Une identité classique sur le polynôme caractéristique

5 Pages·2006·0.102 MB·French

by  Marc Sage

Une identitØ classique sur le polyn(cid:244)me caractØristique
Marc SAGE
25 octobre 2005
Table des matiŁres
1 Cas des matrices inversibles 2
2 Cas des matrices complexes 2
3 Cas d(cid:146)un corps quelconque 2
3.1 Comment inverser une matrice non inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 MØthode du J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
r
3.3 Polyn(cid:244)mes (cid:224) une in(cid:133)nitØ de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Cas d(cid:146)un anneau commutatif unitaire : utilisation de la comatrice 4
RØsumØ
Soit K un corps commutaif et n N(cid:3) un entier non nul.
2
Nous allons montrer que pour deux matrices A et B de M (K), on a toujours
n
(cid:31) =(cid:31) .
AB BA
On gØnØralise ensuite cela (cid:224) un anneau unitaire quelconque.
1
1 Cas des matrices inversibles
SiAestinversible,iln(cid:146)yapratiquementrien(cid:224)faire:onutiliselacommutativitØendehorsdudet(dans
le corps de base) pour avoir celle sous le (cid:31) :
(cid:31)AB = det(XIn(cid:0)AB)=det A XA(cid:0)1(cid:0)B =(detA)det XA(cid:0)1(cid:0)B
= det XA(cid:0)1 B (detA(cid:2))=(cid:0)det XA(cid:0)(cid:1)1(cid:3) B A =det(cid:0)(XIn BA(cid:1))
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
= (cid:31) .
BA(cid:0) (cid:1) (cid:2)(cid:0) (cid:1) (cid:3)
Dans toute la suite, on va chercher (cid:224) se ramener (cid:224) ce cas.
2 Cas des matrices complexes
OnconcluteninvoquantladensitØdeGLn(C)etlacontinuitØde(cid:31):soit(An)suitedematricesinversibles
qui tend vers A, d(cid:146)oø
(cid:31) =lim(cid:31) =lim(cid:31) =(cid:31) .
AB AnB BAn BA
3 Cas d(cid:146)un corps quelconque
Soient A;B M (K) oø K est un corps commutatif quelconque.
n
2
3.1 Comment inverser une matrice non inversible
On voudrait bien que A soit inversible pour pouvoir conclure. Qu(cid:146)(cid:224) cela tienne, on la rend inversible en
la plongeant dans le corps des fractions rationnelles en ses coe¢ cients formalisØs, puis on Øvalue l(cid:146)identitØ
obtenue en rempla(cid:231)ant les coe¢ cients formels par les vrais coe¢ cients (idØe que je tiens de mon professeur
M. RAND(cid:201)).
Plus prØcisØment, considØrons le corps K(X ) des polyn(cid:244)mes en les n2 indØterminØes X . On pose
i;j i;j
X X
1;1 1;n
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
A=0 ... ... ... 1 et B =B
X X
e B n;1 (cid:1)(cid:1)(cid:1) n;n C e
@ A
vuescommesmatricesdeM (K(X )).AestinversiblecarsondØterminant(cid:150)polyn(cid:244)meenlesX (cid:150)n(cid:146)est
n i;j i;j
pas le polyn(cid:244)me nul, d(cid:146)oø
det XeI AB =det XI BA .
n n
(cid:0) (cid:0)
Cette derniŁre ØgalitØ est une ØgalitØ d(cid:16)e polyn(cid:244)me(cid:17)dans K(cid:16)[X ][X], qu(cid:17)e l(cid:146)on s(cid:146)empresse de considØrer dans
ee i;j ee
K[X][X ], de sorte que l(cid:146)on puisse remplacer les indØterminØes par les coe¢ cients de n(cid:146)importe quelle
i;j
matrice A de M (K) et obtenir l(cid:146)ØgalitØ
n
det(XI AB)=det(XI BA), CQFD.
n n
(cid:0) (cid:0)
2
3.2 MØthode du J
r
Si A=J pour un r 0;:::;n , on Øcrit
r
2f g
I 0 R T
A= r et B = ,
0 0 S U
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
d(cid:146)oø
I 0 R T R T
AB = r =
0 0 S U 0 0
8 (cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
R T I 0 R 0
>>< BA= S U 0r 0 = S 0
(cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
et >>:
XI R T
(cid:31)AB =det r0(cid:0) XI =(cid:31)RXn(cid:0)r
8 (cid:18) n(cid:0)r (cid:19) .
XI R 0
>>< (cid:31)BA =det rT(cid:0) XI =(cid:31)RXn(cid:0)r
n r
(cid:18) (cid:0) (cid:19)
En(cid:133)n, A est toujours Øqu>>:ivalente (cid:224) un Jr :
A=PJ Q
r
avec P et Q inversibles, d(cid:146)oø
(cid:31) =(cid:31) ;
AB PJrQB
il reste (cid:224) appliquer qui prØcŁde pour envoyer P, J et Q (cid:224) droite de B :
r
(cid:31) =(cid:31) =(cid:31) =(cid:31) =(cid:31) =(cid:31) .
AB PJrQB JrQBP QBPJr BPJrQ BA
3.3 Polyn(cid:244)mes (cid:224) une in(cid:133)nitØ de racines
L(cid:146)idØe est de perturber une des matrices pour la rendre inversible et appliquer ce qui prØcŁde.
On suppose dans un premier temps que K est in(cid:133)ni.
On considŁre ensuite la di⁄Ørence
(cid:14) (X)=(cid:31) (cid:31) K[X]
t (A(cid:0)tIn)B(cid:0) B(A(cid:0)tIn) 2
oø t est un scalaire de K.
D(cid:146)aprŁslapremiŁrepartie,(cid:14) (X)seranulsilamatriceA tI estinversible,i.e.ssisondØterminantest
t n
(cid:0)
non nul. Or, det(A tI )est un polyn(cid:244)me en tsur le corps K, donc n(cid:146)admet qu(cid:146)un nombre (cid:133)ni de racines,
n
(cid:0)
et puisque K est in(cid:133)ni on a det(A tI )=0 pour une in(cid:133)nitØ de t. Par consØquent, (cid:14) (X)=0 pour cette
n t
(cid:0) 6
in(cid:133)nitØ de t K.
2
On considŁre (cid:224) prØsent le polyn(cid:244)me
(cid:1)(T)=(cid:31) (cid:31) K[X][T],
(A(cid:0)TIn)B(cid:0) B(A(cid:0)TIn) 2
que l(cid:146)on peuttoujours voircomme un polyn(cid:244)me suren T surle corps K(X).D(cid:146)aprŁs ce quia ØtØ dit,ily a
une in(cid:133)nitØ de t K tels que (cid:31) =(cid:31) , et quitte (cid:224) voir ces t dans K(X), (cid:1) admet ainsi une
in(cid:133)nitØ de racine2s sur le corps K(A((cid:0)XtI)n,)dB(cid:146)oø (cid:1)B(=A(cid:0)0t.IAn)ppliquer en T =0 conclut.
Dans le cas gØnØral, on plonge K dans son corps des fractions rationnelles, lequel est in(cid:133)ni (considØrer
les puissances entiŁres de l(cid:146)indØterminØe), puis on applique ce qui prØcŁde.
Le rØsultat reste mŒme valable pour un anneau intŁgre (le plonger dans son corps des fractions).
En revanche, le raisonnement prØcØdent ne fonctionne plus si l(cid:146)on retire l(cid:146)hypothŁse d(cid:146)intØgritØ.
3
4 Cas d(cid:146)un anneau commutatif unitaire : utilisation de la
comatrice
On considŁre ici R un anneau commutatif unitaire quelconque (R comme "ring") non rØduit (cid:224) 0.
Soient A et B des matrices de M (R)
n
OnvarendreAinversiblecommedanslecasd(cid:146)uncorps,maissansfaireintervenirdefractionsrationnelles
(detoutefa(cid:231)ononnepourraitpassiRn(cid:146)ØtaitpasintŁgrecarR(X)n(cid:146)auraitpasdesens).L(cid:146)idØedelapreuve
qui suit est (cid:224) rendre (cid:224) son inventeur M. RAND(cid:201).
ConsidØrons l(cid:146)anneau R[(X )] des polyn(cid:244)mes en les n2 indØterminØes X et posons
i;j i;j
X X
1;1 1;n
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
A=0 ... ... ... 1 et B =B
X X
e B n;1 (cid:1)(cid:1)(cid:1) n;n C e
@ A
matrices de M (R[(X )]).
n i;j
En notant A0 = tcomA, on rappelle que
e AA0 =A0A= detA In,
(cid:16) (cid:17)
ce qui permet d(cid:146)obtenir e e e
n
detA det XI AB = det X detA I detA AB
n n
(cid:0) (cid:0)
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) h (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) i
e ee = det XAA0 e detA ABe ee
(cid:0)
h (cid:16) (cid:17) i
= detAe det XAe0 edeetA B
(cid:2) (cid:0)
(cid:16) (cid:17) h (cid:16) (cid:17) i
= det XeA0 detA B deetAe
(cid:0) (cid:2)
h (cid:16) (cid:17) i (cid:16) (cid:17)
= det XA0A deteAeBA e
(cid:0)
h (cid:16) (cid:17) i
= det X deetA In e deeteA BA
(cid:0)
h (cid:16)n (cid:17) (cid:16) (cid:17) i
= detA dete X BA .e ee
(cid:0)
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
n e ee
LaprochaineØtapeestdemontrerque detA n(cid:146)estpasundiviseurde0dansR[(X )],cequipermettrade
i;j
n
simpli(cid:133)erle detA dansl(cid:146)identitØci(cid:16)-dessus(cid:17)puisderemplacerlesX pardescoe¢ cientsa quelconques
e i;j i;j
pour obtenir(cid:16)le rØsu(cid:17)ltat voulu.
e
Dans le cas d(cid:146)un corps, c(cid:146)Øtait facile car detA = 0 Øtait automatiquement inversible. Dans le cas d(cid:146)un
6
anneau unitaire, c(cid:146)est plus subtil. On raisonne par rØcurrence sur n.
Pour n=1, il est facile de voir que detA=Xe1;1 n(cid:146)est pas un diviseur de 0 dans R[X1;1].
Pour n 2, on Øcrit
(cid:21)
e
X X
1;1 1;n
(cid:1)(cid:1)(cid:1)
detA = (cid:12) ... ... ... (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) X X (cid:12)
e = a(cid:12)(cid:12)(cid:12)Xnn;n;1+b(cid:1)(cid:1)(cid:1) n;n (cid:12)(cid:12)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(en dØveloppant selon la derniŁre ligne/colonne) oø
X X
1;1 1;n 1
a=(cid:12) ... (cid:1).(cid:1).(cid:1). ...(cid:0) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) X X (cid:12)
(cid:12)(cid:12) n(cid:0)1;1 (cid:1)(cid:1)(cid:1) n(cid:0)1;n(cid:0)1 (cid:12)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
et b ne contiennent pas la variable X . S(cid:12)i jamais detA divisait 0 da(cid:12)ns R[(X )], on aurait
n;n i;j
e
(aXn;n+b)0 (cid:21)(cid:11)1;:::;(cid:11)nXn(cid:11);11:::Xn(cid:11);nn(cid:0)(cid:0)11Xn(cid:11);nn1=0
(cid:11)1;:X::;(cid:11)n(cid:21)0
@ A
4
avecles(cid:21) dansR (X ) nontousnuls.Enregardantlecoe¢ cientdominantenX ,mettons
(cid:11)1;:::;(cid:11)n i;j i;j<n n;n
Xd+1 oø d 0, on obtienht i
n;n (cid:21)
a(cid:21)(cid:11)1;:::;(cid:11)n 1;dXn(cid:11);11:::Xn(cid:11);nn(cid:0)11 =0
(cid:0) (cid:0)
(cid:11)1;:::X;(cid:11)n(cid:0)1(cid:21)0
oø l(cid:146)un des (cid:21) est non nul, puis
(cid:11)1;:::;(cid:11)n 1;d
(cid:0)
a(cid:21) =0
(cid:11)1;:::;(cid:11)n 1;d
(cid:0)
pour tout ((cid:11) ;:::;(cid:11) ), en particulier pour celui tel que (cid:21) = 0. Ceci est impossible car par
1 n(cid:0)1 (cid:11)1;:::;(cid:11)n(cid:0)1;d 6
hypothŁse de rØcurrence a n(cid:146)est pas un diviseur de 0 dans R (X ) , CQFD.
i;j i;j<n
h i
5