Universidad de Valencia Agujeros negros cuánticos, cosmolog´ıa inflacionaria y la escala de Planck

184 Pages·2009·11.33 MB·Spanish

Universidad de Valencia
Departamento de F´ısica Te´orica
Tesis doctoral
Agujeros negros cu´anticos,
cosmolog´ıa inflacionaria
y la escala de Planck
Iv´an Agull´o Rodenas
Abril 2009

´
JOSE NAVARRO SALAS, Profesor Titular del Departamento de F´ısica Teo´rica
de la Universitat de Val`encia,
CERTIFICA:
´
Que la presente memoria “AGUJEROS NEGROS CUANTICOS, COS-
´
MOLOGIA INFLACIONARIA Y LA ESCALA DE PLANCK” ha sido
realizada bajo su direccio´n en el Departamento de F´ısica Te´orica de la
´ ´
Universitat de Val`encia, por IVAN AGULLO RODENAS y constituye
su Tesis para optar al grado de Doctor en F´ısica.
Y para que as´ı conste, en cumplimiento de la legislaci´on vigente, presenta en
el Departamento de F´ısica Te´orica de la Universitat de Val`encia la referida Tesis
Doctoral, y firma el presente certificado.
Valencia, a 18 de Mayo de 2009.
Jos´e Navarro Salas

A mis padres, Jos´e y Mar´ıa.

Contents
Introducci´on 11
1 Quantum field theory in curved spacetimes and two-point func-
tions 21
1.1 Quantum field theory in curved spacetimes . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Bogoliubov transformations and particle creation . . . . . . . . . . . 24
1.3 Two-point functions and particle creation . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Thermal effects and two-point functions 29
2.1 Hawking effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Bogoliubov coefficients and black hole radiance . . . . . . . . 29
2.1.2 Two-point functions and black hole radiance . . . . . . . . . 32
2.2 Unruh effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Bogoliubov coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Particles detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 Two-point functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Gibbons-Hawking effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 The transplanckian question and two-point functions 47
3.1 Black Hole radiance and the transplanckian question . . . . . . . . . 48
3.1.1 Bogoliubov coefficients and transplanckian physics . . . . . . 48
3.1.2 Two-point functions and transplanckian physics . . . . . . . . 50
3.1.3 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Unruh effect and transplanckian physics . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Invariant Planck scale, symmetries and the transplanckian ques-
tion 61
4.1 Non linear Lorentz action and an invariant Planck scale . . . . . . . . 61
4.2 Deformed two point functions and nonlinear actions . . . . . . . . . . 63
4.2.1 Conformal field theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.2 Deforming the conformal two-point functions . . . . . . . . . . 64
4.2.3 Massive scalar field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.4 Relation to other approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Unruh effect and Lorentz symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8 Contents
4.4 Gibbons-Hawking effect and de Sitter symmetry . . . . . . . . . . . . 68
4.5 Hawking effect and conformal symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Inflationary cosmology and QFT in curved spacetimes 71
5.1 Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Primordial perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Reexamining the power spectrum in de Sitter inflation . . . . . . . . 75
5.4 Reexamining the power spectrum in slow-roll inflation . . . . . . . . 79
6 Loop Quantum Gravity and black hole entropy 85
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 The combinatorial problem(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2.1 Domagala-Lewandowski implementation . . . . . . . . . . . . 88
6.2.2 The Ghosh-Mitra counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 Previous analytical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3.1 Domagala-Lewandoswski counting . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3.2 Ghosh and Mitra counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.4 Previous computational results: The ‘band’ structure . . . . . . . . . 96
7 The origin of the band structure: the richness of discreteness 101
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Classifying states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.3 Highly degenerate integer configurations . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.4 Computation of ∆A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.5 Analysis of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.6 Conclusion and outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8 Black hole entropy and number theory 113
8.1 DL counting and number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 GM counting and number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.3 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.4 Analysis of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.4.1 Hierarchy in the k relevance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
I
8.4.2 r-degeneracy vs m-degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.5 Improving the standard entropy counting . . . . . . . . . . . . . . . 129
9 Towards the asymptotical expansion 133
9.1 Generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.1.1 Generating function for the r-degeneracy . . . . . . . . . . . . 134
9.1.2 Adding the m-degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.2 Black hole entropy from generating functions . . . . . . . . . . . . . 138
9.3 Asymptotical expansion of the entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Contents 9
10 Conformal field theory and Black Hole entropy in LQG 143
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.2 Implementing the analogy between Chern-Simons and Wess-Zumino-
Witten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.3 Remarks and Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Conclusiones 149
Appendix A: Dirac equation in the Schwarzschild geometry 153
Appendix B: Classical and quantum properties of de Sitter spacetime157
Appendix C 167
Appendix D 169
Appendix E: Adiabatic counterterms 173
Bibliography 175
Agradecimientos 183
10 Contents