modules indécomposables des algèbres originale et diluée. La structure des modules est décrite en
termesdefacteursdecompositionetparleursgroupesd’homomorphismes.
Le produit de fusion sur l’algèbre de Temperley-Lieb originale permet de «multiplier» en-
semble deux modules sur cette algèbre pour en obtenir un autre. Il a été montré que ce produit
pouvait servir dans la diagonalisation d’hamiltoniens et, selon certaines conjectures, il pourrait
également être utilisé pour étudier le comportement de modèles sur réseaux dans la limite conti-
nue.Untroisièmearticleconstruitunegénéralisationduproduitdefusionpourlesalgèbresdiluées,
puis présente une méthode pour le calculer. Le produit de fusion est alors calculé pour les classes
de modules indécomposables les plus communes pour les deux familles, originale et diluée, ce qui
vientajouteràlalisteincomplètedesproduitsdefusiondéjàcalculéspard’autreschercheurspour
lafamilleoriginale.
Finalement,ils’avèrequelesalgèbresdeTemperley-Liebpeuventêtreassociéesàunecatégorie
monoïdale tressée, dont la structure est compatible avec le produit de fusion décrit ci-dessus. Le
quatrièmearticlecalculeexplicitementcetressage,d’abordsurlacatégoriedesalgèbres,puissurla
catégoriedesmodulessurcesalgèbres.Ilmontreégalementcommentcetressagepermetd’obtenir
des solutions aux équations de Yang-Baxter, qui peuvent alors être utilisées afin de construire des
modèlesintégrablessurréseaux.
Mots-Clés : algèbre de Temperley-Lieb, algèbre de Temperley-Lieb diluée, algèbre associative,
moduleindécomposable,produitdefusion,règlesdefusion,catégoriestressées,théoriedeschamps
conformes,modèlesintégrables,théoriedeAuslander-Reiten.
ii
iii
Abstract
The original Temperley-Lieb algebra, also called regular, appears in numerous integrable sta-
tistical models on two dimensional lattices : the Ising model, the Potts model, the dimers model,
the Fortuin-Kasteleyn model, etc. The Hilbert space of the corresponding quantum hamiltonian is
then a module over this algebra; its representation theory can be used to split this space in a direct
sum of smaller spaces, and thus block diagonalize the corresponding quantum model. The dilute
Temperley-Liebalgebraplaysasimilarrolefordilutemodels,forinstancethosewherelatticesites
can be empty; its representation theory thus plays a similar role for these models. However, doing
this requires a detailled knowledge of its modules and their structure; the first paper presents a
complete list of the projective indecomposable modules for the dilute Temperley-Lieb algebra and
a second constructs a complete set of indecomposable modules for both the regular and dilute al-
gebras. In both articles the structure of the modules are exposed through their composition factors
andhomomorphismgroups.
The fusion product on the original Temperley-Lieb algebra defines how two modules can be
«multiplied» together to obtain a module. It has been shown in some cases that this product can
be used to simplify the block diagonalization of quantum hamiltonians, and some speculate that
it could be used to determine the continuum limit of the models. A third paper defines a straight-
forward generalization of this product for the dilute algebra, then introduces an efficient way of
computing it. It then calculates this product for the most common classes of indecomposable mo-
dules for both the original and dilute algebras; this fills a hole in the known fusion rules for the
originalalgebrathatwereleftoutofpreviouscalculations.
Finally, it happens that the Temperley-Lieb algebras can be grouped together in a braided mo-
noidalcategory,whosestructureiscompatiblewiththefusionproductdescribedabove.Thefourth
article builds explicitly this braiding, both for the Temperley-Lieb category, and for its module ca-
tegory.ItalsoshowshowthisbraidingcanbeusedtoobtainsolutionstotheYang-Baxterequation,
whichcanthenbeusedtobuildintegrablelatticemodels.
Keywords:Temperley-Liebalgebra,diluteTemperley-Liebalgebra,associativealgebra,indecom-
posable modules, fusion product, fusion rules, braided category, conformal field theory, integrable
model,Auslander-Reitentheory.
iv
Table des matières
1 Introduction 1
1.1 L’oscillateurharmoniquequantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Formulationalgébriqued’unoscillateurharmoniquequantique . . . . . . . 2
1.1.2 Lachaîned’oscillateursharmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Desmodèlesstatistiquesauxchaînesdespins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Lemodèled’Isingen1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Lemodèled’Isingen2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Lalimitehamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Lalimitecontinueaupointcritique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 LesalgèbresdeTemperley-Lieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 L’algèbreTL (β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
n
1.3.2 Lesmodulesstandards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 LafusionsurTL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4 LesalgèbresdiluéesdeTemperley-Lieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 LesmodèlesstatistiquesetlesalgèbresdeTemperley-Lieb . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 LachaîneXXZquantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Lamatricedouble-ligneD (u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
n
1.4.3 Lamatricedouble-lignediluée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Élémentsdethéoriedeschampsconformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 NotionsdebaseenCFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.2 LafusionenCFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.3 LaCFTetlesalgèbresdeTemperley-Lieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Catégoriesetfoncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
v
vi TABLEDESMATIÈRES
I Les modules indécomposables
de l’algèbre de Temperley-Lieb diluée 31
2 Présentation 33
2.1 Objectifsetméthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Outilsalgébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Premierarticle 39
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 BasicpropertiesofthedilutealgebradTL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
n
3.2.1 DefinitionofdTL (β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
n
3.2.2 ThedimensionofdTL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
n
3.3 Left(andright)dTL -modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
n
3.3.1 ThelinkmodulesA andH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
n n,k
3.3.2 ThestandardmodulesS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
n,k
3.3.3 ThedimensionofS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
n,k
3.3.4 TherestrictionofS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
n,k
3.3.5 TheinductionofS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
n,k
3.4 TheGramproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1 Thebilinearform , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
n,k
(cid:104)∗ ∗(cid:105)
3.4.2 Thestructureoftheradical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.3 Symmetricpairsofstandardmodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.4 Restrictionandinductionofirreduciblemodules . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 ThestructureofdTL atarootofunity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
n
3.5.1 ThediluteTemperley-Liebalgebraasacellularalgebra . . . . . . . . . . . 71
3.5.2 TheindecomposablemodulesP and
n,k
thestructureofdTL forqarootofunity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
n
3.5.3 InductionofP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
n 1,k
−
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Appendices 79
3.A TheTemperley-Liebalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.B ThecentralelementF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
n
3.C ThedimensionsoftheirreduciblemodulesI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
n,k
3.D Toolsfromalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.D.1 Shortexactsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.D.2 Projectivemodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87