und Sekundarstufe I sowie an Sonderschulen Grundbildung Lineare Algebra und Analytis PDF
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Mathematik fu¨r das Lehramt an der Primar- und Sekundarstufe I sowie an Sonderschulen Grundbildung Lineare Algebra und Analytische Geometrie SoSe 2014 Susanne Koch FachbereichMathematik Universita¨tHamburg [email protected] 9. Dezember 2014 Inhaltsverzeichnis 1 LineareGleichungssysteme 5 1.1 LineareGleichungssystememitzweiVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.1 Lo¨sungsmengen linearer Gleichungen mit zwei Variablen und die Darstel- lungvonGeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 Lo¨sungsmengen linearer Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zweiVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.3 DasGaußscheEliminationsverfahrenfu¨r2-2-LGS . . . . . . . . . . . . . . 22 1.1.4 Lo¨sungsmengen linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen und mehr alszweiGleichungen-Koeffizientenmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2 LineareGleichungssystememitdreiVariablenunddieDarstellungvonEbenen . . . 29 1.3 LineareGleichungssysteme-derallgemeineFall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.3.2 Lo¨senlinearerGleichungssysteme-derGauß-Algorithmus . . . . . . . . . . 51 1.3.3 DerRangdereinfachenunddererweitertenKoeffizientenmatrix . . . . . . . 76 1.3.4 ZumZusammenhangderLo¨sungsmengeneinesinhomogenenlinearenGlei- chungssystemsunddessenhomogenerVersion . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2 Vektorra¨ume 88 2.1 DefinitionundBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.2 Untervektorra¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.3 LineareHu¨lleundErzeugendensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.4 LineareUnabha¨ngigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2.5 BasisundDimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3 Matrizen 147 3.1 RingeundGruppenvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.1.1 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.1.2 MultiplikationvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.1.3 GL(n)-dieallgemeinelineareGruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.2 Elementarmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4 LineareAbbildungen 183 4.1 DefinitionundBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 1 Vorwort 2 4.2 DarstellungmittelsMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 4.3 KernundBild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5 KomplexeZahlen 208 5.1 ZurHistoriederkomplexenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.2 DefinitionundDarstellungkomplexerZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.3 ZumFundamentalsatzderAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.4 KomplexeKonjugationundBetragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5.5 PolarkoordinatenunddieMultiplikationkomplexerZahlen . . . . . . . . . . . . . . 223 Literaturverzeichnis 229 Index 230 Vorwort Die lineare Algebra1 ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektorra¨umen und linea- renAbbildungenzwischenVektorra¨umenbescha¨ftigt.(DieeinfachstenBeispielefu¨rVektorra¨ume sindu¨brigensderZahlenstrahl,dieAnschauungsebeneundderAnschauungsraum.)AuchdieTheo- rie zum Lo¨sen linearer Gleichungssysteme, mit der man bereits in der Schule bekannt gemacht wird, geho¨rt zur linearen Algebra. In diesem Zusammenhang treten Geraden, Ebenen und Hyper- ebeneninrechnerischenDarstellungenauf.DieBescha¨ftigungmitderartigen(unda¨hnlichzustande kommenden)ObjektenwirdauchalsanalytischeGeometriebezeichnet. Wa¨hrend ein axiomatischer Aufbau der linearen Algebra und der analytischen Geometrie sehr oft mit dem Begriff des Vektorraums begonnen wird, wollen wir hier unser Augenmerk zuna¨chst auf lineare Gleichungssysteme richten. In diesem Zusammenhang wird die fu¨r die lineare Algebra charakteristische Struktur des Vektorraums in verschiedenen Varianten und in einer meines Erach- tensnachrelativleicht erfassbaren“ Weiseauftreten;ausjenerPerspektivesollteeineanschließende ” AbstraktionzumallgemeinenVektorraumbegriffnichtallzuschwierigsein.Schließlichlassensich auf dieser Grundlage die sogenannten linearen Abbildungen studieren, die wichtige und teilwei- se bereits aus der Schule bekannte Operationen wie Drehungen und Spiegelungen, Vergro¨ßerungen bzw.VerkleinerungenundScherungenumfassen. Etwasgenauergesagt,la¨sstsichderstarkeFokusaufdieLinearenGleichungssysteme(imFolgenden kurzLGSgenannt)damitbegru¨nden,dassletzterefu¨rdieLineareAlgebra(kurz:LA)ausfolgenden Gru¨ndenvonfundamentalerBedeutungsind: DieVerfahrenzumLo¨senvonLGSeignensichfu¨rdieLo¨sungvielercharakteristischerFragen • derLA(z.Bsp.dienachderlinearenUnabha¨ngigkeiteinerFamilievonVektorenoderdienach demRangeinerMatrix). Lo¨sungsmengen von LGS sind Vektorra¨ume; damit stellen sie ein Beispiel fu¨r die wichtigste • StrukturderLAdar. ZahlreicheAnwendungenderLA(z.Bsp.Computertomographie)lassensichmittelsLGSmo- • dellieren. Die Ausfu¨hrungen dieses Skriptes sind teilweise angelehnt an das empfehlenswerte Lehrwerk Elementare Lineare Algebra von ANDREAS FILLER [Fil11]. Dieses ist als E-Book in der Stabi 1lateinisch:linea=Linie;alsLinearita¨tbezeichnetmandieEigenschafteinesSystems,aufdieVera¨nderungeines ParametersmiteinerdazuproportionalenA¨nderungeinesanderenParameterszureagieren. 3 4 erha¨ltlich, außerdem in der BMGN in der A1- und A4-Ausleihe und in der Literaturzusammenstel- lungzurVorlesungGrundbildungLineareAlgebraundAnalytischeGeometriezufinden. Kapitel 1 Lineare Gleichungssysteme Im vorliegenden Kapitel wollen wir uns intensiv mit linearen Gleichungssystemen (kurz: LGS) bescha¨ftigen. Insbesondere werden wir mit solchen Beispielen beginnen, die fu¨r gewo¨hnlich im Mittelstufenunterrichtbehandeltwerden!AmEndewollenwirjedoch-zumindestprinzipiell-auch LGSmitbeliebigvielenGleichungeninbeliebigvielenVariablenbehandelnko¨nnenundeine Theo- ” riederLGS“ kennengelernthaben.ZudiesemZweckistesaußerordentlichhilfreich,fu¨rdieMenge Rn = (x1,...,xn) : i = 1,...,n : xi R aller n-Tupel reeller Zahlen (wobei n N belie- { ∀ ∈ } ∈ big ist, vorzugsweise aber gro¨ßer gleich 2) gleich zu Beginn zwei Rechenoperationen einzufu¨hren, auf die wir im Folgenden immer wieder zuru¨ckgreifen werden: eine Addition und eine sogenannte skalare Multiplikation. Zuna¨chst werden uns diese leicht zu verstehenden Definitionen nur hel- fen,Lo¨sungsmengenvonLGSeinfachdarzustellen,inKapitel2werdenwiraberauchuntersuchen, welchestrukturmathematischenTatsachenhiermitverbundensind. Definition1.1 Fu¨rjedesn NdefiniertmanaufderMengeRn wiefolgteeineAddition(cid:1) ∈ (cid:1) : Rn Rn Rn × → (x ,...,x ),(y ,...,y ) (x ,...,x )(cid:1)(y ,...,y ) := (x +y ,...,x +y ) 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 n n (cid:55)→ (cid:0) (cid:1) undeinesogenannteskalareMultiplikation (cid:12) : R Rn Rn (cid:12) × → k,(x ,...,x ) k (x ,...,x ) := (k x ,...,k x ). 1 n 1 n 1 n (cid:55)→ (cid:12) · · (cid:0) (cid:1) Beispiel1.1 Fu¨rn = 3ist (1,2,3)(cid:1)(4, 5,6) = (1+4,2+( 5),3+6) = (5, 3,9) − − − und ( 4) (1,2,3) = (( 4) 1,( 4) 2,( 4) 3) = ( 4, 8, 12), − (cid:12) − · − · − · − − − 0 (1,2,3) = (0 1,0 2,0 3) = (0,0,0). N (cid:12) · · · 5 6 Bemerkung1.1 (a) Die Addition (cid:1) ist eine bina¨re Verknu¨pfung auf Rn, die Operation aber nicht (außer im (cid:12) Fall n = 1): Hier wird eine Verknu¨pfung aus einer reellen Zahl und einem n-Tupel gebildet. Da reelle Zahlen ha¨ufig auch als Skalare bezeichnet werden, nennt man die entsprechende Verknu¨pfung skalareMultiplikationoderauchMultiplikationmitSkalaren. (cid:12) (b) In Anbetracht der Tatsache, dass sich die Summe zweier n-Tupel berechnet, indem man die sichentsprechenden einzelnenKomponentenaufsummiert,sagt manauch, dass dieAddition (cid:1) komponentenweise definiert ist. Auch von der skalaren Multiplikation sagt man, dass sie komponentenweise definiert ist, wenngleich hier alle Komponenten des Tupels mit ein- und derselbenreellenZahl,imBeispiel( 4)bzw.0,multipliziertwerden. − Anschaulich ist Ihnen die Bedeutung der beiden oben eingefu¨hrten Rechenoperationen zumindest fu¨rdieFa¨llen = 2undn = 3ausderSchulesicherschonbekannt:DorthabenSiedieElementedes R2 (bzw. des R3) als Pfeile in der Anschauungsebene (bzw. im Anschauungsraum) dargestellt und mit diesen Pfeilen gerechnet“. Zu Wiederholungszwecken sei dies fu¨r den Fall n = 2 noch einmal ” ganzkurz(undformalnichtsehrpra¨zise)wiederholt(fu¨rDetailsverweiseichauf[Fil11],Abschnitt 3.1): Abb.1.1 Repra¨sentantenverschiedenerElementedesR2. EinElement(x1,x2) R2wirdidentifiziertmitderMengeallerPfeileinderAnschauungsebene,die ∈ x EinheiteninRichtungderAbszisseundx EinheiteninRichtungderOrdinateeineskartesischen 1 2 7 Koordinatensystems zeigen. Eine derartige Menge gleich gerichteter und gleich langer Pfeile wird mitunter auch als Pfeilklasse bezeichnet1. Daher kann ein 2-Tupel (x ,x ) durch unendlich viele 1 2 verschiedene Pfeile einer Pfeilklasse repra¨sentiert werden - jeden solchen Pfeil bezeichnet man als Repra¨sentanten. In Abbildung 1.1 sind die drei hellgrauen Pfeile Repra¨sentanten des Tupels ( 1, 4), die drei dun- − − kelgrauen Pfeile Darstellungen von (2,3), der kurze schwarze Pfeil ein Repra¨sentant von (0,1), die beiden waagerecht liegenden gestrichelten Pfeile Repra¨sentanten von (2,0) und der senkrecht stehende,gepunktetePfeileinRepra¨sentantdesPaars(0,3). Mit dieser Interpretation kann sowohl die skalare Multiplikation als auch die Addition (cid:1) auf R2 (cid:12) geometrischscho¨ninterpretiertwerden: InterpretationderSkalarmultiplikation: Abb.1.2 ZurgeometrischenInterpretationderskalarenMultiplikation . (cid:12) Fu¨rjedesk Ristk (x1,x2) = (kx1,kx2)dieMengeallerPfeile,diekx1 EinheiteninRichtung ∈ (cid:12) dererstenKoordinatenachseundkx EinheiteninRichtungderzweitenKoordinatenachseverlaufen. 2 Fu¨r k R+ sind das gerade die um den Faktor k gestreckten (falls k > 1) bzw. gestauchten (falls ∈ 1Formal genauer definiert man zwei beliebige Pfeile - also gerichtete Strecken - in der Anschauungsebene als a¨quivalent zueinander, wenn sie die gleiche La¨nge haben und in die gleiche Richtung zeigen, unabha¨ngig davon, wo ihr Schaft jeweils positioniert ist (dass dies tatsa¨chlich eine A¨quivalenzrelation auf der Menge aller Pfeile darstellt, ist einfach zu u¨berpru¨fen). So kann der R2 mit der Quotientenmenge aller Pfeile bezu¨glich dieser A¨quivalenzrelation identifiziertwerden;jederPfeilstelltdanneinenRepra¨sentanteneines2-TupelreellerZahlendar. 8 k ]0,1[) Varianten der Pfeile zu (x ,x ). Ist k < 0, so ist die Richtung der Pfeile in k (x ,x ) 1 2 1 2 ∈ (cid:12) gegenu¨ber denen zu (x ,x ) verkehrt: Besonders scho¨n sieht man das anhand des Spezialfalls k = 1 2 1. Fu¨r k < 1 werden die urspru¨nglichen Pfeile also richtungsverkehrt und gestreckt, fu¨r k − − ∈ ] 1,0[werdensierichtungsverkehrtundgestaucht,fu¨rk = 1werdensienurrichtungsverkehrt.In − − Abbildung1.2istjeweilseinRepra¨sentantvon(2,3)(schwarz,dickeLinie), 1 (2,3)(dunkelgrau, 2 (cid:12) beginnendimKoordinatenursprung),2 (2,3)(hellgrau), 1 (2,3)(schwarz,gestrichelt), 2 (cid:12) − (cid:12) −3 (cid:12) (2,3)(dunkelgrau,gestrichelt)und 3 (2,3)(hellgrau,gestrichelt)eingezeichnet. −2 (cid:12) Salopp gesagt kann also zur Formalisierung von Streckungen, Stauchungen und Spiegelungen (cid:12) herangezogenwerden. InterpretationderAddition: (cid:1) Abb.1.3 ZurgeometrischenInterpretationderAddition . Sind (x1,x2),(y1,y2) R2, so ist(x1,x2)+(y1,y2) = (x1 +y1,x2 +y2). Wa¨hlt man nun zur geo- ∈ metrischen Darstellung aus (x ,x ) denjenigen Repra¨sentanten aus, der seinen Schaft im Ursprung 1 2 hatund aus(y ,y )denjenigen,dessen Schaftin demPunkt mitden Koordinatenx undx beginnt 1 2 1 2 (bemerken Sie, dass wir hier Nutzen daraus ziehen, den Schaft des Repra¨sentanten beliebig wa¨hlen zu ko¨nnen), so stellt derjenige Pfeil, der im Ursprung beginnt und in der Spitze des Repra¨sentanten von(y ,y )endet,einenRepra¨sentantenderSumme(x ,x )+(y ,y ) = (x +y ,x +y )dar.In 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 Abbildung 1.3 ist dies fu¨r die Summe (1,2) + ( 3,1) = (1 + ( 3),2 + 1) = ( 2,3) dargestellt: − − − Der Repra¨sentant von (1,2) ist schwarz, der von ( 3,1) dunkelgrau; der Repra¨sentant der Summe − isthellgraudargestellt. DieKommutativita¨tderAddition,aufdiewirspa¨ternochdetailliertereingehenwerden,la¨sstsichauf diese Weise ebenfalls scho¨n veranschaulichen: Wa¨hlt man na¨mlich nun zu dem zweiten Summan- den (y ,y ) den im Ursprung beginnenden Repra¨sentanten und zu dem ersten Summanden (x ,x ) 1 2 1 2 denjenigen, der im Punkt mit den Koordinaten y und y beginnt, so ist zu erkennen, dass der Re- 1 2 9 (cid:1) Abb.1.4 ZurgeometrischenInterpretationderKommutativita¨tderAddition . pra¨sentantderSumme(y ,y )+(x ,x ),alsoderPfeilvomUrsprungzurSpitzedesRepra¨sentanten 1 2 1 2 von(x ,x ),mitdemRepra¨sentantenderSumme,dieinderumgekehrtenReihenfolgegebildetwur- 1 2 de,zusammenfa¨llt.InAbbildung1.4istdasgutzuerkennen(gestricheltePfeile). R Der U¨bersichtlichkeit zuliebe wird in vielen Lehrwerken anstelle von (cid:1) das einfachere Addi- tionssymbol+undanstellevon daseinfachereMultiplikationssymbol verwendet;manch- (cid:12) · mal wird letzteres sogar ganz weggelassen. Wir werden das im Folgenden auch meistens so machen! Allerdings sollten Sie sich gerade zu Beginn immer wieder bewusst machen, ob an einer entsprechenden Stelle gerade reelle Zahlen oder n-Tupel reeller Zahlen verknu¨pft wer- den!Fu¨rdiespa¨ternochimDetailzuuntersuchendeStruktur(Rn,(cid:1), )auseinerMengeund (cid:12) zweiRechenoperationenschreibenwirentsprechendeinfacher(Rn,+, ). · R Bislanghabenwirdien-TupeldesRn immerzeilenweisenotiert.Ku¨nftigwerdenwirmitunter x 1 . aber auch die Spaltenschreibweise verwenden, statt (x1,...,xn) also .. schreiben. Ge- xn naugenommengehendiesebeidenVariantendurcheinealsMatrixtranspositionbezeichnete Abbildung auf der Menge der Matrizen auseinander hervor; wir werden diese Angelegenheit aber zuna¨chst ganz pragmatisch angehen und zwischen den beiden Schreibweisen z.Bsp. aus Gru¨ndenderU¨bersichtlichkeitoderdeszurVerfu¨gungstehenden Platzes“ wechseln. ”
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