Université Bordeaux I Masters CSI et Théorie du Signal Année 2008-2009 Analyse de Fourier

138 Pages·2009·1.44 MB·French

Université Bordeaux I
Masters CSI et Théorie du Signal
Année 2008-2009
Analyse de Fourier
J.Esterle

Table des matières
1 L’intégraledeLebesgue 1
1.1 Ensemblesmesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Constructiondel’intégraledeLebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Deuxrésultatsfondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 ExercicessurleChapitre1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 LatransforméedeFourier 13
2.1 TransforméedeFouriersurL1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 TransforméedeFouriersurL2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 ExercicessurleChapitre2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Groupes,Anneaux,Corps 23
3.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Groupescycliques,groupesquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 CalculsdansZ/nZsousMUPAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 ExercicespourleChapitre3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Unpeud’arithmétique 33
4.1 LadivisionduCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 ApplicationsduthéorèmedeBezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Lethéorèmechinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Décompositionenproduitdenombrespremiers . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5 ArithmétiquesousMUPAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6 ExercicespourleChapitre4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 TransforméedeWalsh 47
5.1 MatricesettransforméedeWalsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 TransforméedeWalshrapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Applicationauxfonctionsbooléennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 ApplicationsdelatransforméedeWalshàlacompressiondesignaux1-D . 56
5.5 ApplicationsdelatransforméedeWalshàlacompressiondesimages . . . 65
3
4 TABLEDESMATIÈRES
5.6 ExercicessurleChapitre5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6 TransforméedeFourierdiscrète 71
6.1 DéfinitiondelatransforméedeFourierdiscrète . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2 Convolutioncycliqueetconvolutionacyclique . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 FFTendécimationtemporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 FFTendécimationfréquentielle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.5 ApplicationsdelaFFTaucalculdeproduitsdepolynômesoud’entiers . . 77
7 EtudegénéraledelatransformationdeFourier 79
7.1 Groupeduald’ungroupelocalementcompactabélien . . . . . . . . . . . . 79
7.2 MesuredeHaarettransformationdeFourier,théoriegénérale . . . . . . . 85
7.3 FormuledePlancherel-Parsevaletformuled’inversiondeFourier . . . . . 87
7.4 TransformationdeFouriersurladroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.5 SériesdeFourierettransformationdeFouriersurlecercle . . . . . . . . . 90
7.6 TransformationdeFouriersurlesgroupesabéliensfinis . . . . . . . . . . . 93
7.7 ExercicessurleChapitre7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8 Echantillonnage,principesd’incertitudeetthéorèmedeShannon 101
8.1 Leprinciped’incertitudepourlatransformationdeFouriersurR . . . . . . 101
8.2 Leprinciped’incertitudediscret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.3 LaformulesommatoiredePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.4 LaformuledePoissondiscrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.5 Lethéorèmed’échantillonnagedeShannon . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9 Annexe1:Unpeud’analysecomplexe 111
9.1 Propriétésélémentairesdessériesentières . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.2 Exercicespourl’annexe1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
10 Annexe2:EspacesdeHilbert 117
10.1 Orthogonalité,produitscalaire,produithermitien . . . . . . . . . . . . . . 117
10.2 AlgorithmedeGram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.3 Exemplesd’espacesdeHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.4 Exercicespourl’annexe2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Chapitre 1
L’intégrale de Lebesgue
1.1 Ensembles mesurables
On rappelle brièvement la construction de l’intégrale de Riemann. Soit f une fonction
bornée à valeurs réelles définie sur un intervalle fermé borné [a,b] de R, et soit l’en-
P
semble des partitions de [a,b], c’est à dire l’ensemble des suites finies σ = (x ,...,x )
0 n
tellesquea = x < x < ... < x = b.Siσ estunepartitionde[a,b]onpose
0 1 n
n 1
−
M (f) = (x x )sup f(x)
σ i+1 − i xi≤x≤xi+1
i=0
!
n 1
−
m (f) = (x x )inf f(x).
σ i+1 − i xi≤x≤xi+1
i=0
!
On vérifie que m (f) M (f) pour σ,τ . On dit que la fonction f est intégrable
σ τ
≤ ∈ P
ausensdeRiemannsisup m (f) =inf M (f),etdanscecasonpose
σ σ σ σ
∈P ∈P
b
f(t)dt =sup m (f) =inf M (f)
a σ σ σ σ
∈P ∈P
Les fonctions continu"es sur [a,b] et les fonctions bornées et monotones sur [a,b] sont
intégrablesausensdeRiemann.
Sif estcontinuesurunintervalleI deRetsix0 I,alorslaformule
∈
x
F(x) = f(t)dt
#x0
définituneprimitivedeF surI,c’estàdirequeF (x) = f(x)pourtoutxintérieuràI,
$
que la dérivée à droite de F en a est égale à f(a) si I possède un plus petit élément a, et
que la dérivée à gauche de F en b est égale à f(b) si I possède un plus grand élément b (et
lafonctionF estl’uniqueprimitivedef surI tellequef(x ) = 0).
0
Rappelons également que si f est continue sur un intervalle fermé borné [a,b], on peut
b
utiliserlessommesdeRiemannpourcalculer f(t)dtgrâceàlaformulesuivante:
a
"
1
2 CHAPITRE1. L’INTÉGRALEDELEBESGUE
(1.1) lim b a n f(a+kb a) =lim b a n f(a+kb a) = bf(t)dt.
n + −n k=0 −n n + −n k=1 −n a
→ ∞ → ∞
$ $ "
Cetteformule,baséesurladéfinitiondel’intégraledeRiemann,amèneàlaméthodedes
rectangles. Nous renvoyons au cours d’Analyse Numérique de X.Fischer[?] pour plus de
détailssurlesméthodesnumériquesdecalculd’intégrales(méthodedestrapèzes,méthode
deSimpson,etc...).
Lathéoriedel’intégraledeRiemannprésentedesinconvénients.
Premierinconvénient(pourMathématiciens)
f(x) = 0 si x Q, 0 x 1
Posons ∈ ≤ ≤
f(x) = 1 si x / Q, 0 x 1
% ∈ ≤ ≤
La fonction f n’est pas intégrable sur [0,1] car tout intervalle ouvert non vide de R
contient à la fois des rationnels et des irrationnels et avec les notations précédentes on a
m (f) = 0 et M (f) = 1 pour toute partition σ de [0,1]. Pourtant, intuitivement, l’en-
σ σ
semble des nombres rationnels est négligeable par rapport à l’ensemble des nombres irra-
tionnels (les nombres rationnels sont ceux dont le développement décimal est périodique)
etonaenviededirequel’intégraledecettefonctionf sur[0,1]existeetestégaleà1.
Autresinconvénients(plussérieux)
Pour travailler sur des intervalles non bornés ou avec des fonctions non bornées on est
obligé de faire des passages à la limite (intégrales généralisées) souvent peu commodes,
et il arrive dans les applications qu’on soit amené à intégrer des fonctions trop irrégulières
pourêtreintégrablesausensdeRiemann.C’estlecaspourcertainesfonctionspériodiques
définies"presquepartout"parlaformule
+
∞
f(t) = a + a cos(nt)+b sin(nt),
0 n n
n=1
!
où (a ) et (b ) sont deux suites de réels telles que les séries a 2 et
b n2ns≥o0ientconnvne≥rg0entes. n≥0| n|
n 1| n| $
≥
$
Une réponse à ces questions à été donnée au tout début du siècle dernier par
H.Lebesgue dans sa thèse : c’est l’intégrale de Lebesgue, qui permet d’intégrer une
classetrèsvastedefonctions.
Le point de départ consiste à "mesurer les ensembles", c’est à dire à définir la "lon-
gueur" de sous-ensembles très généraux de R. La mesure d’un ensemble E sera notée
m(E).Oncommencepardéfinirm(E)pourlesensembleslesplussimples(aveclaconven-
tiona+ = + pourtouta [0,+ ]).
∞ ∞ ∈ ∞
1.1. ENSEMBLESMESURABLES 3
1)SiE estfiniouvide,m(E) = 0.
2)SiE estunintervallenonborné,m(E) = + .
∞
3)SiE estunintervallebornédelaforme[a,b],[a,b[,]a,b]ou]a,b[,m(E) = b a.
−
4) Si E = I est une réunion finie d’intervalles disjoints, on pose m(E) =
1 n k n
∪ ≤ ≤
m(I ).
1 n k n
5≤) S≤i E = I est une réunion d’une suite d’intervalles disjoints, on pose m(E) =
n 1 n
$ ∪ ≥
m(I ),cequifaitquem(E) = + siundesintervallesI estnonborné,ousitous
n 1 n ∞ n
lesi≥ntervallesI sontbornésetsilasérie m(I )estdivergente.
n n 1 n
$ ≥
$
Rappelons qu’un ensemble non vide E R est dit ouvert si pour tout x E il existe
⊂ ∈
δ > 0telque]x δ,x+δ[ E.L’ensemblevideestouvertparconvention,etonditqu’un
− ⊂
ensembleF Restfermésisoncomplémentaireestouvert.
⊂
On peut montrer que tout ensemble ouvert non vide E peut s’écrire sous la forme E =
I ,où(I ) estunesuitefinieouinfinied’intervallesouvertsdisjoints.Lesformules1),
n n n n
∪
4),et5)permettentalorsdedéfinirm(E)pourtoutsousensembleouvertE deR.
On dira qu’un sous-ensemble de R est borné s’il est contenu dans un intervalle fermé
bornédeR.SoitmaintenantF unfermébornédeR.IlexisteN 1telqueF ] N,N[.
≥ ⊂ −
SoitE lecomplémentairedeF dans] N,N[.AlorsE estouvert.Onpose
−
m(F) = m(] N,N[) m(E) = 2N m(E).
− − −
Definition1.1.1.
1) On dit qu’un ensemble borné A R est mesurable au sens de Lebesgue s’il existe
⊂
unesuite(En)n 1d’ouvertsdeRcontenantAetunesuite(Fn)n 1defermésdeRcontenus
≥ ≥
dansAtelsquelim m(E ) =
n + n
→ ∞
lim m(F ),etdanscecasonpose
n + n
→ ∞
m(A) = lim m(E ) = lim m(F ).
n + n n + n
→ ∞ → ∞
2) On dit qu’un ensemble non borné B R est mesurable au sens de Lebesgue si
⊂
B ] n,n[estmesurableausensdeLebesguepourn 1,etdanscecasonpose
∩ − ≥
m(B) = lim m(B ] n,n[).
n +
→ ∞ ∩ −
Notons que dans la partie 2) de la définition on peut bien sûr obtenir m(B) = + .
∞
Dans la partie 1) de la définition on peut supposer que la suite (E ) est décroissante et
n n 1
≥
que la suite (F ) est croissante (il suffit pour cela de remplacer E par E et
n n 1 n 1 m n m
≥ ∩ ≤ ≤
F par F ).Onvérifiebienentenduquelavaleurdem(F)nedépendpasduchoix
n 1 m n m
∪ ≤ ≤
dessuites(E ) et(F ) .
n n 1 n n 1
≥ ≥
Onalespropriétéssuivantes
(1.2)SiAestmesurable,alorslecomplémentairedeAestmesurable.
(1.3) Si (A ) est une suite d’ensembles mesurables, alors A et A sont
n n 1 n 1 n n 1 n
≥ ∪ ≥ ∩ ≥
mesurables.
4 CHAPITRE1. L’INTÉGRALEDELEBESGUE
(1.4) Si (A ) est une suite croissante d’ensembles mesurables, alors m( A ) =
n n 1 n 1 n
≥ ∪ ≥
lim m(A ).
n + n
→ ∞
(1.5)Si(A ) estunesuitedécroissanted’ensemblesmesurables,ets’ilexisten 1
n n 1 0
≥ ≥
telquem(A ) < + ,alorsm( A ) =lim m(A ).
n0 ∞ ∩n≥1 n n→+∞ n
D’autre part la mesure de Lebesgue est invariante par translation : si E R est
⊂
mesurable,alorsm(Ea) = m(E)pourtouta R,oùEa := x a x E.
∈ { − } ∈
On peut se demander si tous les sous-ensembles de R sont mesurables. Le système
d’axiomes usuel est appelé ZF, du nom de Zermelo et Fraenkel. On peut y adjoindre
l’axiomeduchoix,quis’enoncecommesuit:
Soit X un ensemble quelconque, et soit (X) l’ensemble des parties non vides de X.
P
Alorsilexisteuneapplicationφ : (X) X tellequeφ(A) A A (X).
P → ∈ ∀ ∈ P
Danslesystèmed’axiomesZFC(axiomesdeZermelo-Fraenkelauquelonadjointl’axiome
du choix), on peut construire des parties de R qui ne sont pas mesurables au sens de Le-
besgue. C’est pourquoi Lebesgue n’aimait pas cet axiome, par contre fort apprécié à la
même époquepar le grand MathématicienEmile Borel. En faiton peut fairece qu’on veut
envertud’unrésultatdulogicienR.Solovay,del’UniversitédeBerkeley.
Théorème 1.1.2. (Solovay,1965) L’axiome "Tout sous-ensemble de R est mesurable au
sensdeLebesgue"estconsistentavecZF.
Cecisignifiequ’ajouteràZFcetaxiomenemènerapasàunecontradictionquineserait
pasdéjàdansZF(lefaitqueZFestnoncontradictoireestindémontrable...).
On retiendra de cette discussion qu’ il n’y a aucun moyen explicite de construire
des parties non mesurables de R. Un ingénieur peut donc s’abriter derrière le théo-
rème de Solovay et considérer que tout sous-ensemble de R est mesurable au sens de
Lebesgue.
1.2 Construction de l’intégrale de Lebesgue
Definition 1.2.1. On dit que f : R R est mesurable si f−1(E) := x R f(x) E
→ { ∈ | ∈ }
est mesurable pour tout ouvert E de R. On définit de même les fonctions mesurables à
valeursdansC.
La somme, le produit, le sup et l’inf de deux fonctions mesurables sont mesurables. On
vérifiequetoutelimitesimpled’unesuitedefonctionsmesurablesestmesurable:sif est
n
mesurablepourn 1,etsif(x) =lim f (x)pourtoutx,alorsf estmesurable.
n + n
≥ → ∞
1.2. CONSTRUCTIONDEL’INTÉGRALEDELEBESGUE 5
Enfaitilrésultedesremarquesprécédentesqu’ilestimpossibledeconstruireunefonc-
tion non mesurable de manière explicite, et un ingénieur peut donc s’abriter derrière le
théorème de Solovay et considérer que toute fonction à valeurs réelles ou complexes
définiesurRestmesurable.
SiE R,onposeχE(x) = 1six E,χE(x) = 0six = E.Onditqu’unefonctionf
⊂ ∈ +
estunefonctionenescaliers’ilexisteunefamillefinieE ,...,E d’ensemblesmesurables
1 p
demesurefinieetunefamillec ,...,c deréelstelsquel’onait
1 p
f = c χ .
1 k p k Ek
≤ ≤
Uncalculélémentairemontrequel’on$peuttoujourssupposerquelesensemblesE ,...,E
1 p
sont disjoints deux à deux. Si f = 1 k pckχEk est une fonction en escalier sur R, on
pose ≤ ≤
$
f(t)dt = c m(E ).
R 1≤k≤p k k
" $
Definition 1.2.2. Soit f : R [0,+ [ une fonction mesurable positive, et soit (fn)n 1
→ ∞ ≥
une suite croissante de fonctions positives en escalier telle que f(x) = lim f (x)
n + n
→ ∞
pourtoutx R.Onpose
∈
f(t)dt = lim f (t)dt [0,+ ].
n + n
→ ∞ ∈ ∞
#R #R
Onditquelafonctionf estintégrablesi f(t)dt < + .
R ∞
Il faut évidemment vérifier qu’il existe bi"en une suite (f ) de fonctions positives en
n n 1
≥
escaliertellequef(x) = limn + fn(x)pourtoutx R,etquelavaleur(finieouinfinie)
→ ∞ ∈
delim f (t)dtestindépendanteduchoixdelasuite(f ) .Nousadmettronsces
n + n n n 1
→ ∞ R ≥
résultats.
"
Definition1.2.3.
1) Soit f : R R une fonction mesurable. On dit que f est intégrable quand f est
→ | |
intégrable,etdanscecasonpose
f(t)dt = f+(t)dt f (t)dt,
− −
#R #R #R
oùf+(t) = max(f(t),0)etf−(t) = max( f(t),0)pourt R.
− ∈
2)Soit f : R C une fonction mesurable. On dit que f est intégrable quand f est
→ | |
intégrable,etdanscecasonpose
f(t)dt = Re(f)(t)dt+i Im(f)(t)dt.
#R #R #R
6 CHAPITRE1. L’INTÉGRALEDELEBESGUE
Remarquons que l’intégrale de Lebesgue est invariante par translation : si f est inté-
grable,onapourtouta R
∈
f(t a)dt = f(t)dt.
−
#R #R
Onvamaintenantdéfinirunenotiond’intégrationsurunensemblemesurable.
Definition 1.2.4. Soit E R un ensemble mesurable, soit f : E C une fonction et soit
˜ ⊂ ˜ → ˜
f : R C l’extension de f à R définie par les formules f(x) = 0 si x / E, f(x) = f(x)
→ ∈
six E.
∈ ˜
On dit que f est mesurable sur E si f est mesurable, et on dit que f est intégrable sur
˜
E sif estintégrablesurR.Danscecasonpose
˜
f(t)dt = f(t)dt
#E #R
On a des propriétés analogues à celles de l’intégrale de Riemann, par exemple la linéa-
rité : si f et g sont intégrables sur E, alors λf +µg est intégrable sur E pour λ,µ C et
∈
ona
(1.6) (λf(t)+µg(t))dt = λ f(t)dt+µ g(t)dt.
E E E
" " "
On a également un analogue de l’inégalité de Cauchy-Schwartz : Si f et g sont mesu-
rables sur E, et si f 2 et g 2 sont intégrables sur E, alors fg est intégrable sur E et on
| | | |
a
(1.7) f(t)g(t)dt f(t) 2dt g(t) 2dt.
E ≤ E| | E| |
’ ’
&" & " "
On dira que d&eux fonctions&f et g sont égales presque partout sur un ensemble mesu-
rableE sionalaconditionsuivante
(1.8) L’ensemble x E f(x) = g(x) estdemesurenulle.
{ ∈ | + }
Pus généralement on dira qu’une propriété est vraie presque partout si elle est vérifiée
surlecomplémentaired’unensembledemesurenulle.
Ondéduitdeladéfinitiondel’intégraledeLebesguequel’onalapropriétésuivante
Proposition1.2.5. Soitf unefonctionintégrablesurunensembleE.Siunefonctiong est
égaleàf presquepartoutsurE,alorsg estintégrablesurE etona
f(t)dt = g(t)dt.
#E #E