Un'introduzione alla Geometria Differenziale di curve e superfici

300 Pages·2017·2.02 MB·Italian

Universita` del Salento
Dipartimento di Matematica e Fisica
“Ennio de Giorgi”
Domenico Perrone
Un’introduzione
alla Geometria Differenziale
di curve e superfici
Quaderno 2/2017
————­�­�
Universit`a del Salento - Coordinamento SIBA
978-88-8305-132-6
ii
Dedicato al mio nipotino
Davide

Indice
Prefazione v
Capitolo 1. Calcolo differenziale nello spazio euclideo 1
1.1. Curve parametrizzate regolari 1
1.2. Lunghezza di un arco di curva e ascissa curvilinea 7
1.3. Campi vettoriali e derivazione nello spazio euclideo 11
1.4. Il differenziale (di un’isometria) 18
1.5. Orientazione e prodotto vettoriale 25
1.6. Campi vettoriali lungo curve 28
Capitolo 2. Geometria differenziale delle curve di R3 35
2.1. Apparato di Frenet 35
2.2. Apparato di Frenet per curve a velocit`a arbitraria 44
2.3. Curvatura (con segno) di curve piane 47
2.4. Eliche circolari 52
2.5. Eliche cilindriche 55
2.6. Il campo vettoriale di Darboux 63
2.7. Il teorema fondamentale sulle curve 66
2.8. Curve magnetiche 75
2.9. Curve magnetiche di Killing 81
Capitolo 3. Superfici regolari di R3 87
3.1. Definizione, osservazioni ed esempi 87
3.2. Superfici quadriche 97
3.3. Funzioni differenziabili su superfici 106
3.4. Curve su una superficie 110
3.5. Piano tangente a una superficie 113
3.6. Differenziale e derivata direzionale 116
3.7. Prima forma fondamentale 120
3.8. Area 125
3.9. Superfici orientabili 128
3.10. Struttura complessa e 2-forma d’area 133
Capitolo 4. Operatore forma e curvature di una superficie 139
4.1. L’operatore forma e la seconda forma fondamentale 139
4.2. I simboli di Christoffel 144
4.3. Curvature principali, di Gauss e media 146
4.4. Superfici minimali 154
iii
iv 0. Indice
4.5. Curvatura normale 157
4.6. L’applicazione di Gauss 162
4.7. Approssimazione quadratica di una superficie 164
4.8. Qualche teorema globale sulle superfici 169
4.9. La pseudo-sfera di Beltrami 172
Capitolo 5. Geometria intrinseca delle superfici 177
5.1. Distanza intrinseca 177
5.2. Superfici isometriche 180
5.3. Superfici congruenti 191
5.4. Derivata covariante e curve geodetiche 194
5.5. La connessione di Levi-Civita delle superfici 202
5.6. Curvatura gaussiana e tensore di curvatura 204
5.7. Esempi di curve geodetiche 208
5.8. Geodetiche e curve minimali 218
5.9. Energia di una curva 224
5.10. Curve magnetiche su superfici orientabili 229
Capitolo 6. Geometria iperbolica 237
6.1. Domini riemanniani 237
6.2. Isometrie del semipiano di Poincar´e 242
6.3. Le geodetiche del semipiano di Poincar´e 248
6.4. La distanza nel semipiano di Poincar´e 252
6.5. L’iperboloide e il modello di Poincar´e nel disco 254
Capitolo 7. Il Teorema di Gauss-Bonnet 259
7.1. Il Teorema locale di Gauss-Bonnet 259
7.2. Il Teorema globale di Gauss-Bonnet 266
7.3. Applicazioni del Teorema di Gauss-Bonnet 271
Capitolo 8. Il Teorema di Lancret sulla sfera S3 275
8.1. Apparato di Frenet per curve di S3 275
8.2. Eliche generalizzate e Teorema di Lancret sulla sfera S3 278
8.3. Modelli di eliche sulla sfera S3 283
Bibliografia 287
Indice analitico 289
Prefazione
Queste note riflettono, in una versione molto ampliata, gli argomenti del
corso di Geometria III svolto negli ultimi cinque anni accademici presso il cor-
so di Laurea in Matematica dell’Universit´a del Salento (Lecce). Lo scopo ´e
quello di dare un’introduzione allo studio delle geometria differenziale classica
delle curve e delle superfici dello spazio euclideo R3. Un importante ruolo, per
meglio capire i concetti introdotti, ´e svolto dai numerosi esempi (ed esercizi)
che sono stati scelti con particolare attenzione. Data la natura degli argomenti
trattati, queste note sono adatte oltre che per gli studenti di Matematica anche
per quelli di Fisica. Inoltre, alcuni argomenti potrebbero essere inseriti in un
corso della Laurea Magistrale. Riguardo ai prerequisiti necessari per la com-
prensione del contenuto di questo quaderno, si richiede una buona conoscenza
dell’algebra lineare e dell’analisi reale a piu´ variabili, inoltre si richiedono le
conoscenze di base della teoria delle equazioni differenziali ordinarie e della
topologia generale.
Il Capitolo 1 ´e dedicato ad alcuni aspetti del calcolo differenziale nello
spazio euclideo R3. Nello studio della geometria differenziale delle curve di R3
(Capitolo 2) un ruolo fondamentale ´e svolto dal riferimento di Frenet e quindi
dalle funzioni curvatura e torsione, tali funzioni determinano la “forma”della
curva in R3. Nello stesso capitolo, un’attenzione particolare ´e rivolta, vista la
loro importanza anche in Fisica e non solo (cf., ad esempio, [2]–[6]), alle eliche
cilindriche (dette anche curve di Lancret) e alle curve magnetiche di R3.
Nello studio delle superfici, si ´e cercato di enfatizzare in modo particolare
le differenze tra geometria intrinseca e geometria estrinseca. Nel Capitolo 3
vengono introdotti gli strumenti e i concetti di base sulle superfici regolari, tra
questi spicca, per importanza, la prima forma fondamentale la quale gioca un
ruolo fondamentale per la geometria intrinseca di una superficie.
Il Capitolo 4 ´e dedicato al concetto di curvatura su una superficie rego-
lare. Nel caso di una curva γ(s), s ascissa curvilinea, la curvatura ´e definita
come la lunghezza del vettore accelerazione γ¨(s). Nel caso di una superficie,
la situazione ´e ovviamente piu´ articolata, basti pensare che una superficie pu´o
curvarsi lungo piu´ direzioni (quelle che determinano il piano tangente) e in
modo diverso. L’operatore forma, che ´e definito come la variazione del cam-
po normale lungo le diverse direzioni del piano tangente, e quindi studia la
variazione dello stesso piano tangente, ´e lo strumento tecnico che permette di
definire le curvature per una superficie.
v
vi 0. Prefazione
Nel Capitolo 5 studiamo principalmente proprieta´ e concetti di natura in-
trinseca di una superficie regolare, ossia proprieta´ e concetti che dipendono
soltanto dalla prima forma fondamentale e quindi sono invarianti per isome-
trie. Ad esempio, sono concetti di natura intrinseca: la distanza intrinseca,
la derivata covariante (di Levi-Civita), curve geodetiche e curvatura gaussiana
(Teorema egregium di Gauss). Propriet´a che dipendono dall’operatore forma,
ovvero dalla seconda forma fondamentale, e quindi dalla loro “forma”in R3, si
dicono proprieta´ estrinseche. Il capitolo si chiude con una breve presentazione
delle curve magnetiche su superfici regolari orientabili. Dal punto di vista dei
sistemi dinamici, una geodetica corrisponde alla traiettoria di una particella
che si muove senza l’azione di un campo magnetico. In questo contesto, le
curve magnetiche generalizzano le curve geodetiche.
Nel Capitolo 6 si introducono i domini riemanniani (D,g), dove D ´e un do-
miniodiR2 eg´eunametricariemannianasuD,ovverounamatricesimmetrica
definita positiva di ordine 2 i cui coefficienti sono funzioni differenziabili su D.
Quindi, si studiano isometrie e geodetiche di modelli di geometria iperbolica
come esempi di domini riemanniani.
Nel Capitolo 7 diamo una presentazione del Teorema di Gauss-Bonnet nel
caso delle superfici connesse compatte di R3. Il Teorema di Gauss-Bonnet, il
piu´ elegante teorema di geometria differenziale globale, evidenzia un sorpren-
dente legame tra due nozioni a priori molto distanti tra loro: la caratteristica
di Eulero-Poicar´e (invariante topologico) e la curvatura gaussiana (invariante
metrico).
Nel Capitolo 8 viene data una presentazione “elementare”del Teorema di
Lancret sulla sfera S3, come una estensione del classico Teorema di Lancret
sulle curve (studiato nel Capitolo 2).
Ulteriori approfondimenti, su quasi tutti gli argomenti trattati in questo
quaderno, si possono trovare sui testi classici [9], [17], [20]. Per approfon-
dimenti su curve magnetiche e curve di Lancret generalizzate si rinvia agli
articoli riportati in bibliografia. Infine, per uno studio della geometria dif-
ferenziale di curve e superfici con l’aiuto del programma di manipolazione
simbolica Mathematica si consiglia [7].
Guagnano, 1 Luglio 2017
Domenico Perrone
Dipartimento di Matematica e Fisica “E. de Giorgi”
Universit´a del Salento, Lecce, Italy
[email protected]
CAPITOLO 1
Calcolo differenziale nello spazio euclideo
In questo capitolo presentiamo alcuni concetti del calcolo differenziale nello
spazio euclideo che ci saranno utili per i capitoli successivi.
1.1. Curve parametrizzate regolari
Prima di iniziare con le curve parametrizzate, ricordiamo brevemente la
definizione di funzione differenziabile e quella di spazio tangente a Rn.
Sia A un aperto di Rn. Una funzione
F : A Rn R, p = (x ,...,x ) F(p) = F(x ,...,x ),
1 n 1 n
⊆ −→ 7−→
si dice differenziabile di classe Ck se F ammette derivate parziali continue fino
all’ordine k, e quindi si dice di classe C se `e di classe Ck per ogni k N. Sia
∞
∈
F : A Rn Rm, p = (x ,...,x ) F(p) = F (p),...,F (p) ,
1 n 1 m
⊆ −→ 7−→
una funzione a valori in Rn. Indichiamo con π la proiezione
i (cid:0) (cid:1)
π : Rn R, p = (x ,...,x ) π (p) = x .
i 1 n i i
−→ 7−→
La funzione F si dice differenziabile di classe Ck se lo sono le sue funzioni
componenti
F = π F : Rn R, x F (p) = π F(p), per ogni i = 1,...,m.
i i i i
◦ −→ 7−→ ◦
Tuttavia, nel seguito con il termine “differenziabile” si intender`a sempre “dif-
ferenziabile di classe C ”.
∞
Consideriamo Rn con la struttura naturale di spazio vettoriale reale eucli-
`
deo. E noto che
e = (1,0,...,0),e = (0,1,0,...,0),...,e = (0,...,0,1)
1 2 n
`e la base(cid:8)canonica di Rn. Fissato p Rn, l’insieme (cid:9)
∈
p Rn = v = (p,v) : v Rn
p
{ }× { ∈ }
si indica con T Rn e si dice spazio dei vettori tangenti in p a Rn (o spazio
p
tangente in p a Rn). Ogni elemento v = (p,v) T Rn si dice vettore tangente
p p
in p a Rn o vettore applicato in p. T Rn ha un∈a struttura di spazio vettoriale
p
reale n-dimensionale rispetto alle seguenti operazioni:
v +w := (p,v +w), λv := (p,λv).
p p p
La corrispondenza φ : T Rn Rn, v φ(v ) = v, `e un isomorfismo
p p p
−→ 7−→
tra spazi vettoriali (a volte un vettore tangente si identifica con la sua parte
vettoriale). La base canonica di T Rn `e
p
1
2 1. Calcolo differenziale nello spazio euclideo
e = (p,e ),...,e = (p,e ) .
1p 1 np n
(cid:8) (cid:9)
Figura 1. Vettore tangente.
T Rn `e anche uno spazio vettoriale euclideo rispetto al prodotto scalare:
p
v w := v w per ogni v ,w T Rn,
p p p p p
· · ∈
dove
n
v w = v w
i i
·
i=1
X
`e il prodotto scalare euclideo naturale di Rn. Si pone quindi
v := v = n v2.
k pk k k i=1 i
Nel seguito con I indicheremo sempre, salvo diversa indicazione, un intervallo
pP
aperto di R.
Definizione 1.1. Una curva differenziabile parametrizzata di Rn `e un’ap-
plicazione differenziabile
α : I Rn, t α(t) = x (t),...,x (t) .
1 n
→ 7→
Quindi, la curva α(t) `e differenziabile se e(cid:0)solo se le sue f(cid:1)unzioni componenti
x (t),...,x (t) sono differenziabili. La variabile t si dice parametro e il sottoin-
1 n
sieme α(I) si dice sostegno della curva. Se il sostegno α(I) `e contenuto in un
piano, allora α si dice curva piana. Nel caso di R3, le coordinate verranno
indicate anche con (x,y,z).
Definizione 1.2. Sia α : I Rn, t α(t), una curva differenziabile
→ 7→
parametrizzata. Il vettore velocita` di α in α(t ) `e il vettore α˙(t ) che ha come
0 0
componenti le derivate delle componenti di α calcolate in t :
0
α˙(t ) = n x (t )(e ) = (x (t ),...,x (t )) T Rn.
0 i=1 ′i 0 i α(t0) ′1 0 ′n 0 α(t0) ∈ α(t0)
Si noti che, a voPlte, il vettore tangente α˙(t ) verr`a indicato anche con la n-pla
0
(x (t ),...,x (t )) omettendo il punto di applicazione α(t ).
′1 0 ′n 0 0
Definizione 1.3. Una curva parametrizzata differenziabile α : I Rn si
→
dice regolare se il vettore velocita` α˙(t) `e non nullo per ogni t I.
∈