Universit`a di Trieste Corso di Laurea Specialistica in Matematica AA 2004/2005 Appunti sulla ...

114 Pages·2005·5.03 MB·Italian

SISSA - Universit`a di Trieste
Corso di Laurea Specialistica in Matematica
A. A. 2004/2005
Appunti sulla Teoria delle Funzioni
Boris DUBROVIN
March 16, 2005
Contents
1 Introduzione 3
1.1 Numeri complessi, piano complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Convergenza delle successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Funzioni di una variabile complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Funzioni olomorfe 8
2.1 La derivata complessa. Le equazioni di Cauchy - Riemann . . . . . . . . . . . 8
2.2 Serie di potenze come funzioni olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Esempi di serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Teorema di Cauchy. Integrale di Cauchy 18
3.1 Integrali curvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Grado di un circuito rispetto un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Formula integrale di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Sviluppo di una funzione olomorfa in serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6 Teorema di Cauchy: versione finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7 Principio del prolungamento analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.8 Zeri delle funzioni olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.9 Funzioni meromorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.10 Teorema di Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.11 Principio di simmetria di Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1
4 Serie di Taylor e serie di Laurent. Punti singolari e residui 32
4.1 Disuguaglianze di Cauchy per i coefficienti di serie di Taylor . . . . . . . . . . 32
4.2 Teorema di Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Teorema del valor medio. Principio del massimo modulo . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Lemma di Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Serie di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.6 Classificazione dei punti singolari isolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.7 Residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.8 Residuo logaritmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Variet`a complesse 45
5.1 Definizione di una variet`a complessa unidimensionale. Funzioni olomorfe su
variet`a complesse. Mappe olomorfe e equivalenze biolomorfe . . . . . . . . . . 45
5.2 La sfera di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Tori complessi e funzioni ellittiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Forme olomorfe e meromorfe sulle variet`a complesse. Teorema dei residui . . 54
5.5 Problema di classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.6 Gruppi di automorfismi delle variet`a complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.7 Geometria complessa e geometria differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.8 Superficie di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.9 Curve algebriche e superficie di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.10 Piccolo Teorema di Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.11 Teorema di Riemann. Parte 1: la propriet`a estremale delle mappe conformi . 85
6 Spazi di funzioni olomorfe 88
6.1 Convergenza uniforme sui compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 La topologia e la metrica negli spazi C(D) e H(D) . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 I compatti nello spazio H(D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4 Fine della dimostrazione del Teorema di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7 Esercizi 95
7.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.2 Successioni e serie di numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3 Funzioni elementari di una variabile complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.4 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.5 Varie formule della teoria di funzioni olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2
7.6 Integrali curvilinei. Teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.7 Formula integrale di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.8 Prolungamento analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.9 Principio del massimo modulo. Lemma di Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.10 Punti singolari isolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.11 Applicazioni al calcolo degli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.12 Funzioni ellittiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.13 Mappe conformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8 Bibliografia 114
1 Introduzione
1.1 Numeri complessi, piano complesso
Si consideri l’insieme
C := (cid:8)z := (a,b)|a, b ∈ R2(cid:9) (= R2)
con le operazioni
(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)
(a,b)(c,d) = (ac−bd,ad+bc)
Lemma 1.1 Queste operazioni definiscono su C una struttura di un campo.
Divisione:
(cid:18) (cid:19)
a b
z = (a,b) 6= 0, z−1 = ,− , zz−1 = 1.
a2+b2 a2+b2
(Digressione: per quali n si pu`o introdurre su Rn una struttura di un’algebra con divi-
sione? Risposta: solo per n = 1, 2, 4, 8 (rispettivamente i casi dei numeri reali R, complessi
C, quaternioni H e ottonioni O)! Questo `e il famoso teorema di J.Adams (1962) dimostrato
con metodi di topologia algebrica.)
Usuale forma dei numeri complessi:
z = a+ib, i2 = −1.
Altre notazioni:
La parte reale
a = Rez
e la parte immaginaria
b = Imz.
3
Due numeri complessi z e w sono uguali se e solo se
Rez = Rew e Imz = Imw.
Numero complesso coniugato
z¯= a−ib.
Esercizio 1.2 Quali sono i numeri complessi z che soddisfano l’equazione
z¯= z?
z¯
z−1 = , z 6= 0.
|z|2
Alcune propriet`a
z±w = z¯±w¯, zw = z¯w¯
z+z¯ z−z¯
Rez = , Imz =
2 2i
Piano complesso C = R2, il modulo e l’argomento di un numero complesso z =
x+iy 6= 0, sono, rispettivamente
√
p
|z| = x2+y2 = zz¯
e
x y
argz = φ(modulo 2π), tale che cosφ = , sinφ =
p p
x2+y2 x2+y2
Lemma 1.3 (Esercizio).
||z|−|w|| ≤ |z+w| ≤ |z|+|w|.
Semplici esempi:
• la mappa z 7→ z¯`e una simmetria (riflessione) rispetto all’asse x.
• l’insieme |z−z | = R `e il cerchio del raggio R con centro nel punto z .
0 0
• l’insieme |argz −θ| < (cid:15) `e il settore circolare di apertura 2(cid:15). La bisettrice del settore
forma l’angolo θ con la direzione positiva dell’asse x.
Lemma 1.4
|zw| = |z||w|
argzw = argz+argw(mod2π).
Dimostrazione: Rappresento
!
p x y
z = x+iy = x2+y2 +i = |z|(cosφ+isinφ), φ = argz.
p p
x2+y2 x2+y2
4
Allora
z z = |z ||z |(cosφ +isinφ )(cosφ +isinφ )
1 2 1 2 1 1 2 2
= |z ||z |[cosφ cosφ −sinφ sinφ +i(sinφ cosφ +cosφ sinφ )]
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
= |z ||z |[cos(φ +φ )+i sin(φ +φ )]
1 2 1 2 1 2
(ho usato le formule di addizione per il seno e il coseno).
Corollario 1.5 La mappa C → C
z 7→ λz, λ ∈ C, λ 6= 0
`e una rotazione di angolo argλ seguita da un’omotetia con coefficiente |λ|.
Esercizio 1.6 Dimostrare che la matrice, rispetto a una qualsiasi base ortonormale, della
trasformazione lineare
A : R2 → R2
composta da una rotazione attorno all’origine ed un’omotetia con il centro nell’origine stessa
`e
(cid:18) (cid:19)
a −b
A = , a, b ∈ R.
b a
Dimostrare che tale trasformazione pu`o essere rappresentata come
Az = λz, z ∈ C = R2
per un numero opportuno λ ∈ C.
Le formule di Eulero: per φ ∈ R definiamo
eiφ := cosφ+i sinφ. (1.1)
La propriet`a principale `e:
eiφ1eiφ2 = ei(φ1+φ2)
(vedi sopra). Allora, se φ = argz, r = |z| otteniamo la forma trigonometrica
z = reiφ. (1.2)
Osservazione 1.7
z¯= re−iφ (argz¯= −argz).
Da ci`o si ricavano le formule di Eulero
1 (cid:16) (cid:17)
cosφ = eiφ+e−iφ
2
1 (cid:16) (cid:17)
sinφ = eiφ−e−iφ . (1.3)
2i
5
1.2 Convergenza delle successioni
su C viene definita allo stesso modo che per i punti sul piano R2, cio`e per
z , z ,...,z ,...
1 2 n
lim z = w se e solo se lim |z −w| = 0.
n n
n→∞ n→∞
Criterio di Cauchy: ∃ lim z se e solo se
n→∞ n
∀(cid:15) > 0 ∃n = n ((cid:15))
0 0
tale che
∀n > n e m > n |z −z | < (cid:15).
0 0 n m
Esercizio 1.8 Se w = lim z , allora lim |z | = |w|. E` sempre vero che anche
n→∞ n n→∞ n
lim argz = argw?
n→∞ n
La convergenza di una serie
∞
X
z = z +z +···+z +...
n 1 2 n
n=1
significa la convergenza della successione
w = z +z +...z , n = 1, 2, ...
n 1 2 n
Lemma 1.9 Se la serie P∞ |z | converge, allora converge anche la serie P∞ z e
n=1 n n=1 n
(cid:12) (cid:12)
∞ ∞
(cid:12)X (cid:12) X
(cid:12) z (cid:12) ≤ |z |.
(cid:12) n(cid:12) n
(cid:12) (cid:12)
n=1 n=1
Dimostrazione: Per m < n
(cid:12) (cid:12)
n n
(cid:12) X (cid:12) X
|w −w | = (cid:12) z (cid:12) ≤ |z | = s −s
n m (cid:12) k(cid:12) k n m
(cid:12) (cid:12)
k=m+1 k=m+1
dove
n
X
s = |z |.
n k
k=1
L’applicazione del criterio di Cauchy alla serie convergente P∞ |z | implica la validit`a della
n=1 n
condizione del criterio di Cauchy per P∞ z . Poi,
n=1 n
(cid:12) (cid:12)
∞ m ∞
(cid:12)X (cid:12) (cid:12) (cid:12) X X
(cid:12) z (cid:12) = (cid:12) lim w (cid:12) = lim |w | ≤ lim |z | = |z |.
(cid:12) n(cid:12) (cid:12) m(cid:12) m n n
(cid:12) (cid:12) m→∞ m→∞ m→∞
n=1 n=1 n=1
6
Definizione 1.10 Se la serie P∞ |z | converge, allora si dice che la serie P∞ z con-
n=1 n n=1 n
verge assolutamente.
Esercizio 1.11 Se w(1) = P∞ z(1), w(2) = P∞ z(2) sono due serie che convergono asso-
n=1 n n=1 n
lutamente, allora anche le serie P∞ (c z(1) +c z(2)) e P∞ z(1)z(2) convergono assolu-
n=1 1 n 2 n m,n=1 n m
tamente e
∞
X
(c z(1)+c z(2)) = c w(1)+c w(2)
1 n 2 n 1 2
n=1
∞
X
z(1)z(2) = w(1)w(2).
n m
m,n=1
1.3 Funzioni di una variabile complessa
Consideriamo funzioni definite sui sottoinsiemi D ⊂ C
f : D → C
a valori complessi, scritte anche come
w = f(z), z ∈ D, w ∈ f(D) ⊂ C.
Ilimitielacontinuit`adellefunzionidiunavariabilecomplessasidefinisconocomenellateoria
delle funzioni su R2. In particolare se c ∈ C `e un punto di accumulazione del sottoinsieme
D, si dice che lim = γ se
z→c
∀(cid:15) > 0 ∃δ > 0
tale che
∀z tale che 0 < |z−c| < δ abbiamo |f(z)−γ| < (cid:15).
Chiamo
z = x+iy, f(z) = u(x,y)+iv(x,y).
Se c = a+ib, γ = α+iβ, allora
lim u(x,y) = α, lim v(x,y) = β.
(x,y)→(a,b) (x,y)→(a,b)
Esercizio 1.12 Formulare il criterio di Cauchy per l’esistenza del limite di una funzione di
una variabile complessa.
Se il punto di accumulazione c = a+ib appartiene a D, e lim f(z) = f(c), allora la
z→c
funzione f(z) si chiama continua nel punto c.
Esercizio 1.13 La funzione f(z) `e continua nel punto di accumulazione c ∈ D se e solo se
la parte reale u(x,y) = Ref(z) e quella immaginaria v(x,y) = Imf(z) sono continue nel
punto (a,b).
7
Esercizio 1.14 Dimostrare le note propriet`a delle funzioni continue nel punto c ∈ D: una
combinazione lineare c f(z)+c g(z) di due funzioni continue, il loro prodotto f(z)g(z) `e di
1 2
nuovo una funzione continua. Il rapporto f(z)/g(z) `e una funzione continua nel punto c se
g(c) 6= 0.
Esempi di funzioni continue:
1) f(z) = z.
2) f(z) = z¯.
Piu` generalmente, f(z) = Pm Pn a zkz¯l.
k=0 l=0 kl
Osservazione 1.15 Le funzioni continue su un’insieme D ⊂ C chiuso e limitato (cio`e, su
un insieme compatto) sono uniformemente continue:
∀(cid:15) > 0 ∃δ > 0
tale che
∀z, w ∈ D, |z−w| < δ implica |f(z)−f(w)| < (cid:15).
Inoltre, le funzioni continue su un compatto raggiungono il valore massimale/minimale, i.e.,
esistono punti z ∈ D, z ∈ D tali che
1 2
∀z ∈ D |f(z )| ≤ |f(z)| ≤ |f(z )|.
1 2
2 Funzioni olomorfe
2.1 La derivata complessa. Le equazioni di Cauchy - Riemann
Sia D ⊂ C un dominio, cio`e, un aperto connesso e f(z) una funzione di una variabile
complessa definita su D.
Definizione 2.1 Si dice che per la funzione f(z) esiste la derivata complessa f0(z) nel
punto z ∈ D se e solo se esiste il limite
f(z+h)−f(z)
lim =: f0(z). (2.1)
h→0 h
Esempio 1. Per la funzione f(z) = z esiste la derivata complessa f0(0) = 1 nel punto
z = 0. Infatti,
f(z+h)−f(z) h
lim = lim = 1.
h→0 h h→0 h
Esempio 2. La funzione f(z) = z¯ non ammette la derivata complessa nel punto z = 0
(e neanche in nessun altro punto). Infatti, calcolando il limite (2.1) lungo l’asse reale h ∈ R
f(z+h)−f(z) h¯
lim = lim = 1
h→0 h h→0 h
8
(dato che h¯ = h per h ∈ R). Calcolando lo stesso limite per h ∈ iR ottengo il valore diverso
f(z+h)−f(z) h¯
lim = lim = −1
h→0 h h→0 h
(dato che h¯ = −h per h ∈ iR).
Definizione 2.2 Una funzione f(z) definita sul dominio D ⊂ C si chiama olomorfa su D
se per ogni punto z ∈ D esiste la derivata complessa f0(z).
Teorema 2.3 La funzione olomorfa f(z) = u(x,y)+iv(x,y) su D ⊂ C `e differenziabile in
ogni punto z ∈ D. Le derivate parziali delle funzioni u = u(x,y) = Ref(z), v = v(x,y) =
Imf(z) soddisfano le equazioni di Cauchy - Riemann
u = v
x y
u = −v . (2.2)
y x
Viceversa, se u(x,y), v(x,y) sono due funzioni differenziabili su D ⊂ R2 a valori reali che
soddisfano le equazioni di Cauchy - Riemann, allora f(z) = u(x,y)+iv(x,y) `e una funzione
olomorfa.
Dimostrazione: Dalla definizione della derivata complessa si ottiene
f(z+h)−f(z) = f0(z)h+o(|h|).
Inquestaequazione, eancheinseguito, ilsimboloo(|h|)significaunafunzionenonspecificata
tale che
o(|h|)
→ 0 per |h| → 0.
|h|
Chiamo z = x+iy, h = ∆x+i∆y, f0(z) = α+iβ. Separando le parti reale ed immaginaria
riscrivo l’ultima formula come
f(z+h)−f(z) = [u(x+∆x,y+∆y)−u(x,y)]+i [v(x+∆x,y+∆y)−v(x,y)]
p
= (α+iβ)(∆x+i∆y)+o( ∆x2+∆y2).
Raccolgo le parti reale e immaginaria:
p
u(x+∆x,y+∆y)−u(x,y) = α∆x−β∆y+o( ∆x2+∆y2)
p
v(x+∆x,y+∆y)−v(x,y) = β∆x+α∆y+o( ∆x2+∆y2).
Quindi la mappa
(x,y) 7→ (u(x,y),v(x,y)) (2.3)
`e differenziabile, ovvero il differenziale della mappa si scrive cos`ı:
du = αdx−βdy
dv = βdx+αdy.
9
Il confronto con le solite formule
du = u dx+u dy
x y
dv = v dx+v dy
x y
mostra che
u (x,y) = α = Ref0(z)
x
u (x,y) = −β = −Imf0(z)
y
v (x,y) = β = Imf0(z)
x
v (x,y) = α = Ref0(z).
y
Viceversa, per una mappa differenziabile f le equazioni di Cauchy - Riemann implicano che
p
f(x+∆x,y+∆y)−f(x,y) = [u ∆x+u ∆y]+i [v ∆x+v ∆y]+o( ∆x2+∆y2)
x y x y
p
= [u ∆x−v ∆y]+i [v ∆x+u ∆ ]+o( ∆x2+∆y2)
x x x x y
p
= (u +iv )(∆x+i∆y)+o( ∆x2+∆y2).
x x
Allora
f(x+∆x,y+∆y)−f(x,y)
lim = u +iv = f0(z), z = x+iy, h = ∆x+i∆y.
x x
h→0 ∆x+i∆y
Osservazione 2.4 Come `e noto dal corso di analisi, il differenziale di una mappa
f : R2 → R2, (x,y) 7→ (u(x,y),v(x,y))
`e la mappa lineare che approssima f vicino al punto (x,y) in considerazione. La matrice
della mappa lineare `e la matrice di Jacobi calcolata nel punto stesso
(cid:18) (cid:19)
u (x,y) u (x,y)
J = x y .
v (x,y) v (x,y)
x y
Le equazioni di Cauchy - Riemann dicono che, per una mappa che ammette la derivata
complessa f0(z) 6= 0, questa matrice ha la forma
(cid:18) (cid:19)
u −v
J = x x
v u
x x
ovvero `e la matrice di una rotazione seguita da un’omotetia (cf. Esercizio 1.6). Quindi
intorno al punto z la funzione olomorfa pu`o essere approssimata da una rotazione di angolo
argf0(z) seguita da un’omotetia con coefficiente |f0(z)|.
Notazioni alternative: introduco gli operatori
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
∂ 1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂
:= −i , := +i . (2.4)
∂z 2 ∂x ∂y ∂z¯ 2 ∂x ∂y
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