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Un Curso de Analisis Funcional Teoria y Problemas PDF

365 Pages·1988·2.3 MB·Spanish
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´ INTRODUCCION 1. CONCEPTO. El An´alisis Funcional es una rama de las Matem´aticas que utiliza el lenguaje de la Geometr´ıa en el estudio de ciertas estructuras topol´ogico-algebraicas y de los m´etodos que pueden aplicarse a problemas anal´ıticos mediante el conocimiento de estas estructuras. As´ı, muchos problemas en An´alisis se refieren no s´olo a ob- jetosaislados,comofunciones,medidasuoperadores,sinoaclasesoconjuntosde tales objetos. La mayor´ıa de estas clases (en el caso que nos ocupa) son espacios vectoriales, tanto reales como complejos. Como los procesos de l´ımite juegan su papel en todo problema anal´ıtico -concepto que permite hablar de diferenciaci´on e integraci´on y en general de procesos infinitos, que pueden incluso reducirse a la consideraci´on de ciertos procesos finitos,- no debe sorprender que esos espa- cios est´en dotados de m´etricas, o al menos de topolog´ıas, para poder establecer relaciones naturales entre los objetos de esos espacios y generalizar conceptos familiares, como el de l´ımite de sucesiones, sucesiones de Cauchy, funciones con- tinuas,etc.Unaformasimple,peroqueser´afundamentaleneldesarrollodeeste curso, consiste en introducir una norma, obteni´endose una estructura de espacio normado. La idea crucial en el estudio del espacio vectorial cl´asico Rn de las n-tuplas de nu´meros reales es la expresada por R. Descartes y consiste en asociar a ca- da elemento (x ,...,x ) del espacio un punto en un sistema de coordenadas 1 n ortogonales. De esta forma todo punto representa un vector y tiene sentido geom´etrico la suma de vectores y el producto por un escalar, los planos tienen 1 una expresi´on anal´ıtica y la distancia entre dos puntos se puede expresar como p d(x,y) = |x −y |2+···+|x −y |2. La distancia de un punto x al origen 1 1 n n p de coordenadas, llamada norma de x, es kxk= |x |2+···+|x |2. Adem´as, se 1 n dice que dos vectores x e y son ortogonales cuando x y +···+x y = 0; de 1 1 n n aqu´ı se define el producto interior de x e y como hx,yi = x y +···+x y . Es 1 1 n n f´acil observar que la norma se puede definir a partir del producto escalar como p kxk = hx,xi y que la distancia se define a partir de la norma mediante la f´ormula d(x,y) = kx−yk. Todo lo anterior puede generalizarse sin dificultad al espacio Cn si se define el producto interior hx,yi = x y +···+x y . Es- 1 1 n n te tratamiento algebraico para resolver problemas geom´etricos ha dominado el pensamiento matem´atico por m´as de un siglo. Por otra parte, identificando cada punto o vector x = (x ,...,x ) ∈ Cn con la 1 n funci´on x : {1,...,n} → C definida por x(1) = x ,...,x(n) = x , puede tra- 1 n tarse a Cn como el espacio de las funciones complejas con dominio el conjunto {1,...,n}.Eranatural,llegadosaestepunto,extenderestasideasaotrosobjetos matem´aticos con estructura similar. Fueron D. Hilbert y su alumno E. Schmidt quienes consideraron el espacio de las sucesiones o funciones con dominio el con- ∞ junto N, donde tiene sentido el producto interior hx,yi= P x y en el caso de n n n=1 que la serie converja; pero esto ocurre cuando las sucesiones (xn)n∈N e (yn)n∈N tienen cuadrado sumable, es decir si P |x |2 < ∞ y P |y |2 < ∞. Esto n∈N n n∈N n origin´o el espacio ‘2 de dichas sucesiones, que es la generalizaci´on inmediata del espacio eucl´ıdeo Cn. Nuevas extensiones corresponden por ejemplo al caso en que las funciones est´en definidas en un intervalo [a,b]: identificando ahora funciones que sean iguales en casi todo punto, se define el producto interior de dos funciones f y g como hf,gi=Rbf(t)g(t)dt.Seobtieneas´ıelespacioL2[a,b]delasfuncionescomplejas a f : [a,b] → C de cuadrado integrable en [a,b] con respecto a la medida de Lebesgue. Sin embargo, al pasar a espacios de dimensi´on infinita, se presentan diferencias fundamentales en algunas propiedades, como son: Mientras que en el caso finito toda aplicaci´on lineal es continua, en el caso infinito existen aplicaciones lineales que no son continuas. En el caso finito toda sucesi´on de Cauchy es convergente pero en el caso infinito no siempre es cierto. Donde esta propiedad es cierta tenemos los llamadosespacioscompletos;dondenoescierta,todav´ıapuedecompletarse el espacio para que valga la propiedad. En el caso finito toda bola cerrada es compacta (teorema de Bolzano- 2 Weierstrass) pero en el caso infinito nunca es cierto. Por esta raz´on es importante el estudio de los operadores compactos que son la generaliza- ci´on directa de los operadores en espacios de dimensi´on finita. La necesidad de considerar espacios de dimensi´on infinita, originada por su re- laci´on con las teor´ıas cl´asicas de momentos, de las ecuaciones integrales, etc., permiti´o dar un gran impulso al desarrollo del An´alisis Funcional, impulso que ya no ha cesado al sumarse con la influencia que parte de sus aplicaciones e in- terrelaci´on con otras ramas del An´alisis, como la Mec´anica Cu´antica, An´alisis Arm´onico y Teor´ıa de Aproximaci´on e Interpolaci´on, entre otras. 2. EVOLUCIO´N. El an´alisis funcional nace en la resoluci´on de ecuaciones donde las inc´ognitas son funciones. A las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales estu- diadas en el siglo XVIII se unen las ecuaciones integrales a partir del siglo XIX; luego las ecuaciones integro-diferenciales y dem´as ecuaciones funcionales. A lo largo de los siglos XVIII y XIX se daban soluciones formales de ecuaciones diferenciales resolviendo sistemas infinitos de ecuaciones por el m´etodo de coe- ficientes indeterminados. Por supuesto en esa ´epoca no importaba demasiado la convergencia de las series asociadas a tales problemas. Hacia 1800 comienza el estudio de tres tipos de ecuaciones fundamentales en la F´ısica Matem´atica: ∂2u ∂2u ∂2u ∆u≡ + + =0 : ecuaci´on de Laplace ∂x2 ∂y2 ∂z2 ∂2u −∆u=0 : ecuaci´on de ondas ∂t2 ∂u −∆u=0 : ecuaci´on del calor ∂t que dan lugar al An´alisis Lineal, a la teor´ıa de series e integrales de Fourier, a la teor´ıadeSturm-Liouvilleyafinalesdesigloaparecieronlosprimerosejemplosde espacios de Hilbert y algunos resultados de la teor´ıa espectral de operadores en tales espacios. Tambi´en hacia el final del siglo XIX se impone la distinci´on entre diversos tipos de convergencia de sucesiones de funciones lo que conducir´a a la idea general de topolog´ıa sobre un conjunto de funciones. 3 A principios del presente siglo se empez´o a desarrollar la teor´ıa abstracta gracias a los trabajos de muchos investigadores, entre los que podemos citar a V. Vol- terra, I. Fredholm, D. Hilbert, M. Fr´echet, F. y M. Riesz, E. Schmidt, H. Weyl, H. Hahn, T. Carleman, J. von Neumann, E. Hellinger, S. Banach, M. Stone, etc., quienes estudiaron las ecuaciones integrales, problemas de valores propios, descomposiciones espectrales de operadores lineales, etc., y fueron descubrien- do el correcto encuadre conceptual de los resultados. Ya no se trata de reducir cuestiones referentes a espacios infinito-dimensionales a la geometr´ıa del espa- cio finito-dimensional sino de desarrollar la geometr´ıa de los objetos a analizar desde un punto de vista intr´ınseco, sin estar sujeto a la elecci´on de coordenadas ni a la adopci´on de bases espec´ıficas, y usando la geometr´ıa eucl´ıdea s´olo como analog´ıa. Los avances experimentados durante esa ´epoca fueron presentados de forma sis- tem´atica en los famosos libros “Th´eorie des Op´erations Lin´eaires”, de Banach y “Linear Transformations in Hilbert Spaces”de Stone, ambos publicados en 1932. Ambostratados ejercieronunagraninfluencia posteriorytodav´ıasirvendebase para un tratamiento b´asico del An´alisis Funcional y la Teor´ıa de Operadores. La axiom´atica de los espacios de Hilbert fue dada por von Neumann en un art´ıculo de 1930, fundamental en la teor´ıa de operadores no acotados pues establece para ellos el teorema espectral, generalizando lo hecho por Hilbert veinte an˜os antes paraoperadoresacotados.Elinter´esdevonNeumannenlateor´ıadeoperadores, que arranc´o de la Mec´anica Cu´antica, le condujo a un estudio sistem´atico de las ´algebras de operadores; estudio profundizado por I. Gelfand (1941) al descubrir el importante papel que representan los ideales maximales de un ´algebra conmu- tativayconstruiras´ılahoyllamadatransformadadeGelfand.Laaxiomatizaci´on y discusi´on de estos espacios es la que permite un tratamiento unificado de los elementos de an´alisis, geometr´ıa y matem´atica aplicada ya citados adem´as de la teor´ıa de operadores, series de Fourier abstractas, geometr´ıa de subespacios, topolog´ıa d´ebil, fuerte y uniforme, teor´ıa de espectros y muchos otros. A partir de los an˜os 40 se desplaz´o el inter´es en los espacios normados por el de los espacios localmente convexos motivado por la construcci´on de L. Schwartz de la teor´ıa de distribuciones, la cual ha resultado tener muchas aplicaciones, en particular a las ecuaciones en derivadas parciales. El desarrollo de la teor´ıa de distribuciones tambi´en ha originado la aparici´on de la teor´ıa de operadores pseudo-diferenciales y el An´alisis sobre variedades diferenciales. 4 3. CONTENIDO DEL CURSO. Conrespectoalordendepresentaci´ondelostemas,elcursosedesarrollapartien- do de los conceptos generales de espacio m´etrico y de aplicaci´on entre espacios m´etricos para, consecutivamente, ir an˜adiendo restricciones que motiven por un lado la idea de norma y de producto escalar definidas en clases adecuadas de es- pacios m´etricos, y por otro la introducci´on de los operadores lineales que actu´en sobre dichos espacios. Conesteesquemaseconsigue,enprimerlugar,presentaralprincipiolanotaci´on y terminolog´ıa a seguir a lo largo del curso y conseguir una paulatina toma de contactoconlosrecursost´ıpicosenlosqueseincidir´aposteriormente.Ensegundo lugar, se aprovechan las propiedades y ejemplos m´as generales y se refinan para proporcionar modelos simples y ejemplos concretos. De particular inter´es son los espacios cl´asicos de sucesiones y de funciones los cuales, introducidos desde un principio, permitir´an comprobar sobre ellos las propiedades que caracterizar´an losnuevosespaciosqueseir´andefiniendoalolargodelcurso.Elc´ırculosecierra cuando se muestra que los espacios de Hilbert separables son la generalizaci´on inmediatadelosespacioseucl´ıdeosyquelosoperadoreslinealesyacotadosjuegan elpapeldematricesasociadasahomomorfismos(especialmenteilustrativoeneste aspecto es el texto de I. Gohberg y S. Goldberg [GG]). Elesquemadelap´aginasiguientemuestraladependenciaentreloscap´ıtulosque componen el programa propuesto. Al final de cada cap´ıtulo se presenta una colecci´on de problemas resueltos en su totalidad, completando as´ı la informaci´on b´asica desarrollada a lo largo del cap´ıtulo.Seproponentambi´enunaseriedetemascomplementariosconreferencia a los textos en donde pueden consultarse. Una extensa, aunque no exhaustiva, lista de publicaciones relativas al tema se proporcionaenlabibliograf´ıafinal,listaqueincluyetantotratadosgenerales,co- motextosintroductorios,as´ıcomotextosqueaportaninformaci´onsuplementaria a los objetivos de este curso b´asico. 5 INTERDEPENDENCIA LOGICA 6 I. NOCIONES GENERALES SOBRE ESPACIOS ´ METRICOS En este primer cap´ıtulo se recuerdan los conceptos topol´ogi- cos b´asicos y se adopta la terminolog´ıa y notaci´on que se mane- jar´an a lo largo del curso; se introducen adem´as los ejemplos que servir´an de modelo para las aplicaciones esenciales de la teor´ıa a desarrollar. SECCIONES 1. Definiciones previas y primeros ejemplos. 2. Nociones topol´ogicas en espacios m´etricos. 3. Aplicaciones entre espacios m´etricos. 4. Completitud en espacios m´etricos. 5. Compacidad en espacios m´etricos. 6. Ejercicios. 1 1. DEFINICIONES PREVIAS Y PRIMEROS EJEMPLOS. La estructura m´as importante del an´alisis funcional es el espacio vectorial. Un conjunto X 6= ∅ se llama espacio vectorial (y sus elementos se llamar´an vectores) respecto al cuerpo E (a cuyos elementos llamaremos escalares) si en X se definen dos operaciones, suma y multiplicaci´on por escalar, con las propiedades algebraicas siguientes: (a) X es un grupo abeliano respecto a la suma, es decir: a.1) ∀x ∈ X : x+y = y+x. a.2) ∀x,y,z ∈ X : (x+y)+z = x+(y+z). a.3) Existe un u´nico 0 ∈ X tal que x + 0 = 0 + x, ∀x ∈ X (no confundirlo con el neutro de E). a.4) ∀x ∈ X, ∃−x ∈ X : x+(−x) = 0. (b) La multiplicaci´on por escalar verifica: b.1) ∀x ∈ X, ∀α,β ∈ E : α(β·x) = (αβ)·x. b.2) ∀x ∈ X, 1·x = x (1 es la identidad en E). b.3) ∀x ∈ X, ∀α,β ∈ E : (α+β)·x = α·x+β·x. b.4) ∀x,y ∈ X, ∀α ∈ E : α·(x+y) = α·x+α·y. Un espacio vectorial real es aqu´el donde E = R y un espacio vectorial com- plejo es aqu´el donde E = C. Siempre que no se especifique el cuerpo E, entenderemos que se trata de R ´o C. Notaci´on: Si X es un espacio vectorial, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ E, escribire- mos A+B = {x+y : x ∈ A,y ∈ B}, A−B = {x−y : x ∈ A,y ∈ B}, A\B = {x : x ∈ A,x 6∈ B} (en particular Ac = X \A), λA = {λx : x ∈ A} (obs´ervese que 2A 6= A+A), A×B = {(x,y) : x ∈ A,y ∈ B}. Una familia finita de vectores {x ,...,x } ⊂ X se dice linealmente inde- 1 n pendiente cuando α x +···+α x = 0 =⇒ α = ··· = α = 0. 1 1 n n 1 n 2 An´alogamente, una colecci´on arbitraria de vectores es linealmente indepen- diente si cualquier subconjunto finito de ella es linealmente independien- te. Se dice que un conjunto A ⊂ X linealmente independiente es base de Ha- mel de X si todo vector x ∈ X puede expresarse como combinaci´on lineal de elementos de A, es decir si existen escalares α ,...,α ∈ E y vectores 1 n x ,...,x ∈ A tales que x = α x +···+α x . Entenderemos siempre las 1 n 1 1 n n combinaciones lineales finitas, aunque haya un nu´mero infinito de elementos en la base. Se puede probar (como una aplicaci´on del lema de Zorn) que todo espacio vectorial posee una base de Hamel. Adem´as todas las bases tienen el mismo nu´mero de elementos, llamado dimensi´on (algebraica) del espacio. Un conjunto Y ⊂ X es subespacio de X si Y es tambi´en espacio vectorial (con las mismas operaciones, por supuesto). Esto ocurre si y s´olo si 0 ∈ Y y αY +βY ⊂ Y, ∀α,β ∈ E. Dada una familia U ⊂ X, el menor subespacio de X que contiene a U se llama subespacio generado por U, y lo denotaremos por hUi. Se dice que X es suma directa de los subconjuntos M ,...,M , lo cual 1 n denotaremos por X = M ⊕···⊕M , si 1 n X X = M +···+M y M ∩ M = {0}, i = 1,...,n. 1 n i j j6=i Si esto es cierto, todo vector en X se puede escribir en forma u´nica como sumax = m +···+m conm ∈ M , i = 1,...n.Adiferenciadeloanterior, 1 n i i se define la suma directa externa de dos espacios X e Y al producto X×Y con las operaciones usuales. En un conjunto arbitrario (no necesariamente con estructura algebraica) se puede definir el concepto de m´etrica. Si adem´as posee estructura de espacio vectorial, ciertas m´etricas dar´an lugar a la noci´on de norma, como veremos en el cap´ıtulo II. 1.1.- Definici´on. Un espacio m´etrico es un par (X,d), donde X es un conjunto arbitrario no vac´ıo y d : X × X → R una aplicaci´on, llamada distancia o m´etrica, tal que, para cualesquiera x,y,z ∈ X, se verifica: (1) d(x,y) ≥ 0. (2) d(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y. (3) d(x,y) = d(y,x). (4) d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z). De la definici´on son evidentes las siguientes propiedades: 3

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