Un primer curso de integración de Lebesgue en Rn

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by  Jose Maria Rocha

Capítulo 1. Conjuntos Medibles
Calcular la medida de un conjunto en 𝑛 significa determinar su longitud, área o
volumen, para 𝑛 = 1,2,3, respectivamente. Tanto la medida de Lebesgue como la integral de
Lebesgue intentan, entre otras cosas, asociar tales cantidades a diversos conjuntos en 𝑛. Sin
embargo, ¿cuál sería la familia más grande de conjuntos en 𝑛 a los que se les pueda asociar
una medida y cuál sería la función de conjunto que los mida, de manera que ambos entes se
comporten de acuerdo al sentido común? Se encontrará que relativamente pocos conjuntos
en 𝑛 (los conjuntos medibles) pertenecen a esta familia. A los conjuntos restantes de 𝑛 no
se les puede medir (son conjuntos no medibles), o sea, que no se les puede asociar una medida
con buenas propiedades matemáticas. A pesar de esto, la familia de conjuntos medibles
incluye a todos los conjuntos de utilidad práctica. También incluye a ciertos conjuntos de
naturaleza “extraña” (conjuntos tipo Cantor), unos porque a pesar de estar contenidos en  y
tener tantos elementos como , tienen medida cero y otros porque a pesar de estar totalmente
llenos de “huecos”, conservan una medida positiva.
Para responder a la pregunta anterior se procederá de manera constructiva. Se
comienza considerando uniones finitas de rectángulos acotados en 𝑛 y usando al volumen
usual como función de conjunto. Después, se introduce el concepto de medida exterior como
extensión de esa función de conjunto a la familia de todos los subconjuntos de 𝑛. Luego, se
utiliza la medida exterior a manera de distancia para determinar la familia de aquellos
conjuntos en 𝑛 que pueden ser arbitrariamente aproximados por uniones finitas de
rectángulos acotados. De esta última familia, se generan los conjuntos Lebesgue medibles;
la función de conjunto, o medida de Lebesgue, que calcula la medida de estos conjuntos será,
por defecto, la medida exterior. Posteriormente, se analizan las propiedades de la familia de
conjuntos medibles y las propiedades de la medida, en particular, la propiedad de regularidad
que permite aproximar arbitrariamente conjuntos medibles en 𝑛 con conjuntos abiertos o
cerrados. Al final del capítulo se analiza el conjunto de Cantor y se demuestra la existencia
de conjuntos no medibles. En los Ejercicios se propone la construcción clásica de los
1
conjuntos medibles y de la medida usando la condición de Carathéodory. Aunque dicha
construcción tiene la virtud de poder ser generalizada directamente a espacios de medida
abstractos, creemos que la que aquí se expone para el caso de 𝑛 es más natural y fácil de
digerir para un principiante.
En los capítulos siguientes se utilizarán frecuentemente los resultados de este capítulo
para definir y establecer muchas de las propiedades de la integral de Lebesgue.
1.1. Conjuntos elementales en ℝ𝒏 y su volumen.
Se introducirá el anillo de conjuntos elementales en 𝑛 y una función de conjunto no
negativa, aditiva y regular que asocia a cada conjunto elemental su medida (más adelante se
precisarán estos conceptos).
Por convención, si 𝑎 y 𝑏 son números reales extendidos, entonces son iguales al
conjunto vacío los tres intervalos [𝑎,𝑏[, ]𝑎,𝑏] y ]𝑎,𝑏[ si 𝑎 = 𝑏 y los cuatro intervalos
[𝑎,𝑏], [𝑎,𝑏[, ]𝑎,𝑏] y ]𝑎,𝑏[ si 𝑎 > 𝑏.
Un intervalo acotado en  es un conjunto I de la forma:
[𝑎,𝑏], [𝑎,𝑏[, ]𝑎,𝑏] 𝑜 ]𝑎,𝑏[ ,
donde 𝑎,𝑏 ∈ . Los números reales a y b serán llamados los extremos de 𝐼.
Un rectángulo (bloque o 𝒏−bloque) acotado en 𝑛 es un conjunto de la forma
𝑛
𝑃 = ∏𝐼 = {𝑥 = (𝑥 ,…,𝑥 ) ∈ 𝑛|𝑥 ∈ 𝐼 ,𝑘 = 1,…,𝑛},
𝑘 1 𝑛 𝑘 𝑘
𝑘=1
donde 𝐼 ,,𝐼 son intervalos acotados en . Si alguno de los intervalos 𝐼 es vacío, el
1 𝑛 𝑘
rectángulo 𝑃 también será igual al conjunto vacío, por convención.
1.1 Definición. Un conjunto elemental es la unión de alguna familia finita de rectángulos
acotados en 𝑛. En lo sucesivo  denotará a la familia de todos los conjuntos elementales
en 𝑛. En particular, ∅ ∈ .
Para estudiar las propiedades de la familia será necesario introducir algunos
conceptos preliminares.
1.2 Definición. Sea una familia de subconjuntos de un conjunto 𝑋. Se dice que  es un
2
anillo de conjuntos en 𝑋 si para todo 𝐴,𝐵 ∈ , se tiene
𝐴∪𝐵,𝐴\𝐵 ∈ ,
es decir, la familia  es cerrada bajo uniones finitas y diferencias de conjuntos. Se dice que
 es una álgebra de conjuntos en 𝑋 si para todo 𝐴,𝐵 ∈ , se tiene
𝑋,𝐴∪𝐵,𝐴𝑐 = 𝑋\𝐴 ∈ 
es decir, la familia  tiene a 𝑋 como uno de sus elementos y es cerrada bajo uniones finitas
y complementos de conjuntos.
Note que si  es un anillo o una álgebra de conjuntos en 𝑋, entonces para todo 𝐴,𝐵 ∈
, se tiene
𝐴∩𝐵 ∈ ,
es decir, la familia  también es cerrada respecto a intersecciones finitas. En efecto, basta
observar1 que
𝐴∩𝐵 = 𝐴\(𝐴\𝐵) = (𝐴𝑐 ∪𝐵𝑐)𝑐.
Note también que una familia de conjuntos  de 𝑋 es una álgebra si y sólo si  es un anillo
y 𝑋 ∈  (pues 𝐴𝑐 = 𝑋\𝐴 y 𝐴\𝐵 = 𝐴∩𝐵𝑐).
En lo sucesivo, en relación a familias de conjuntos, por brevedad, será usada la
expresión disjuntos en lugar de disjuntos a pares o ajenos.
1.3 Proposición. La familia  de conjuntos elementales en 𝑛 es un anillo pero no una
álgebra. Además, todo conjunto elemental puede ser escrito como unión de alguna familia
finita de rectángulos acotados disjuntos.
Demostración. (a) Se probará primero que  es un anillo de conjuntos en 𝑛. Sean pues
𝐴,𝐵 ∈ .
Se afirma que 𝐴∪𝐵,𝐴∩𝐵 ∈ . En efecto, existen rectángulos acotados {𝑃 }𝑙 y
=1
𝑟
{𝑄 } tales que 𝐴 = ⋃𝑙 𝑃 y 𝐵 = ⋃𝑟 𝑄 . Ya que 𝐴∪𝐵 = (⋃𝑙 𝑃 )∪(⋃𝑟 𝑄 ),
 =1  =1  =1  =1 
=1
claramente 𝐴∪𝐵 resulta ser unión finita de rectángulos acotados en 𝑛. Por lo tanto 𝐴∪

1 Recuerde las Leyes de De Morgan:
𝑐 𝑐
(⋃𝐴 ) =⋂𝐴𝑐 y (⋂𝐴 ) =⋃𝐴𝑐 ,
𝛼 𝛼 𝛼 𝛼
𝛼∈Ω 𝛼∈Ω 𝛼∈Ω 𝛼∈Ω
donde {𝐴 } es una familia arbitraria de conjuntos.
𝛼 𝛼∈Ω
3
𝐵 ∈ . Similarmente,
𝑙 𝑟 𝑙 𝑟
𝐴∩𝐵 = (⋃𝑃 )∩(⋃𝑄 ) = ⋃⋃(𝑃 ∩𝑄 ).
𝜆 𝜌 𝜆 𝜌
𝜆=1 𝜌=1 𝜆=1𝜌=1
Siendo la intersección de dos rectángulos acotados en 𝑛 un rectángulo acotado (¿Por qué?),
la identidad anterior muestra que 𝐴∩𝐵 es unión finita de rectángulos acotados en 𝑛, es
decir, 𝐴∩𝐵 ∈ . Esto prueba la afirmación.
Se afirma ahora que 𝐴\𝐵 ∈ . En efecto, se tiene2
𝑙 𝑟 𝑙 𝑟
𝐴\𝐵 = (⋃𝑃 )\(⋃𝑄 ) = ⋃⋂(𝑃 \𝑄 ).
𝜆 𝜌 𝜆 𝜌
𝜆=1 𝜌=1 𝜆=1𝜌=1
En vista de esta identidad y puesto que la unión finita de conjuntos elementales en 𝑛 es un
conjunto elemental, para mostrar que 𝐴\𝐵 ∈  bastará probar las dos afirmaciones siguientes:
() Si 𝑃 y 𝑄 son dos rectángulos acotados en 𝑛, entonces 𝑃\𝑄 ∈ .
() Si 𝐶 y 𝐷 son dos conjuntos elementales en 𝑛, entonces 𝐶 ∩𝐷 ∈ .
Ya se sabe que se cumple (). Falta probar (). Se mostrará por inducción sobre 𝑛 que 𝑃\𝑄 ∈
 en 𝑛. Se puede escribir 𝑃 = 𝑃𝑛−1 ×𝐴 y 𝑄 = 𝑄𝑛−1×𝐵 , donde 𝑃𝑛−1 y 𝑄𝑛−1 son
𝑛 𝑛
rectángulos acotados en 𝑛−1 y 𝐴 y 𝐵 son dos intervalos acotados en . Es claro que
𝑛 𝑛
𝐴 \𝐵 es la unión de a lo más dos intervalos acotados 𝐶 ∪𝐶 disjuntos en . Suponga ahora
𝑛 𝑛 1 2
que 𝑃𝑛−1\𝑄𝑛−1 es la unión de s rectángulos acotados ⋃𝑠 𝑅𝑛−1 disjuntos en 𝑛−1.
𝜎=1 𝜎
Entonces3
𝑃\𝑄 = (𝑃𝑛−1 ×𝐴 )\(𝑄𝑛−1×𝐵 )
𝑛 𝑛
= [(𝑃𝑛−1\𝑄𝑛−1)×𝐴 ]∪[(𝑃𝑛−1 ∩𝑄𝑛−1)×(𝐴 \𝐵 )]
𝑛 𝑛 𝑛

2 Recuerde las Leyes de De Morgan en su versión de diferencias:
𝐴\(⋃𝐴 )=⋂(𝐴\𝐴 ) y A\(⋂𝐴 )=⋃(𝐴\𝐴 ),
𝛼 𝛼 𝛼 𝛼
𝛼∈Ω 𝛼∈Ω 𝛼∈Ω 𝛼∈Ω
donde A es un conjunto y {A } es una familia arbitraria de conjuntos.

3 El lector puede verificar fácilmente la identidad
(𝑌 ×𝑍 )\(𝑌 ×𝑍 )=[(𝑌\𝑌)×𝑍 ]∪[(𝑌 ∩𝑌)×(𝑍 \𝑍 )]
1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2
siendo disjuntos los conjuntos de la derecha.
4
𝑠
= [(⋃𝑅𝑛−1)×𝐴 ]∪[(𝑃𝑛−1 ∩𝑄𝑛−1)×(𝐶 ∪𝐶 )]
𝜎 𝑛 1 2
𝜎=1
𝑠
= [⋃(𝑅𝑛−1×𝐴 )]∪[(𝑃𝑛−1 ∩𝑄𝑛−1)×𝐶 ]∪[(𝑃𝑛−1 ∩𝑄𝑛−1)×𝐶 ].
𝜎 𝑛 1 2
𝜎=1
Puesto que la intersección de dos rectángulos acotados en 𝑛 es un rectángulo acotado, la
identidad anterior muestra que 𝑃\𝑄 es una unión finita de rectángulos acotados disjuntos en
𝑛. En particular, 𝑃\𝑄 ∈ . Esto prueba (). Por lo tanto,  es un anillo de conjuntos en 𝑛.
El anillo  no es una álgebra porque todo conjunto elemental debe ser acotado y como 𝑛
no lo es, entonces 𝑛 ∉ .
(b) Se probará ahora que todo conjunto elemental se puede escribir como unión finita
de rectángulos acotados disjuntos. Considere el mismo conjunto 𝐴 = ⋃𝑙 𝑃 ∈  de la parte
=1 
(a). Aplicando la conocida técnica para reemplazar una unión a lo sumo numerable de
conjuntos por otra unión a lo sumo numerable de conjuntos disjuntos y las leyes de De
Morgan, resulta
𝑙 𝜆−1 𝑙 𝜆−1
𝐴 = ⋃[𝑃 \(⋃𝑃 )] = ⋃[⋂(𝑃 \𝑃 )] ,
𝜆 𝜌 𝜆 𝜌
𝜆=1 𝜌=1 𝜆=1 𝜌=1
donde los conjuntos
𝜆−1 𝜆−1
𝑃 \(⋃𝑃 ) = ⋂(𝑃 \𝑃 ),
𝜆 𝜌 𝜆 𝜌
𝜌=1 𝜌=1
= 1,,𝑙, son disjuntos. Por (), para = 1,,𝑙 y = 1,,−1, el conjunto 𝑃 \𝑃 se
 
puede escribir como unión finita de rectángulos acotados disjuntos. Siendo la intersección
finita de rectángulos acotados un rectángulo acotado en 𝑛, el conjunto
𝜆−1
⋂(𝑃 \𝑃 )
𝜆 𝜌
𝜌=1
también se puede escribir como unión finita de rectángulos acotados disjuntos. Por lo tanto,
𝐴 debe ser una unión finita de rectángulos acotados disjuntos.▐
El siguiente resultado afina la Proposición 1.3 y será utilizado de manera crucial en
5
la definición de medida (o volumen) de conjuntos elementales.
1.4 Proposición. Para cualquier colección finita 𝑃 ,,𝑃 de rectángulos acotados en 𝑛
1 𝑚
existe otra colección finita 𝑄 ,,𝑄 de rectángulos acotados disjuntos tales que:
1 𝑠
𝑚 𝑠
𝒊. ⋃𝑃 = ⋃𝑄 .
𝑖 𝑗
𝑖=1 𝑗=1
ii. Para 𝑖 = 1,,𝑚, 𝑃 es unión de algunos 𝑄 .
𝑖 𝑗
Las condiciones (i) y (ii) son equivalentes a las condiciones (i) y
iii. Para 𝑖 = 1,,𝑚 y 𝑗 = 1,,𝑠, se tiene bien 𝑄  𝑃 o bien 𝑄 ∩𝑃 = ∅,
𝑗 𝑖 𝑗 𝑖
equivalentemente, 𝑄 ∩𝑃 = ∅ o bien 𝑄 ∩𝑃 ≠ ∅ implica 𝑄  𝑃.
𝑗 𝑖 𝑗 𝑖 𝑗 𝑖
Demostración. Bastará probar que existen conjuntos elementales disjuntos 𝐶 ,,𝐶 tales
1 𝑁
que
𝑚 𝑁
𝐚) ⋃𝑃 = ⋃𝐶 .
𝑖 𝑗
𝑖=1 𝑗=1
b) Para 𝑖 = 1,,𝑚, 𝑃 es unión de algunos 𝐶 .
𝑖 𝑗
En efecto, si se cumplen (a) y (b), el resultado se obtendrá al escribir a cada 𝐶 como
𝑗
unión finita de rectángulos acotados disjuntos (vea la Proposición 1.3). Los conjuntos 𝐶 se
𝑗
definen de la siguiente manera. Para cada subconjunto no vacío 𝐽 de {1,,𝑚}, se define el
conjunto
𝐶 = (⋂𝑃)\(⋃𝑃 ).
𝐽 𝑗 𝑘
𝑗∈𝐽 𝑘∉𝐽
Note que 𝐶 ∈ ,∀𝐽 ⊂ {1,,𝑚}, por ser  un anillo de conjuntos en 𝑛 (vea la Proposición
𝐽
1.3). Se afirma que
() 𝐶  𝑃 si 𝑖 ∈ 𝐽.
𝐽 𝑖
() 𝐽 ≠ 𝐾 implica 𝐶 ∩𝐶 = ∅.
𝐽 𝐾
(𝜸) 𝑃 = ⋃ 𝐶 .
𝑖 𝐽
{𝐽|𝑖∈𝐽}
En efecto, () se cumple por definición de 𝐶 . Considere ahora dos subconjuntos distintos
𝐽
6
𝐽 = {𝑗 ,,𝑗 } y 𝐾 = {𝑘 ,,𝑘 } de {1,,𝑚}. Si, por ejemplo, 𝑘 ∉ 𝐽, entonces 𝑃 ∩𝐶 =
1 𝑟 1 𝑠 1 𝑘1 𝐽
∅, por definición de 𝐶 , pero 𝐶  𝑃 , por (), luego, 𝐶 ∩𝐶 = ∅ mostrando así ().
𝐽 𝐾 𝑘1 𝐾 𝐽
Finalmente, fije 𝑖 ∈ {1,,𝑚} y sea 𝑥 ∈ 𝑃. Ponga 𝑖 = 𝑖 y sean 𝑖 ,,𝑖 los demás índices 𝑗
𝑖 1 2 𝑟
en {1,,𝑚} tales que 𝑥 ∈ 𝑃. Sea 𝐽 = {𝑖 ,,𝑖 }. Entonces 𝑥 ∈ 𝐶 , por definición de 𝐶 . Así
𝑗 1 𝑟 𝐽 𝐽
pues, 𝑃 está contenido en aquellos 𝐶 para los cuales 𝐽 es tal que 𝑖 ∈ 𝐽, o sea,
𝑖 𝐽
𝑃 ⊂ ⋃ 𝐶 .
𝑖 𝐽
{𝐽|𝑖 ∈ 𝐽}
La contención opuesta se sigue de (). Esto prueba ().▐
Se procederá ahora a definir y estudiar las propiedades de una función de conjunto no
negativa, aditiva y regular que asocia a cada conjunto elemental su medida (o volumen).
1.5 Definición. Sea
𝑛
𝑃 = ∏𝐼
𝑘
𝑘=1
un rectángulo acotado en 𝑛, donde 𝐼 es un intervalo acotado con extremos 𝑎 y 𝑏 en ,
𝑘 𝑘 𝑘
𝑘 = 1,,𝑛. Si 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑘 = 1,,𝑛, se define el volumen de 𝑃 como el número real
𝑘 𝑘
𝑛
𝑣𝑜𝑙(𝑃) = ∏(𝑏 −𝑎 ).
𝑘 𝑘
𝑘=1
Si 𝑎 > 𝑏 para algún 𝑘 ∈ {1,,𝑛}, por convención se escribe
𝑘 𝑘
𝑣𝑜𝑙(𝑃) = 0.
Note que el volumen de un rectángulo degenerado (es decir, un rectángulo con interior
vacío o igual al conjunto vacío) queda definido automáticamente como cero. Para 𝑛 = 1,2,3,
𝑣𝑜𝑙(𝑃) representa la longitud, el área y el volumen de 𝑃 en el sentido usual, respectivamente.
1.6 Lema. Si 𝑃 es un rectángulo acotado en 𝑛 tal que
𝑀
𝑃 = ⋃𝑃,
𝑖
𝑖=1
donde 𝑃 ,,𝑃 son rectángulos disjuntos, entonces
1 𝑀
𝑀
𝑣𝑜𝑙(𝑃) = ∑𝑣𝑜𝑙(𝑃).
𝑖
𝑖=1
7
Demostración. Se procederá por inducción sobre la dimensión de 𝑛.
(i) Para el caso , 𝑃 es un intervalo con extremos 𝑎 < 𝑏. Sean 𝑎 ≤ 𝑏 los extremos
𝑖 𝑖
del intervalo 𝑃, 𝑖 = 1,,𝑀. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que 𝑎 ≤ ⋯ ≤ 𝑎 .
𝑖 1 𝑀
Ya que 𝑃 = ⋃𝑀 𝑃, se debe tener 𝑎 = 𝑎. Siendo los 𝑃 disjuntos, necesariamente 𝑏 ≤ 𝑎 .
𝑖=1 𝑖 1 𝑖 1 2
Pero, otra vez, ya que 𝑃 es un intervalo y 𝑃 = ⋃𝑀 𝑃, necesariamente 𝑎 = 𝑏 (pues 𝑃 es
𝑖=1 𝑖 2 1
conexo). Análogamente, 𝑎 = 𝑏 , 𝑗 = 1,,𝑀-1, y 𝑏 = 𝑏. Entonces
𝑗+1 𝑗 𝑀
𝑣𝑜𝑙(𝑃) = 𝑏−𝑎 = (𝑏−𝑎 )+(𝑎 −𝑎 )+⋯+(𝑎 −𝑎)
𝑀 𝑀 𝑀−1 2
𝑀
= (𝑏 −𝑎 )+(𝑏 −𝑎 )+⋯+(𝑏 −𝑎 ) = ∑𝑣𝑜𝑙(𝑃).
𝑀 𝑀 𝑀−1 𝑀−1 1 1 𝑖
𝑖=1
(ii) Suponiendo que el resultado es cierto para 𝑛−1, se probará ahora para 𝑛.
Identifique a 𝑛 con 𝑛−1 ×. Con esta identificación,
𝑃 =𝑃′×𝑃′′,
donde 𝑃′ es un rectángulo en 𝑛−1 y 𝑃′′ es un intervalo en . Se mostrará primero el
resultado para ciertas particiones particulares de 𝑃 en rectángulos.
(a) Suponga que 𝐻 ,,𝐻 son rectángulos disjuntos en 𝑛−1 tales que
1 𝑟
𝑟
⋃𝐻 = 𝑃′
𝑗
𝑗=1
y que 𝐽 ,,𝐽 son intervalos disjuntos en  tales que
1 𝑠
𝑠
⋃𝐽 = 𝑃′′.
𝑘
𝑘=1
Entonces {𝐻𝑗 ×𝐽𝑘}𝑟,𝑠 son rectángulos disjuntos en 𝑛 tales que
𝑗,𝑘=1
𝑟 𝑠
𝑃 = ⋃⋃(𝐻 ×𝐽 ),
𝑗 𝑘
𝑗=1𝑘=1
es decir, {𝐻 ×𝐽 }𝑟,𝑠 es una partición de 𝑃 en rectángulos de 𝑛. Este tipo de partición de
𝑗 𝑘 𝑗,𝑘=1
𝑃 será llamada “regular”. Por la parte (i) y la hipótesis inductiva, se tiene
𝑟 𝑠 𝑟 𝑠 𝑠 𝑟
∑∑𝑣𝑜𝑙(𝐻 ×𝐽 ) = ∑∑𝑣𝑜𝑙(𝐻 )𝑣𝑜𝑙(𝐽 ) = ∑(∑𝑣𝑜𝑙(𝐻 ))𝑣𝑜𝑙(𝐽 )
𝑗 𝑘 𝑗 𝑘 𝑗 𝑘
𝑗=1𝑘=1 𝑗=1𝑘=1 𝑘=1 𝑗=1
8
𝑠
= 𝑣𝑜𝑙(𝑃′)∑𝑣𝑜𝑙(𝐽 ) = 𝑣𝑜𝑙(𝑃′)𝑣𝑜𝑙(𝑃′′) = 𝑣𝑜𝑙(𝑃).
𝑘
𝑘=1
Así pues el resultado es válido para particiones regulares de 𝑃.
(b) Finalmente considere una partición arbitraria de 𝑃 en rectángulos 𝑃 ,,𝑃 .
1 𝑀
Escriba 𝑃 = 𝑃′ ×𝑃′′ donde 𝑃′ es un rectángulo en 𝑛−1 y 𝑃′′ es un intervalo en , 𝑖 =
𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
1,,𝑀. Necesariamente,

𝑀 𝑀
𝑃′ = ⋃𝑃′ y 𝑃′′ = ⋃𝑃′′.
𝑖 𝑖
𝑖=1 𝑖=1
En general ni los 𝑃′ ni los 𝑃′′ van a ser disjuntos pero, por la Proposición 1.4, existen
𝑖 𝑖
rectángulos disjuntos 𝐻 ,,𝐻 tales que
1 𝑟
𝑟
𝑃′ = ⋃𝐻
𝑗
𝑗=1
y cada 𝑃′ es unión de algunos 𝐻 , es decir,
𝑖 𝑗
(1.1) 𝐻 ⊂ 𝑃′ o 𝐻 ∩𝑃′ = ∅,
𝑗 𝑖 𝑗 𝑖
para todo 𝑗 = 1,,𝑟 e 𝑖 = 1,,𝑀. Del mismo modo, existen intervalos disjuntos 𝐽 ,,𝐽
1 𝑠
en  tales que
𝑠
𝑃′′ = ⋃𝐽
𝑘
𝑘=1
y cada 𝑃′′ es la unión de algunos 𝐽 , es decir,
𝑖 𝑘
(1.2) 𝐽 ⊂ 𝑃′′ o 𝐽 ∩𝑃′′ = ∅,
𝑘 𝑖 𝑘 𝑖
para todo k= 1,,𝑠 e 𝑖 = 1,,𝑀. Más precisamente,

𝑃′ = ⋃𝐻 y 𝑃′′ = ⋃ 𝐽 ,
𝑖 𝑗 𝑖 𝑘
𝑗∈𝐴 𝑘∈𝐵
𝑖 𝑖
donde 𝐴  {1,,𝑟} y 𝐵  {1,,𝑠}. Entonces la familia de rectángulos {𝐻 ×𝐽 }
𝑖 𝑖 𝑗 𝑘
(𝑗,𝑘)∈𝐴×𝐵
𝑖 𝑖
es una partición regular del rectángulo 𝑃. Por el inciso (a) se tiene pues
𝑖
(1.3) 𝑣𝑜𝑙(𝑃) = ∑ 𝑣𝑜𝑙(𝐻 ×𝐽 ).
𝑖 𝑗 𝑘
(𝑗,𝑘)𝐴×𝐵
𝑖 𝑖
Se afirma que {𝐴 ×𝐵 }𝑀 es una partición de {1,,𝑟}×{1,,𝑠}. En efecto, note que
𝑖 𝑖 𝑖=1
9
(𝑗,𝑘) ∈ 𝐴 ×𝐵 significa que 𝐻 ×𝐽 ⊂ 𝑃. Sea pues (𝑗,𝑘) ∈ {1,,𝑟}×{1,,𝑠} y tome un
𝑖 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖
punto 𝑥 ∈ 𝐻 ×𝐽 . Entonces x pertenece a cierto 𝑃. Luego
𝑗 𝑘 𝑖
∅ ≠ (𝐻 ×𝐽 )∩𝑃 = (𝐻 ×𝐽 )∩(𝑃′ ×𝑃′′) = (𝐻 ∩𝑃′)×(𝐽 ∩𝑃′′).
𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑖 𝑗 𝑖 𝑘 𝑖
Así pues, 𝐻 ∩𝑃′ ≠ ∅ y 𝐽 ∩𝑃′′ ≠ ∅. Por (1.1) y (1.2), se sigue que 𝐻  𝑃′ y 𝐽  𝑃′′, luego
𝑗 𝑖 𝑘 𝑖 𝑗 𝑖 𝑘 𝑖
𝐻 ×𝐽  𝑃, o sea, (𝑗,𝑘) ∈ 𝐴 ×𝐵 . Pero cada 𝐻 ×𝐽 no puede estar contenido en más de
𝑗 𝑘 𝑖 𝑖 𝑖 𝑗 𝑘
un 𝑃, por ser los 𝑃 disjuntos. Por lo tanto, cada (𝑗,𝑘) ∈ {1,,𝑟}×{1,,𝑠} pertenece a un
𝑖 𝑖
𝐴 ×𝐵 y sólo uno. Así pues, {𝐴 ×𝐵 }𝑀 es una partición de {1,,𝑟}×{1,,𝑠}. Ya que
𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖=1
𝑟,𝑠
{𝐻 ×𝐽 } es claramente una partición regular del rectángulo 𝑃, se sigue de (1.3) y del
𝑗 𝑘
𝑗,𝑘=1
inciso (a) que
𝑀 𝑀 𝑟 𝑠
∑𝑣𝑜𝑙(𝑃) = ∑ ∑ 𝑣𝑜𝑙(𝐻 ×𝐽 ) = ∑∑𝑣𝑜𝑙(𝐻 ×𝐽 ) = 𝑣𝑜𝑙(𝑃).▐
𝑖 𝑗 𝑘 𝑗 𝑘
𝑖=1 𝑖=1(𝑗,𝑘)𝐴×𝐵 𝑗=1𝑘=1
𝑖 𝑖
𝑟
1.7 Teorema y Definición. Sea 𝐴 ∈ . Suponga que {𝑃 }𝑙 y {𝑄 } son familias de
=1 
=1
rectángulos acotados disjuntos en 𝑛, respectivamente, tales que
𝑙 𝑟
𝐴 = ⋃𝑃 = ⋃𝑄 .
𝜆 𝜌
𝜆=1 𝜌=1
Entonces,
𝑙 𝑟
∑𝑣𝑜𝑙(𝑃 ) = ∑𝑣𝑜𝑙(𝑄 ).
𝜆 𝜌
𝜆=1 𝜌=1
La medida de 𝐴 se define entonces como el número real
𝑙
𝑚(𝐴) = ∑𝑣𝑜𝑙(𝑃 ).
𝜆
𝜆=1
𝑙,𝑟
Demostración. Se tiene que {𝑃 ∩𝑄 } es una familia finita de rectángulos acotados
 
,=1
disjuntos tales que
𝑟 𝑙
𝑃 = ⋃(𝑃 ∩𝑄 ), 𝜆 = 1,…,𝑙, 𝑄 = ⋃(𝑃 ∩𝑄 ), 𝜌 = 1,…,𝑟.
   𝜌  
=1 𝜆=1
Por el Lema 1.6, se tiene
10