Un Curso de Analisis Funcional Teoria y Problemas

365 Pages·1988·2.3 MB·Spanish

by  Antonio Vera

´
INTRODUCCION
1. CONCEPTO.
El An´alisis Funcional es una rama de las Matem´aticas que utiliza el lenguaje de
la Geometr´ıa en el estudio de ciertas estructuras topol´ogico-algebraicas y de los
m´etodos que pueden aplicarse a problemas anal´ıticos mediante el conocimiento
de estas estructuras. As´ı, muchos problemas en An´alisis se refieren no s´olo a ob-
jetosaislados,comofunciones,medidasuoperadores,sinoaclasesoconjuntosde
tales objetos. La mayor´ıa de estas clases (en el caso que nos ocupa) son espacios
vectoriales, tanto reales como complejos. Como los procesos de l´ımite juegan su
papel en todo problema anal´ıtico -concepto que permite hablar de diferenciaci´on
e integraci´on y en general de procesos infinitos, que pueden incluso reducirse a
la consideraci´on de ciertos procesos finitos,- no debe sorprender que esos espa-
cios est´en dotados de m´etricas, o al menos de topolog´ıas, para poder establecer
relaciones naturales entre los objetos de esos espacios y generalizar conceptos
familiares, como el de l´ımite de sucesiones, sucesiones de Cauchy, funciones con-
tinuas,etc.Unaformasimple,peroqueser´afundamentaleneldesarrollodeeste
curso, consiste en introducir una norma, obteni´endose una estructura de espacio
normado.
La idea crucial en el estudio del espacio vectorial cl´asico Rn de las n-tuplas
de nu´meros reales es la expresada por R. Descartes y consiste en asociar a ca-
da elemento (x ,...,x ) del espacio un punto en un sistema de coordenadas
1 n
ortogonales. De esta forma todo punto representa un vector y tiene sentido
geom´etrico la suma de vectores y el producto por un escalar, los planos tienen
1
una expresi´on anal´ıtica y la distancia entre dos puntos se puede expresar como
p
d(x,y) = |x −y |2+···+|x −y |2. La distancia de un punto x al origen
1 1 n n
p
de coordenadas, llamada norma de x, es kxk= |x |2+···+|x |2. Adem´as, se
1 n
dice que dos vectores x e y son ortogonales cuando x y +···+x y = 0; de
1 1 n n
aqu´ı se define el producto interior de x e y como hx,yi = x y +···+x y . Es
1 1 n n
f´acil observar que la norma se puede definir a partir del producto escalar como
p
kxk = hx,xi y que la distancia se define a partir de la norma mediante la
f´ormula d(x,y) = kx−yk. Todo lo anterior puede generalizarse sin dificultad
al espacio Cn si se define el producto interior hx,yi = x y +···+x y . Es-
1 1 n n
te tratamiento algebraico para resolver problemas geom´etricos ha dominado el
pensamiento matem´atico por m´as de un siglo.
Por otra parte, identificando cada punto o vector x = (x ,...,x ) ∈ Cn con la
1 n
funci´on x : {1,...,n} → C definida por x(1) = x ,...,x(n) = x , puede tra-
1 n
tarse a Cn como el espacio de las funciones complejas con dominio el conjunto
{1,...,n}.Eranatural,llegadosaestepunto,extenderestasideasaotrosobjetos
matem´aticos con estructura similar. Fueron D. Hilbert y su alumno E. Schmidt
quienes consideraron el espacio de las sucesiones o funciones con dominio el con-
∞
junto N, donde tiene sentido el producto interior hx,yi= P x y en el caso de
n n
n=1
que la serie converja; pero esto ocurre cuando las sucesiones (xn)n∈N e (yn)n∈N
tienen cuadrado sumable, es decir si P |x |2 < ∞ y P |y |2 < ∞. Esto
n∈N n n∈N n
origin´o el espacio ‘2 de dichas sucesiones, que es la generalizaci´on inmediata del
espacio eucl´ıdeo Cn.
Nuevas extensiones corresponden por ejemplo al caso en que las funciones est´en
definidas en un intervalo [a,b]: identificando ahora funciones que sean iguales
en casi todo punto, se define el producto interior de dos funciones f y g como
hf,gi=Rbf(t)g(t)dt.Seobtieneas´ıelespacioL2[a,b]delasfuncionescomplejas
a
f : [a,b] → C de cuadrado integrable en [a,b] con respecto a la medida de
Lebesgue.
Sin embargo, al pasar a espacios de dimensi´on infinita, se presentan diferencias
fundamentales en algunas propiedades, como son:
Mientras que en el caso finito toda aplicaci´on lineal es continua, en el caso
infinito existen aplicaciones lineales que no son continuas.
En el caso finito toda sucesi´on de Cauchy es convergente pero en el caso
infinito no siempre es cierto. Donde esta propiedad es cierta tenemos los
llamadosespacioscompletos;dondenoescierta,todav´ıapuedecompletarse
el espacio para que valga la propiedad.
En el caso finito toda bola cerrada es compacta (teorema de Bolzano-
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Weierstrass) pero en el caso infinito nunca es cierto. Por esta raz´on es
importante el estudio de los operadores compactos que son la generaliza-
ci´on directa de los operadores en espacios de dimensi´on finita.
La necesidad de considerar espacios de dimensi´on infinita, originada por su re-
laci´on con las teor´ıas cl´asicas de momentos, de las ecuaciones integrales, etc.,
permiti´o dar un gran impulso al desarrollo del An´alisis Funcional, impulso que
ya no ha cesado al sumarse con la influencia que parte de sus aplicaciones e in-
terrelaci´on con otras ramas del An´alisis, como la Mec´anica Cu´antica, An´alisis
Arm´onico y Teor´ıa de Aproximaci´on e Interpolaci´on, entre otras.
2. EVOLUCIO´N.
El an´alisis funcional nace en la resoluci´on de ecuaciones donde las inc´ognitas son
funciones. A las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales estu-
diadas en el siglo XVIII se unen las ecuaciones integrales a partir del siglo XIX;
luego las ecuaciones integro-diferenciales y dem´as ecuaciones funcionales.
A lo largo de los siglos XVIII y XIX se daban soluciones formales de ecuaciones
diferenciales resolviendo sistemas infinitos de ecuaciones por el m´etodo de coe-
ficientes indeterminados. Por supuesto en esa ´epoca no importaba demasiado la
convergencia de las series asociadas a tales problemas.
Hacia 1800 comienza el estudio de tres tipos de ecuaciones fundamentales en la
F´ısica Matem´atica:
∂2u ∂2u ∂2u
∆u≡ + + =0 : ecuaci´on de Laplace
∂x2 ∂y2 ∂z2
∂2u
−∆u=0 : ecuaci´on de ondas
∂t2
∂u
−∆u=0 : ecuaci´on del calor
∂t
que dan lugar al An´alisis Lineal, a la teor´ıa de series e integrales de Fourier, a la
teor´ıadeSturm-Liouvilleyafinalesdesigloaparecieronlosprimerosejemplosde
espacios de Hilbert y algunos resultados de la teor´ıa espectral de operadores en
tales espacios. Tambi´en hacia el final del siglo XIX se impone la distinci´on entre
diversos tipos de convergencia de sucesiones de funciones lo que conducir´a a la
idea general de topolog´ıa sobre un conjunto de funciones.
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A principios del presente siglo se empez´o a desarrollar la teor´ıa abstracta gracias
a los trabajos de muchos investigadores, entre los que podemos citar a V. Vol-
terra, I. Fredholm, D. Hilbert, M. Fr´echet, F. y M. Riesz, E. Schmidt, H. Weyl,
H. Hahn, T. Carleman, J. von Neumann, E. Hellinger, S. Banach, M. Stone,
etc., quienes estudiaron las ecuaciones integrales, problemas de valores propios,
descomposiciones espectrales de operadores lineales, etc., y fueron descubrien-
do el correcto encuadre conceptual de los resultados. Ya no se trata de reducir
cuestiones referentes a espacios infinito-dimensionales a la geometr´ıa del espa-
cio finito-dimensional sino de desarrollar la geometr´ıa de los objetos a analizar
desde un punto de vista intr´ınseco, sin estar sujeto a la elecci´on de coordenadas
ni a la adopci´on de bases espec´ıficas, y usando la geometr´ıa eucl´ıdea s´olo como
analog´ıa.
Los avances experimentados durante esa ´epoca fueron presentados de forma sis-
tem´atica en los famosos libros “Th´eorie des Op´erations Lin´eaires”, de Banach y
“Linear Transformations in Hilbert Spaces”de Stone, ambos publicados en 1932.
Ambostratados ejercieronunagraninfluencia posteriorytodav´ıasirvendebase
para un tratamiento b´asico del An´alisis Funcional y la Teor´ıa de Operadores. La
axiom´atica de los espacios de Hilbert fue dada por von Neumann en un art´ıculo
de 1930, fundamental en la teor´ıa de operadores no acotados pues establece para
ellos el teorema espectral, generalizando lo hecho por Hilbert veinte an˜os antes
paraoperadoresacotados.Elinter´esdevonNeumannenlateor´ıadeoperadores,
que arranc´o de la Mec´anica Cu´antica, le condujo a un estudio sistem´atico de las
´algebras de operadores; estudio profundizado por I. Gelfand (1941) al descubrir
el importante papel que representan los ideales maximales de un ´algebra conmu-
tativayconstruiras´ılahoyllamadatransformadadeGelfand.Laaxiomatizaci´on
y discusi´on de estos espacios es la que permite un tratamiento unificado de los
elementos de an´alisis, geometr´ıa y matem´atica aplicada ya citados adem´as de
la teor´ıa de operadores, series de Fourier abstractas, geometr´ıa de subespacios,
topolog´ıa d´ebil, fuerte y uniforme, teor´ıa de espectros y muchos otros.
A partir de los an˜os 40 se desplaz´o el inter´es en los espacios normados por el de
los espacios localmente convexos motivado por la construcci´on de L. Schwartz
de la teor´ıa de distribuciones, la cual ha resultado tener muchas aplicaciones,
en particular a las ecuaciones en derivadas parciales. El desarrollo de la teor´ıa
de distribuciones tambi´en ha originado la aparici´on de la teor´ıa de operadores
pseudo-diferenciales y el An´alisis sobre variedades diferenciales.
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3. CONTENIDO DEL CURSO.
Conrespectoalordendepresentaci´ondelostemas,elcursosedesarrollapartien-
do de los conceptos generales de espacio m´etrico y de aplicaci´on entre espacios
m´etricos para, consecutivamente, ir an˜adiendo restricciones que motiven por un
lado la idea de norma y de producto escalar definidas en clases adecuadas de es-
pacios m´etricos, y por otro la introducci´on de los operadores lineales que actu´en
sobre dichos espacios.
Conesteesquemaseconsigue,enprimerlugar,presentaralprincipiolanotaci´on
y terminolog´ıa a seguir a lo largo del curso y conseguir una paulatina toma de
contactoconlosrecursost´ıpicosenlosqueseincidir´aposteriormente.Ensegundo
lugar, se aprovechan las propiedades y ejemplos m´as generales y se refinan para
proporcionar modelos simples y ejemplos concretos. De particular inter´es son los
espacios cl´asicos de sucesiones y de funciones los cuales, introducidos desde un
principio, permitir´an comprobar sobre ellos las propiedades que caracterizar´an
losnuevosespaciosqueseir´andefiniendoalolargodelcurso.Elc´ırculosecierra
cuando se muestra que los espacios de Hilbert separables son la generalizaci´on
inmediatadelosespacioseucl´ıdeosyquelosoperadoreslinealesyacotadosjuegan
elpapeldematricesasociadasahomomorfismos(especialmenteilustrativoeneste
aspecto es el texto de I. Gohberg y S. Goldberg [GG]).
Elesquemadelap´aginasiguientemuestraladependenciaentreloscap´ıtulosque
componen el programa propuesto.
Al final de cada cap´ıtulo se presenta una colecci´on de problemas resueltos en
su totalidad, completando as´ı la informaci´on b´asica desarrollada a lo largo del
cap´ıtulo.Seproponentambi´enunaseriedetemascomplementariosconreferencia
a los textos en donde pueden consultarse.
Una extensa, aunque no exhaustiva, lista de publicaciones relativas al tema se
proporcionaenlabibliograf´ıafinal,listaqueincluyetantotratadosgenerales,co-
motextosintroductorios,as´ıcomotextosqueaportaninformaci´onsuplementaria
a los objetivos de este curso b´asico.
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INTERDEPENDENCIA LOGICA
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I. NOCIONES GENERALES
SOBRE ESPACIOS
´
METRICOS
En este primer cap´ıtulo se recuerdan los conceptos topol´ogi-
cos b´asicos y se adopta la terminolog´ıa y notaci´on que se mane-
jar´an a lo largo del curso; se introducen adem´as los ejemplos que
servir´an de modelo para las aplicaciones esenciales de la teor´ıa a
desarrollar.
SECCIONES
1. Definiciones previas y primeros ejemplos.
2. Nociones topol´ogicas en espacios m´etricos.
3. Aplicaciones entre espacios m´etricos.
4. Completitud en espacios m´etricos.
5. Compacidad en espacios m´etricos.
6. Ejercicios.
1
1. DEFINICIONES PREVIAS Y PRIMEROS EJEMPLOS.
La estructura m´as importante del an´alisis funcional es el espacio vectorial.
Un conjunto X 6= ∅ se llama espacio vectorial (y sus elementos se llamar´an
vectores) respecto al cuerpo E (a cuyos elementos llamaremos escalares) si
en X se definen dos operaciones, suma y multiplicaci´on por escalar, con las
propiedades algebraicas siguientes:
(a) X es un grupo abeliano respecto a la suma, es decir:
a.1) ∀x ∈ X : x+y = y+x.
a.2) ∀x,y,z ∈ X : (x+y)+z = x+(y+z).
a.3) Existe un u´nico 0 ∈ X tal que x + 0 = 0 + x, ∀x ∈ X (no
confundirlo con el neutro de E).
a.4) ∀x ∈ X, ∃−x ∈ X : x+(−x) = 0.
(b) La multiplicaci´on por escalar verifica:
b.1) ∀x ∈ X, ∀α,β ∈ E : α(β·x) = (αβ)·x.
b.2) ∀x ∈ X, 1·x = x (1 es la identidad en E).
b.3) ∀x ∈ X, ∀α,β ∈ E : (α+β)·x = α·x+β·x.
b.4) ∀x,y ∈ X, ∀α ∈ E : α·(x+y) = α·x+α·y.
Un espacio vectorial real es aqu´el donde E = R y un espacio vectorial com-
plejo es aqu´el donde E = C. Siempre que no se especifique el cuerpo E,
entenderemos que se trata de R ´o C.
Notaci´on: Si X es un espacio vectorial, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ E, escribire-
mos
A+B = {x+y : x ∈ A,y ∈ B},
A−B = {x−y : x ∈ A,y ∈ B},
A\B = {x : x ∈ A,x 6∈ B} (en particular Ac = X \A),
λA = {λx : x ∈ A} (obs´ervese que 2A 6= A+A),
A×B = {(x,y) : x ∈ A,y ∈ B}.
Una familia finita de vectores {x ,...,x } ⊂ X se dice linealmente inde-
1 n
pendiente cuando
α x +···+α x = 0 =⇒ α = ··· = α = 0.
1 1 n n 1 n
2
An´alogamente, una colecci´on arbitraria de vectores es linealmente indepen-
diente si cualquier subconjunto finito de ella es linealmente independien-
te.
Se dice que un conjunto A ⊂ X linealmente independiente es base de Ha-
mel de X si todo vector x ∈ X puede expresarse como combinaci´on lineal
de elementos de A, es decir si existen escalares α ,...,α ∈ E y vectores
1 n
x ,...,x ∈ A tales que x = α x +···+α x . Entenderemos siempre las
1 n 1 1 n n
combinaciones lineales finitas, aunque haya un nu´mero infinito de elementos
en la base. Se puede probar (como una aplicaci´on del lema de Zorn) que
todo espacio vectorial posee una base de Hamel. Adem´as todas las bases
tienen el mismo nu´mero de elementos, llamado dimensi´on (algebraica) del
espacio.
Un conjunto Y ⊂ X es subespacio de X si Y es tambi´en espacio vectorial
(con las mismas operaciones, por supuesto). Esto ocurre si y s´olo si 0 ∈ Y y
αY +βY ⊂ Y, ∀α,β ∈ E. Dada una familia U ⊂ X, el menor subespacio de
X que contiene a U se llama subespacio generado por U, y lo denotaremos
por hUi.
Se dice que X es suma directa de los subconjuntos M ,...,M , lo cual
1 n
denotaremos por X = M ⊕···⊕M , si
1 n
X
X = M +···+M y M ∩ M = {0}, i = 1,...,n.
1 n i j
j6=i
Si esto es cierto, todo vector en X se puede escribir en forma u´nica como
sumax = m +···+m conm ∈ M , i = 1,...n.Adiferenciadeloanterior,
1 n i i
se define la suma directa externa de dos espacios X e Y al producto X×Y
con las operaciones usuales.
En un conjunto arbitrario (no necesariamente con estructura algebraica) se
puede definir el concepto de m´etrica. Si adem´as posee estructura de espacio
vectorial, ciertas m´etricas dar´an lugar a la noci´on de norma, como veremos
en el cap´ıtulo II.
1.1.- Definici´on. Un espacio m´etrico es un par (X,d), donde X es un
conjunto arbitrario no vac´ıo y d : X × X → R una aplicaci´on, llamada
distancia o m´etrica, tal que, para cualesquiera x,y,z ∈ X, se verifica:
(1) d(x,y) ≥ 0.
(2) d(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y.
(3) d(x,y) = d(y,x).
(4) d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z).
De la definici´on son evidentes las siguientes propiedades:
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