un langage de programmation (ada, c, java, etc.)

99 Pages·2009·0.74 MB·French

Théorie des langages
PierreBerlioux,MnachoEchenimetMichelLévy
30novembre2009
2
Table des matières
I Langages,relations 9
1 Chaînesetlangages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Longueurd’unechaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Ensembledeschaînessurunvocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Sous-chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Concaténation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Monoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Monoïdelibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.2 Homomorphismedemonoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.3 Unicitédumonoïdelibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Élévationàlapuissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 Langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Opérationssurleslangages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9.1 Opérationsensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9.2 Concaténationetconcaténationitérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9.3 Expressionsrégulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Opérationssurlesrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Opérationsensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Compositiondesrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Fermeturetransitived’unerelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II Systèmesderéécriture,Grammaires 17
1 Définitionsdeslangages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Systèmesderéécriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Relationsdedérivationdansunsystèmederéécriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Exemplesdesystèmesderéécriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Propriété(compositiondesdérivations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Grammaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Langageengendréparunegrammaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Classificationdesgrammaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.1 Grammairesgénérales(detype0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.2 Grammairessous-contexte(detype1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3
3.3.3 Grammaireshors-contexte(detype2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.4 Grammaireslinéairesàdroite,grammaireslinéairesàgauche(detype3) . . . . . . 20
3.3.5 Définitionsetpropriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.6 Problèmesdécidables-problèmesindécidables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.7 Choixd’unformalisme(classededéfinitions)pourdéfinirunlangagedeprogram-
mation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.1 Définition des nombres réels sans signe d’un langage de programmation avec une
grammairehors-contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.2 Langage{anbn|n≥1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.3 Langagedesparenthèsesdesexpressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.4 Grammaireengendrantlesexpressionsrégulièressur{a,b} . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.5 Langage{anbncn|n≥1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
III Grammaireshors-contexte 27
1 Propriétéfondamentale(décompositiondesdérivationshors-contexte) . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Dérivationsindicéesdansunegrammairehors-contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1 Dérivationsindicéesgauches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Dérivationsgauches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Décompositiondesdérivationsindicéesgauches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Arbrededérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Ambiguïté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
IV Automatesfinis 35
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Automatesfinisetlangages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Décompositiondestraces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Automatesfinissansε-transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Automatesfinisdéterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Constructiondesautomatesdéterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7 MachinesdeMealyetdeMoore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
V Equivalencedesautomatesfinisetdesexpressionsrégulières 45
1 Toutlangagerégulierestreconnuparunautomatefini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Toutlangagereconnuparunautomatefiniestunlangagerégulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Systèmed’équationsassociéàunautomatefini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
VI Automatesfinisdéterministesminimaux 53
1 Constructiondel’automateminimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 Calculdelarelationd’équivalenceentrelesétatsd’unautomate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Unicitédel’automateminimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1 Propriétésdelacatégoriedesautomates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 AutomateminimaletthéorèmedeMyhill-Nérode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
VIIDéfinitiondelangagesparinduction 65
1 Exemplesdedéfinitionsinductivesdelangages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2 Théorèmesdupointfixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.1 Ordrefaiblementcomplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2 Ordrecomplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3 Treillisfinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Langagesalgébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Équivalenceentrelangagesalgébriquesethors-contextes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4
5 Transformationdesystèmesd’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.1 Substitutionsimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Substitutiongénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
VIIITransformationsdesgrammaireshors-contexte 77
1 Rappelsduchapitreprécédent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.1 Grammairesetéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.2 Dessubstitutions,quipréserventleslangages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.3 Treillisfinietcalculdepointsfixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2 Réductiond’unegrammairehors-contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.1 Calculdel’ensembledessymbolesproductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2 Calculdel’ensembledel’ensembledessymbolesaccessibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3 Constructiond’unegrammaireréduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3 Éliminationdesε-règles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Éliminationdes1-règles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 FormenormaledeChomsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Grammaireshors-contexterécursives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7 Éliminationdesrèglesdirectementrécursiveàgauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8 Éliminationdelarécursivitéàgauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9 FormenormaledeGreibach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
IX Conditionsd’unicitédessystèmesd’équation 93
1 Systèmestrict . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2 Conditionsnécessairesetsuffisantesd’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3 Problèmesdedécision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.1 Leproblème«unsystèmeest-ilriche?»estindécidable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.1 Systèmeriche:rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2 Indécidabilitéduproblème«unsystèmeest-ilriche?» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.1 Leproblème«unsystèmea-t-iluneseulesolution?»estrelativementdécidable . . 98
References 99
5
6
Introduction
Le terme «langage» désigne d’une part les langues naturelles - sous leur forme parlée et écrite, d’autre part les
systèmes de notations - les formalismes - utilisés dans diverses sciences comme les mathématiques, la logique, la
chimie,etc.etenparticuliereninformatique(leslangagesdeprogrammationparexemple).Toutlangagecomprend
unensembled’objetsélémentaires,quel’onpeutcomposerpourconstituerdesunitésquiontunsens.Lacomposition
desobjetsélémentairesestleplussouventunsimpleenchaînementlinéaire(uneconcaténation);lesunitésquiontun
senssontalorsdessuitesfiniesd’objetsélémentaires.Cettepropriétépourunmêmelangagepeutserépéteràplusieurs
niveaux. Ainsi dans une langue naturelle écrite, un mot est une suite de lettres (niveau lexical); une phrase est une
suitedemots(niveausyntaxique);untexteestunesuitedephrases(niveaududiscours).
Ladéfinitiond’unlangageàunniveaudonnéestladéfinition
1. del’ensembledesobjetsélémentaires(le«vocabulaire»oul’«alphabet»dulangageduniveauconsidéré)
2. del’ensembledessuitesd’objetsélémentairesayantunsens(la«syntaxe»)
3. des sens de ces suites (la «sémantique»). La définition d’un langage utilise elle-même un langage (souvent
appelé«métalangage»),quipeutêtreunelanguenaturelleouunformalisme.Lelangagedéfiniestparfoisutilisé
commemétalangage.
Exemple1 :lefrançaisécrit.
Niveau lexical (ou lexicographique) : les objets élémentaires sont les lettres de l’alphabet, les unités ayant un sens
desmots.UndictionnairecommeleRobertdonneunedéfinitionlexicographiquedefrançais:énumérationdesmots,
définition - en français - des sens de chaque mot. Un dictionnaire français-anglais donne aussi une définition lex-
icographique du français, les sens des mots français étant définis par leurs traductions en anglais. Au niveau mor-
phologique,lesmotssontconsidéréscommedessuitesd’objetsélémentairesquisonteux-mêmesdessuitesdelettres
appartenantàdescatégoriesgrammaticalescommepréfixe,suffixe,racine,désinence,etc.
Niveau syntaxique : les objets élémentaires sont les mots et les signes de ponctuation, les unités ayant un sens les
phrases.Unegrammairecommele«bonusage»deGrevissedonneunedéfinitiondufrançaisauniveausyntaxique:
elle définit les phrases correctes et leur sens au moyen de règles exprimées en français, avec des termes techniques
comme«adjectif»,«substantif»,«masculin»,«subordonnée»,«relative»,etc.Ladéfinitiondesphrasescorrectessans
référenceàleurssensconstituel’aspectformel(ousyntaxiqueproprementdit)delagrammaire.
Ladéfinitiondusensdesphrasesconstituelasémantique.Notonsqu’auniveausyntaxiquelesobjetsélémentaires
(lesmots)ontunsens,etquelesensd’unephraseestfonctiondusensdesmotsquilacomposent.Ilenestdemême
auniveaumorphologique,oùlesensd’unmotestfonctiondessensdesobjetsélémentaires(préfixes,racines,etc)qui
lecomposent.Parcontreauniveaulexical,leslettresn’ontpasdesens,etlesensd’unmotestarbitraire.
Exemple2 :lefrançaisparlé.
Unmot(ouunephrase)prononcéestunesuitecontinuedesons.L’alphabetphonétiquedéfinitunensembledenota-
tionsdesonsélémentairestelquel’onpuisseconsidérertoutmot(outoutephrase)prononcécommeunesuitediscrète
detelsobjetsélémentaires.
Exemple3 :unlangagedeprogrammation(Ada,C,Java,etc.)
Les objets élémentaires sont les symboles de base (lettres de l’alphabet, chiffres, caractères spéciaux) dont la liste
7
est donnée explicitement. Les unités ayant un sens sont les programmes. Ceux-ci sont définis par des diagrammes
syntaxiques (ou des formes normales de Backus) complétées par des conditions supplémentaires (par exemple sur
les déclarations des identificateurs) qui sont souvent exprimées en langue naturelle. Le sens des programme est lui
aussisouventdéfinienlanguenaturelle.Unetelledéfinitionestunmélangededéfinitionsformelles(lesdiagrammes
syntaxiques)etdedéfinitionsinformelles(lesparagraphesenlanguenaturelle).Onpeutaussidonnerdesdéfinitions
formelles (c’est-à-dire n’utilisant pas la langue naturelle) des langages de programmation. Par exemple le sens d’un
programme peut-être défini en lui associant une formule mathématique définisssant la fonction qu’il calcule, ou un
programmeéquivalentdansunautrelangagedeprogrammation-ainsiuncompilateurdéfinitlesensd’unprogramme
partraductiondansunlangagemachine.Onpeutencoredéfinirformellementlasémantiqued’unlangageaumoyen
d’uninterpréteurdecelangage,lesensd’unprogrammeestalorsl’ensembledesesexécutionspourtouteslesdonnées
possibles. L’interpréteur est un programme qui peut être écrit dans un autre langage de programmation ou dans le
langagedéfini.
Notonsquelemot«formel»signifiecouramment«expriméenlangagemathématique»,ouplusgénéralement«ex-
primédansunformalisme»(c’est-à-diredansunlangageartificielrigoureusementdéfini),«informel»signifiant«ex-
priméenlanguenaturelle»(c’estainsiqu’ilfautcomprendrelestermes«définitionformelle»,«définitioninformelle»);
cependantonentendparlangageformelunlangageconsidérécommeunensembledesuitesd’objetsélémentaires,ab-
stractionfaitedusensdecessuites.Cetaspectformeldeladéfinitiond’unlangageestaussiappeléaspectsyntaxique
etdoitêtrecomplétéparladéfinitiondusensdesunitésdulangage,cequiconstituel’aspectsémantique.
L’objetdececoursestl’étudedeformalismesutiliséspourladéfinitionsyntaxiquesdelangagesartificielscomme
leslangagesdeprogrammationoulessystèmesdenotationsmathématiquesetlogiques.Cesformalismessontaussi
utiliséspourétudierleslanguesnaturelles,maiscesapplicationsneserontpasdéveloppées.
Lapremièrepartiedecepolycopiéestuneintroductionàlathéoriedeslangagesformels.Unlangageformelest
unensembledesuitesd’objetsélémentaires,quiselonlelangagedéfini,etleniveauauquelonseplace,peuventêtre
deslettres,desmots,dessymboles,descaractères,etc.Touscesensemblesd’objetélémentairesontencommunlefait
d’êtrefinis,etsontappelésvocabulaire(oualphabet).Unlangageformelestunensembledesuitesfinies(dechaînes)
d’éléments de son vocabulaire. Les opérations de base sur les chaînes et les langages sont définies au chapitre I, où
sont aussi données des propriétés élémentaires de la notion de relation, qui joue un rôle important dans la suite. La
notion de langage comme ensemble de chaînes est trop générale : un langage doit de plus satisfaire des conditions
d’effectivité pour pouvoir être traité par des machines physiques (cas des langages de programmation), ou abstraite
(casdessystèmesdenotationslogiques),ouêtrecompriseténoncéparunepersonne(casdeslanguesnaturelles,des
systèmesdenotationsmathématiques,deslangagesdeprogrammationévolués,etc).Lanotiondesystèmederéécriture
estlanotiondebasepourladéfinitiondesmachinesabstraitescommelesmachinesdeTuring,etdesautomatesetdes
grammairesutiliséspourlareconnaissanceetlagénérationdeslangagesformels(chapitreII).Lesgrammaireslesplus
utiliséessontlesgrammaireshors-contexte,quisontétudiéesauchapitreIII.Onétudieensuite(chapitresIV,V,VI)les
automatesfinisetleslangagesréguliers.
La deuxième partie (chapitre VII : définition d’ensembles par récurrence) comprend une étude des théorèmes
du point fixe qui sont à la base de telles définitions et une étude des systèmes d’équations définissant les langages
hors-contexte.
La troisième partie (compléments sur les langages hors-contexte), comprend une étude des grammaires hors-
contexteetdeleursformesnormales(chapitreVIII),uneétudedepropriétésimportantesdeslangageshors-contextes
(chapitre IX), et une étude des automates à pile, qui sont les automates associés aux grammaires hors-contextes
(chapitreX).
Laquatrièmepartie(Introductionàlathéoriedelacalculabilité)comprendunchapitreoùsontdéfinieslesma-
chines de Turing et démontrées leurs propriétés de base (chapitre XI), et un chapitre consacré aux problèmes de
décisionpourleslangageshors-contextesetleslangagesrécursivementénumérables(chapitreXII).
8
Chapitre I
Langages, relations
1 Chaînes et langages
1.1 Vocabulaire
On appelle vocabulaire (ou alphabet) un ensemble fini quelconque. Les éléments d’un vocabulaire sont appelés
lettres,caractèresousymboles.Onnote#Vlenombred’élémentsd’unvocabulaireV.
1.2 Chaîne
1.2.1 Définition
Onappellechaîne(oumot,ouphrase)surunvocabulaireV toutesuitefiniea ,a ,...,a d’élémentsdeV.Onnote
1 2 n
usuellementunechaîneenécrivantenséquence,sansséparateur,leslettresquilacomposent.
Exemple1.1 abaestunechaînesurlevocabulaire{a,b}.
débutx:=1finestunechaînesurlevocabulaire{début,fin,:=,1,x},qu’ilestpréférabled’écrireenutilisantl’espace
commeséparateur:débutx:=1fin.
Remarque1.1 Un vocabulaireV peut être un ensemble fini de chaînes, comme dans le second exemple ci-dessus.
L’écrituredeschaînessurV sansséparateursentrelesélémentsdeV peutalorsproduiredesambiguïtés.Parexemple,
siV={a,aa},ilfautunséparateurpourdistinguerlesdeuxchaînesa,aaetaa,a.
1.2.2 Longueurd’unechaîne
Onappellelongueurd’unechaînelenombred’élémentsdelasuiteladéfinissant.Lalongueurd’unechaînexsera
notée|x|.
Aveclesexemplesci-dessus,ona:|aba|=3et|débutx:=1fin|=5.
Parconvention,ilexisteunechaînedelongueur0,lachaînevide,notéeε.
Etant donné un vocabulaire V, on note Vn, où n est un entier positif ou nul, l’ensemble des chaînes sur V de
longueurn.Onalespropriétéssuivantes:
– V0={ε}:lachaînevideestunechaînesurtoutvocabulaire.
– V1=V :leschaînesdelongueur1sontidentifiéesauxlettres.
Exercice1.1 MontrerquesiV (cid:54)=0/,Vncomprend(#V)néléments.
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1.2.3 Ensembledeschaînessurunvocabulaire
EtantdonnéunvocabulaireV,onnoteV∗ l’ensembledeschaînessurV,etV+ l’ensembledeschaînesnonvides
surV.Autrementdit,V∗=S VietV+=S Vi.
i≥0 i>0
Propriété1.1
– SiV (cid:54)=0/ alorsV∗estinfini.
– 0/∗={ε}.
1.3 Sous-chaîne
EtantdonnéunechaînewsurunvocabulaireV,unechaîneuestunesous-chaînedews’ilexistex,y∈V∗telsque
w=xuy.Lasous-chaîneuestunpréfixedewsix=ε;unsuffixedewsiy=ε.
Exemple1.2 Lachaîneabbaadmetlessous-chaînesε,a,b,ab,bb,ba,abb,bba,abba.Ilexistedeuxoccurrencesde
chacunedessous-chaînesaetb.Lespréfixesdeabbasontε,a,ab,abbetabba;sessuffixessontε,a,ba,bbaetabba.
Exercice1.2
1. Déterminerlesnombresmaximaletminimaldesous-chaînes,depréfixesetdesuffixesd’unechaînedelongueur
donnée.
2. Montrerquetoutechaînesur{a,b},delongueursupérieureouégaleà4,admetdeuxoccurrencesconsécutives
d’unemêmesous-chaînenonvide.
1.4 Concaténation
Laconcaténationestl’opérationquiassocieàdeuxchaînesxetylachaînenotéex.youxydéfiniepar:
six=a ,a ,...,a ety=b ,b ,...,b alorsx.y=c ,c ,...,c ,
1 2 n 1 2 p 1 2 n+p
avecc =a pouri=1,...netc =b pouri=1,...p.
i i n+i i
Parexemple,laconcaténationdeschaînesabaetcabdonnelachaîneabacab.
On vérifie facilement que la concaténation est une opération associative admettant la chaîne vide comme élément
neutre.Soit:
– ∀x,y,z∈V∗x.(y.z)=(x.y).z
– ∀x∈V∗x.ε=ε.x=x.
1.5 Monoïde
Onappellemonoïdeunensemblemunid’uneopérationassociativeadmettantunélémentneutre.Unmonoïdeest
représenté par un triplet <E,.,i>, où E est l’ensemble considéré, (cid:48)(cid:48).(cid:48)(cid:48) est l’opération associative sur E et i∈E est
l’élémentneutredecetteopération.
PourtoutvocabulaireV,<V∗,.,ε>estdoncunmonoïde.
Commeexempled’autresmonoïdes,citons<N,+,0>et<N,.,1>,où+et.dénotentrespectivementl’additionet
lamultiplicationdesentiers.
1.6 Monoïdelibre
1.6.1 Définition
SoitV unvocabulairequelconque.LemonoïdeV∗possèdelesdeuxpropriétéssuivantes:
1. toutélémentdeV*estunesuited’élémentsdeV
2. deuxsuitesdistinctesd’élémentsdeVdéfinissentdeuxélémentsdistinctsdeV*.
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