Université Aix Marseille 1 Mathématiques générales II

120 Pages·2010·0.63 MB·French

Université Aix Marseille 1
Mathématiques générales II - Algèbre linéaire
PEIP-L1
27avril2010
, 2
UniversitéAix-Marseille1PEIP-L1,27avril2010 Algèbrelinéaire,MathsgénéralesII
Table des matières
0 Introductionetbibliographie 5
0.1 Algèbre... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.2 ...linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.3 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 AlgèbrelinéairedansR2etR3 7
1.1 VecteursdeR2etR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Vecteursetcombinaisonslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Produitscalaire,norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Lanotiondematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Ecriturematricielled’unecombinaisonlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Equationslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Dépendanceetindépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 MéthodedupivotdeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Ecriturevectorielleetmatricielledessystèmeslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Unsystème3×3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Systèmeslinéairesetmatrices 23
2.1 Matricesetopérationssurlesmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Opérationssurlesmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Matriceinverseetmatricetransposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Eliminationparlesmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Echelonnementd’unematrice3×3etdécompositionLU . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 MatricesélémentairesdeM (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
n
2.2.3 MatriceséchelonnéesetpivotdeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.4 Existencedelaformeéchelonnée,algorithmed’échelonnement . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Calculdel’inversed’unematrice,échelonnementtotal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Exempledecalculdel’inversed’unematrice22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.2 Inversiond’unematrice33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.3 Echelonnementtotal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Systèmeslinéairesetespacesvectoriels 47
3.1 Espacesetsous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Espacedescolonnesouimaged’unematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3
Tabledesmatières Tabledesmatières
3.2 Systèmeslinéaireshomogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Noyaud’unematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Déterminationdunoyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.3 Familleslibres,Indépendancedescolonnespivotales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.4 Constructiondunoyauparlessolutionsspéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Résolutiond’unsystèmelinéairegénéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.1 Exemplesderésolutiondesystèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2 Caractérisationd’unematriceinversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Bases,dimensionetsous-espaces 67
4.1 Basesetdimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.1 Familleslibres,liées,génératrices,bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.2 Dimensiond’unespacevectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.3 Théorèmedelabaseincomplèteetconséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.4 Rangd’unefamilledevecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 Sousespacesvectorielssupplémentaires,orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 Sommeetintersectiondedeuxespacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Sousespacesliésauxmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.3 Lessous-espacesdeRp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Applicationslinéaires 85
5.1 Définitionsetexemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.1 ApplicationlinéairedeE dansF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.2 Image,noyauetrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2 Applicationslinéairesetmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.1 Matriced’uneapplicationlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.2 Changementdebases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Applicationslinéairesremarquables:formeslinéaires,projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3.1 Homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3.2 Formeslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.3 Projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.4 Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Déterminants 97
6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Propriétésélémentairesdesdéterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.3 Applicationàl’inversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4 RésolutiondesystèmeslinéairesetformulesdeCramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4.1 Quelquescalculsdedéterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Appendices 107
A Corrigésd’exercices 107
A.1 Chapitre1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.2 Chapitre2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.3 Chapitre3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
B Algorithmesetprogrammesinformatiques 113
B.1 AlgorithmesdeGaussetLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
, 4
UniversitéAix-Marseille1PEIP-L1,27avril2010 Algèbrelinéaire,MathsgénéralesII
Chapitre 0
Introduction et bibliographie
0.1 Algèbre...
Lemot“algèbre”vientdutermearabe"al-jabr"signifiantlittéralement"restauration".Cetermefutpourlapre-
mièrefoisemployéàproposdesmathématiquesparlenovateurAl-Khwarizmi1,danssonlivre(Livreabrégésur
lecalculparlarestaurationetlacomparaison)oùilprocèdeàl’étudesystématiquedeséquationsduseconddegré
et se ramène à six cas de base, en utilisant ce qu’il nomme “restauration" (al-jabr). Cette restauration se traduit
essentiellementparl’ajoutd’unemêmequantitédanslesdeuxmembresdel’équationafind’éliminerlestermes
apparaissantensoustraction.Cetteidéedemodifieruneégalitépourlarendreplussimpleàrésoudreestfonda-
mentale. Il faut se rendre compte qu’à l’époque d’Al-Khwarizmi, le seul fait de penser un problème en termes
d’égalitéavecunegrandeurinconnueétaitdéjàuneavancéeconsidérable.
0.2 ...linéaire
Voyons maintenant ce qu’est ce qu’un phénomène linéaire. Le prix de détail des marchandises, par exemple :
quandlemarchandaffiche2eurosleprixd’unkilodepommes,ilestimplicitequexkilosdepommescoûteront
2xeuros.LeprixdespommesestdoncdonnéparlafonctiondeRdansRdéfinieparx 7→ 2x.Leprixquevous
payezestunefonctionlinéairedupoids.Demanièreplusgénérale,uneapplicationlinéairedeRdansRestune
application qui s’écrit sous la forme x 7→ αx, où α ∈ R est donné. Finalement, dans R, l’algèbre linéaire se
réduitplusoumoinsàlarègledetrois...Leconceptdelinéaritépeutalorss’étendrepourdésignerunrapportde
dépendancetrèssimpleentreplusieursvariables:lavariabley dépendlinéairementdesvariablesx ,...,x s’il
1 N
existe des constantes α ,...,α telles que y = α x +...+α x . On dit encore que y s’exprime comme
1 N 1 1 N N
combinaisonlinéairedex ,...,x .Parexemple,sivousachetezx kilosdepommesà2euroslekiloetx kilos
1 N 1 2
depoiresà3euroslekilo,leprixtotalyquevouspayezestlacombinaisonlinéairey =2x +3x .Lanotionde
1 2
combinaisonlinéaireserafondamentaledanslasuitedececours.
Finalement,l’algèbrelinéaireestledomainedesmathématiquesquiétudiedefaçonsystématiquelespropriétés
associées à la dépendance linéaire. Les concepts de base sont celui de combinaison linéaire dont on vient de
parler,etlesnotionsd’espacevectorieletd’applicationlinéaire.Lesespacesvectorielslesplussimplessontles
ensemblesR,R2 etR3 lorsqu’ilssontmunisdedeuxopérationstrèssimples:l’additionetlamultiplicationpar
unréel,quiprésententuncertainnombredepropriétésquenousverronsplustard.
1Al-Khwarizminévers783,originairedeKhivadanslarégionduKhwarezmquiluiadonnésonnom,mortvers850àBagdad,estun
mathématicien,géographe,astrologueetastronomemusulmanpersedontlesécrits,rédigésenlanguearabe,ontpermisl’introductionde
l’algèbreenEurope.Ilestàl’originedesmotsalgorithme(quin’estautrequesonnomlatinisé)etalgèbre(issud’uneméthodeetdutitre
d’undecesouvrages)ouencoredel’utilisationdeschiffresarabesdontladiffusiondansleMoyen-OrientetenEuropeprovientd’unautre
deceslivres(quilui-mêmetraitedesmathématiquesindiennes)etdel’habitudededésignerl’inconnueparlalettrexdansuneéquation.
Ilad’ailleursparticipéàlatraductiondenombreuxmanuscritsscientifiquesgrecsetindiens.Sonapportenmathématiquesfuttelqu’ilest
égalementsurnommé“lepèredel’algèbre",avecDiophantedontilreprendralestravaux.Eneffet,ilfutlepremieràrépertorierdefaçon
systématiquedesméthodesderésolutiond’équationsenclassantcelles-ci.
5
0.3.Bibliographie 0.Introductionetbibliographie
0.3 Bibliographie
– Deslivresenfrançais.
D.-C.LayAlgèbrelinéaire:Théorie,exercicesetapplications,2004,DeBoeck.
R.Dalang-etAChaabouniAlgèbrelinéaire:Aidemémoire,exercicesetapplications,2005,PPUR.
A.DenmatetF.HéaulmeAlgèbrelinéaire:TravauxDirigés,1995,Dunod.
F.Liret,D.MartinaisAlgèbre1e`reannée.Coursetexercicesavecsolutions,2003,Dunod.
– Sivousvoulezensavoirplus....
J.-M.MonnierAlgèbreMPSI:Cours,méthodesetexercicescorrigés,2006,Dunod.
– Deslivresenanglais.
G.StrangIntroductiontoLinearAlgebra,fourthedition,2009,Wellesley-CambridgePressU.S. Lalecturede
celivrestfortementconseillé.Lepremierchapitreesttrèslargementinspirédecelivre.
J. H Hubbard, B. Burke Hubbard Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms : A Unified Ap-
proach,2005,PrenticeHall.
– Quelquessitesutiles(cours,exercicescorrigésetc...)
http://wims.unice.fr
http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=U1/algebra/docsyslin.fr
http://web.mit.edu/18.06/www/Video/video-fall-99-new.html
http://home.scarlet.be/~ping1339/Pvect.htm
0.4 Exercices
Exercice1 Des amis vont au bar. Ils consomment 8 cafés et 4 jus d’orange et payent 28 euros. Puis ils recom-
mandent7caféset5jusd’orange.Cettefoisciilspayent29euros.Quelestleprixdujusd’orangeetducafé?
Exercice2 UncadetdeGascogneditàsesamis:"J’aidépensé4écusdeplusquelequartdecequej’avaisen
entrant dans la taverne et il me reste 2 écus de plus que le quart de ce que j’avais en entrant dans la taverne"
Combienavait-ilenentrantdanslataverne?
Exercice3 Un groupe de 24 personnes, composé d’élèves mineurs, d’élèves majeurs et de professeurs, vont au
cinéma.Lebilletcoute4eurospourunélèvemajeur,3eurospourunélèvemineuret9eurospourunprofesseur.
Legroupedépenseautotal102euros.Sachantquelorsd’unesortieilyaunprofesseurpour5élèves,combieny
a-t-ild’élèvesmineurs,d’élèvesmajeursetdeprofesseurs?
, 6
UniversitéAix-Marseille1PEIP-L1,27avril2010 Algèbrelinéaire,MathsgénéralesII
Chapitre 1
R2 R3
Algèbre linéaire dans et
Nous allons dans ce chapitre introduire quelques notions nouvelles dans un cadre concret, celui de la droite, du
plan et de l’espace, ce qui nous permettra aussi de réviser quelques connaissances que vous avez acquises en
secondaireetaupremiersemestre.
1.1 Vecteurs de R2 et R3
1.1.1 Vecteursetcombinaisonslinéaires
Dans ce premier chapitre, nous noterons en gras un vecteur u de R2 ou de R3 que vous avez peut être noté −→u
dansvosclassesprécédentes.Ons’affranchiradelanotationengrasouavecflècheaufuretàmesuredececours,
enparticulierlorsqu’onintroduiralesvecteurscommedes“élémentsd’unespacevectoriel”,dontnousdonnerons
unedéfinitionpréciseplustard.
Soientuetv desvecteursdeR2 quisontdéfinis(pourl’instant)pardespairesderéels(u ,u )et(v ,v ).On
1 2 1 2
noteraaussilesvecteurssousformedecolonnescontenantlescomposantes:
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
u v
u= 1 , v = 1 .
u v
2 2
L’additiondesdeuxvecteursuetvs’écrit:
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
u v u +v
u+v = 1 + 1 = 1 1 .
u v u +v
2 2 2 2
Onpeutmultiplierunvecteuru∈R2(ouR3)parunréelα∈R:
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
u αu
αu=α 1 = 1 .
u αu
2 2
Définition1.1 Onappellecombinaisonlinéairedeuetv ∈R2toutvecteurwdelaformew =αu+βv,oùα
etβ sontdesréels,c.à.d.:
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
w αu +βv
w = 1 = 1 1 .
w αu +βv
2 2 2
Cespropriétéss’appliquentbiensûraussiauxvecteursdeR3.UnvecteurudeR3estdonnéparsestroiscompo-
santes(u ,u ,u ),etlevecteurs’écritalors:
1 2 3
 
u
1
u=u2.
u
3
LacombinaisonlinéairedeuetvdansR3aveclescoefficientsαetβ s’écrit
   
w αu +βv
1 1 1
w =w2=αu2+βv2.
w αu +βv
3 3 3
7
1.1.VecteursdeR2etR3 1.AlgèbrelinéairedansR2etR3
(cid:2) (cid:3)
Remarque1.2(Notations ··· et(···)) On a identifié des couples ou des triplets de réels avec des vecteurs
écritssousformedecolonnes.Toutefois,ilfaudrabienfaireattentiondenepasconfondrelevecteur(u ,u ,u ),
1 2 3
(cid:2) (cid:3)
qui est le vecteur colonne dont les composantes sont u , u et u , avec le vecteur u u u qui est un
1 2 3 1 2 3
vecteur ligne dont les composantes sont les mêmes que celles du vecteur u mais qui n’est pas du tout le même
objetmathématique.Cevecteurlignes’appelle“vecteurtransposé”duvecteuru.
Dansladéfinitionprécédente,onadéfiniunecombinaisonlinéairededeuxvecteurs.Cettedéfinitioncontientle
casd’unecombinaisonlinéaired’unseulvecteur,enprenantledeuxièmeégalauvecteurnul.Maisonpeutaussi
biensûr généraliser ladéfinitiondecombinaison linéaire pourtrois,quatre, ...,n vecteurs.Une questionimpor-
tantequireviendrasouventpendantcecoursestjustementdedéterminerl’ensembledetouteslescombinaisons
linéairesd’unvecteur,dedeuxvecteurs,detroisvecteurs?Evidemment,lerésultatdépenddesvecteurs...Sipar
exempleoncherchetouteslescombinaisonslinéairesαuetquelevecteuruestlevecteurnul,onobtientquel’en-
sembledescombinaisonslinéairesestréduitauvecteurnul.Siparcontrelevecteuruestnonnul,l’ensembledes
combinaisons linéaires est la droite de vecteur directeur u. Par exemple, l’ensemble des combinaisons linéaires
desdeuxvecteurs
   
1 1
0 et 1
0 1
estunplan,tandisquel’ensembledescombinaisonslinéairesdesdeuxvecteurs:
   
1 −1
0 et  0 
0 0
estunedroite.
Exemple1.3 On cherche à écrire les deux équations que vérifient les inconnues (réelles) α et β pour que la
combinaisonlinéaireαu+βvsoitégaleàb,avec:
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
1 −1 1
u= , v = , etb= .
3 2 5
Pour ce faire, on écrit la combinaison linéaire et l’égalité avec le vecteur b : On écrit ensuite l’égalité compo-
santeparcomposante.Onobtientainsilesystèmesuivant,quiestunsystèmelinéaireàdeuxéquationsetdeux
inconnues:
(cid:26)
α−β =1
3α+2β =5.
1.1.2 Produitscalaire,norme
Définition1.4 Le produit scalaire de deux vecteurs u = (u ,u ) et v = (v ,v ) de R2 est le réel : u·v =
1 2 1 2
u v +u v . De même, le produit scalaire de deux vecteurs u = (u ,u ,u ) et v = (v ,v ,v ) de R3 est le
1 1 2 2 1 2 3 1 2 3
réel:u·v =u v +u v +u v .
1 1 2 2 3 3
Onrappellequeleproduitscalairededeuxvecteursorthogonauxestnul.
√
Définition1.5 Lanormeeuclidienned’unvecteurudeR2ouR3estleréelpositifounulkuk= u·u.
√
Onappellevecteurunitaireunvecteurudontlanormeestégaleà1:kuk = u·u = 1.Siuetv sontdeux
vecteursunitaires,alorsu·v =cosθ,oùθestl’angleentrelesvecteursuetv.Onremarquedoncqueleproduit
scalairededeuxvecteursunitairesesttoujourscomprisentre-1et1.
Pourdeuxvecteursquelconquesu˜ etv˜,laformuledonnantlecosinusdel’angleθentrelesdeuxvecteursdevient:
u˜ ·v˜
cosθ = ,
ku˜kkv˜k
ce qui se démontre très facilement en posant u = u˜ et v = v˜ : les deux vecteurs u et v sont maintenant
ku˜k kv˜k
unitairesetonadoncu·v =cosθ,d’oùlerésultat1.
1Ceraisonnements’appelleunraisonnementparhomogénéité.
, 8
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1.2.Lanotiondematrice 1.AlgèbrelinéairedansR2etR3
Onrappelleenfindeuxinégalitésabsolumentfondamentales:pourtousvecteursuetvdeR2ouR3,
InégalitédeCauchy-Schwarz: |u·v|≤kuk·kvk
Inégalitétriangulaire: ku+vk≤kuk+kvk
1.1.3 Exercices
Touslesexercicesdecettesectionsonttirésdeouinspirésparquelquesunsdesnombreuxexercicesdulivrede
G.Strangdontnousconseillonsvivementlalecture...
Exercice4 Décriregéométriquement(droite,planouR3 toutentier)l’ensembledescombinaisonslinéairesdes
vecteurssuivants:
             
1 2 1 0 1 0 1
(a)2 et 4 (b)0 et 1 (c)0,1 et 1
3 6 0 2 0 1 1
Exercice5 Onconsidèreles12vecteursdeR2,u ,k =1,...12,decomposantes(coskπ,sinkπ).Dessinerles
k 6 6
12 12
X X
12vecteurs,puiscalculer u ,etenfincalculer u .
k k
k=1 k=1
k6=2
Exercice6 Soituncubedonttroissommetsontcommecoordonnées(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0).Donnerlesco-
ordonnéesdesautressommetsainsiquedescentresdesfaces.
Exercice7 Trouverdeuxvecteursvetwquisontorthogonauxàu=(1,1,0)etorthogonauxentreeux.
Exercice8 Quelleestlanormeeuclidienneduvecteur(1,1,...,1)dansR25?
Exercice9 SoientuetvdeuxvecteursdeR3dontlesnormessontkuk=3etkvk=4.Quellessontlesvaleurs
maximaleetminimaledeku−vketu·v?
Exercice10 Soientu=(x,y,z)unvecteurduplandeR3d’équationx+y+z =0,etv =(z,x,y).
1. Montrerqueu·v =−1kukkvk
2
2. Calculerl’angleentreuetv.
1.2 La notion de matrice
Nousallonsmaintenantintroduirelanotiondematrice,ouplutétsonactionsurunvecteur.Engros,unematrice
est un tableau de nombres. Voyons tout de suite quelle est la définition de son action sur un vecteur, ce qu’on
appelleaussilamultiplicationmatricevecteur.
1.2.1 Ecriturematricielled’unecombinaisonlinéaire
CommençonsparunexempledansR2.Onpeutécrirel’égalité:
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
2 −1 4 2 −1 4
3 +2 = ouencore3u+2v =bavecu= ,v = etb=
1 2 7 1 2 7
Onintroduitlamatrice2×2quiestuntableaudontlapremiérecolonneestlevecteuruetladeuxiémecolonne
levecteurcolonnev:
(cid:20) (cid:21)
(cid:2) (cid:3) 2 −1
A= u v = .
1 2
Gréceàcettematrice,onréécritlacombinaisonlinéaire3u+2vcommeleproduitdelamatriceAaveclevecteur
(3,2):
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
2 −1 2 −1 3 4
3u+2v =3 +2 = = .
1 2 1 2 2 7
, 9
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1.2.Lanotiondematrice 1.AlgèbrelinéairedansR2etR3
Notons x le vecteur de composantes (3,2). Le produit Ax de la matrice A par le vecteur x est la combinaison
linéaire3u+2v.Plusgénéralementsixestunvecteurdecomposantes(x ,x ),leproduitAxestlacombinaison
1 2
linéaire x u+x v,c.à..d premiére composante du vecteur fois premiére colonne de la matrice plus deuxiéme
1 2
composante du vecteur fois deuxiéme colonne de la matrice. Plus qu’une définition du produit matrice vecteur
(qu’onverraplusendétailsauchapitresuivant),ceciestlevéritableconcept:audépartcesontlescoefficientsx
1
x quimultiplientlesvecteurs,maintenantc’estlamatriceforméeparcesvecteursquimultiplielevecteurxdont
2
lescomposantessontx etx .
1 2
Aretenir:
Lerésultatd’unproduitmatricevecteuresttoujoursunecombinaisonlinéairedescolonnesdelamatrice.
OnpeutalorsaussiremarquerquelevecteurAxs’écrit
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
2 −1 2x −x (2,−1)·(x ,x )
Ax=x u+x v =x +x = 1 2 = 1 2
1 2 1 1 2 2 x +2x (1,2)·(x ,x )
1 2 1 2
LapremiérecomposantedeAxestleproduitscalairedelapremiérelignedeAaveclevecteurx,etladeuxiéme
composante de Ax est le produit scalaire de la deuxiéme ligne de A avec le vecteur x. C’est un autre moyen,
extrémementsouventutilisé,decalculerleproduitmatricevecteur.
Considéronscommedeuxièmeexemple2lestroisvecteursdeR3suivants:
     
1 0 0
u=−1,v = 1 ,w =0,
0 −1 1
Ecrivonslacombinaisonlinéaireαu+βv+γw:
       
1 0 0 α
α−1+β 1 +γ0=β−α.
0 −1 1 γ−β
On écrit maintenant cette combinaison linéaire sous forme matricielle, c.à.d. à l’aide d’un tableau de nombres,
qu’onnoteA;levecteuruestlapremièrecolonnedutableau,levecteurvlaseconde,etlevecteurwlatroisième:
    
1 0 0 α α
−1 1 0β=β−α.
0 −1 1 γ γ−β
Lesscalairesα,β,γsontlescomposantesd’unvecteurxdeR3.LeproduitdelamatriceAparlevecteurxestla
combinaisonlinéaireαu+βv+γwdestroiscolonnesdeA.
    
1 0 0 α α
(cid:2) (cid:3)
Ax=−1 1 0β= u v w β=αu+βv+γw.
0 −1 1 γ γ
RevenonssurleconceptduproduitmatricevecteurexposéplushautpourunvecteurdeR2:audépartcesontles
coefficientsαβ γ quimultiplientlesvecteurs,maintenantc’estlamatriceforméeparcesvecteursquimultiplie
levecteurxdontlescomposantessontα,β etγ.Ducouponvamaintenantrenommerlescomposantesα,β etγ
dexenx ,x ,x .Ennotantb ,b ,b lescomposantesdeAx=b,onobtient:
1 2 3 1 2 3
      
1 0 0 x x b
1 1 1
Ax=−1 1 0x2=x2−x1=b2=b.
0 −1 1 x x −x b
3 3 2 3
Comme dans le cas de l’exemple précédent, on peut alors introduire une autre vision (qui est la plus habituelle
danslaplupartdesouvrages)duproduitmatricevecteurAx:lescomposantesduvecteurb=Axsontobtenues
eneffectuantleproduitscalairedechaquelignedelamatriceaveclevecteurx.Surl’exemplequ’onvientdevoir,
cecidonne:
        
1 0 0 x (1,0,0)·(x ,x ,x ) x b
1 1 2 3 1 1
Ax=−1 1 0x2=(−1,1,0)·(x1,x2,x3)=x2−x1=b2=b.
0 −1 1 x (0,−1,1)·(x ,x ,x ) x −x b
3 1 2 3 3 2 3
Engénéral,quandonfaitdescalculsàlamaindematrice(onaimeraitquecesoitlemoinssouventpossible...)
c’estcettefaçonlàqu’onemploie.
2CetexempleesttirédulivredeGilbertStrang,IntroductiontoLinearAlgebra,Wellesley-Cambridge
, 10
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