una propuesta didctica para mejorar el aprendizaje del algebra elem

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LA GENERALIZACIÓN COMO PROCESO DE PENSAMIENTO
MATEMÁTICO: UNA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA MEJORAR EL
APRENDIZAJE DEL ALGEBRA ELEMENTAL.

Por
JOHN JAIRO PÉREZ PEÑA

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
FACULTAD DE EDUCACIÓN
DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN AVANZADA
MEDELLÍN
2005
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LA GENERALIZACIÓN COMO PROCESO DE PENSAMIENTO
MATEMÁTICO: UNA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA MEJORAR EL
APRENDIZAJE DEL ALGEBRA ELEMENTAL.

Por
JOHN JAIRO PÉREZ PEÑA

Asesor
Gustavo Gallego Girón

Trabajo de grado para optar a título de Magíster en la educación matemática
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
FACULTAD DE EDUCACIÓN
DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN AVANZADA
MEDELLÍN
2005
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TABLA DE CONTENIDO

Pag.
INTRODUCCIÓN............................................................................. 7
1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN................................................. 11
1.1. Descripción del problema................................................................ 11
1.2. Formulación del problema............................................................... 113
2. JUSTIFICACIÓN.............................................................................. 15
3. PREGUNTAS ORIENTADORAS DE LA INVESTIGACIÓN............ 21
4. OBJETIVOS..................................................................................... 22
4.1. OBJETIVO GENERAL.................................................................... 22
4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS........................................................... 22
5. MARCOS DE REFERENCIA........................................................... 24
5.1. MARCO LEGAL.............................................................................. 25
5.2. MARCO CONTEXTUAL.................................................................. 29
5.3. MARCO TEORICO.......................................................................... 33
5.3.1. LA GENERALIZACIÓN................................................................... 35
5.3.2. PROCESO DE GENERALIZACIÓN................................................ 39
5.3.3. PROCESO DE GENERALIZACIÓN MATEMÁTICA....................... 42
5.3.3.1. Esquema del proceso de generalización......................................... 42
5.3.3.2. Estatus epistemológico de la generalización................................... 49
5
5.3.3.3. La generalización y el álgebra......................................................... 51
5.3.3.4. Etapas del proceso de generalización matemática......................... 53
5.3.4. LA GENERALIZACIÓN COMO PROCESO DE PENSAMIENTO
MATEMÁTICO................................................................................. 55
5.3.5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN
GENERALIZACIÓN......................................................................... 59
5.3.5.1. Etapas en la resolución de problemas............................................. 60
5.3.5.2. Algunos recursos a utilizar en la resolución de problemas.............. 62
5.3.5.3. Lenguaje matemático y resolución de problemas que implican
generalización.................................................................................. 64
5.3.6. LAS SITUACIONES PROBLEMA COMO METODOLOGÍA PARA
RESOLVER ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN
MATEMÁTICA................................................................................. 66
5.3.6.1. Pautas para el diseño de situaciones problemas en
matemáticas................................................................................... 69
5.3.7. CONSIDERACIONES SOBRE EL APRENDIZAJE........................ 72
6. METODOLOGÍA.............................................................................. 77
6.1. PRUEBA INICIAL............................................................................ 82
6.1.2. ANÁLISIS DE RESULTADOS PRUEBA INICIAL............................ 86
6.2. INTERVENCIÓN PEDAGÓGICA.................................................... 124
6.3. PRUEBA FINAL............................................................................... 163
6.3.2. ANÁLISIS DE RESULTADOS PRUEBA FINAL............................... 164
6
6.4. COMPARACIÓN DE RESULTADOS............................................. 177
7. CONCLUSIONES............................................................................ 182
8. RECOMENDACIONES.................................................................... 186
9. BIBLIOGRAFÍA............................................................................... 189
10. ANEXOS.......................................................................................... 194
ANEXOS 1 – 6
HOJAS DE RESPUESTA DE ESTUDIANTES A PROBLEMAS
DE LA PRUEBA INICIAL................................................................. 194
ANEXO 7
COMPLEMENTO A LA PROPUESTA: REGULARIDADES Y
GENERALIZACIONES FUENTE DE APRENDIZAJES
MATEMÁTICOS.............................................................................. 200
7

INTRODUCCIÓN
Un papel fundamental para el desarrollo del pensamiento lógico –
matemático de los estudiantes le dan a la generalización matemática algunos
autores como Mason J. y Socas M. entre otros, proponiéndola como un
medio importante para iniciar al estudiante en el estudio del álgebra
elemental o para reafirmar conceptos como el de función y expresiones
algebraicas, introducir al estudiante en el concepto de variable y en sistemas
de representación más abstractos como lo es el algebraico. La
generalización también aparece en los Lineamientos Curriculares como parte
del razonamiento en los procesos de pensamiento matemático, y se sugiere
su implementación en la resolución de problemas, dándose así una pauta
hacia donde orientar la actividad de los estudiantes, si se quiere enfatizar en
los procesos, más que en los contenidos. Se propone entonces potenciar las
actividades de generalización para el trabajo algebraico y reconocer los
procesos propios de la matemática, que se generan en el aula durante el
desarrollo de estas actividades, y enfatizar en elementos de la misma tales
como, la formulación y verificación de conjeturas y su representación a nivel
cada vez más suscinto, además de contribuir a la generación de espacios
que promueven ambientes de discusión, en torno a ideas matemáticas.
Basado en lo anterior se concibe el presente trabajo, el cual hace referencia
8
a las dificultades que presentan los estudiantes de 9° grado de educación
básica del INEM José Félix de Restrepo de la ciudad de Medellín para la
ejecución de procesos cognitivos tales como la abstracción y la
generalización, considerándose esta última como un proceso que se induce
de lo particular, se identifican características comunes y se extiende a un
contexto mas amplio. Para lo cual dentro del trabajo, se desarrollan una serie
de referentes teóricos y metodológicos que permiten implementar en el aula
algunas situaciones problema con el propósito de movilizar en los
estudiantes su pensamiento lógico – matemático y desarrollar habilidades
para resolver situaciones que involucran generalizaciones; tratando así de
que el alumno desarrolle su potencial matemático, incluyendo en este
término las capacidades de comunicarse matemáticamente, razonar,
explorar, formular hipótesis, conjeturar, plantear variables, relaciones y leyes
generales a partir de la observación de regularidades. Además de que
mejore la capacidad para manejar expresiones algebraicas, amplíe el campo
de estudio de funciones en todas sus vertientes (numérica, gráfica, verbal y
algebraica); Así como la resolución de secuencias tanto gráficas como
numéricas.
En este trabajo enmarcado dentro de una concepción constructivista y de la
sicología cognitiva de la enseñanza de la matemática se muestra cómo
utilizar la estrategia de las situaciones problema como metodología para
realizar intervenciones pedagógicas significativas, entendiendo esto último
9
como una forma de interrelacionar docente con estudiante, permitiendo a
este último un razonamiento libre de manera que descubra por si mismo las
relaciones involucradas en la situación.
El trabajo está compuesto principalmente por cuatro partes:
La primera la componen los aspectos preliminares que describen la
problemática, la justificación y los objetivos de la investigación.
La segunda parte la componen los marcos de referencia: El marco legal
presenta los aspectos que fundamentan la propuesta desde los documentos
emitidos por el MEN, especialmente la Ley general de Educación, los
Lineamientos y los Estándares curriculares. El marco contextual presenta la
descripción del escenario y los actores que intervienen en la investigación. El
marco teórico presenta la construcción conceptual del objeto de estudio, en
este caso la generalización matemática, desde sus aspectos más relevantes
como los que tienen que ver con el razonamiento matemático; la teoría
básica de la resolución de problemas; las situaciones problema como
metodología importante para trabajar en el aula procesos de generalización
matemática; y finalmente la teoría que tiene que ver con el aprendizaje de la
generalización matemática.
La tercera parte suministra la información correspondiente a la
caracterización de la investigación, población y muestra, instrumento de
evaluación, aplicación y plan de análisis. Se compone de la aplicación y
análisis de los resultados obtenidos en la prueba inicial, la cual consta de 5
10
problemas que involucran generalización matemática; la intervención
pedagógica, que mediante la metodología de las situaciones problema busca
que el alumno adquiera habilidades para generalizar y supere las falencias
presentadas en la prueba inicial; y la prueba final elaborada de la misma
forma que la prueba inicial, en donde se trata de comprobar que con la
intervención pedagógica se alcanzaron los objetivos esperados. Por último la
presentación y análisis de resultados de lecturas estadísticas de los datos
arrojados por las pruebas y el análisis descriptivo del comportamiento de los
estudiantes en ellas, lo mismo que la forma como los estudiantes expresan
sus respuestas.
La cuarta parte la componen las conclusiones, las recomendaciones, la
bibliografía y los anexos.