UNIVERSIDAD DE LA REP´UBLICA Facultad de Ingenier´ıa ALMOST GLOBAL STABILITY OF ...

122 Pages·2006·0.87 MB·Spanish

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UNIVERSIDAD DE LA REPUBLICA
Facultad de Ingenier´ıa
Tesis para optar al T´ıtulo de
Doctor en Ingenier´ıa El´ectrica
ALMOST GLOBAL STABILITY OF DYNAMICAL
SYSTEMS
(Casi estabilidad global de sistemas din´amicos)
Autor:
Pablo Monz´on
Directores de Tesis:
Jorge Lewowicz
Fernando Paganini
c Derechos de autor reservados (all right reserved)
(cid:13)
Montevideo, Uruguay
2006
.
ii
UNIVERSIDAD DE LA REPU´BLICA ORIENTAL DEL
URUGUAY
INSTITUTO DE INGENIER´ıA ELE´CTRICA
Los abajo firmantes certificamos que hemos le´ıdo el presente
trabajo titulado “Almost global stability of dynamical
systems (Casi estabilidad global de sistemas din´amicos)”
hecho por Pablo Monz´on y encontramos que el mismo satisface
los requerimientos curriculares que la Facultad de Ingenier´ıa exige
para la tesis del t´ıtulo de Doctor en Ingenier´ıa El´ectrica.
Fecha: 3 de julio de 2006
Director de Tesis:
Dr. Jorge Lewowicz
Director de Tesis:
Dr. Fernando Paganini
Tribunal examinador:
Dr. Jos´e Luis Mancilla
Dr. Alejandro Romanelli
Dr. Enrique Ferreira
Dr. Mart´ın Sambarino
Prof. Rafael Canetti
Dr. Roberto Markarian
iii
ISSN: 1688-2776 (electronic version)
Pablo Monz´on (monzon@fing.edu.uy)
Tesis de Doctorado en Ingenier´ıa El´ectrica
Facultad de Ingenier´ıa
Universidad de la Repu´blica
Montevideo, Uruguay, 2006.
iv
UNIVERSIDAD DE LA REPU´BLICA ORIENTAL DEL
URUGUAY
Fecha: 3 de julio de 2006
Autor: Pablo Monz´on
Titulo: Almost global stability of dynamical systems
(Casi estabilidad global de sistemas
din´amicos)
Instituto: Ingenier´ıa El´ectrica
Grado: Doctor en Ingenier´ıa El´ectrica (Dr. Ing.)
Seautorizaatrav´esdelapresentealaUniversidaddelaRepu´blica
OrientaldelUruguayahacercircularycopiarestatesis conpropo´sitosno
comerciales por requerimientos de individuos o instituciones.
Firma del autor
Elautorsereservaotrosderechosdepublicaci´onoutilizaci´ondelatesis
y/o de extractos dela misma sin su autorizaci´on escrita.
El autor declara que obtuvo permiso expl´ıcito para el uso de todo
material con derecho de autor que aparece en esta tesis, excepto extractos o
mencionesdetrabajosacad´emicosconautorizaci´on similaralaactual,cuyouso
es expresamente identificado.
v
.
vi
para Paula
vii
viii
Contents
Contents x
List of figures xi
Acknowledgements xiii
Abstract xv
1 Outline and contributions 1
2 Resumen y contribuciones 5
3 Almost global stability 11
3.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 A classical approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 A new approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Extensions of the main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6 Some properties of density functions . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6.1 Change of coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6.2 Non positive definite density functions . . . . . . . . . . . 26
3.6.3 Density functions for systems with negative definite di-
vergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Monotone measures 33
4.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Monotone measures in 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
R
5 Converse results 45
5.1 Linear Hurwitz systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Two useful Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Monotone measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Density functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4.1 G.a.s. systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4.2 A.g.s. systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
ix
5.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5.1 Density functions and Lyapunov functions . . . . . . . . . 58
5.5.2 Compact global attractor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Sinusoidally coupled oscillators 63
6.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 General properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Center manifold analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.4 The symmetric Kuramoto Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4.1 Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4.2 Stability analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4.3 Complete system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.4.4 Non-complete case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4.5 Non-connected case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.5 An example of non-symmetric graphs. . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.5.1 Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5.2 Stability analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.6 Density functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.6.1 The case N = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.6.2 The case N = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7 Conclusions and future works 89
7.1 Main contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2 Future works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Appendix 93
A Non positive density functions 95
Bibliography 103
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