Una Introduccion Al Analisis Numerico

376 Pages·2.336 MB·Spanish

by  Muller Hans

Hans C. Mu(cid:127)ller S.C.
Una Introducci(cid:19)on
al
An(cid:19)alisis Num(cid:19)erico
i
Hans C. Mu(cid:127)ller S.C.
Una Introducci(cid:19)on
al
An(cid:19)alisis Num(cid:19)erico
Con 55 (cid:12)guras
ii
Hans C. Mu(cid:127)ller Santa Cruz
Departamento de Matem(cid:19)aticas
Facultad de Cienciasy Tecnolog(cid:19)(cid:16)a
UniversidadMayorde San Sim(cid:19)on
Casilla992, Cochabamba,Bolivia
[email protected]
Pr(cid:19)ologo
La Facultad de Ciencias y Tecnolog(cid:19)(cid:16)a tiene 17 an~os de vida, per(cid:19)(cid:16)odo que
ha sido fruct(cid:19)(cid:16)fero en el (cid:19)ambito universitario,porque se han creado carreras
tecnol(cid:19)ogicas,comocient(cid:19)(cid:16)(cid:12)cas,haciendo(cid:19)enfasisaunainvestigacio(cid:19)ncient(cid:19)(cid:16)(cid:12)ca
seria como un mecanismo de garantizar una excelencia acad(cid:19)emica. La
CarreradeMatem(cid:19)aticas,unadenuestrasCarrerasderecientecreacio(cid:19)n,est(cid:19)a
inscritadentro este marco.
Ahora bien, la Universidad Mayor de San Sim(cid:19)on consciente de esta
situacio(cid:19)n, ha conseguido convenios de cooperacio(cid:19)n internacional, como es
el caso del Programa MEMI, Programa de Mejoramiento de la Ensen~anza
de la Matem(cid:19)atica y la Inform(cid:19)atica. De los objetivos principales de este
programa es fortalecer el a(cid:19)rea de las matem(cid:19)aticas, incentivar la difusi(cid:19)on de
las diferentes ramasde las matema(cid:19)ticasen el mediouniversitarioy fuera de
(cid:19)este.LaUniversidady susautoridades,dentrodesuspol(cid:19)(cid:16)ticasacad(cid:19)emicasy
deinvestigaci(cid:19)on,hantenidolavisio(cid:19)ndeconseguirlosserviciosdelosmejores
profesionalesen esta disciplinay Hans Mu(cid:127)ller es uno de ellos.
Elautordellibro,HansMu(cid:127)llerSantaCruz,esunjovenmatem(cid:19)aticobo-
livianoqueha regresadoasupa(cid:19)(cid:16)sparacompartirlosconocimientosadquiri-
dos en en laUniversidadde Ginebra, Suiza. Actualmentees el Coordinador
delProgramaMagisterenMatema(cid:19)ticas,programaimplementadodemanera
conjuntaentrelaUniversidadMayordeSanSim(cid:19)onylaUniversidadCat(cid:19)olica
del Norte, Chile.Ha dictado un curso de ElementosFinitos, destinado a los
docentesennuestrasuperiorCasadeEstudios;enLaPaz,bajoinvitaci(cid:19)onha
impartidocursos tutoriales en la Academia de Ciencias en temas relaciona-
dos a las matema(cid:19)ticas aplicadas. El y otros profesionales de su ar(cid:19)ea, esta(cid:19)n
transformando la manera de hacer matema(cid:19)ticas en la Facultad de Ciencias
y Tecnolog(cid:19)(cid:16)a.
Los t(cid:19)opicos tratados en este libro est(cid:19)an muy relacionadoscon los cam-
bios estructuralesque ha ocasionadola introducci(cid:19)on masivade sistemasin-
forma(cid:19)ticos.En efecto, la utilizaci(cid:19)onm(cid:19)asivadel computador ha permitido al
Hombreefectuarc(cid:19)alculosqueenotra(cid:19)epocahubiesesidoimpensablerealizar-
los. En la actualidad es muy corriente simularnum(cid:19)ericamenteexperiencias,
queenlaboratoriosonmuycomplicadas,costosasopeligrosas,osimplemente
imposibledeexperimentarlas.Losproblemasdeoptimizacio(cid:19)nsonabordables
gracias a la utilizaci(cid:19)on del ordenador y no faltan situaciones en las cuales
el uso de estos dispositivos de c(cid:19)alculo, no solamente son de gran ayuda,
sino indispensables. El An(cid:19)alisis Num(cid:19)erico es la rama de las Matem(cid:19)aticas,
cuyo campo de accio(cid:19)n es el estudio y an(cid:19)alisis de los diferentes algoritmos
iv Pro(cid:19)logo
y m(cid:19)etodos num(cid:19)ericos que se utilizan para resolver los problemas mediante
computadoras. El libro \Una Intruducci(cid:19)on al Ana(cid:19)lisis Num(cid:19)erico" presenta
lostemasb(cid:19)asicosdelAna(cid:19)lisisNum(cid:19)ericodeunamanerarigurosa,permitiendo
que el lector pueda adquirir los conocimientos matem(cid:19)aticos necesarios para
profundizar en t(cid:19)opicos ma(cid:19)s especializados o simplemente pueda concebir e
implementarm(cid:19)etodos num(cid:19)ericosde una manera correcta y o(cid:19)ptima.
Finalmente, mi esperanza es que este libro sea el inicio de una larga
serie de otras publicaciones de alto nivel que ofrezca el autor y su unidad
acad(cid:19)emica.
Cochabamba, septiembrede 1996
Ing. Alberto Rodr(cid:19)(cid:16)guezM(cid:19)endez
Rector de la UniversidadMayorde San Sim(cid:19)on
Prefacio
Este libro nace ante el vacio existente de una bibliograf(cid:19)(cid:16)a en espan~ol que
trate los temas capitales del Ana(cid:19)lisis Num(cid:19)erico. El nombre que lleva, \Una
Introducci(cid:19)on al An(cid:19)alisis Num(cid:19)erico", se debe esencialmente al car(cid:19)acter que
deseo que tenga este libro.
El An(cid:19)alisis Num(cid:19)erico es una disciplina de las Matema(cid:19)ticas en gran
crecimiento gracias a la utilizacio(cid:19)nmasiva de medios inform(cid:19)aticos.D(cid:19)(cid:16)a que
pasa es m(cid:19)as corriente el tratamiento num(cid:19)erico en las Ciencias, como en
la Tecnolog(cid:19)(cid:16)a; el modelaje, la simulaci(cid:19)on num(cid:19)erica son moneda corriente.
Ahora bien, toda persona que pretenda tener como herramienta de tra-
bajo, los m(cid:19)etodos num(cid:19)ericos, debe conocer los t(cid:19)opicos introductorios del
An(cid:19)alisis Num(cid:19)erico que son: Sistemas Lineales, Interpolaci(cid:19)on, Resoluci(cid:19)on de
Ecuacionesno Lineales,Ca(cid:19)lculode ValoresPropiosy Soluci(cid:19)onNum(cid:19)ericade
Ecuaciones Diferenciales,porque tarde o temprano se topar(cid:19)a con alguno de
estos temas.
Siguiendolal(cid:19)(cid:16)neatrazadaporestelibro,(cid:19)estecontienesietecap(cid:19)(cid:16)tulos:el
primerodecar(cid:19)acterintroductorio,dondesedalosconceptosb(cid:19)asicosdeerror
y estabilidad,seguidode un ejemplo mostrandoque la aritm(cid:19)eticadel punto
(cid:13)otantenoesunimpedimentoparaefectuarc(cid:19)alculosdeprecisi(cid:19)onarbitraria;
el segundo cap(cid:19)(cid:16)tulo trata sobre los problemas lineales mas comunes y
los m(cid:19)etodos de soluci(cid:19)on de estos; el tercer cap(cid:19)(cid:16)tulo aborda el tema de
interpolacio(cid:19)n num(cid:19)erica y extrapolaci(cid:19)on, introduciendo el estudio de los
splinescu(cid:19)bicos;elcap(cid:19)(cid:16)tuloIVanalizalosproblemasnolinealesylosm(cid:19)etodos
mase(cid:12)cientesderesolucio(cid:19)ndeestos;en elcap(cid:19)(cid:16)tuloVseestudiaelproblema
devalorespropiosylaimplementaci(cid:19)ondem(cid:19)etodosnum(cid:19)ericosparaelc(cid:19)alculo
de valores propios; el cap(cid:19)(cid:16)tulo sexto trata de la integracio(cid:19)n num(cid:19)erica y la
transformada r(cid:19)apida de Fourier y (cid:12)nalmente el cap(cid:19)(cid:16)tulo VII estudia los
problemas diferenciales y los m(cid:19)etodos num(cid:19)ericos de resoluci(cid:19)on mas usuales
de estos problemas.
Pra(cid:19)cticamenteelcontenidodeeste librovenlosestudiantesde segundo
an~o de las Carreras de M(cid:19)atematicas e Informa(cid:19)tica de la Universidad de
Ginebra, Suiza, Universidad en la cual he sido formado. El pre-requisito
para un buen aprovechamiento de este libro es conocer bien los principios
b(cid:19)asicos del An(cid:19)alisis Real y Complejo, como tambi(cid:19)en tener una buena base
de Algebra Lineal. Por consiguiente, este libro est(cid:19)a destinado a estudiantes
universitariosquesiguenlaasignaturadeAna(cid:19)lisisNum(cid:19)erico,comoas(cid:19)(cid:16)mismo
toda persona interesada en An(cid:19)alisis Num(cid:19)erico que tenga los pre-requisitos
y que desea cimentarsus conocimientosen esta disciplina.Este libro puede
vi Prefacio
ser utilizadocomo texto base o bien comocomplementobibliogr(cid:19)a(cid:12)co.
DeboagredeceramisprofesoresdelaUniversidaddeGinebra,E.Hairer
y G. Wanner cuyos cursos han servido de base para la elaboracio(cid:19)n de este
libro. Por otro lado, sin el apoyo en material de trabajo del Programa
MEMI, Programa de Mejoramiento de la Ensen~anza de las Matem(cid:19)aticas e
Informa(cid:19)tica, de la Universidad Mayor de San Simo(cid:19)n este libro no habr(cid:19)(cid:16)a
existido. As(cid:19)(cid:16) mismo agradezco a mi familia, mis colegas y amigos que
seguieroncon inter(cid:19)sla elaboracio(cid:19)nde este libro.
El libro ha sido transcrito en TEX y las gr(cid:19)a(cid:12)cas realidas en las sub-
rutinas gra(cid:19)(cid:12)cas FORTRAN que G. Wanner me las cedi(cid:19)o muy gentilmente. La
transcripcio(cid:19)n, como la ejecuci(cid:19)on de los programas en sido realizados sobre
una WorkStation HP-9000.
Posiblemente este libro contenga muchos errores, me gustar(cid:19)(cid:16)a que los
hagan conocer, para que en una segunda edicio(cid:19)nestos sean corregidos.
Octubre, 1995 Hans C. Mu(cid:127)llerS.C.
Contenido
I. Preliminares
I.1 Algoritmos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 6
I.2 Estabilidad ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 8
Ejercicios ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 14
I.3 Un ejemplo: C(cid:19)alculo de PI ::::::::::::::::::::::::::::: 15
II. Sistemas Lineales
II.1 Condicio(cid:19)n del Problema Lineal:::::::::::::::::::::::::: 25
Normas de Vectores y Matrices :::::::::::::::::::::::::::: 25
La Condici(cid:19)onde una Matriz ::::::::::::::::::::::::::::::: 29
Ejercicios ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 33
II.2 M(cid:19)etodos Directos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 35
El Algoritmode Gauss :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 36
El Algoritmode Cholesky ::::::::::::::::::::::::::::::::: 43
Ejercicios ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 47
II.3 M(cid:19)etodos Iterativos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 48
M(cid:19)etodos de Jacobiy Gauss-Seidel ::::::::::::::::::::::::: 48
El Teorema de Perron-Frobenius ::::::::::::::::::::::::::: 52
M(cid:19)etodo de Sobrerelajacio(cid:19)nSOR ::::::::::::::::::::::::::: 56
Estudio de un ProblemaModelo ::::::::::::::::::::::::::: 59
Ejercicios ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 64
II.4 M(cid:19)etodos Minimizantes ::::::::::::::::::::::::::::::::: 66
M(cid:19)etodo del Gradiente ::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 68
M(cid:19)etodo del Gradiente Conjugado :::::::::::::::::::::::::: 69
Polinomiosde Chebichef ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 73
M(cid:19)etodo del Gradiente Conjugado Precondicionado ::::::::: 75
Resultados Num(cid:19)ericos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 78
Ejercicios ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 81
II.5 M(cid:19)(cid:16)nimos Cuadrados :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 83
La descomposicio(cid:19)nQR :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 87
La Pseudo-Inversade una Matriz :::::::::::::::::::::::::: 92
Error del M(cid:19)etodo de los M(cid:19)(cid:16)nimosCuadrados ::::::::::::::: 96
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 101
viii Contenido
III. Interpolaci(cid:19)on
III.1 Interpolacio(cid:19)n de Lagrange :::::::::::::::::::::::::::: 104
Bases Te(cid:19)oricas ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 104
Construccio(cid:19)n del Polinomiode Interpolaci(cid:19)on :::::::::::::: 106
El Error de Interpolaci(cid:19)on ::::::::::::::::::::::::::::::::: 111
Polinomiosde Chebichef ::::::::::::::::::::::::::::::::: 113
Estudio de los Errores de Redondeo :::::::::::::::::::::: 115
Convergenciade la Interpolacio(cid:19)n ::::::::::::::::::::::::: 119
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 129
III.2 Splines Cu(cid:19)bicos :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 131
Construccio(cid:19)n del Spline Interpolante :::::::::::::::::::::: 133
El Error de la Aproximaci(cid:19)onSpline ::::::::::::::::::::::: 136
Aplicacio(cid:19)nde Spline :::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 142
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 143
III.3 Extrapolaci(cid:19)on :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 145
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 150
IV. Ecuaciones No Lineales
IV.1 Ecuaciones Polinomiales :::::::::::::::::::::::::::::: 152
EcuacionesResolubles por Radicales :::::::::::::::::::::: 152
EcuacionesNo Resolubles por Radicales :::::::::::::::::: 155
Localizacio(cid:19)nde Ceros :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 155
M(cid:19)etodo de Newton ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 157
Sucesiones de Sturm ::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 159
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 161
IV.2 M(cid:19)etodos Iterativos :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 163
Posicio(cid:19)ndel Problema :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 163
M(cid:19)etodo de la FalsaPosici(cid:19)on :::::::::::::::::::::::::::::: 165
Sistema de Ecuaciones ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 168
Un M(cid:19)etodo Iterativo Simple :::::::::::::::::::::::::::::: 169
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 173
IV.3 M(cid:19)etodo de Newton :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 174
El Teorema de Newton-Misovski :::::::::::::::::::::::::: 179
M(cid:19)etodo de Newton Simpli(cid:12)cado :::::::::::::::::::::::::: 184
M(cid:19)etodo de Newton con Relajaci(cid:19)on :::::::::::::::::::::::: 193
Aproximaci(cid:19)onde Broyden :::::::::::::::::::::::::::::::: 197
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 199
IV.4 M(cid:19)etodo de Gauss Newton :::::::::::::::::::::::::::: 203
Convergenciadel M(cid:19)etodo de Gauss-Newton ::::::::::::::: 204
Modi(cid:12)caciones del M(cid:19)etodo de Gauss-Newton ::::::::::::: 207
El M(cid:19)etodo de Levenber-Marquandt ::::::::::::::::::::::: 210
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 211
Contenido ix
V. C(cid:19)alculo de Valores Propios
V.1 Teor(cid:19)(cid:16)a Cl(cid:19)asica y Condici(cid:19)on del Problema :::::::::: 214
La Condici(cid:19)ondel Problemaa Valores Propios ::::::::::::: 217
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 221
V.2 Determinacio(cid:19)n de Valores Propios ::::::::::::::::::: 223
El M(cid:19)etodo de la Potencia :::::::::::::::::::::::::::::::: 223
Formas Tridiagonalesy Formas de Hessenberg :::::::::::: 227
Teoremade Sturm y el Algoritmode la Bisecci(cid:19)on ::::::::: 229
Generalizaci(cid:19)ondel M(cid:19)etodo de la Potencia ::::::::::::::::: 233
El M(cid:19)etodo QR ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 237
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 241
VI. Integracio(cid:19)n Num(cid:19)erica
VI.1 Bases Te(cid:19)oricas ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 244
F(cid:19)ormulasde Cuadratura ::::::::::::::::::::::::::::::::: 248
El Orden de una Fo(cid:19)rmula de Cuadratura ::::::::::::::::: 249
Estimacio(cid:19)ndel Error ::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 250
Ejercicios ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 256
VI.2 Cuadraturas de Orden Elevado :::::::::::::::::::::: 258
PolinomiosOrtogonales :::::::::::::::::::::::::::::::::: 259
Los Polinomiosde Legendre :::::::::::::::::::::::::::::: 263
Las F(cid:19)ormulasde Cuadratura de Gauss ::::::::::::::::::: 264
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 267
VI.3 Implementaci(cid:19)on Num(cid:19)erica :::::::::::::::::::::::::::: 269
Tratamientode Singularidades ::::::::::::::::::::::::::: 273
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 282
VI.4 Transformaci(cid:19)on de Fourier :::::::::::::::::::::::::::: 284
Estudio del Error :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 287
Interpolacio(cid:19)nTrigonom(cid:19)etrica ::::::::::::::::::::::::::::: 288
Transformaci(cid:19)onR(cid:19)apida de Fourier FFT :::::::::::::::::: 290
Aplicacionesde FFT ::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 292
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 293
VII. Ecuaciones Diferenciales
VII.1 Generalidades :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 296
Teoremas de Existenciay Unicidad ::::::::::::::::::::::: 297
Problemascon Valoresen la Frontera ::::::::::::::::::::: 300
Diferenciabilidadrespecto a los ValoresIniciales :::::::::: 300
Simple Shooting :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 303
Shooting Mu(cid:19)ltiple:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 307
Ejercicios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 311